Zor Matematiksel Döşemenin Kısa Tarihi | Quanta Dergisi

Her gün tekrar eden motiflerin örneklerini görüyoruz. Bu simetri ve düzenlilik, bina duvarlarındaki tuğlalarda veya peteklerdeki altıgen desenlerde olduğu gibi sıradan ve neredeyse görünmez görünebilir. Ya da İspanya'nın Alhambra'sındaki zarif çini işçiliği ya da MC Escher'in yaratıcı çizimleri gibi bir şeyle karşılaşacak kadar şanslıysak, desenler bize ilham verebilir ve bizi şaşırtabilir.

Yüzyıllardır matematikçiler bu tekrarlanan şekillerle oynamış, onlardan büyüleyici içgörüler ve yeni olasılıklar elde etmişlerdir. Matematiğin güzelliği tasarımların güzelliğine rakip oluyor.

En basit döşemeler, kenarları eşit uzunlukta ve açıları eşit ölçülerde olan ve tam kenardan tam kenara birleştirilen özdeş çokgenlerden yapılır. Ancak bu "düzenli" çokgenlerden sonsuz sayıda olmasına rağmen - her kenar sayısı için bir tane - üç, dört veya altı kenarlı şekillerden (yani üçgenler, kareler ve altıgenler) oluşan yalnızca üç düzenli döşeme vardır.

Diğer şekiller bunun için tasarlanmamıştır. Normal bir beşgen (beş kenarlı) 108 derecelik bir iç açıya sahiptir. Bu, 360 dereceye eşit bir şekilde bölünmez, bu nedenle normal beşgenleri bir döşemede birleştirmeye yönelik herhangi bir girişim, doldurulamayacak boşluklar yaratması kaçınılmazdır; düzgün beşgenin düzlemi döşeyemeyeceğini söylüyoruz. Ve altıdan fazla kenarı olan normal çokgenlerin iç açıları üçünün tek bir noktada buluşamayacağı kadar büyüktür ve bu nedenle ikisi de olamaz.

Düzenli çokgenlerle döşeme konusunda bir başka yaklaşım, bugün en çok gezegen hareketi hakkındaki keşifleriyle tanınan Johannes Kepler'den geliyor. 1619'da, birden fazla normal çokgen kullansanız bile, her köşe etrafındaki konfigürasyonun aynı olduğu yalnızca sekiz yeni döşeme deseni oluşturabileceğinizi gösterdi. (Bu kısıtlamanın dışına çıkmamıza izin verilirse daha fazla olasılık vardır.)

Düzensiz çokgenlere izin verdiğimizde işler daha da ilginçleşiyor. Şaşırtıcı bir şekilde, her üçgen düzlemi döşeyebilir ve daha da şaşırtıcı şekilde her dörtgen de aynısını yapabilir.

Öte yandan, düzlemi altıdan fazla kenarı olan herhangi bir dışbükey çokgenle döşemek imkansızdır; iç açıların toplamı çok büyük. Böylece geriye sadece beşgenler ve altıgenler kalıyor.

Karl Reinhardt, 1918'deki doktora tezinde, üç aileye gruplandırdığı sonsuz sayıda dışbükey altıgen (girintisiz olanlar) ile düzlemi döşemenin mümkün olduğunu kanıtladı.

Düzlemi döşeyen dışbükey beşgenlerin sınıflandırılması daha zordu. Reinhardt bu tür beşgenlerin beş ailesini keşfetti; 50 yıl sonra Richard Kershner üç tane daha buldu. Daha sonra 1975'te Martin Gardner bu problem hakkında şunları yazdı: Scientific Americanhem profesyonel hem de amatör matematikçilerin dikkatine sunuyor. Böyle bir amatör, Richard James III adında bir bilgisayar programcısı, Gardner'a dokuzuncu aile örneğini göndererek şu soruyu sordu: "Kershner'in bunu kaçırdığına katılıyor musunuz?" O vardı.

Ev hanımı Marjorie Rice da Gardner'ın köşe yazısını okudu ve mutfak masasındaki sorunu çözmeye başladı. İki yıldan fazla bir süre uğraştı ve keşfetti dört aile daha beşgenlerin döşenmesi.

Araştırmacılar 14 yılında döşeme beşgenlerinin 1985. ailesini buldular ve otuz yıl sonra başka bir ekip bilgisayar araması kullanarak 15. aileyi buldu. Bu keşfin listeyi tamamlayıp tamamlamadığını ya da hâlâ saklanan başka ailelerin olup olmadığını kimse bilmiyordu. Bu soru 2017 yılında Michaël Rao'nun yanıtını aldığında yanıtlandı. kanıtladı tüm dışbükey döşeme beşgenlerinin ve onlarla birlikte tüm dışbükey döşeme çokgenlerinin bulunduğunu söyledi.

Bütün bu döşemeler tekrarlanıyor. Yani, periyodik bir simetriye sahiptirler; bu da temel olarak, döşemeyi bir kağıt parçası üzerinde izleyip bu kağıdı belirli yönlere kaydırırsak, döşemeyle tekrar tam olarak aynı hizada olacağı anlamına gelir.

Başka tür simetriler de mümkündür. Örneğin ayna simetrisi, aydınger kağıdımızı sabit bir çizgi etrafında ters çevirdiğimizde desenlerimizin aynı hizada olacağı anlamına gelir. Dönme simetrisi, kağıdımızı döndürürsek sıralanacakları anlamına gelir. Ve bir kayma yansıma simetrisi elde etmek için eylemleri birleştirebiliriz; bu, kağıdı kaydırıp sonra ters çevirmeye benzer.

1891'de Rus kristalograf Evgraf Fedorov, bu simetrilerin birleştirilebilmesinin yalnızca 17 yolu olduğunu kanıtladı. Bu kısıtlama uçağın tüm periyodik dekorasyonları için geçerli olduğundan bunlara yaygın olarak 17 "duvar kağıdı grubu" adı verilir.

Simetri desenlerinin bu sınıflandırmasına aşina olunduğunda, ne kadar karmaşık olursa olsun periyodik bir tasarımı görmek ve onu çözülmesi gereken bir bilmece olarak görmemek neredeyse imkansızdır: Tam olarak nerede ve nasıl tekrarlanıyor? Peki bu simetriler nerede?

Elbette her döşeme tasarımı dönemsel değildir. Ortaya çıkan tasarımın asla tekrarlanmaması için fayansları düzleme yerleştirmek mümkündür ve genellikle kolaydır. Altıgen, kare ve üçgenlerden oluşan örneğimizde bunu, tek bir altıgeni ve onu çevreleyen çokgenleri 30 derece döndürerek yapabilirsiniz. Ortaya çıkan döşeme artık öteleme simetrilerine sahip değil.

1961'de mantıkçı Hao Wang, eğer bir dizi şekil düzlemi döşerse, şekillerin de düzlemi periyodik olarak döşeyebilmesi gerektiğini tahmin etti. Sadece birkaç yıl sonra, yüksek lisans öğrencisi Robert Berger, uçağı döşeyen 20,000'den fazla fayanstan oluşan, ancak periyodik olmayan devasa bir set keşfederek onun yanıldığını kanıtladı. Bu tür karo setlerine periyodik olmayan denir.

Berger ve diğerleri bu periyodik olmayan setlerin boyutunu önemli ölçüde azaltmayı başarmış olsalar da, 1970'lerin ortalarında Roger Penrose kendi periyodik olmayan karolarının çok küçük setlerini keşfederek dünyanın dikkatini çekti. En küçük setler yalnızca iki karo gerektirir.

Bu şekiller ve desenler matematikçileri, bilim adamlarını ve kamuoyunu büyüledi. Ancak bir sonraki soruyu da gündeme getirdiler: Periyodik olmayan tek bir parça var mı? Döşeme teorisinin nihai arayışı artık böyle bir "einstein" döşemesini bulmaktı; adı fizikçinin isminden değil, Almanca "tek taş" ifadesinden geliyor.

2010 yılında Joshua Socolar ve Joan Taylor Einstein'ı keşfetmeye çok yaklaştılar. Yaklaşımlarındaki sorun şuydu: döşemelerinin bağlantısının kesilmesi gerekiyordu; bu, uçağı Kaliforniya gibi bağlantılı şekiller yerine, ayrı bölgelerden oluşan tek bir varlık olan Hawai'i eyaleti gibi şekillerle döşemeye benzer. Matematikçiler, eğer bir Einstein varsa, bunun geometrik açıdan çok karmaşık bir şey olması gerektiğinden giderek daha fazla şüpheleniyorlardı.

Mart 2023'te bir amatör yine dünyayı şok etti. Emekli bir baskı teknisyeni ve matematik hobisi olan David Smith, yalnızca periyodik olmayan bir monotil değil, aynı zamanda sonsuz bir aile bu bulunması zor einstein'lardan. Bilgisayar bilimi, matematik ve döşeme teorisi alanında uzman olan Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss ve Joseph Samuel Myers'tan yararlandı ve birlikte şapka döşemesi adı verilen geometrik olarak basit bir einstein (internet bunu bir tişört gibi düşündü) sundular. ).

Tepki hızlı ve olumluydu. Kaşifler konferanslarda konuştu ve çevrimiçi konuşmalar yaptı. Matematik sanatçıları, bu yeni geometrik açıdan ilginç döşemelere dayanarak Escher benzeri tasarımlar üretmenin yaratıcı yollarını bulma şansını değerlendirdiler. Şapka kiremit bir gece geç saatlerde yapılan televizyon programının monologunda bile yer aldı.

Ancak hala geliştirilebilecek yerler vardı. Uçağı şapkayla döşemek için, döşemelerin yaklaşık yedide birini baş aşağı çevirmeniz gerekir. Banyosunu şapka fayansıyla döşemek isteyen bir ev sahibinin iki tür fayans satın alması gerekir: standart bir fayans ve onun ayna görüntüsü. Bu gerçekten gerekli miydi?

Şapka kiremitinin heyecanı bitmeden ekip bir duyuru daha yaptı. Smith, periyodik olmayan monotillerin sonsuz ailesinde, yansımalı kopyalara ihtiyaç duymadan düzlemi döşeyebilen, "hayalet" adını verdiği bir tane bulmuştu. Nihayet gerçek bir Einstein ortaya çıkmıştı.

Artık döşemelerin ve mozaiklemelerin matematiksel keşfinde yeniden canlanmanın ortasındayız. Amatörlerden gelen önemli katkılara güvenmiş, matematik sanatçılarının yaratıcılığına ilham vermiş ve bilginin sınırlarını ileriye taşımak için bilgisayarların gücünden yararlanmıştır. Ve bundan simetrinin, geometrinin ve tasarımın doğasına dair yeni anlayışlar elde ettik.

Düzeltme: 30 Ekim 2023
Bu makalenin orijinal versiyonu, bir düzlemi altıdan fazla kenarlı herhangi bir çokgenle döşemenin imkansız olduğunu belirtiyordu. Bu yalnızca çokgen dışbükey olduğunda doğrudur.

Kuantum izleyicilerimize daha iyi hizmet verebilmek için bir dizi anket yürütüyor. Bizimkini al matematik okuyucu anketi ve ücretsiz kazanmak için girileceksiniz Kuantum ek ürün.