Giriş
Yüzyıllardır matematikçiler akışkanların hareketini anlamaya ve modellemeye çalıştılar. Dalgaların bir göletin yüzeyini nasıl kırdığını açıklayan denklemler, araştırmacıların hava durumunu tahmin etmelerine, daha iyi uçaklar tasarlamalarına ve kanın dolaşım sistemi boyunca nasıl aktığını karakterize etmelerine de yardımcı oldu. Bu denklemler doğru matematik dilinde yazıldığında aldatıcı derecede basittir. Ancak çözümleri o kadar karmaşıktır ki, onlarla ilgili temel soruları bile anlamlandırmak son derece zor olabilir.
Leonhard Euler tarafından 250 yıldan fazla bir süre önce formüle edilen bu denklemlerin belki de en eskisi ve en göze çarpanı, ideal, sıkıştırılamaz bir akışkanın akışını tanımlar: daha küçük bir hacme zorlanamayan, viskozitesi veya iç sürtünmesi olmayan bir akışkan. "Doğrusal olmayan akışkan denklemlerinin neredeyse tamamı Euler denklemlerinden türetilmiştir" dedi Tarek ElgindiDuke Üniversitesi'nden bir matematikçi. “Onların ilk olanlar olduğunu söyleyebiliriz.”
Ancak Euler denklemleri hakkında, ideal sıvı akışının her zaman doğru bir modeli olup olmadıkları da dahil olmak üzere pek çok şey bilinmiyor. Akışkanlar dinamiğindeki temel sorunlardan biri, denklemlerin başarısız olup olmadığını anlamak ve onları bir akışkanın gelecekteki durumlarını tahmin etmekten alıkoyan anlamsız değerler üretmektir.
Matematikçiler uzun süredir denklemlerin bozulmasına neden olan başlangıç koşullarının varlığından şüpheleniyorlardı. Ama bunu kanıtlayamadılar.
In ön baskı Geçen ay internette yayınlanan bir çalışmayla, bir çift matematikçi Euler denklemlerinin belirli bir versiyonunun gerçekten de bazen başarısız olduğunu gösterdi. Kanıt büyük bir ilerlemeye işaret ediyor ve denklemlerin daha genel versiyonu için sorunu tamamen çözmese de, böyle bir çözümün nihayet ulaşılabilir olduğuna dair umut veriyor. "Bu muhteşem bir sonuç" dedi Tristan BuckmasterMaryland Üniversitesi'nden bu çalışmaya dahil olmayan bir matematikçi. “Literatürde bu türden bir sonuç yok.”
Sadece bir yakalama var.
On yıllık bir araştırma programının sonucu olan 177 sayfalık kanıt, bilgisayarlardan önemli ölçüde yararlanıyor. Bu muhtemelen diğer matematikçilerin bunu doğrulamasını zorlaştırıyor. (Aslında pek çok uzman yeni çalışmanın doğru çıkacağına inansa da, hala bunu yapma sürecindeler.) Bu aynı zamanda onları bir "kanıt"ın ne olduğu ve ne işe yarayacağı hakkındaki felsefi soruları da hesaba katmaya zorluyor. Demek istediğim, ileriye yönelik bu kadar önemli soruları çözmenin tek geçerli yolu bilgisayarların yardımıyla mı?
Canavarı Görmek
Prensip olarak, eğer bir akışkandaki her bir parçacığın yerini ve hızını biliyorsanız, Euler denklemleri akışkanın her zaman için nasıl gelişeceğini tahmin edebilmelidir. Ancak matematikçiler durumun gerçekten böyle olup olmadığını bilmek istiyorlar. Belki bazı durumlarda denklemler beklendiği gibi ilerleyecek, herhangi bir andaki sıvının durumu için kesin değerler üretecek, ancak bu değerlerden yalnızca biri aniden sonsuza fırlayacak. Bu noktada Euler denklemlerinin bir "tekilliğe" yol açtığı ya da daha dramatik bir şekilde "patladığı" söyleniyor.
Bu tekilliğe ulaştıklarında denklemler artık sıvının akışını hesaplayamayacaktır. Ancak "birkaç yıl öncesinden itibaren insanların yapabildikleri, patlamayı kanıtlamaktan çok çok uzaktı" dedi. Charlie FeffermanPrinceton Üniversitesi'nden bir matematikçi.
Viskoziteye sahip bir sıvıyı modellemeye çalışıyorsanız (neredeyse tüm gerçek dünya sıvılarının yaptığı gibi) durum daha da karmaşık hale gelir. Clay Matematik Enstitüsü'nden bir milyon dolarlık Milenyum Ödülü, benzer başarısızlıkların viskoziteyi açıklayan Euler denklemlerinin bir genellemesi olan Navier-Stokes denklemlerinde de meydana gelip gelmediğini kanıtlayabilen herkesi bekliyor.
2013 olarak, Thomas HouKaliforniya Teknoloji Enstitüsü'nden bir matematikçi ve Guo LuoŞu anda Hong Kong'daki Hang Seng Üniversitesi'nde olan bilim adamı, Euler denklemlerinin tekilliğe yol açacağı bir senaryo önerdi. Üst yarısı saat yönünde dönerken alt yarısı saat yönünün tersine dönen bir silindirdeki sıvının bilgisayar simülasyonunu geliştirdiler. Simülasyonu çalıştırdıkça daha karmaşık akımlar yukarı ve aşağı hareket etmeye başladı. Bu da silindirin karşıt akışların buluştuğu sınırı boyunca garip davranışlara yol açtı. Sıvının dönme ölçüsü olan girdap o kadar hızlı büyüdü ki patlamaya hazır görünüyordu.
Hou ve Luo'nun çalışması düşündürücüydü ancak gerçek bir kanıt değildi. Çünkü bir bilgisayarın sonsuz değerleri hesaplaması imkansızdır. Bir tekillik görmeye çok yaklaşabilir ama gerçekte ona ulaşamaz; bu, çözümün çok doğru olabileceği anlamına gelir, ancak yine de bir yaklaşımdır. Matematiksel bir kanıtın desteği olmadan, simülasyonun bazı yapaylıkları nedeniyle girdabın değeri yalnızca sonsuza kadar artıyor gibi görünebilir. Çözümler tekrar azalmadan önce çok büyük sayılara ulaşabilir.
Bu tür tersine dönüşler daha önce de yaşanmıştı: Bir simülasyon, denklemlerdeki bir değerin patladığını gösteriyordu, ancak daha karmaşık hesaplama yöntemleri bunun aksini gösteriyordu. Fefferman, "Bu sorunlar o kadar hassas ki, yol daha önceki simülasyonların enkazlarıyla dolu" dedi. Aslında Hou bu alanda işe böyle başladı: Daha önceki sonuçlarının birçoğu varsayımsal tekilliklerin oluşumunu çürütüyordu.
Yine de o ve Luo çözümlerini yayınladıklarında çoğu matematikçi bunun büyük ihtimalle gerçek bir tekillik olduğunu düşünüyordu. "Çok titiz ve kesindi" dedi Vladimir SverakMinnesota Üniversitesi'nden bir matematikçi. "Bunun gerçek bir senaryo olduğunu kanıtlamak için gerçekten çok çaba harcadılar." Elgindi, Sverak ve diğerlerinin sonraki çalışmaları sadece bu inancı güçlendirdi.
Ancak kanıt bulmak zordu. Fefferman, "Canavarı gördün" dedi. “Sonra onu yakalamaya çalışırsın.” Bu, Hou ve Luo'nun çok dikkatli bir şekilde simüle ettiği yaklaşık çözümün, belirli bir matematiksel anlamda, denklemlerin kesin çözümüne çok ama çok yakın olduğunu göstermek anlamına geliyordu.
Şimdi, o ilk görüşten dokuz yıl sonra, Hou ve eski yüksek lisans öğrencisi Jiajie Chen sonunda yakındaki tekilliğin varlığını kanıtlamayı başardık.
Kendine Benzer Ülkeye Geçiş
Daha sonra Chen'in de katıldığı Hou, daha yakından analiz edildiğinde 2013'teki yaklaşık çözümün özel bir yapıya sahip olduğu gerçeğinden yararlandı. Denklemler zamanla geliştikçe, çözüm kendine benzer bir model olarak adlandırılan modeli ortaya çıkardı: Daha sonra şekli önceki şekline çok benziyordu, yalnızca belirli bir şekilde yeniden ölçeklendirilmişti.
Sonuç olarak matematikçilerin tekilliğin kendisine bakmaya çalışmasına gerek kalmadı. Bunun yerine, daha önceki bir noktaya odaklanarak dolaylı olarak inceleyebilirler. Çözümün bu kısmına (çözümün kendine benzeyen yapısına göre belirlenen) doğru oranda yakınlaşarak, tekilliğin kendisi de dahil olmak üzere daha sonra ne olacağını modelleyebilirler.
2013'teki patlama senaryosuna benzer bir analog bulmaları birkaç yıl sürdü. (Bu yılın başlarında Buckmaster'ın da aralarında bulunduğu başka bir matematikçi ekibi farklı yöntemler kullandı. benzer bir yaklaşık çözüm bulun. Şu anda bu çözümü, tekillik oluşumunun bağımsız bir kanıtını geliştirmek için kullanıyorlar.)
Ellerinde yaklaşık olarak kendine benzeyen bir çözüm varken, Hou ve Chen'in yakınlarda kesin bir çözüm olduğunu göstermesi gerekiyordu. Matematiksel olarak bu, onların yaklaşık kendine-benzer çözümlerinin kararlı olduğunu kanıtlamaya eşdeğerdir; onu hafifçe tedirgin etseniz ve sonra bu bozulmuş değerlerden başlayarak denklemleri geliştirseniz bile, çevredeki küçük bir mahalleden kaçmanın hiçbir yolu olmayacaktır. yaklaşık çözüm. Hou, "Bu bir kara delik gibi" dedi. "Yakın bir profille başlarsanız, içine çekilirsiniz."
Ancak genel bir stratejiye sahip olmak çözüme doğru yalnızca bir adımdı. Fefferman, "Telaşlı ayrıntılar önemlidir" dedi. Hou ve Chen sonraki birkaç yılı bu ayrıntılar üzerinde çalışırken, bir kez daha bilgisayarlara güvenmeleri gerektiğini anladılar; ama bu kez tamamen yeni bir yöntemle.
Hibrit Bir Yaklaşım
İlk zorlukları arasında kanıtlamaları gereken ifadeyi tam olarak bulmak vardı. Yaklaşık çözümlerine yakın herhangi bir değer kümesini alıp denklemlere yerleştirdikleri takdirde çıktının fazla sapmayacağını göstermek istediler. Peki bir girdinin yaklaşık çözüme "yakın" olması ne anlama gelir? Bunu matematiksel bir ifadeyle belirtmeleri gerekiyordu; ancak bu bağlamda mesafe kavramını tanımlamanın birçok yolu var. Kanıtlarının işe yaraması için doğru olanı seçmeleri gerekiyordu.
"Farklı fiziksel etkileri ölçmek zorunda" dedi Rafael de la LlaveGeorgia Teknoloji Enstitüsü'nden bir matematikçi. "Bu yüzden sorunun derinlemesine anlaşılması kullanılarak seçilmesi gerekiyor."
Hou ve Chen, "yakınlığı" tanımlamanın doğru yolunu bulduklarında, hem yeniden ölçeklendirilmiş denklemlerden hem de yaklaşık çözümden gelen terimleri içeren karmaşık bir eşitsizliğe indirgenen ifadeyi kanıtlamak zorundaydılar. Matematikçilerin tüm bu terimlerin değerlerinin çok küçük bir değerde dengelendiğinden emin olmaları gerekiyordu: Bir değer büyük çıkarsa, diğer değerlerin negatif olması veya kontrol altında tutulması gerekiyordu.
"Eğer bir şeyi biraz fazla büyük ya da biraz fazla küçük yaparsanız her şey bozulur" dedi. Javier Gómez-SerranoBrown Üniversitesi'nden bir matematikçi. “Yani bu çok ama çok dikkatli ve hassas bir iş.”
Elgindi, "Bu gerçekten şiddetli bir mücadele" diye ekledi.
Hou ve Chen, tüm bu farklı terimler için ihtiyaç duydukları sıkı sınırları elde etmek için eşitsizliği iki ana parçaya ayırdılar. Fransız matematikçi Gaspard Monge'nin Napolyon'un ordusu için tahkimatlar inşa etmek amacıyla toprağı taşımanın en uygun yolunu aradığı 18. yüzyıla kadar uzanan teknikler de dahil olmak üzere, ilk kısmı elle halledebilirlerdi. Fefferman, "Bunun gibi şeyler daha önce de yapılmıştı, ancak Hou ve Chen'in bunu bunun için kullanması dikkat çekiciydi" dedi.
Geriye eşitsizliğin ikinci kısmı kaldı. Bununla başa çıkmak bilgisayar yardımı gerektirecektir. Yeni başlayanlar için yapılması gereken o kadar çok hesaplama vardı ve o kadar çok hassasiyet gerekiyordu ki, "kalem ve kağıtla yapmanız gereken iş miktarı şaşırtıcı olurdu" dedi de la Llave. Çeşitli terimlerin dengelenmesini sağlamak için matematikçiler, bilgisayarlar için nispeten kolay ama insanlar için fazlasıyla zaman alan bir dizi optimizasyon problemini çözmek zorunda kaldılar. Bazı değerler aynı zamanda yaklaşık çözümdeki miktarlara da bağlıydı; bu bir bilgisayar kullanılarak hesaplandığından, bu ek hesaplamaları gerçekleştirmek için bir bilgisayar kullanmak daha kolaydı.
Gómez-Serrano, "Bu tahminlerden bazılarını manuel olarak yapmaya çalışırsanız, muhtemelen bir noktada abartacaksınız ve sonra kaybedeceksiniz" dedi. "Rakamlar o kadar küçük ve dar ki... ve marj inanılmaz derecede ince."
Ancak bilgisayarlar sonsuz sayıda rakamı işleyemediğinden, kaçınılmaz olarak küçük hatalar meydana gelir. Hou ve Chen'in, dengeleme işinin geri kalanına müdahale etmediğinden emin olmak için bu hataları dikkatle takip etmesi gerekiyordu.
Sonunda tüm terimlerin sınırlarını bulmayı başardılar ve ispatı tamamladılar: Denklemler gerçekten de bir tekillik üretmişti.
Bilgisayarla Kanıt
Daha karmaşık denklemlerin (silindirik sınırı olmayan Euler denklemleri ve Navier-Stokes denklemleri) bir tekillik geliştirip geliştiremeyeceği henüz açık değil. Hou, "Fakat [bu çalışma] en azından bana umut veriyor" dedi. "İleriye doğru bir yol görüyorum, hatta belki de sonunda Milenyum sorununun tamamını çözecek bir yol."
Bu arada Buckmaster ve Gómez-Serrano kendilerine ait bilgisayar destekli bir kanıt üzerinde çalışıyorlar; bu kanıtın daha genel olmasını ve dolayısıyla yalnızca Hou ve Chen'in çözdüğü sorunu değil, aynı zamanda diğer birçok sorunu da çözebileceğini umuyorlar.
Bu çabalar akışkanlar dinamiği alanında büyüyen bir trende işaret ediyor: önemli sorunları çözmek için bilgisayarların kullanılması.
"Matematiğin birçok farklı alanında bu durum giderek daha sık ortaya çıkıyor" dedi Susan FriedlanderGüney Kaliforniya Üniversitesi'nden bir matematikçi.
Ancak akışkanlar mekaniğinde bilgisayar destekli ispatlar hala nispeten yeni bir tekniktir. Aslında sıra tekillik oluşumuna ilişkin açıklamalara gelince, Hou ve Chen'in kanıtı türünün ilk örneği: Önceki bilgisayar destekli kanıtlar yalnızca bölgedeki oyuncak sorunlarının üstesinden gelebiliyordu.
Bu tür kanıtların "zevk meselesi" kadar tartışmalı olmadığı belirtildi Peter Konstantin Princeton Üniversitesi'nden. Matematikçiler genellikle bir kanıtın diğer matematikçileri bazı akıl yürütmelerin doğru olduğuna ikna etmesi gerektiği konusunda hemfikirdir. Ancak çoğu kişi bunun, yalnızca doğru olduğunun onaylanmasını sağlamaktan ziyade, belirli bir ifadenin neden doğru olduğuna dair anlayışlarını da geliştirmesi gerektiğini savunuyor. “Temel olarak yeni bir şey mi öğreniyoruz, yoksa sadece sorunun cevabını mı biliyoruz?” dedi Elgindi. "Eğer matematiği bir sanat olarak görüyorsanız, o zaman bu estetik açıdan pek hoş değildir."
“Bir bilgisayar yardımcı olabilir. Bu harika. Bana içgörü kazandırıyor. Ancak bu bana tam bir anlayış sağlamıyor," diye ekledi Constantin. “Anlamak bizden gelir.”
Elgindi ise hâlâ patlamanın alternatif bir kanıtını tamamen elle bulmayı umuyor. Hou ve Chen'in çalışmaları hakkında "Genel olarak bunun varlığından mutluyum" dedi. "Fakat bunu bilgisayara daha az bağımlı bir şekilde yapmaya çalışmak için daha çok bir motivasyon olarak görüyorum."
Diğer matematikçiler bilgisayarları, daha önce çözümü zor olan problemlere müdahale etmeyi mümkün kılacak hayati önem taşıyan yeni bir araç olarak görüyorlar. Chen, "Artık iş sadece kağıt ve kalemden ibaret değil" dedi. "Daha güçlü bir şey kullanma seçeneğiniz var."
Ona ve diğerlerine göre (kanıtları elle yazmak konusundaki kişisel tercihine rağmen Elgindi de dahil), akışkanlar dinamiğindeki büyük problemleri - yani giderek karmaşıklaşan denklemler içeren problemleri - çözmenin tek yolunun, güvenmek olabileceği iyi bir olasılık var. ağırlıklı olarak bilgisayar desteğine ihtiyaç duyulmaktadır. Fefferman, "Bana öyle geliyor ki, bilgisayar destekli kanıtları yoğun bir şekilde kullanmadan bunu yapmaya çalışmak, bir veya muhtemelen iki elinizi arkadan bağlamak gibi görünüyor" dedi.
Eğer durum böyle olursa ve "başka seçeneğiniz kalmazsa" dedi Elgindi, "o zaman benim gibi bunun idealin altında olduğunu söyleyen insanlar sessiz olmalı." Bu aynı zamanda daha fazla matematikçinin bilgisayar destekli ispatlar yazmak için gereken becerileri öğrenmeye başlaması gerektiği anlamına da geliyor; Hou ve Chen'in çalışmasının ilham vereceğini umuyoruz. Buckmaster, "Sanırım zamanlarının herhangi bir kısmını bu yaklaşıma ayırmadan önce birisinin böyle bir sorunu çözmesini bekleyen birçok insan vardı" dedi.
Bununla birlikte, matematikçilerin bilgisayarlara ne ölçüde güvenmeleri gerektiği konusundaki tartışmalara gelince, Gómez-Serrano "taraf seçmenize gerek yok" dedi. “[Hou ve Chen'in] kanıtı analiz olmadan işe yaramazdı ve kanıt da bilgisayar yardımı olmadan işe yaramazdı. … Bence asıl değer, insanların iki dili de konuşabilmesidir.”
Bununla birlikte de la Llave, "şehirde yeni bir oyun var" dedi.
