Özyinelemeli Dizilerin Şaşırtıcı Davranışı | Quanta Dergisi

Matematikte basit kurallar karmaşıklık ve güzellik dolu evrenlerin kilidini açabilir. Şu şekilde tanımlanan ünlü Fibonacci dizisini ele alalım: 1 ve 1 ile başlar ve sonraki her sayı, önceki ikisinin toplamıdır. İlk birkaç rakam şöyle:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Evet basit ama bu mütevazı tarif, doğal dünyanın dokusuna dokunmuş gibi görünen, geniş kapsamlı bir öneme sahip bir modelin ortaya çıkmasına neden oluyor. Nautilus kabuklarının kıvrımlarında, parmaklarımızdaki kemiklerde ve ağaç dallarındaki yaprakların dizilişinde görülür. Matematiksel kapsamı diğer alanların yanı sıra geometri, cebir ve olasılığa kadar uzanır. Dizinin Batı'ya tanıtılmasından bu yana sekiz yüzyıl geçti - Hintli matematikçiler bunu Fibonacci'den çok önce incelediler - sayılar araştırmacıların ilgisini çekmeye devam ediyor; bu, en temel sayı dizisinin bile altında ne kadar matematiksel derinlik yatabileceğinin bir kanıtı.

Fibonacci dizisinde her terim kendisinden öncekilerin üzerine inşa edilir. Bu tür özyinelemeli diziler, bazıları son derece mantığa aykırı olan çok çeşitli davranışlar sergileyebilir. Örneğin, ilk kez 1980'lerde Amerikalı matematikçi tarafından tanımlanan ilginç bir dizi ailesini ele alalım. Michael Somos.

Fibonacci dizisi gibi, Somos dizisi de bir diziyle başlar. Bir Somos...k sıra şununla başlar: k onlardan. Somos'un her yeni dönemi-k dizi, önceki terimlerin eşleştirilmesi, her çiftin birbiriyle çarpılması, çiftlerin toplanması ve ardından terime bölünmesiyle tanımlanır. k sıralamaya geri döner.

Eğer diziler çok ilginç değilse k 1, 2 veya 3'e eşittir; bunlar yalnızca tekrarlanan bir dizidir. Ama için k = 4, 5, 6 veya 7 dizilerinin tuhaf bir özelliği vardır. Çok fazla bölme işlemi olmasına rağmen kesirler görünmüyor.

Somos, "Normalde bu tür bir fenomene sahip değiliz" dedi. “Bu, Fibonacci'ye benzer, yanıltıcı derecede basit bir yinelenme. Ancak bu sadeliğin arkasında çok şey var.”

Diğer matematikçiler Somos dizileri ile matematiğin görünüşte ilgisiz alanları arasındaki şaşırtıcı bağlantıları ortaya çıkarmaya devam ediyor. Temmuz ayında yayınlanan bir makale bunları şu amaçlarla kullanıyor: çözümler oluşturmak Yırtıcı-av etkileşimlerinden yüksek enerjili plazmalarda hareket eden dalgalara kadar her şeyi modellemek için kullanılan bir diferansiyel denklem sistemine kadar. Ayrıca matematiksel nesnelerin yapısını incelemek için de kullanılırlar. küme cebirleri ve bağlılar eliptik eğriler — Fermat'ın Son Teoremini kırmanın anahtarı bunlardı.

Janice MaloufIllinois Üniversitesi'nden yüksek lisans öğrencisi, Somos-4 ve Somos-5 dizilerinin ilk kanıtını yayınladı. ayrılmazdır (yani tüm terimleri tam sayıdır) 1992'de. Diğer kanıtlar Somos-6 ve Somos-7 dizilerinin integral olduğuna dair kanıtlarla birlikte, farklı matematikçiler tarafından aynı sonucun ortaya çıkışı hemen hemen aynı zamanlarda ortaya çıktı.

Somos dizilerinin bu tuhaf özelliği matematikçileri hayrete düşürdü. "Somos dizileri, onları öğrenir öğrenmez ilgimi çekti" dedi James Propp, Massachusetts Üniversitesi, Lowell'da matematik profesörü. “Ne kadar ileri giderseniz gidin Somos-4'ten Somos-7'ye kadar her zaman tam sayı vermesi, olaylara naif bir bakış açısıyla baktığınızda bir mucize gibi görünüyordu. Bu nedenle farklı bir bakış açısına ihtiyaç vardı.”

Propp, 2000'li yılların başında meslektaşlarıyla birlikte Somos-4 dizisindeki sayıların aslında bir şeyleri saydığını keşfettiklerinde yeni bir bakış açısı buldu. Dizideki terimler belirli grafiklerde bulunan yapılara karşılık gelir. Bazı grafikler için, her köşenin tam olarak başka bir köşeye bağlanması için köşeleri (noktaları) kenarlarla (çizgilerle) eşleştirmek mümkündür; eşleştirilmemiş köşeler yoktur ve birden fazla kenara bağlı hiçbir köşe yoktur. Somos-4 dizisindeki terimler, belirli bir grafik dizisi için farklı mükemmel eşleşmelerin sayısını sayar.

Bu keşif yalnızca Somos dizilerine yeni bir bakış açısı sunmakla kalmadı, aynı zamanda grafik dönüşümleri hakkında düşünmenin ve analiz etmenin yeni yollarını da sundu. Propp ve öğrencileri sonucu bir panoya koyarak kutladılar. Tişört.

Propp, "Bana göre matematiğin cazibesinin büyük bir kısmı, aynı hedefe farklı yollardan vardığınızda, mucizevi veya derin bir şeyler oluyormuş gibi görünmesidir" dedi. "Bu dizilerin en güzel tarafı, neden tamsayı elde ettiğinizi açıklayan çeşitli bakış açılarının olmasıdır. Orada gizli derinlikler var.”

Hikaye daha yüksek numaralı Somos dizileri için değişir. Somos-18'in ilk 8 terimi tamsayı, 19. terimi ise kesirdir. Bundan sonraki her Somos dizisi kesirli değerler de içerir.

Alman matematikçi Fritz Göbel tarafından 1970'lerde geliştirilen başka bir dizi türü, Somos dizilerine ilginç bir karşı noktadır. nGöbel dizisinin üçüncü terimi, önceki tüm terimlerin karelerinin toplamı artı 1'in bölü olarak tanımlanır. n. Somos dizileri gibi Göbel dizisi de bölmeyi içerdiğinden terimlerin tamsayı olarak kalmamasını bekleyebiliriz. Ancak bir süreliğine - dizi muazzam bir şekilde büyüdükçe - öyle görünüyorlar.

Göbel dizisinin 10'uncu terimi yaklaşık 1.5 milyon, yani 11'inci 267 milyardır. 43. terim hesaplanamayacak kadar büyük; 178 milyar rakamı var. Fakat 1975 yılında Hollandalı matematikçi hendrik lenstra ilk 42 terimden farklı olarak bu 43. terimin tam sayı olmadığını gösterdi.

Göbel dizileri, toplamdaki karelerin küplerle, dördüncü kuvvetlerle ve hatta daha yüksek üslerle değiştirilmesiyle genelleştirilebilir. (Bu kurala göre orijinal dizisine 2-Göbel dizisi denir.) Bu diziler aynı zamanda şaşırtıcı bir şekilde tamsayı terimlerinin uzatılmış bir uzantısıyla başlama eğilimi de gösterir. 1988 yılında Henry Ibstedt gösterdi 89-Göbel dizisinin (kareler yerine küplerin kullanıldığı) ilk 3 teriminin tamsayı olduğu, ancak 90'ıncının tam sayı olmadığı. Diğer Göbel dizileri üzerinde yapılan daha sonraki araştırmalar daha da uzun uzanımlar buldu. Örneğin 31-Göbel dizisi, 1,077 gibi devasa bir tamsayı terimiyle başlıyor.

Temmuz ayında Kyushu Üniversitesi matematikçileri Rinnosuke Matsuhira, Toshiki Matsusaka ve Koki Tsuchida bir kağıt paylaştı bunu bir süre için gösteriyorum k-Göbel dizisi tercih ne olursa olsun kdizisinin ilk 19 terimi her zaman tam sayıdır. Bu soruyu incelemek için bir Japon mangasından ilham aldılar: Seisū-tan, "Tam Sayıların Hikayesi" anlamına gelir. A çizgi romandaki çerçeve okuyuculardan mümkün olan minimum değeri bulmalarını istedi N_k, bir nokta k-Göbel dizisi tam sayı terimleri üretmeyi bırakır. Üç matematikçi soruyu cevaplamak için yola çıktı. Matsusaka, "Tam sayıların bu kadar uzun bir süre boyunca beklenmedik şekilde kalıcı olması, sezgilerimizle çelişiyor" dedi. "Sezgiye aykırı olaylar meydana geldiğinde, her zaman güzelliğin mevcut olduğuna inanıyorum."

Tekrarlanan bir davranış modeli buldular: k artışlar. Sonlu sayıda tekrar eden duruma odaklanarak hesaplamayı izlenebilir hale getirdiler ve ispatı tamamlayabildiler.

Sıraya daha yakından bakış N_k bir sürprizi daha ortaya koyuyor: N_k tamamen rastgele olsaydı beklediğinizden çok daha sık asaldır. "İle k-Göbel dizisinin sadece tamsayı olmaları dikkat çekici değil” dedi Richard YeşilColorado Üniversitesi'nden bir matematikçi. “Dikkat çekici olan, asal sayıların bu kadar sık ​​ortaya çıkması. Bu da daha derin bir şeyler oluyormuş gibi görünmesini sağlıyor."

Her ne kadar yeni makale bunun bir kanıtını sunsa da N_k her zaman en az 19'dur, her zaman sonlu olup olmadığı veya var olup olmadığı bilinmemektedir. k dizisinin süresiz olarak tamsayılar içerdiği. “N_k gizemli davranır. … Bunun altında yatan modeli kavramaya yönelik temel bir istek var” dedi Matsusaka. “Bu, çocukluğumda öğretmenlerin verdiği bulmacaları çözerken hissettiğim neşeye benziyor olabilir. O zamandan kalma duygular şimdi bile içimde varlığını sürdürüyor.”

Kuantum izleyicilerimize daha iyi hizmet verebilmek için bir dizi anket yürütüyor. Bizimkini al matematik okuyucu anketi ve ücretsiz kazanmak için girileceksiniz Kuantum ek ürün.