Giriş
Geometri öğrencisi Gina dün gece ödevini yaparken çok geç saatlere kadar uyumadı. Büyük İngiliz Pişini, bu yüzden nihayet yatağa gittiğinde uykulu zihni hâlâ kekler ve pusulalarla doluydu. Bu, çok alışılmadık bir rüyaya yol açtı.
Gina kendini, öğrencilerin pek çok geometri ama çok az aritmetik öğrendiği bir okul olan Imaginary University'de Great Brownie Bake Off'un hakimi olarak buldu. Hayali U öğrencilerinden oluşan takımlara yapabilecekleri en büyük keki yapma görevi verildi ve kazananı belirlemek Gina'ya kalmıştı.
Alfa Takımı ilk bitiren oldu ve değerlendirme için dikdörtgen keklerini gururla sundular. Gina bir cetvel çıkardı ve keki ölçtü: 16 inç uzunluğunda ve 9 inç genişliğindeydi. Beta Ekibi, her iki tarafı 12 inç olan kare kekleriyle hemen onu takip etti. İşte o zaman sorun başladı.
Alfa Takımının kaptanı, "Bizim kekimiz sizinkinden çok daha uzun," dedi. "Bizimki açıkça daha büyük, bu yüzden kazanan biziz!"
Beta Takımından bir temsilci, "Ama dikdörtgeninizin kısa kenarı bizim karemizin kenarından çok daha kısa," dedi. “Meydanımız bariz şekilde daha büyük. Kazandık!"
Gina bunun hakkında tartışmayı garip buldu. "Dikdörtgen kekin alanı 9 çarpı 16, yani 144 inç karedir" dedi. "Kare kekin alanı 12 çarpı 12, bu da 144 inç kare. Kekler aynı boyutta: Bu bir kravat.
İki takım da şaşkın görünüyordu. Hiç çarpma işlemi öğretilmemiş olan bir öğrenci, “'Zaman' derken ne demek istediğinizi anlamıyorum” dedi. "Ben de," dedi bir başkası. Üçüncüsü, "Complex College'daki öğrencilerin bir kez sayıları kullanarak alanı ölçtüğünü duydum, ama bu ne anlama geliyor?" Hayali Üniversite, rüyalar söz konusu olduğunda bile gerçekten tuhaf bir yerdi.
Gina ne yapacaktı? Alanı ölçmeyi ve sayıları çarpmayı bilmiyorlarsa, ekipleri keklerinin aynı boyutta olduğuna nasıl ikna edebilirdi? Neyse ki, Gina'nın dahice bir fikri vardı. "Bana bir bıçak ver," dedi.
Gina dikdörtgen kekin uzun kenarını 12 inç ölçtü ve kısa kenara paralel bir kesim yaptı. Bu, büyük dikdörtgeni iki küçük dikdörtgene dönüştürdü: biri 9'a 12 ve diğeri 9'a 4. Üç hızlı kesimle 9'a 4'lük parçayı üç küçük 3'e 4 parçaya dönüştürdü. Biraz yeniden düzenleme, kalabalıktan duyulabilir ooh ve aahs ile sonuçlandı: Gina dikdörtgeni karenin tam bir kopyasına çevirmişti.
Artık her iki takım da keklerinin aynı boyutta olduğu konusunda hemfikir olmak zorundaydı. Gina, birini parçalara ayırıp diğerini oluşturacak şekilde yeniden düzenleyerek iki kekin aynı toplam alanı kapladığını gösterdi. Bunun gibi diseksiyonlar, şekillerin aynı büyüklükte olduğunu göstermek için geometride binlerce yıldır kullanılmaktadır ve diseksiyonlar ve denklik konusunda birçok dikkat çekici sonuç bulunmaktadır. Bugün bile matematikçiler, belirli şekillerin ne zaman eşdeğer olduğunu tam olarak anlamak için parçalara ayırma ve yeniden düzenlemeyi kullanıyor ve bu da son zamanlarda bazı şaşırtıcı sonuçlara yol açıyor.
Temel şekiller için alan formülleri geliştirirken muhtemelen matematik dersinde geometrik diseksiyonlar görmüşsünüzdür. Örneğin, bir paralelkenarın alanının, taban uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşit olduğunu hatırlayabilirsiniz: Bunun nedeni, bir paralelkenarın parçalara ayrılıp bir dikdörtgen şeklinde yeniden düzenlenebilmesidir.
Bu inceleme, paralelkenarın alanının, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir dikdörtgenin alanına eşit olduğunu gösteriyor; bu, Hayali Üniversite'ye gitmeyen herkesin bildiği gibi, bu iki sayının çarpımıdır.
Hayali U'dan bahsetmişken, Great Brownie Bake Off kızışıyordu. Gamma Takımı büyük bir üçgen kekle yaklaştı. "İşte kazanan," diye cesurca duyurdular. "İki tarafımız da diğerlerinden çok daha uzun."
Gina yanları ölçtü. "Burası da aynı alana sahip!" haykırdı. "Bu bir dik üçgen ve bacakların ölçüsü 18 ve 16, yani alan..." Gina herkesin yüzündeki şaşkın ifadeyi fark ederek bir an duraksadı. "Oh aldırma. Bıçağı bana ver yeter."
Gina, hipotenüsün orta noktasından uzun bacağın orta noktasına kadar ustaca dilimledi, ardından yeni oluşan üçgeni, daha büyük parçanın içine yerleştirildiğinde mükemmel bir dikdörtgen oluşturacak şekilde döndürdü.
"Bu tam olarak bizim kekimiz!" diye bağırdı Alfa Takımı. Elbette, ortaya çıkan dikdörtgen 9'a 16 idi: onlarınkiyle tam olarak aynı boyutta.
Beta Takımının şüpheleri vardı. "Ama bu üçgen bizim karemizle nasıl karşılaştırılır?" diye sordu takım liderleri.
Gina buna hazırdı. "Dikdörtgen ve karenin aynı boyutta olduğunu zaten biliyoruz, dolayısıyla geçişlilik nedeniyle üçgen ve kare aynı boyutta." Geçişlilik, eşitliğin en önemli özelliklerinden biridir: Eğer a = b ve b = c, Daha sonra a = c. Gina devam etti, "Eğer birinci kekin alanı ikincinin alanına ve ikinci kekin alanı üçüncünün alanına eşitse, birinci ve üçüncü keklerin de alanları eşit olmalıdır."
Ancak Gina, diseksiyonlarla orada duramayacak kadar çok eğleniyordu. "Ya da birkaç kesinti daha yapabiliriz."
Önce Gina, daha önce bir üçgen olan dikdörtgeni döndürdü. Sonra Alfa Takımının dikdörtgeninde kullandığı kalıbın aynısını kullanarak onu kesti.
Ardından, Gamma Takımının üçgeninin bu yeni diseksiyonunun, tıpkı Alfa Takımının dikdörtgeninde yaptığı gibi, Beta Takımının karesine nasıl dönüştürülebileceğini gösterdi.
Bu durumda üçgen ve karenin "makasla uyumlu" olduğunu söyleriz: Makas kullanarak bir şekli sonlu sayıda parçaya ayırdığınızı ve ardından diğerini oluşturmak üzere yeniden düzenleyebileceğinizi hayal edebilirsiniz. Üçgen ve kare söz konusu olduğunda, kekler bu makas kongrüansının tam olarak nasıl çalıştığını gösterir.
Desenin her iki yönde de çalıştığına dikkat edin: Üçgeni kareye veya kareyi üçgene dönüştürmek için kullanılabilir. Başka bir deyişle, makas uyumu simetriktir: Eğer A şekli B şekline makas uyumlu ise, B şekli de A şekline makas eştir.
Aslında, üçgen, dikdörtgen ve kareyi içeren yukarıdaki argüman, makas kongrüansının da geçişli olduğunu göstermektedir. Üçgen dikdörtgene makas eş ve dikdörtgen kareye makas eş olduğundan, üçgen kareye makas eştir. Kanıt kalıplarda: Yukarıdaki dikdörtgende yapıldığı gibi onları ara şeklin üzerine yerleştirin.
Üçgeni dikdörtgeni oluşturan parçalara bölerseniz, ardından dikdörtgeni kareyi oluşturan parçalara bölerseniz, elde edilen parçalar üç şekilden herhangi birini oluşturmak için kullanılabilir.
Makas eşliğinin geçişli olması şaşırtıcı bir sonucun merkezinde yer alır: Eğer iki çokgen aynı alana sahipse, bunlar makas eştir. Bu, aynı alana sahip herhangi iki çokgen verildiğinde, her zaman birini sınırlı sayıda parçaya ayırabileceğiniz ve diğerini oluşturmak için bunları yeniden düzenleyebileceğiniz anlamına gelir.
Bu dikkate değer teoremin ispatı da oldukça basittir. İlk olarak, her çokgeni üçgenlere bölün.
İkinci olarak, Gina'nın üçgen keki yeniden düzenlemesine benzer şekilde, her bir üçgeni bir dikdörtgene dönüştürün.
Şimdi zor teknik kısım geliyor: Her dikdörtgeni bir birim genişliğinde yeni bir dikdörtgene dönüştürün.
Bunu yapmak için dikdörtgenden bir birim genişliğinde parçalar kesmeye başlayın.
Dikdörtgeni 1 genişliğinde tam sayı parçaya bölebilirseniz, bitirdiniz: Sadece üst üste istifleyin. Aksi takdirde, son parça 1 ila 2 birim genişliğinde olduğunda doğramayı bırakın ve kalanları üst üste istifleyin.
Dikdörtgenin genişliği 1 birimden azsa endişelenmeyin: Sadece ikiye bölün ve iki parçayı iki kat daha uzun ve yarım kalınlıkta yeni bir dikdörtgen yapmak için kullanın. 1 ila 2 birim genişliğinde bir dikdörtgen elde edene kadar gerektiği kadar tekrarlayın.
Şimdi bu son dikdörtgenin yüksekliğe sahip olduğunu hayal edin. h ve genişlik w1 ile w < 2. Bu dikdörtgeni kesip genişliği 1 ve yüksekliği olan bir dikdörtgen olarak yeniden düzenleyeceğiz. h × w. Bunu yapmak için, h × w istenilen dikdörtgen hw × 1 dikdörtgen böyle.
Sonra noktalı çizgi boyunca köşeden köşeye kesin ve sağ alttaki küçük üçgeni sağ kenarı takip ederek kesin. hw × 1 dikdörtgen.
Bu keser h × w yeniden düzenlenebilen üç parçaya dikdörtgen hw × 1 dikdörtgen. (Bu son incelemeyi gerekçelendirmek için benzer üçgenleri içeren bazı zekice argümanlar gerekir. Ayrıntılar için aşağıdaki alıştırmalara bakın.)
Son olarak, bu son dikdörtgeni yığının üstüne koyun ve bu çokgeni - aslında herhangi bir çokgeni - genişliği 1 olan bir dikdörtgene başarıyla dönüştürdünüz.
Şimdi orijinal çokgenin alanı ise A, o zaman bu dikdörtgenin yüksekliği olmalıdır A, yani alanı olan her çokgen A makas genişliği 1 ve yüksekliği olan bir dikdörtgene eştir A. Bunun anlamı, eğer iki çokgenin alanı varsa A, o zaman her ikisi de aynı dikdörtgene makasla eştir, dolayısıyla geçişlilik nedeniyle birbirlerine makasla eştirler. Bu, alanı olan her çokgenin A Makas alanı olan diğer tüm çokgenlere eş midir? A.
Ancak bu güçlü sonuç bile Imaginary University'nin Brownie Bake Off değerlendirmesini başarıyla tamamlamaya yetmedi. Hala bir giriş kalmıştı ve Team Pi'nin ortaya çıkardığı şeye kimse şaşırmadı.
Gina o dairenin geldiğini gördüğü an soğuk terler içinde rüyasından uyandı. Bir daireyi sonlu sayıda parçaya ayırıp bunları bir kare, bir dikdörtgen veya herhangi bir çokgen oluşturacak şekilde yeniden düzenlemenin imkansız olduğunu biliyordu. 1964'te matematikçiler Lester Dubins, Morris Hirsch ve Jack Karush, bir dairenin herhangi bir çokgene makasla eş olmadığını kanıtladılar. Gina'nın rüyası geometrik bir kabusa dönüşmüştü.
Ama matematikçiler her zaman yaptıkları gibi bu engeli yeni matematiğe dönüştürdüler. 1990'da Miklós Laczkovich, bir makasla üretilmesi mümkün olmayan sonsuz küçük, sonsuz bağlantısız, sonsuz pürüzlü parçaları kullanabildiğiniz sürece, bir daireyi dilimleyip kare şeklinde yeniden düzenlemenin mümkün olduğunu kanıtladı.
Laczkovich'in sonucu ne kadar şaşırtıcı ve heyecan verici olsa da, böyle bir ayrışmanın teorik olarak mümkün olduğunu yalnızca kanıtladı. Parçaların nasıl inşa edileceğini açıklamıyordu, sadece var olabileceklerini açıklıyordu. Andras Máthé, Oleg Pikhurko ve Jonathan Noel'in devreye girdiği yer burası: 2022'nin başlarında onlar bir kağıt yayınladı Laczkovich'in başarısını eşleştirdikleri, ancak görselleştirilmesi mümkün olan parçalarla.
Ne yazık ki, herhangi bir kek pişirme işlemini halletmek için sonuçlarını kullanamayacaksınız. Makas tek başına 10'u üretemez200 ayrışmaları için gerekli parçalar. Ancak bu, Arşimet'in $lateks pi$'yi ilk icat etmesi veya keşfetmesiyle başlayan uzun bir soru dizisini yanıtlamada ileriye doğru atılmış bir başka adımdır. Ve önceki nesillerin hayal bile edemediği yeni matematiği icat etmeye veya keşfetmeye doğru ilerlememizi sağlıyor.
Egzersizler
1. Paralelkenarın alan formülünü türetirken kestiğimiz üçgenin paralelkenarın diğer tarafındaki boşluğa tam olarak uyduğunu nasıl bildiğimizi açıklayınız.
2. Herhangi bir üçgenin neden bir dikdörtgene ayrılabileceğini açıklayın.
Alıştırma 3 ve 4 için, bir h × w dikdörtgen bir makasla eştir hw × 1 dikdörtgen, noktaları etiketlenmiş.
3. Neden $lateks üçgeni$ açıklayın XYQ $latextriangle$'a benzer ABX. Bu uzunluğu ne yapar QY?
4. Neden $lateks üçgeni$ açıklayın PCX $lateks üçgeni$ ile uyumludur AZQ.
Cevap 1 için tıklayınız:
İki üçgenin eş olduğunu göstermenin birçok yolu vardır. Bir yol, paralel çizgiler arasındaki mesafenin sabit olduğunu, dolayısıyla iki dik üçgenin bir çift uyumlu bacağı olduğunu not etmektir.
Ve bir paralelkenarda, karşılıklı kenarlar eşittir, bu da iki üçgeni hipotenüs-bacak üçgeni uygunluk teoremine göre uyumlu yapar. Açı-kenar-açı üçgeni denklik teoremini kullanarak da bir tartışma yapabilirsiniz.
Cevap 2 için tıklayınız:
Üçgen geometrisindeki en önemli temel sonuçlardan biri, üçgen orta bölüm teoremidir: Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştirirseniz, ortaya çıkan doğru parçası üçüncü kenara paralel ve onun yarısı uzunluğundadır.
Doğru parçası üçüncü kenara paralel olduğundan, 1 ve 3 açıları birbirine karşılık gelen açılardır. Ve 1 ve 2 açıları aynı kenarlı iç açılardır, yani tümlerler, yani ölçülerinin toplamı 180 derecedir. $latexangle$ 1, $latexangle$ 3 ile eş olduğundan, bu, 3 ve 2 açılarının da tamamlayıcı olduğu anlamına gelir.
Böylece, üst üçgeni sağa ve sola çevirdiğinizde, eş kenarlar mükemmel bir şekilde eşleşecek ve 2 ve 3 numaralı açılar düz bir çizgi oluşturacaktır.
Bu, üçgeni, zaten bildiğimiz gibi bir dikdörtgene dönüştürülebilen bir paralelkenara dönüştürür.
Cevap 3 için tıklayınız:
Dan beri BXYZ bir dikdörtgendir, her ikisi de $latexangle$ ZBC ve $lateks açısı$ ZYX dik açılardır. Ve bir dikdörtgenin karşılıklı kenarları paralel olduğu için, bu $latexangle$ yapar YQX $latexangle$ ile uyumlu AXB, çünkü bunlar alternatif iç açılardır. Böylece $latextriangle$ XYQ $latextriangle$'a benzer ABX açı-açı benzerliğine göre. Benzer üçgenlerde kenarlar orantılıdır, yani $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Böylece, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, vb. QY = 1. Dikkat edin, çünkü $latexangle$ ADC dik açıdır ve $lateks açısı$ DAP ve $lateks açısı$ YQX uyumlu karşılık gelen açılardır, bu $lateks üçgeni$ yapar DAP $latextriangle$ ile uyumlu YQX. Bu, $latextriangle$ kaydırabileceğinizi kanıtlar. YQX şu anda $lateks üçgeni$ tarafından işgal edilen noktaya DAP, makas uygunluk bağımsız değişkeninde gerektiği gibi.
Cevap 4 için tıklayınız:
Dikkat edin, $lateks açısı$ AZQ ve $lateks açısı$ PCX her ikisi de dik açıdır ve bu nedenle eştir. Alıştırma 3'teki gibi paralel çizgilerin özelliklerini kullanarak $lateks açısının $ olduğunu da görebiliriz. AQZ ve $lateks açısı$ PX uzantısı eş açılardır. Ayrıca 3. egzersizde şunu gösterdik QY = 1. Bu, QZ = w − 1, tam olarak nedir CX eşittir. Böylece, $lateks üçgeni$ PCX $lateks üçgeni$ ile uyumludur AZQ açı-kenar-açı üçgen eşliği ile. Bu, argümanın diğer bölümünü haklı çıkarır. h × w dikdörtgen bir makasla eştir hw × 1 dikdörtgen.
