Olasılık ve Sayı Teorisi Bir Anda Çarpışıyor

Hırsları her zaman yüksekti. Will Sawin ve Melanie Matchett Wood, 2020 yazında ilk kez birlikte çalışmaya başladıklarında, sayı teorisindeki en cezbedici varsayımlardan bazılarının temel bileşenlerini yeniden düşünmeye koyuldular. Dikkat konuları olan sınıf grupları, sayılar tamsayıların ötesine uzatıldığında aritmetiğin nasıl çalıştığına ilişkin temel sorularla yakından ilişkilidir. testere, Columbia Üniversitesi'nde ve Ahşap, Harvard'da, sınıf grubundan daha genel ve matematiksel olarak korkutucu olan yapılar hakkında tahminler yapmak istedi.

Tahminlerini formüle etmeyi bitirmeden önce bile, Ekim ayında yeni sonuç bu, matematikçilerin olasılık teorisinin en yararlı araçlarından birini yalnızca sınıf gruplarına değil, aynı zamanda sayı koleksiyonlarına, ağlara ve diğer birçok matematiksel nesneye de uygulamalarını sağlar.

"Bu, herkesin bu sorunları düşünmeye başladığında başvuracağı temel belge olacak" dedi. David Zureick-Kahverengi, Emory Üniversitesi'nde bir matematikçi. "Artık bir şeyleri sıfırdan icat etmek zorundaymışsınız gibi hissetmiyorsunuz."

Sınıf Yasası

Bir sınıf grubu, grup adı verilen yapılandırılmış bir matematiksel küme örneğidir. Gruplar, tamsayılar gibi pek çok tanıdık küme içerir. Tamsayıları bir dizi sayı yerine bir grup yapan şey, elemanlarını toplayıp başka bir tamsayı elde edebilmenizdir. Genel olarak, bir küme, toplama gibi, bazı temel gereksinimleri karşılayacak şekilde iki öğeyi üçüncü bir öğede birleştiren bir işlemle gelirse gruptur. Örneğin, sıfırın bir versiyonu olmalı, diğerlerini değiştirmeyen bir eleman.

Matematikçilerin genellikle $latex mathbb{Z}$ olarak adlandırdıkları tamsayılar sonsuzdur. Ancak birçok grubun sonlu sayıda elemanı vardır. Örneğin, dört öğeli bir grup oluşturmak için {0, 1, 2, 3} kümesini ele alalım. Normal toplama yapmak yerine, herhangi iki sayının toplamını 4'e bölün ve kalanı alın. (Bu kurallara göre 2 + 2 = 0 ve 2 + 3 = 1.) Bu grup $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$ olarak adlandırılır.

Genel olarak, $latex n$ elemanları ile bir grup yapmak istiyorsanız, sayıları sıfırdan alabilirsiniz. n – 1 ve ile bölerken kalanı dikkate alın n. Ortaya çıkan grup $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ olarak adlandırılır, ancak bu her zaman tek grup değildir. n elemanları.

Sınıf grubu, sayı teorisyenleri tamsayıların ötesindeki sayıların yapısını araştırdığında ortaya çıkar. Bunu yapmak için tam sayılara yeni sayılar eklerler, örneğin i (−1'in karekökü), $latex sqrt{5}$, hatta $latex sqrt{–5}$.

“Sayılarla ilgili alıştığımız şeyler bu bağlamda artık doğru değil. Ya da en azından, mutlaka doğru değiller” dedi. Jordan Ellenberg, Madison, Wisconsin Üniversitesi'nde bir matematikçi.

Spesifik olarak, faktoring, tamsayıların uzantılarında farklı şekilde çalışır. Yalnızca tamsayılara bağlı kalırsanız, sayılar yalnızca tek bir şekilde asal sayılara (yalnızca kendilerine ve 1'e bölünebilen sayılar) ayrılabilir. Örneğin, 6, 2 × 3'tür ve diğer asal sayılara çarpanlarına ayrılamaz. Bu özelliğe benzersiz çarpanlara ayırma denir.

Ancak sayı sisteminize $latex sqrt{–5}$ eklerseniz, artık benzersiz çarpanlara ayırmanız olmaz. 6'yı asal sayılara iki farklı şekilde çarpanlarına ayırabilirsiniz. Hala 2 × 3 ama aynı zamanda $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Sınıf grupları, bu tür uzantılardan tamsayılara oluşturulur. Wood, "Sınıf grupları inanılmaz derecede önemli," dedi. "Ve bu yüzden merak etmek doğal: Genellikle nasıllar?"

Tamsayıların herhangi bir uzantısıyla ilişkili sınıf grubunun boyutu, benzersiz çarpanlara ayırmanın ne kadar bozulduğuna dair bir barometredir. Matematikçiler sınıf gruplarının her zaman sonlu olduğunu kanıtlasalar da yapılarını ve boyutlarını anlamak karmaşıktır. Bu yüzden 1984'te Henri Cohen ve Hendrik Lenstra bazı tahminlerde bulundu. Şimdi Cohen-Lenstra buluşsal yöntemi olarak adlandırılan varsayımları, tam sayılara yeni karekökler eklediğinizde ortaya çıkan tüm sınıf gruplarıyla ilgiliydi. Tüm bu sınıf grupları bir araya toplanırsa, Cohen ve Lenstra şu tür sorulara yanıtlar önerdi: Bunların ne kadarı $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ grubunu içeriyor? Veya $latex mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Veya bilinen başka bir sonlu grup türü?

Cohen ve Lenstra, sayı teorisyenlerini yalnızca izole edilmiş sınıf gruplarını değil, bir bütün olarak sınıf gruplarının altında yatan istatistikleri de dikkate almaya teşvik etti. Tahminleri, matematiğin her seviyede ortaya çıkarılacak kalıpları olan bir evren olduğu vizyonuna dokundu.

Neredeyse 40 yıl sonra, Cohen-Lenstra buluşsal yöntemlerinin doğru olduğuna inanılıyor, ancak kimse onları kanıtlamaya yaklaşamadı. Madison, Wisconsin Üniversitesi'nde fahri profesör olan Nigel Boston, matematik üzerindeki etkilerinin aşikar olduğunu söyledi. "Keşfedilen şey bu harika ağ," dedi. "Dünyanın bir araya getirildiğini düşündüğümüz şekilde devasa bir altyapı var."

Şehirdeki Tek Oyun

Buluşsal yöntemlerle doğrudan başa çıkamayan matematikçiler, duruma ışık tutacağını umdukları daha izlenebilir problemler buldular. Bu çalışmadan, matematikçilerin olasılık teorisinde kullanılan bir terimden sonra anları çağırmaya başladıkları kullanışlı bir nicelikler ortaya çıktı.

Olasılıkta anlar, rastgele sayıların ardındaki dağılımları çözmenize yardımcı olabilir. Örneğin, 1 Ocak'ta New York City'de günlük yüksek sıcaklığın dağılımını düşünün - gelecek yıl 1 Ocak'ta 10 Fahrenheit derece veya 40 derece veya 70 veya 120 olma ihtimali. geçmiş verilerle: kaydedilen tarihin başlangıcından bu yana her yıl 1 Ocak'ta günlük en yüksek tarihi.

Bu sıcaklıkların ortalamasını hesaplarsanız, biraz öğreneceksiniz ama her şeyi değil. Ortalama 40 derecelik yüksek bir sıcaklık, sıcaklığın 50 derecenin üzerinde veya 20 derecenin altında olma ihtimalini size söylemez.

Ancak size daha fazla bilgi verilirse bu durum değişir. Spesifik olarak, dağılımın ikinci anı olarak bilinen bir nicelik olan sıcaklığın karesinin ortalamasını öğrenebilirsiniz. (Ortalama birinci andır.) Veya üçüncü an olarak bilinen küplerin ortalamasını veya dördüncü kuvvetlerin ortalaması olan dördüncü anı öğrenebilirsiniz.

1920'lerde matematikçiler, eğer bu dizideki anlar yeterince yavaş büyüyorsa, o zaman tüm anları bilmenin, bu anlara yalnızca bir olası dağılımın sahip olduğu sonucuna varmanızı sağlayacağını anladılar. (Yine de bu, bu dağılımı doğrudan hesaplamanıza izin vermez.)

Wood, "Bu gerçekten mantıksız," dedi. "Sürekli bir dağılım düşünürseniz, bunun bir şekli vardır. Bir dizi sayıyla yakalanabilecek olandan daha fazlasına sahipmiş gibi hissettiriyor.”

Cohen-Lenstra buluşsal yöntemiyle ilgilenen matematikçiler, tıpkı olasılık teorisindeki anların bir olasılık dağılımı elde etmek için kullanılabildiği gibi, sınıf grupları için belirli bir şekilde tanımlanan momentlerin, boyutlarını ve yapılarını görebileceğimiz bir mercek olabileceğini anladılar. . Toronto Üniversitesi'nden bir matematikçi olan Jacob Tsimerman, sınıf gruplarının dağılımının doğrudan nasıl hesaplanabileceğini hayal edemediğini söyledi. Anları kullanmanın "kolay olmaktan çok daha fazlası" olduğunu söyledi. Kasabadaki tek oyun bu.”

Bu Büyülü An

Olasılığın her anı bir tamsayı ile ilişkilendirilirken - üçüncü kuvvet, dördüncü kuvvet vb. - sayı teorisyenleri tarafından getirilen yeni niceliklerin her biri bir gruba karşılık gelir. Bu yeni anlar, farklı öğeleri bir araya getirerek bir grubu daha küçük bir gruba indirgeyebileceğiniz gerçeğine bağlıdır.

Bir grupla ilişkili anı hesaplamak için G, tamsayılara eklediğiniz her yeni karekök için bir tane olmak üzere tüm olası sınıf gruplarını alın. Her sınıf grubunu, içine daraltabileceğiniz farklı yolların sayısını sayın. G. Ardından, bu sayıların ortalamasını alın. Bu süreç dolambaçlı görünebilir, ancak üzerinde çalışmak Cohen ve Lenstra'nın tahminlerinin ardındaki gerçek dağılımdan çok daha kolaydır. Cohen-Lenstra buluşsal yöntemlerinin ifade edilmesi karmaşık olsa da, tahmin ettikleri dağılım anlarının tümü 1'dir.

Ellenberg, "Bu, vay canına, belki de anlar buna yaklaşmanın doğal yolu" diye düşündürüyor. "Bir şeyin 1'e eşit olduğunu kanıtlayabilmek, onun çılgın bir sonsuz çarpıma eşit olduğunu kanıtlamaktan daha inandırıcı görünüyor."

Matematikçiler gruplar (sınıf grupları veya başka türlü) üzerindeki dağılımları incelediklerinde her grup için bir denklem bulurlar. G, şimdi olasılıklar örneğin $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$ gibi görünen sınıf gruplarının oranını temsil ediyor. Sonsuz sayıda denklem ve sonsuz sayıda olası sınıf grubuyla, olasılıkları çözmek zordur. Bunu yapmanın mantıklı olduğu bile açık değil.

Wood, "Sonsuz meblağlarınız olduğunda işler ters gidebilir," dedi.

Yine de, dağılımları incelemek için başka yollar bulamayan matematikçiler, moment problemine geri dönmeye devam ettiler. dergisinde yayınlanan çalışmada Matematik Yıllıkları 2016'da Ellenberg, Akshay Venkatesh ve Craig Westerland ile birlikte, kullanılan anlar sınıf gruplarının istatistiklerini Cohen ve Lenstra'nın düşündüğünden biraz farklı bir ortamda incelemek. Bu fikir yeniden kullanmak birkaç zamanlar. Ancak araştırmacılar anları her kullandıklarında, sonsuz denklem kümesinin bir çözümü olduğunu kanıtlamak için kendi özel problemlerinin tuhaflıklarına yaslanırlardı. Bu, tekniklerinin aktarılamaz olduğu anlamına geliyordu. Momentleri kullanması gereken bir sonraki matematikçi, moment problemini baştan çözmek zorunda kalacaktı.

İşbirliğinin başlangıcında, Sawin ve Wood da bu rotayı izlemeyi planladılar. Sınıf gruplarının daha karmaşık sürümlerinin nasıl dağıtıldığı hakkında tahminlerde bulunmak için anları kullanırlardı. Ancak projelerinin yaklaşık bir yılında, odaklarını anlık problemin kendisine çevirdiler.

yoldan çıkmak

Meslektaşlar, Sawin ve Wood'u işlerine alışılmadık derecede tutkulu olarak tanımlıyor. "İkisi de çok akıllı. Ama çok fazla akıllı insan var," dedi Zureick-Brown. "Matematik yapmaya karşı bu olumlu tavırları var."

Başlangıçta, Sawin ve Wood anları Cohen-Lenstra tahminlerini yeni ayarlara genişletmek için kullanmak istediler. Ancak kısa süre sonra ikinci sorun tartışmalarından memnun kalmadılar. Sawin, "Benzer argümanları tekrar tekrar yazma ihtiyacı duyduk," diye hatırladı. Ayrıca, kullandıkları matematiksel dilin "argümanın özüne inmiyor gibi göründüğünü" de sözlerine ekledi... Fikirler oradaydı ama biz onları ifade etmenin doğru yolunu bulamamıştık.

Sawin ve Wood, tüm bunların altında gerçekten ne olduğunu anlamaya çalışarak kanıtlarının derinliklerine indiler. Moment problemini sadece kendi özel uygulamaları için değil, grupların herhangi bir dağılımı ve diğer her tür matematiksel yapı için çözen bir ispatla sonuçlandılar.

Problemi küçük, yönetilebilir adımlara bölerler. Tüm olasılık dağılımını tek seferde çözmeye çalışmak yerine, anların yalnızca küçük bir dilimine odaklandılar.

Örneğin, gruplar üzerinde bir olasılık dağılımı için moment problemini çözmek için, her an bir grupla ilişkilendirilecektir. G. İlk başta, Sawin ve Wood, sınırlı bir grup listesi için yalnızca anları içeren bir denklem sistemine bakarlardı.. Ardından, her seferinde daha fazla ana bakarak yavaş yavaş grupları listeye eklerlerdi. Problemi kademeli olarak daha karmaşık hale getirerek, her adımı çözülebilir bir problem haline getirdiler. Yavaş yavaş, anlık problemin tam bir çözümünü oluşturdular.

Wood, "Bu sabit liste, taktığınız gözlükler gibidir ve ne kadar çok grubu dikkate almaya istekli olursanız, gözlükleriniz o kadar iyidir," diye açıkladı Wood.

Sonunda konu dışı ayrıntıların sonuncusunu da temizlediklerinde, kendilerini, dalları matematiğin ötesine uzanan bir tartışmanın içinde buldular. Sonuçları, sınıf grupları, geometrik şekillerle ilişkili gruplar, nokta ve çizgi ağları ve daha matematiksel karmaşıklığa sahip diğer kümeler için işe yaradı. Tüm bu durumlarda, Sawin ve Wood bir dizi anı alan ve bu anları içeren dağılımı ortaya çıkaran bir formül buldu (diğer gereksinimlerin yanı sıra anlar çok hızlı büyümediği sürece).

Ellenberg, "Melanie'nin tarzına çok benziyor," dedi. "'Birçok farklı durumu birörnek ve zarif bir şekilde ele alan çok genel bir teoremi kanıtlayalım' gibi olmak."

Sawin ve Wood şimdi orijinal hedeflerine geri dönüyorlar. Ocak ayı başlarında paylaştılar Yeni bir kağıt bu düzeltir hatalı Cohen-Lenstra tahminleri 1980'lerin sonunda Cohen ve meslektaşı Jacques Martinet tarafından yapılmıştır. Bunun ötesinde, heuristikleri daha da yeni durumlara genişletme planları ile kuyruklarında daha fazla sonuç var. Sawin, "Bu projenin bitip bitmeyeceğini bilmiyorum," dedi.

Tsimerman, Sawin ve Wood'un çözdüğü ikinci problemin "birçok farklı soru nedeniyle kafanızın arkasında bir tür diken" olduğunu söyledi. "Birçok matematikçinin rahat bir nefes alacağını düşünüyorum."