nen son bulmaca paketi Tarihsel olarak ticaret ve hükümet, sanat ve bilimin bir sembolü olan mütevazi çift kefeli teraziye sahipti. Denge ölçekleri, eğlence amaçlı matematikte de popülerdir. Denge bulmacaları açık ve mantıklı bir akıl yürütme gerektirir ve matematiksel genellemeye çok uygundur. bakalım nasıl Kuantum okuyucular bu nitelikleri aşağıdaki bulmacalarda dengeledi.
1 Yapboz
Sekiz özdeş görünümlü madeni paranız var. Biri sahte ve aynı ağırlıktaki diğerlerinden daha hafif. Kötü parayı iki tartıda bulun. Sahtesini bulabileceğiniz maksimum madeni para sayısı için genel formülü bulun. x tartımlar.
Bir problemin basit bir versiyonunu ele almak çoğu zaman çözümün anahtarını ortaya çıkarır. Bu durumda, biri diğer ikisinden daha hafif olan sadece üç jetonunuz olduğunu hayal edin. Birini diğer ikisine karşı tartarsan ya dengede kalırlar ya da olmazlar. Eğer yapmazlarsa, hangisinin daha hafif olduğunu bilirsiniz. Dengeyi sağlarlarsa, üçüncüsü hafif olandır. Sadece tek bir tartıya ihtiyacınız var.
Bu nedenle, bu bulmacada, ilk tartımda hafif madeni para içeren üçlü (veya daha az) bir grubu ayırabilirseniz, yalnızca bir tartmaya daha ihtiyacınız olacaktır. Bunu, herhangi bir üçünü diğer üçüne karşı dengeleyerek yapabilirsiniz. Eğer iki grup dengesiz ise, hafif olanı içeren grubu buldunuz ve ikinci tartım için yukarıdaki gibi ilerleyebilirsiniz. Dengelerse, kalan iki madeni parayı birbirine karşı tartın ve hafif olanı bulacaksınız.
Bunun tartılmamış grupta üç tane varsa da işe yaradığına dikkat edin, bu yüzden dokuz jetonla başlayabilirdik. Bu mantığı takip ederek ve üç madeni para ile başlayarak, her ek tartım için hafif madeni parayı daha önce sahip olduğumuz madeni para sayısının üç katı olarak bulabiliriz. Bize maksimum jeton sayısını veren formül n in w ağırlıklar bu nedenle n = 3w.
2 Yapboz
12 tane aynı görünümlü madeni paranız var. Biri, aynı ağırlıklara sahip diğerlerinden daha ağır veya daha hafiftir.
-
Üç tartıda bozuk parayı bulun.
-
Dört tartıda kötü olanı bulabileceğiniz maksimum madeni para sayısı nedir? Sahte parayı nasıl bulacağınızı açıklayın.
Bu bulmacanın çözümü tarafından iyi tanımlanmıştır. Ted, ayrıca üç tartıda 13 madeni para arasından kötü madeni parayı gerçekten tespit edebileceğinizi gösterdi. İşte Ted'in çözümü (her durumda üç ağırlığı ayırmak için girintilerle birlikte):
4 jeton vs 4 jeton tartarak başlayın.
Durum 1: Dengesizse, ikinci tartım için, ağır tarafın 2'erini tartının her iki tarafına ve 1'er hafif tarafını koyun.
1a: Dengesizse, bozuk para ya hala ağır tarafta olan 2 jeton ya da hala hafif tarafta olan tek jetondur.
Olası 2 ağır madeni parayı tartın, kötü olan ya ikisinden daha ağır olan ya da dengeli ise tek hafif olandır.
1b: İkinci tartım dengeli ise, bozuk para, ilk tartımın hafif tarafından kullanılmayan 2 paradan biridir.
Birbirlerine karşı tartın, hafif olan kötüdür.
Durum 2: Dengeliyse, bozuk para kalan 5 paradan biridir. Bunların 3'ünü önceden tartılmış (iyi olduğu bilinen) herhangi bir 3'e karşı tartın.
Durum 2a: Dengesizse, bozuk paranın bu 3'ten biri olduğunu ve hafif mi yoksa ağır mı olduğunu bilirsiniz.
Üçüncü tartım, birbirine karşı herhangi 2'sidir - dengesizse, bu kötü madeni parayı tanımlar, dengeliyse üçün sonuncusudur.
Durum 2b: İkinci tartım dengeliyse, bozuk para kalan 2'den biridir.
İkisinden birini bilinen iyi bir madeni paraya karşı tartın. Bu sonuç dengesizse, bu yeni madeni para kötüdür ve ağır mı hafif mi olduğunu bilirsiniz. Bu sonuç dengeliyse, 13. jeton kötü, ancak ağır mı yoksa hafif mi olduğu bilinmiyor (ki bunu bilmemize gerek yok, bu yüzden işimiz bitti).
Ted ayrıca dört tartım için maksimum madeni para sayısının 40 olduğunu göstermeye devam etti. Bu bulmacanın formülü: n = (3w - 1)/2.
Kalan bulmacalar için, genelleştirilmiş formüller hala profesyonel matematikçiler tarafından araştırılmaktadır ve bazıları tarafından alıntılanan yayınlanmış makalelerin konusudur. Rainer aus dem Bahar. Bulmacalarda ele aldığımız az sayıdaki madeni paralar için çözümlerle yetineceğim ve sadece bu durumlarda kullanılan yöntemlerden doğal olarak çıkan genellemelerden bahsedeceğim.
3 Yapboz
Bu, bulmaca 1'in bir çeşididir. Yine, biri diğerlerinden daha hafif olan, aynı görünümlü sekiz jetonunuz var. Ancak, şimdi üç skalanız var. Ölçeklerden ikisi çalışıyor, ancak üçüncüsü bozuk ve rastgele sonuçlar veriyor (bazen doğru bazen yanlış). Hangi terazinin kırıldığını bilmiyorsun. Hafif madeni parayı bulmak için kaç tartım gerekir?
Problem 1'de gördüğümüz gibi, bu iyi bir denge ile sadece iki tartım gerektirir. Ayrıca iki iyi terazinin her zaman aynı fikirde olacağını da biliyoruz, bu nedenle her bir tartımı üç terazide de tekrarlarsak, bir okuyucunun önerdiği gibi altı tartıda cevabı alacağız. Daha az sayıda tartıda yapmaya çalışırsak, biraz zorlaşır. Sadece aynı madeni paraları iki terazide tartarak iyi bir terazi belirleyemeyiz, çünkü anlaşsalar bile ikisinden biri yine de kötü bir terazi olabilir. (Bu aynı zamanda yanlış bilgilerin veya rastgele bilgilerin gerçeği ne kadar kolay gizleyebileceğini de gösterir.)
Aslında, bu problem çok akıllıca, sadece dört tartımla çözülebilir! Rainer aus dem Bahar çözümü, bu bulmaca için yaratılmış gibi görünen yeni bir notasyon kullanarak yayınladı. Ama oraya gitmeden önce, işleri daha sezgisel hale getireceğini umduğum bir senaryo hayal etmenizi istiyorum.
Arabalarının sadece 0, 1 ve 2 rakamlarını kullanan iki basamaklı plakaları olan küçük bir ülkede vur-kaç olayını araştıran bir dedektif olduğunuzu hayal edin. A, B ve C adlı üç kişi olayı gözlemledi. İkisi her zaman üç seçenekli bir soruyu doğru cevaplar ve biri tamamen rastgele cevaplar verir. Rastgele cevap verenin kim olduğunu bilmiyorsunuz. Daha fazla bilgi almak için her birine üç seçenekli tek bir soru sormanız ve ardından kesinlikle doğruyu söyleyeni seçmeniz gerekiyor.
İşte bunu nasıl yapacağınız. A'ya ilk hane 0, 1 veya 2 olup olmadığını sorun. A'nın 2 olduğunu varsayalım. B'ye ikinci hanenin 0, 1 veya 2 olup olmadığını sorun. Diyelim ki B 1 diyor. Sonra C'den bu üç ifade arasında bir seçim yapmasını isteyin:
- Sadece A doğruyu söylüyor.
- Sadece B doğruyu söylüyor.
- İkisi de doğruyu söylüyor.
C'nin size söylediğine inanabilir ve o kişiyi diğer rakam hakkında sorgulayabilirsiniz. Nedenini anlamak için, eğer A yalan söylüyorsa, C'nin güvenilir olduğunu ve B'nin doğruyu söylediğini söyleyeceğini düşünün. İkinci basamak aslında 1 olacaktır ve daha sonra B'yi ilk basamak hakkında sorgulayabilirsiniz. Benzer şekilde, B yalan söylüyorsa, C yine güvenilirdir ve A'nın doğruyu söylediğini söyleyecektir. O zaman ilk rakam aslında 2'dir ve A'yı ikinci rakam hakkında sorgulayabilirsiniz. Son olarak, eğer C yalan söylüyorsa, o zaman hem A hem de B güvenilirdir, yani yine de C'nin söylediğine inanabilir ve onu seçebilirsiniz. (Ve eğer C, hem A hem de B'nin doğruyu söylediğini söylüyorsa, o zaman ikisi de olmalıdır.) Buradaki anahtar nokta, soru seçiminizin, C'nin hem A hem de B üzerinde şüphe uyandıracak şekilde yalan söylemesine izin vermemesidir. A ve B'den en az birinin güvenilir olması gerektiğinden, rastgele bir cevap olsa bile, her zaman C'nin kabul ettiği birini seçebilirsiniz. Üçü de aynı fikirdeyse, zaten plakanın iki hanesine de sahipsiniz.
İşte bu hikayeyi bulmacamıza nasıl çevireceğimiz. Ölçekler A, B ve C'dir. Plakanın iki hanesini madeni paralara şu şekilde çevirebilirsiniz: 01 madeni para 1, 02 madeni para 2, 10 madeni para 3, 11 madeni para 4, 12 madeni para 5, 20 madeni para 6, 21 madeni para 7 ve 22 madeni para 8. Zeki okuyucular bunun temel 3 (veya üçlü) sayı sistemi olduğunu anlayacaklardır. Ayrıca, bulmaca 00'de olduğu gibi, bu tekniğin de çalışacağı dokuzuncu bir madeni para için kullanabileceğiniz ek bir olası 1 sayısı olduğunu unutmayın.
İlk tartım için, madeni paraları ilk (3. taban) hanesine bölersiniz, böylece üç grubunuz madeni paralar [1, 2], [3, 4, 5] ve [6, 7, 8] olacaktır. A ölçeğinde [3, 4, 5] ile [6, 7, 8] tartın. A iyi çalışıyorsa, bulmaca 1'deki gibi doğru ilk rakam grubuna sahip olacaksınız. Benzer şekilde, B ölçeğinde ikinci tartım için gruplarınız. aynı ikinci haneye sahip olanlar olacaktır: [1, 4, 7], [2, 5, 8] ve [3, 6]. B iyi çalışıyorsa, doğru ikinci basamağa sahip olacaksınız. Üçüncü tartım için, C ölçeğinde, A'nın tanımladığı grubu B'nin yaptığı gruba karşı tartarsınız. Örneğimizi takip ederek, 21 için gruplar [6, 7, 8] ve [1, 4, 7] olacaktır. Madeni para 7 aynı anda her iki tarafa da konamaz, bu yüzden onu dışarıda bırakıp [6, 8] ve [1, 4] birbirine karşı tartıyoruz. A ve B'nin her ikisi de güvenilirse, o zaman 7'nin aslında doğru cevap olduğuna ve C üzerinde hangi tarafın daha hafif olduğunun bir önemi olmadığına dikkat edin. Şans eseri C üzerindeki ağırlık dengeliyse, o zaman üç terazi de aynı fikirdedir ve cevabınız (madeni para 7) sadece üç tartımla var. A güvenilir ve B güvenilir değilse, daha hafif olan madeni para [6, 8]'dedir, bu C ölçeğini doğrular ve B güvenilir ve A güvenilir değilse, daha hafif madeni para [1, 4]'tedir, bu da C ölçeğindedir. da onaylayacaktır.
Böylece üç tartıda ya hafif madeni parayı belirledik ya da iki kişilik bir gruba indirdik ve ayrıca bir çalışma ölçeği belirledik. A ölçeğinde veya B ölçeğinde (hangisi C ölçeğinde kabul edilirse) dördüncü tartım gerisini halleder.
Bu çözüm bana inanılmaz derecede güzel geliyor!
Bu yöntem, 3 arasında hafif madeni parayı bulmak için genelleştirilebilir.2x 3'te madeni paralarx Verilen terazi seti ile + 1 tartım. Bu nedenle, 81 jeton için yedi tartıya ihtiyacınız var. Daha fazla sayıda jeton (>~1,000) için, daha da güçlü bir çözüm var.
4 Yapboz
Sekizi ağır ve aynı ağırlıkta olan 16 jetonunuz var. Diğer sekizi hafif ve aynı ağırlıkta. Hangi madeni paraların ağır veya hafif olduğunu bilemezsiniz. Madeni paralar, özel işaretlere sahip olanlar dışında aynı görünüyor. İyi bir teraziyle, özel madeni paranın hafif mi ağır mı olduğunu üç tartımla anlayabilir misiniz? Dört tartıda bu sorunu başarıyla çözebileceğiniz maksimum jeton sayısı nedir?
İlk bakışta, okuyucularımızdan birinin sonucuna vardığı gibi, bu bulmacayı üç tartıda yapmak neredeyse imkansız görünüyor. Yine de, biraz akıllıca yapılabilir ve her ikisi de Ted ve Rainer aus dem Bahar doğru çözümler sağladı. Ted, dikkat etmeye değer bazı paha biçilmez genel ilkeler sağladı.
Öncelikle tartımdan dengesiz bir sonuç elde edene kadar, özel madeni paranın ağır mı yoksa hafif mi olduğunu belirlemek için yeterli bilgiye sahip olmayacaksınız. Bu yüzden dengesiz bir sonucu denemek ve zorlamak zorundasınız.
İkinci olarak, eğer dengeli bir sonuç alırsanız (örneğin, özel A jetonunun B jetonunu dengeler) dengelenmiş madeni paraları birleştirebilir ve onları iki jeton daha, C ve D ile tartabilirsiniz. Dengesizlerse, cevabınız var; aksi takdirde, benzer jeton sayısını iki katına çıkardınız, bu da bir sonraki tartımda dengesiz bir cevap almanıza yardımcı olabilir. Aşağıdaki çözümde görüldüğü gibi başlangıçta dengesiz bir sonucunuz varsa, iki katı (4, 8 vb.) olan jeton sayılarıyla bu işlemi tersten de yapabilirsiniz.
Aşağıda, her durumda özel A madeni paranın türünü üç tartımda tanımlayabilen tüm prosedür bulunmaktadır. (B, C ve D, 1 (W1) ağırlığında A ile aynı tarafa yerleştirilmiş üç madeni paradır; X ve Y, W1'de kullanılmayan iki madeni paradır.)
Bu bulmaca Rus matematikçi tarafından icat edildi. Konstantin Knop, madeni para tartma bulmacalarında bir dünya otoritesi. Makalelerinin çoğu Rusçadır, ancak birkaç madeni para bulmacasını (diğer ilginç bulmacaların yanı sıra) internette bulabilirsiniz. blog işbirlikçisi Tanya Khovanova'nın.
Genellemeye gelince, 32'sı ağır, 16'sı hafif 16 madeni para arasında özel bir madeni paranın türünü bulmak için aynı yöntemin işe yarayıp yaramadığını görmeyi size bırakacağım.
5 Yapboz
Sen var n bazıları sahte ve diğerlerinden daha hafif olan aynı görünümlü madeni paralar. Tek bildiğiniz, en az bir adet sahte madeni para olduğu ve sahte madeni paralardan daha fazla normal madeni para olduğu. Senin işin tüm sahte paraları tespit etmek.
En az bir hafif madeni para olması ve hafif madeni paralardan daha fazla normal madeni para olması, bu bulmacayı en azından küçük sayılar için ilk göründüğünden daha az karmaşık hale getiriyor. Bir ila sekiz madeni para için tartım sayılarına bakalım.
Bir ve iki madeni para için ikinci koşulda hafif madeni para olamaz, bu nedenle tartım gerekmez.
Üç madeni para: Sadece bir hafif madeni para. Bulmaca 1 başına bir tartım gereklidir.
Dört madeni para: Sadece bir hafif madeni para. Ek bir tartım gereklidir, bu nedenle w = 2.
Beş jeton: Bir ila iki hafif jeton. Bu ilk ilginç vaka. Soru şudur: Bir madeni parayı bire karşı mı yoksa iki madeni parayı ikiye karşı mı tartmalıyız?
Bire karşı bir tartarsak, şunları elde edebiliriz:
- İki dengesiz tartım: İki madeni para bulundu; İşimiz bitti.
- İkiden biri dengeli tartım: Dengeli madeni paralar normal olmalı, bu nedenle son madeni paranın başka bir tartıma ihtiyacı var, w = 3.
- İki dengeli tartım: Üçüncü tartımda, her bir önceki tartımdan diğerine karşı bir madeni para tartın. Dengeliyse, dördü de normaldir ve madeni para 5 hafif olanıdır. İşimiz bitti; w = 3 tekrar. Dengesizlerse, iki hafif madeni parayı bulduk ve üç tartıda işimiz bitti.
Bunun yerine ikiye karşı iki tartarsak, yine de üç tartıma ihtiyacımız olur, çünkü madeni paraların her iki tarafta da farklı veya benzer olabileceği olasılıklarını ayırt etmemiz gerekir. Birlikte gruplandırılmış az sayıda madeni para kullanılarak yapılan tartımların, tek madeni paralarla yapılan tartımlara göre herhangi bir avantajı yok gibi görünmektedir.
Bu, aşağıdakiler için karşılanır:
Altı jeton: Bir ila iki hafif jeton; w = 4.
Yedi jeton: Bir ila üç hafif jeton; w = 5.
Sekiz madeni para: Bir ila üç hafif madeni para; w = 6. Bu çözüm basit bir yapıya sahiptir:
- İlk önce bir madeni parayı diğerine karşı dört kez tartın. Tüm paralar kullanılır.
- En kötü durum: Dört tartımın tümü dengelenmiştir (birbirini dengeleyen iki hafif madeni para vardır).
- Sonraki iki tartım: 1 ağırlığındaki bir madeni para ile 2 ağırlığındaki bir madeni parayı tartın; Benzer şekilde, 3 ağırlığındaki bir madeni parayı 4 ağırlığındaki bir madeni paraya karşı tartın.
- Bu tartımlardan biri dengesiz olacak ve iki hafif madeni parayı tanımlayacaktır. Altı tartıda işimiz bitti.
Üzgünüm, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dizimiz kesinlikle Tam Sayı Dizilerinin Çevrimiçi Ansiklopedisi!
As Jonas Tøgersen Kjellstadli dikkat çekti, çözüm gibi görünüyor w = n − 2 küçük sayılar için, ancak bunun daha büyük sayılar için değişmeyeceğini kanıtlamadık. Bazı n, birden fazla madeni para tartımı kullanmak, daha iyi veya daha fazla tartım yapmaya başlayabilir. n − 2 gerekli olabilir. Sekiz madeni paranın çözümünü 2'nin tüm kuvvetlerine genelleyebiliriz. n − 2'nin tüm kuvvetleri için tartım sayısının üst sınırı olarak 2.
Mark Pearson, bu sorunun hata düzeltme kodlarıyla benzerliğini tartıştı ve olası sonuçların sayısına dayalı bir bilgi teorisi yaklaşımının kullanılmasını önerdi. Böyle bir yaklaşım kullanarak, Mike Roberts daha genel durum için bir alt sınır koydu, ki bu Rainer aus dem Bahar için bir yaklaşıklık türetilmiştir. Rainer ayrıca bir gönderi paylaştı. üst sınır yayınlanmış bir makaleden, ancak sınırların düşük için keskin olmadığını kaydetti n ve bu nedenle yukarıda ele aldığımız küçük sayılar için yararlı değildir. Bu nedenle, yedi madeni para için, belirtilen sınırlar 4 ila 16 arasında bir aralık verir, bu da cevabımız 5'in arasındadır. J. Payette tüm bulmacalar için ek matematiksel referanslar ve sınırlar verir.
Katılan herkese teşekkür ederiz. Bu ayın Insights ödülü, Ted ve Rainer aus dem Spring'e birlikte veriliyor. Tebrikler!
bir dahaki sefere yeni görüşmek üzere Trendleri.
