Noktaları Ayıran Uzaklık Sayısı Yeni Sınıra Sahip | Quanta Dergisi

Üç noktayı bir düzleme dağıtın, ardından her bir çift arasındaki mesafeleri ölçün. Büyük ihtimalle üç farklı mesafe bulacaksınız. Ancak noktaları eşkenar üçgen şeklinde düzenlerseniz her mesafe aynıdır. Düzlemde bunu dört noktayla yapmak imkansızdır. Tasarlayabileceğiniz en küçük mesafe sayısı 2'dir; yani bir karenin kenarları ve köşegenleri.

Ancak, her bir tarafı eşkenar üçgen olan bir piramit oluşturmak için noktalardan birini düzlemden yukarı kaldırırsanız, tek bir benzersiz mesafeyle (bir kenar uzunluğu) ayrılmış dört noktadan oluşan bir kümeye sahip olursunuz. üçgen.

Çok fazla noktanız varsa bu desenler daha da belirgin hale gelir. Bir düzlemde rastgele dağılmış yüz noktanın 4,950 farklı ikili mesafeyi tanımlaması muhtemeldir. Ancak 100 noktayı düz, kare bir ızgarada düzenlerseniz, herhangi bir nokta çifti yalnızca 50 olası mesafeden biriyle ayrılacaktır. Noktaları üç boyutlu bir ızgaraya kaldırdığınızda bu sayıyı daha da azaltabilirsiniz.

Noktalar arasındaki mesafelerin sayısıyla ilgili soruları yanıtlamak ezoterik bir egzersiz gibi gelebilir. Ancak bu tür problemleri çözmek için onlarca yıldır süren arayışta matematikçiler, sayı teorisinden fiziğe kadar çok çeşitli başka uygulamalara sahip araçlar geliştirdiler.

"İnsanlar sorunu çözmeye çalıştığında" dedi Pablo Şmerkin British Columbia Üniversitesi'nden "şaşırtıcı ve beklenmedik bağlantılar keşfetmeye başladılar."

En son gelişme geçen yılın sonlarında dört matematikçinin işbirliğiyle gerçekleşti. yeni bir ilişki olduğunu kanıtladı nokta kümelerinin geometrisi ve aralarındaki mesafeler arasında.

Bir dizi nokta tarafından belirlenen farklı uzaklıkların listesine uzaklık kümesi denir; o listede kaç sayı olduğunu sayarsanız mesafe kümesinin boyutunu elde edersiniz. 1946'da üretken matematikçi Paul Erdős, çok sayıda nokta için belirlenen mesafenin, noktaları bir ızgaraya yerleştirdiğinizde elde ettiğinizden daha küçük olamayacağını tahmin etti. Sorun görünüşte basit olmasına rağmen son derece derin ve zor olduğu ortaya çıktı. İki boyutta bile bu hala tam olarak kanıtlanamadı, ancak 2010 yılında iki matematikçi çok yaklaştım artık etkin bir şekilde çözülmüş sayılıyor; daha yüksek boyutlarda açık kalır.

Bu arada matematikçiler de varsayımın yeni versiyonlarını formüle ettiler. Bunlardan en önemlilerinden biri bir dönemde ortaya çıktı. 1985 kağıt by Kenneth Falconer, İskoçya'daki St. Andrews Üniversitesi'nden bir matematikçi. Falconer sonsuz sayıda nokta arasındaki farklı mesafeler hakkında ne söylenebileceğini merak etti.

Sonsuz sayıda puanınız varsa, yalnızca saymak artık pek kullanışlı değildir. Ancak matematikçilerin büyüklüğü tanımlamanın başka yolları da var. Falconer'in varsayımı, fraktal boyut adı verilen bir sayıyla karakterize edilen noktalar kümesinin geometrisi ile ölçü adı verilen bir sayıyla karakterize edilen mesafe kümesinin boyutu arasında bir ilişki olduğunu öne sürüyor.

Fraktal boyut, boyutlarla ilgili sıradan sezgiyle uyumludur. Daha tanıdık boyut kavramında olduğu gibi, bir çizgi parçasının fraktal boyutu 1 iken, bir karenin (iç kısmı doldurulmuş) fraktal boyutu 2'dir. Ancak noktaların toplamı daha karmaşık bir fraktal model oluşturuyorsa — Ne kadar yakınlaştırırsanız yakınlaştırın mikroskobik kıvrımların ve dönüşlerin görünmeye devam ettiği bir eğri gibi; fraktal boyutu bir tam sayı olmayabilir. Örneğin, aşağıda gösterilen ve sonsuz sayıda giderek küçülen üçgen tümseklere sahip olan Koch kar tanesi eğrisinin boyutu yaklaşık 1.26'dır.

Genel olarak sonsuz bir nokta koleksiyonunun, kabaca ne kadar dağıldığına bağlı olan fraktal bir boyutu vardır. Düzlem etrafına yayılmışsa fraktal boyutu 2'ye yakın olacaktır. Daha çok çizgiye benziyorsa fraktal boyutu 1'e yakın olacaktır. Üç boyutlu uzaydaki nokta kümeleri için de aynı tür yapılar tanımlanabilir. veya daha yüksek boyutlarda.

Falconer'in varsayımının diğer tarafında ise belirlenen mesafenin ölçüsü yer alıyor. Ölçü, uzunluk kavramının bir tür matematiksel genellemesidir. Sayı doğrusu üzerinde bir nokta olarak gösterilebilecek tek bir sayının ölçüsü sıfırdır. Ancak sonsuz kümelerin bile sıfır ölçüsü olabilir. Örneğin, tamsayılar gerçel sayılar arasında o kadar ince dağılmışlardır ki ortak bir "uzunlukları" yoktur ve bu nedenle bir sıfır ölçüsü kümesi oluştururlar. Öte yandan, örneğin 3/4 ile 1 arasındaki reel sayıların ölçüsü 1/4'tür, çünkü aralık bu kadar uzundur.

Ölçü, sonsuz sayıda nokta arasındaki farklı mesafeler kümesinin boyutunu karakterize etmenin bir yolunu sunar. Mesafelerin sayısı "küçük" ise bu, mesafe kümesinin ölçüsünün sıfır olacağı anlamına gelir: Çok sayıda kopyalanan mesafe vardır. Öte yandan mesafe kümesinin ölçüsü sıfırdan büyükse bu, birçok farklı mesafenin olduğu anlamına gelir.

Falconer, iki boyutta, fraktal boyutu 1.5'tan büyük olan herhangi bir nokta kümesinin sıfırdan farklı ölçüye sahip bir mesafe kümesine sahip olduğunu kanıtladı. Ancak matematikçiler kısa sürede bunun fraktal boyutu 1'den büyük olan tüm kümeler için geçerli olduğuna inanmaya başladı. "Bu 1/2 boşluğu çözmeye çalışıyoruz" dedi. Yumeng Ou Yeni makalenin ortak yazarlarından biri olan Pennsylvania Üniversitesi'nden. Üstelik Falconer'in varsayımı üç veya daha fazla boyuta uzanıyor: d-boyutlu uzay, noktaların fraktal boyutunun d / 2bu durumda ayarlanan mesafenin ölçüsü 0'dan büyük olmalıdır.

2018 yılında Ou, meslektaşlarıyla birlikte, varsayımın olduğunu gösterdi fraktal boyutu 5/4'ten büyük olan tüm kümeler için iki boyutludur. Şimdi Ou – birlikte Xiumin Du Northwestern Üniversitesi'nden, Ruixiang Zhang Kaliforniya Üniversitesi, Berkeley ve Kevin Ren Princeton Üniversitesi'nden - daha yüksek boyutlarda, sıfırdan farklı bir ölçümle ayarlanan mesafeyi sağlama eşiğinin, bundan biraz daha küçük olduğunu kanıtladı d/2 + 1/4. Shmerkin, "Bu yazıda ilk kez yüksek boyutlardaki sınırlar, boyut 2'dekinden daha iyi" dedi. (İki boyutta eşik tam olarak d/2 + 1/4.)

Bu son sonuç sadece bir tanesi bir dalga son gelişmelerden on Falconer'ın varsayımı. Kanıt, sınırı güçlendirmek için, keyfi olarak karmaşık fonksiyonların basit dalgalar cinsinden temsil edilmesiyle ilgilenen, matematiğin görünüşte uzak bir alanı olan harmonik analizdeki teknikleri iyileştirdi. Ancak bu tekniklerin bazıları ilk olarak aynı problemin üstesinden gelmek için geliştirildi.

Noktalar arasındaki mesafelerle ilgili bu soru, "harmonik analizdeki en büyük fikirlerden bazıları için bir oyun alanı görevi gördü" dedi. Alex Ioseviç Rochester Üniversitesi'nden.

Her ne kadar Falconer'in 1985'teki makalesinde bıraktığı boşluğun yalnızca yarısını kapatmış olsalar da, matematikçiler son zamanlarda yapılan yoğun çalışmaları, varsayımın tamamına nihayet ulaşılabileceğinin kanıtı olarak görüyorlar. Bu arada sorunu en karmaşık araçları için bir test alanı olarak kullanmaya devam edecekler.