Daniel Larsen ortaokuldayken bulmaca tasarlamaya başladı. Hobisini diğer ilgi alanlarının üstüne koymak zorundaydı: satranç, programlama, piyano, keman. Bölgesel yarışmasını kazandıktan sonra Washington DC yakınlarındaki Scripps Ulusal Yazım Yarışması'na iki kez hak kazandı. Larsen'in annesi Ayelet Lindenstrauss, "Bir şeye odaklanıyor ve başarılı olana kadar sadece bang, bang, bang" diyor. İlk bulmacaları büyük gazeteler tarafından reddedildi, ancak o buna devam etti ve sonunda içeri girdi. rekoru elinde tutuyor en genç kişinin bulmaca yayınlaması için New York Times, 13 yaşında. Lindenstrauss, "Çok ısrarcı" dedi.
Yine de Larsen'in en son takıntısının farklı hissettirdiğini, "diğer projelerinin çoğundan daha uzun ve daha yoğun" olduğunu söyledi. Bir buçuk yıldan fazla bir süre boyunca Larsen belli bir matematik problemi hakkında düşünmeden duramadı.
Bunun kökleri, matematikçi Carl Friedrich Gauss'un matematikteki en önemli sorulardan biri olarak kabul ettiği daha geniş bir soruya dayanıyordu: asal bir sayının (yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen bir sayı) bileşik bir sayıdan nasıl ayırt edileceği. Yüzlerce yıldır matematikçiler bunu yapmanın etkili bir yolunu aradılar. Günümüzün en yaygın kullanılan kripto sistemlerinden bazıları çok büyük asal sayılarla aritmetik yapmayı içerdiğinden, sorun modern kriptografi bağlamında da önem kazanmıştır.
Bir asırdan fazla bir süre önce, hızlı ve güçlü bir asallık testi arayışında matematikçiler, bir grup baş belasıyla karşılaştılar; bu sayılar, testleri asal olmalarına rağmen asal olduklarını düşünerek kandırıyor. Carmichael sayıları olarak bilinen bu sahte asal sayıların anlaşılması özellikle zor olmuştur. Örneğin matematikçiler bunlardan sonsuz sayıda olduğunu ancak 1990'ların ortalarında kanıtladılar. Sayı doğrusu boyunca nasıl dağıldıkları hakkında daha fazla şey söyleyebilmek daha da büyük bir zorluk teşkil etti.
Sonra Larsen geldi yeni bir kanıt tam da bununla ilgili, sayı teorisinin farklı bir alanındaki son çığır açıcı çalışmalardan ilham alan bir çalışma. O zamanlar henüz 17 yaşındaydı.
Kıvılcım
Bloomington, Indiana'da büyüyen Larsen, her zaman matematiğe ilgi duyuyordu. Her ikisi de matematikçi olan ebeveynleri, onu ve ablasını bu konuyla küçükken tanıştırmıştı. (Şu anda matematik alanında doktora yapıyor.) Lindenstrauss, Larsen'in 3 yaşındayken ona sonsuzluğun doğası hakkında felsefi sorular sormaya başladığını anımsıyor. "Bu çocuğun matematiksel bir zekası olduğunu sanıyordum" dedi LindenstraussIndiana Üniversitesi'nde profesör.
Sonra birkaç yıl önce - heceleme ve bulmaca projelerine daldığı sıralarda - bir şeyle karşılaştı. belgesel hakkında Yitang Zhang2013'te bilinmezlikten doğan bilinmeyen bir matematikçi dönüm noktası niteliğinde bir sonucun kanıtlanması ardışık asal sayılar arasındaki boşluklara bir üst sınır koyar. Larsen'de bir şeyler tıklandı. Sayı teorisi ve Zhang ile diğer matematikçilerin hâlâ çözmeyi umduğu ilgili problem hakkında düşünmeden duramıyordu: aralarında yalnızca 2 fark olan sonsuz sayıda asal sayı çiftinin bulunduğunu belirten ikiz asal sayı varsayımı.
Zhang'ın, aralarındaki farkın 70 milyondan az olduğu sonsuz sayıda asal sayı çiftinin bulunduğunu gösteren çalışmasından sonra, diğerleri atladı Bu sınırı daha da düşürmek için. Birkaç ay içinde matematikçiler James Maynard ve Terence tao bağımsız olarak asal sayılar arasındaki boşluklar hakkında daha da güçlü bir ifade kanıtladı. Bu fark o zamandan beri 246'ya düştü.
Larsen, Maynard ve Tao'nun çalışmalarının altında yatan matematiğin bir kısmını anlamak istiyordu, "ama bu benim için neredeyse imkansızdı" dedi. Makaleleri çok karmaşıktı. Larsen ilgili çalışmaları okumaya çalıştı ancak onun da anlaşılması güç olduğunu gördü. Bir sonuçtan diğerine atlayarak çalışmaya devam etti ve sonunda Şubat 2021'de hem güzel hem de anlaşılır bulduğu bir makaleyle karşılaştı. Konusu: Carmichael sayıları, bazen kendilerini asal gibi gösterebilen tuhaf bileşik sayılar.
Prime hariç hepsi
17. yüzyılın ortalarında Fransız matematikçi Pierre de Fermat, arkadaşı ve sırdaşı Frénicle de Bessy'ye daha sonra "küçük teoremi" olarak anılacak olan şeyi ifade ettiği bir mektup yazdı. Eğer N bir asal sayıdır, o zaman bN - b her zaman bir katıdır N, ne olursa olsun b dır-dir. Örneğin 7 asal sayıdır ve sonuç olarak 27 – 2 (126'ya eşit) 7'nin katıdır. Benzer şekilde 37 – 3, 7'nin katıdır vb.
Matematikçiler, belirli bir sayının asal mı yoksa bileşik mi olduğuna dair mükemmel bir test potansiyeli gördüler. Eğer biliyorlardı ki N asaldır, bN - b her zaman bir katıdır N. Peki ya bunun tersi de doğruysa? Yani eğer bN - b birden fazla N tüm değerleri için b, zorunlu N birinci sınıf olmak mı?
Ne yazık ki, çok nadir durumlarda, N bu koşulu karşılayabilir ve yine de bileşik olabilir. Bu tür en küçük sayı 561'dir: Herhangi bir tam sayı için b, b561 - b 561 asal olmasa da her zaman 561'in katıdır. Bunun gibi sayılara, genellikle 1910'da ilk örneği yayımlayan matematikçi Robert Carmichael'ın adı verilmiştir (gerçi Çek matematikçi Václav Šimerka bağımsız olarak 1885'te örnekleri keşfetmiştir).
Matematikçiler, sayı teorisinin en temel nesneleri olan asal sayılara bu kadar benzeyen bu sayıları daha iyi anlamak istiyorlardı. 1899'da - Carmichael'ın sonucundan on yıl önce - başka bir matematikçi Alwin Korselt'in eşdeğer bir tanım bulduğu ortaya çıktı. Tasarıya uygun herhangi bir sayı olup olmadığını bilmiyordu.
Korselt'in kriterine göre bir sayı N ancak ve ancak üç özelliği karşılıyorsa bir Carmichael sayısıdır. Öncelikle birden fazla asal faktöre sahip olması gerekir. İkincisi, hiçbir asal faktör tekrarlanamaz. Ve üçüncüsü, her asal sayı için p bu bölünüyor N, p – 1 de böler N – 1. Tekrar 561 sayısını düşünün. 3 × 11 × 17'ye eşit olduğundan Korselt'in listesindeki ilk iki özelliği açıkça karşılıyor. Son özelliği göstermek için, her asal faktörden 1 çıkarın ve 2, 10 ve 16 elde edin. Ayrıca 1'den 561 çıkarın. Küçük sayıların üçü de 560'ın bölenleridir. Dolayısıyla 561 sayısı bir Carmichael sayısıdır.
Matematikçiler sonsuz sayıda Carmichael sayısının varlığından şüpheleniyor olsalar da, asal sayılara kıyasla sayıları nispeten azdı ve bu da onların kesin olarak tespit edilmesini zorlaştırıyordu. Daha sonra 1994'te Red Alford, Andrew Granville ve carl pomerance bir buluş yayınladı kâğıt Sonunda bu sözde asal sayılardan gerçekten de sonsuz sayıda bulunduğunu kanıtladılar.
Ne yazık ki geliştirdikleri teknikler, Carmichael sayılarının neye benzediğine dair hiçbir şey söylemelerine izin vermiyordu. Aralarında büyük boşluklar olacak şekilde sayı doğrusu boyunca kümeler halinde mi göründüler? Yoksa her zaman kısa bir aralıkta bir Carmichael sayısı bulabilir misiniz? Granville şöyle dedi: "Onlardan sonsuz sayıda olduğunu kanıtlayabilirseniz aralarında büyük boşluklar olmadığını, nispeten iyi aralıklı olmaları gerektiğini kesinlikle kanıtlayabilmelisiniz."
Özellikle o ve ortak yazarları, yeterince büyük bir sayı göz önüne alındığında, bu fikri yansıtan bir ifadeyi kanıtlamayı umuyorlardı. Xarasında her zaman bir Carmichael numarası olacaktır. X ve 2X. İlgili çalışmaları yapan Savunma Analizleri Enstitüsü'nden matematikçi Jon Grantham, "Bu, bunların ne kadar her yerde bulunduğunu ifade etmenin başka bir yolu" dedi.
Ancak onlarca yıldır kimse bunu kanıtlayamadı. Alford, Granville ve Pomerance tarafından geliştirilen teknikler "çok sayıda Carmichael sayısının olacağını göstermemize olanak sağladı" dedi Pomerance, "ancak bunların nerede olacağı konusunda çok fazla kontrole sahip olmamıza gerçekten izin vermedi. ”
Ardından, Kasım 2021'de Granville, o zamanlar 17 yaşında olan ve lise son sınıfta olan Larsen'den gelen bir e-postayı açtı. A kâğıt iliştirilmişti ve Granville'i şaşırtacak şekilde doğru görünüyordu. "Şimdiye kadarki en kolay okuma değildi" dedi. “Ama okuduğumda ortalığı karıştırmadığı oldukça açıktı. Harika fikirleri vardı.”
Çalışmanın sonraki bir versiyonunu okuyan Pomerance da aynı fikirde. "Kanıtı gerçekten oldukça ileri düzeyde" dedi. “Bu, herhangi bir matematikçinin yazmaktan gerçekten gurur duyacağı bir makale olurdu. Ve işte bunu yazan liseli bir çocuk.”
Larsen'in kanıtının anahtarı onu Carmichael sayılarına çeken çalışmaydı: Maynard ve Tao'nun asal boşluklar üzerine sonuçları.
Olasılıksız - İmkansız Değil
Larsen, bir Carmichael sayısını her zaman kısa aralıklarla bulabileceğinizi ilk kez göstermeye çalıştığında, "bunun o kadar açık bir şekilde doğru olduğu görülüyordu ki bunu kanıtlamak ne kadar zor olabilir ki?" dedi. Bunun gerçekten çok zor olabileceğini hemen fark etti. "Bu, çağımızın teknolojisini test eden bir sorundur" dedi.
Alford, Granville ve Pomerance 1994'teki makalelerinde sonsuz sayıda Carmichael sayısının nasıl oluşturulacağını göstermişlerdi. Ancak onları oluşturmak için kullandıkları asal sayıların boyutunu kontrol edememişlerdi. Nispeten yakın büyüklükte Carmichael sayıları oluşturmak için Larsen'in yapması gereken şey buydu. Sorunun zorluğu babası Michael Larsen'i endişelendiriyordu. "Bunun imkansız olduğunu düşünmüyordum ama başarılı olmasının pek mümkün olmadığını düşündüm" dedi. "Buna ne kadar zaman harcadığını gördüm... ve kendinden bu kadar çok şey verip bunu alamamanın onun için yıkıcı olacağını hissettim."
Yine de oğlunu caydırmaya çalışmaması gerektiğini biliyordu. "Daniel kendisini gerçekten ilgilendiren bir şeye söz verdiğinde, iyi de olsa kötü de olsa buna bağlı kalıyor" dedi.
Bunun üzerine Larsen, Maynard'ın makalelerine geri döndü; özellikle de yeterli sayının belirli dizilerini alırsanız, bu sayıların bazı alt kümelerinin asal olması gerektiğini gösteren çalışmaya. Larsen, Maynard'ın tekniklerini Alford, Granville ve Pomerance tarafından kullanılan yöntemlerle birleştirmek için değiştirdi. Bu, elde ettiği asal sayıların boyutlarının, istediği aralıklara denk gelen Carmichael sayılarını üretmeye yetecek kadar değişeceğinden emin olmasını sağladı.
Granville, "Onun olaylar üzerinde bizim şimdiye kadar sahip olduğumuzdan daha fazla kontrolü var" dedi. Ve bunu Maynard'ın çalışmasını özellikle akıllıca kullanarak başardı. "Bu ilerlemeyi asal sayılar arasındaki kısa boşluklarda kullanmak kolay değil" dedi Kaisa MatomakiFinlandiya'daki Turku Üniversitesi'nden bir matematikçi. "Bunu Carmichael sayılarıyla ilgili bu soruyla birleştirebilmesi oldukça hoş."
Aslında Larsen'in argümanı, yalnızca Carmichael sayısının her zaman arasında görünmesi gerektiğini göstermesine izin vermedi. X ve 2X. Onun kanıtı çok daha küçük aralıklar için de işe yarıyor. Matematikçiler artık bunun bu garip sayıların davranışının diğer yönlerini de ortaya çıkarmaya yardımcı olacağını umuyorlar. "Bu farklı bir fikir" dedi Thomas WrightGüney Carolina'daki Wofford College'da sahte asallar üzerinde çalışan bir matematikçi. "Carmichael sayılarıyla ilgili şeyleri nasıl kanıtlayabileceğimiz konusunda birçok şeyi değiştiriyor."
Grantham kabul etti. Artık hiç düşünmediğiniz şeyleri yapabilirsiniz, dedi.
Bu arada Larsen, Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nde birinci sınıfa yeni başladı. Bundan sonra hangi sorun üzerinde çalışacağından emin değil ama orada ne olduğunu öğrenmek için can atıyor. "Sadece kurslara gidiyorum... ve açık fikirli olmaya çalışıyorum" dedi.
Grantham, "Bütün bunları lisans eğitimi almadan yaptı" dedi. "Lisansüstü okulda neler bulacağını yalnızca hayal edebiliyorum."
