Matematikçiler Zaten Bildiklerini Neden Yeniden Kanıtlıyor?

Pek çok insanın lisenin başlarında öğrendiği ilk kanıt, antik Yunan matematikçi Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu kanıtlamasıdır. Sadece birkaç satır alır ve tamsayılar ve çarpmadan daha karmaşık kavramlar kullanmaz.

Kanıtı, eğer sonlu sayıda asal sayı varsa, hepsini çarpıp 1 eklemenin başka bir asal sayının varlığını ima edeceği gerçeğine dayanıyor. Bu çelişki, asal sayıların sonsuz olması gerektiğini ima eder.

Matematikçilerin ilginç bir şekilde popüler bir eğlencesi vardır: bunu tekrar tekrar kanıtlamak.

Neden bunu yapmak için uğraşıyorsun? Bir kere, eğlenceli. Daha da önemlisi, "Eğlence matematiği ile ciddi matematik arasındaki çizginin çok ince olduğunu düşünüyorum" dedi. William GasarchMaryland Üniversitesi'nde bilgisayar bilimi profesörü ve şu kitabın yazarı: yeni bir kanıt bu yılın başlarında çevrimiçi yayınlandı.

Gasarch'ın kanıtı, uzun bir dizi yeni kanıtın yalnızca en sonuncusudur. 2018 yılında Romeo Meštrović Karadağ Üniversitesi, Öklid teoreminin yaklaşık 200 ispatını bir araya getirdi. kapsamlı tarihsel araştırma. Gerçekten de, tamsayıları incelemek için sürekli değişen nicelikleri kullanan tüm analitik sayı teorisi alanı, muhtemelen kaynaklı 1737'de matematik devi Leonhard Euler, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … sonsuz serisinin ıraksak olduğu gerçeğini kullandığında (yani toplamı sonlu bir sayıya ulaşmaz), sonsuz sayıda asal sayı olduğunu tekrar kanıtlamak için.

Christian Elsholtz, Avusturya'daki Graz Teknoloji Üniversitesi'nde bir matematikçi ve şu kitabın yazarı: yeni bir kanıt daha, pek çok küçük sonuçtan zor sonuçları kanıtlamak yerine - matematikçilerin lemmaları sistematik olarak teoremlere dönüştürdüklerinde yaptıkları şeyi - tam tersini yaptığını söyledi. "Gerçekten önemsiz olmayan bir sonuç olan Fermat'ın Son Teoremini kullanıyorum. Ve sonra çok basit bir sonuca varıyorum.” Bu şekilde geriye doğru çalışmak, matematiğin farklı alanları arasındaki gizli bağlantıları ortaya çıkarabilir, dedi.

"İnsanların en gülünç derecede zor kanıta sahip olması için orada küçük bir rekabet var" dedi. Andrew Granville, Montreal Üniversitesi'nde bir matematikçi ve yazar iki diğer kanıtlar. "Eğlenceli olmalı. Teknik olarak berbat bir şey yapmak mesele değil. Zor bir şeyi yapmak istemenin tek yolu onun eğlenceli olmasıdır.”

Granville, bu dostane üstünlük taslamanın ciddi bir anlamı olduğunu söyledi. Araştırmacılar sadece çözmeye çalıştıkları sorularla beslenmiyor. “Matematikte yaratma süreci bununla ilgili değil, sadece bir makineye bir görev veriyorsunuz ve makine onu çözüyor. Bu, birinin geçmişte yaptıklarını alıp bunu bir teknik oluşturmak ve fikir geliştirmek için bir yol yaratmak için kullanması ile ilgili.”

Gasarch'ın dediği gibi, "Bütün makaleler, asal sayıların sonsuz olduğuna dair sevimli yeni bir kanıttan ciddi matematiğe geçiyorlar. Bir gün sadece asal sayılara bakıyorsunuz ve ertesi gün karelerin yoğunluklarına bakıyorsunuz.”

Gasarch'ın ispatı, tamsayıları sonlu sayıda renkle boyarsanız, her zaman aynı renge sahip ve toplamı aynı renk olan bir çift sayı olacağı gerçeğiyle başlar. 1916'de kanıtlandı kaydeden Issai Schur Gasarch, Schur'un teoremini, sonlu sayıda asal sayı olsaydı, o zaman ikinin toplamı olan mükemmel bir küpün (125 gibi, başka bir tam sayının kendisiyle üç kez çarpımına eşit bir tam sayı) var olacağını göstermek için kullandı. diğer mükemmel küpler. Ancak 1770 yılında Euler böyle bir küpün var olmadığını kanıtlamıştı. n = Tamsayı çözümlerinin olmadığını öne süren Fermat'ın Son Teoreminin 3 durumu aⁿ + bⁿ = cⁿ için n 2'den büyük. Bu çelişkiye dayanarak, Gasarch sonsuz sayıda asal sayı olması gerektiğini düşündü.

Granville'in 2017 ispatlarından biri, Fermat'ın farklı bir teoremini kullandı. Granville esas olarak bir 1927 teorem Bartel Leendert van der Waerden tarafından, tamsayıları sonlu sayıda renkle boyarsanız, her zaman aynı renge sahip, eşit aralıklı tamsayılardan oluşan gelişigüzel uzun zincirler olduğunu gösterdi. Gasarch gibi, Granville de asal sayıların sonlu olduğu varsayımıyla başladı. Daha sonra van der Waerden'in teoremini kullanarak eşit aralıklarla yerleştirilmiş, aynı renklere sahip dört tam kareden oluşan bir dizi buldu. Ancak Fermat, böyle bir sıralamanın olamayacağını kanıtlamıştı. Çelişki! Böyle bir dizi, sonlu sayıda asal sayı olsaydı var olabileceğine, ancak var olamayacağına göre, sonsuz sayıda asal sayı olmalıdır. Granville'in kanıtı, van der Waerden'in teoreminden yararlanan ikinci en önemli kanıttı - Levent Alpöge, şimdi Harvard Üniversitesi'nde bir postdoc olan, sonucu aynı zamanda bir 2015 kağıt, henüz üniversitedeyken yayınlandı.

Granville, Elsholtz'un Fermat'ın Son Teoremini ve yalnızca sonlu sayıda asal sayı olduğu şeklindeki karşı-olgusal varsayımı da uygulayan makalesinin özel bir hayranıdır. Gasarch gibi, Elsholtz da Schur'un teoremini biraz farklı bir şekilde dahil etti. Elsholtz ayrıca bir kullanarak ikinci bir ispat verdi. Klaus Roth'un 1953 teoremi, bu, belirli bir boyutun üzerindeki tamsayı kümelerinin eşit aralıklı üç sayıdan oluşan gruplar içermesi gerektiğini söyler.

Bazı daha derin - ve hatta pratik - matematiksel sorular, bu çalışmayı temel alarak yanıtlanabilir. Örneğin, sonlu sayıda asal sayının olduğu bir dünyada yaşıyor olsaydık, büyük sayıları çarpanlarına ayırmanın zorluğuna dayanan açık anahtar şifrelemesini kırmak çok kolay olurdu. Elsholtz, sonsuz sayıda asal sayının ispatı ile bu tür şifreleme şemalarını çözmenin ne kadar zor olduğunu kanıtlamak arasında bir bağlantı olup olmadığını merak ediyor. Elsholtz, "Öklid teoremiyle bazı zayıf bağlantılar" olduğunu söyledi. "Daha derin bağlantıları görmek ilginç olurdu."

Granville, en iyi matematiğin farklı alan ve konuların garip kombinasyonlarından büyüyebileceğini ve genellikle matematikçilerin daha düşük seviyeli ama eğlenceli problemler üzerinde yıllarca uğraştıktan sonra ortaya çıktığını söyledi. Görünüşte uzak konuların sayı teorisine uygulanabilmesi onu büyüledi. Yakın zamanda yapılan bir ankette Granville, bir modelin "seyrek zarafetini" övdü. Hillel Furstenberg tarafından 1955 kanıtınokta kümesi topolojisini kullanan. Alpöge gibi, Furstenberg de ispatı yayınlandığında hâlâ üniversitedeydi. O devam edecekti şanlı kariyer içinde çeşitli matematiksel disiplinler.

Granville retorik bir şekilde Öklid'in eski sonucunun yeni kanıtlarının "sadece merak mı yoksa uzun vadeli önemi olan bir şey mi" olduğunu sordu. Kendi sorusunu yanıtlayarak, "Size söyleyemem" dedi.