Bir İğnenin Üzerinde Duran Varsayımlar Kulesi | Quanta Dergisi

Matematikte basit bir problem çoğu zaman göründüğü gibi değildir. Bu yazın başlarında, Kuantum böyle bir sorun hakkında rapor verildi: Sonsuz incelikte bir iğneyi olası tüm yönlere döndürürken süpürebileceğiniz en küçük alan nedir? Bir kadran gibi merkezinin etrafında döndürdüğünüzde bir daire elde edersiniz. Ancak onu daha akıllıca döndürdüğünüzde, alanın keyfi olarak küçük bir bölümünü kaplayabilirsiniz. İğnenin sürekli bir hareketle hareket etmesine gerek duymuyorsanız ve bunun yerine bir iğneyi her yöne yerleştirmeniz gerekiyorsa, hiçbir alanı kaplamayan bir iğne düzeni oluşturabilirsiniz.

Matematikçiler bu düzenlemelere Kakeya kümeleri adını verirler. Bu tür kümelerin alan (veya iğnelerinizi üç veya daha fazla boyutta düzenliyorsanız hacim) açısından küçük olabileceğini bilmelerine rağmen, boyutları Hausdorff adı verilen bir metrikle ölçülüyorsa kümelerin her zaman büyük olması gerektiğine inanıyorlar. boyut.

Matematikçiler Kakeya varsayımı olarak bilinen bu ifadeyi henüz kanıtlayamadılar. Ancak görünüşte iğnelerle ilgili basit bir soru olsa da, "Bu Kakeya kümelerinin geometrisi, kısmi diferansiyel denklemler, harmonik analiz ve diğer alanlardaki çok sayıda soruyu destekliyor" dedi. jonathan hickman Edinburgh Üniversitesi'nden.

Kakeya varsayımı, harmonik analizdeki üç merkezi problemden oluşan hiyerarşinin temelinde yer alır; bu, fonksiyonların, düzenli olarak salınan sinüs dalgaları gibi periyodik fonksiyonların toplamları olarak nasıl temsil edilebileceğini inceleyen bir matematik dalıdır.

Bu hiyerarşideki bir sonraki adım “kısıtlama” varsayımıdır. Eğer bu doğruysa, Kakeya varsayımı da doğrudur. (Bu aynı zamanda Kakeya varsayımının yanlış çıkması durumunda kısıtlama varsayımının doğru olamayacağı anlamına da gelir.) Kısıtlama varsayımı da Bochner-Riesz varsayımı olarak adlandırılan varsayım tarafından ima edilir. Ve en tepede yerel yumuşatma varsayımı yer alıyor.

İlk iki varsayım, aslında neredeyse her fonksiyonun sinüs dalgalarının toplamı olarak nasıl ifade edileceğini hesaplamaya yönelik bir harmonik analiz tekniği olan Fourier dönüşümünün davranışıyla ilgilidir. Fizikçilerin ve mühendislerin kullanabileceği en güçlü matematiksel araçlardan biridir. Fourier dönüşümü, diferansiyel denklemlerin çözümünde, Heisenberg belirsizlik ilkesi gibi kuantum mekaniksel fikirlerin ifade edilmesinde ve sinyallerin analiz edilip işlenmesinde temel bir rol oynayarak modern cep telefonları gibi şeyleri mümkün kıldı.

Hiyerarşideki her ifade bir alttakini ima ettiğinden, eğer Kakeya varsayımı yanlışsa diğer varsayımların hiçbiri doğru değildir. Tüm kule çökecek. Hickman, "Birçok varsayımı çürütecek bir süper canavar karşı örneği yaratabilirsiniz" dedi.

Öte yandan, Kakeya varsayımının doğru olduğunu kanıtlamak, otomatik olarak diğer varsayımların da doğru olduğu anlamına gelmez; ancak matematikçilere nasıl ilerleyecekleri konusunda önemli bilgiler verecektir.

Ve böylece, "bildiğim kadarıyla harmonik analiz topluluğunun neredeyse yarısı bu ve ilgili problemler üzerinde çalışıyor veya bir noktada onlar üzerinde çalıştı" dedi. Guo'yu utandırmak Wisconsin Üniversitesi, Madison.

Son zamanlarda matematikçiler, şaşırtıcı bir şekilde, bu problemlerin üstesinden gelmek için geliştirdikleri tekniklerin, görünüşte ilgisiz olan sayı teorisi alanındaki önemli sonuçları kanıtlamak için de kullanılabileceğini keşfettiler. Guo, "Bu, insanların düşündüğünden çok daha genel bir olgu" dedi.

Katmanlı Kek

Hikaye Fourier dönüşümüyle başlıyor. "[Fonksiyonları] küçük parçalara ayırmak, etkileşimlerini analiz etmek ve tekrar bir araya getirmek istiyorsunuz" dedi Yumeng Ou Pensilvanya Üniversitesi'nden. Tek boyutlu fonksiyonlar için (bir kağıt parçası üzerine çizebileceğiniz eğriler) matematikçiler, Fourier dönüşümünü yalnızca bazı parçaları kullanarak tersine çevirmeleri gerekse bile, bunun nasıl yapılacağı konusunda iyi bir anlayışa sahiptir.

Ancak iki veya daha fazla boyutta işler karışabilir.

1971 olarak, Charlie FeffermanPrinceton Üniversitesi'nden matematikçi, Fourier dönüşümünü tersine çevirmenin birçok boyutta garip ve şaşırtıcı sonuçlara yol açabileceğini göstermek için Kakeya kümelerini nasıl kullanacağını buldu.

Matematikçiler, Bochner-Riesz varsayımı biçiminde bir çözüm buldular; bu varsayım, esasen, Fefferman'ın örneği gibi bozulmayan, orijinal işlevi geri kazanmanın daha karmaşık yollarının olduğunu belirtir. Ancak bu düzeltme Kakeya varsayımının doğruluğuna bağlıydı.

Eğer bu doğruysa, "frekansların kesilmesi yalnızca küçük hatalara yol açacaktır" dedi Betsy Stovall Wisconsin Üniversitesi, Madison. "Bu, küçük hataların patlamadığı anlamına geliyor."

Böylece hiyerarşi başladı. Daha sonra matematikçiler başka bir önemli bağlantı keşfettiler: Bochner-Riesz varsayımı doğruysa, kısıtlama varsayımı adı verilen bir ifadeyi de ima ediyordu. Bu varsayım, Fourier dönüşümünün sınırlı bir versiyonuyla başlarsanız (baktığınız değerleri yalnızca belirli yüzeylerde yaşayanlarla "sınırlandırırsanız"), bunun size yine de orijinal işlev hakkında önemli bilgiler verebileceğini belirtir. Ve eğer kısıtlama varsayımı doğruysa, Kakeya varsayımının da doğru olduğu ortaya çıktı. (Bu, Kakeya ile Bochner-Riesz arasındaki kısıtlama varsayımını kuleye yerleştirdi.)

Yerel yumuşatma varsayımı adı verilen hiyerarşideki en önemli sorun, doğrudan Fourier dönüşümüyle ilgilenmez, bunun yerine dalgaların davranışını tanımlayan denklemlerin çözümlerinin boyutuna sınırlar koyar.

Bunu Kakeya kümesindeki çizgilerin geometrisi açısından da düşünebilirsiniz. Dalga denkleminin genel çözümünü, farklı yönlerde hareket eden ve birbirleriyle zaman içinde farklı şekillerde etkileşime giren bir grup parçaya bölebilirsiniz. Bu parçaların her biri matematiksel olarak Kakeya setindeki bir iğneye benziyor. Kakeya varsayımı, böyle bir konfigürasyonun çok fazla örtüşmeye sahip olamayacağını öne sürüyor. Bu fiziksel bağlamda örtüşmeler, çözümdeki düzensiz ve beklenmedik davranışların devam etmesine karşılık gelecektir. Örneğin bir ses dalgası pek çok bölgede, pek çok farklı zamanda yükselebilir.

Yerel yumuşatma varsayımı, bu tür düzensizliklerin ortalamaya ulaşması gerektiğini belirtmektedir. “Finansal piyasanın ortalamasını almak gibi” dedi Ciprian Demeter Indiana Üniversitesi Bloomington'dan. "Orada burada çöküşler olabilir, ancak paranızı yatırırsanız ve 40 yıl içinde emekli olursanız, iyi yatırımlar elde etme şansınız yüksektir."

Ancak hiyerarşideki tüm varsayımlarda olduğu gibi bu da Kakeya varsayımının doğruluğuna bağlıdır. Stovall, "Buradaki fikir şu ki, eğer Kakeya setlerinde çok sayıda kesişmeyi göz ardı ederseniz, bu, çözümünüzün bazı kısımlarının bir araya gelip bir tür patlama yarattığı durumları da ortadan kaldırabileceğiniz anlamına gelir" dedi.

Bu varsayım en zor olanıdır: Kakeya, kısıtlama ve Bochner-Riesz problemlerinin iki boyutlu durumları onlarca yıl önce çözülmüşken, iki boyutlu yerel yumuşatma varsayımı yalnızca birkaç yıl önce kanıtlandı. (Daha yüksek boyutlarda tüm bu sorunlar açık kalır.)

Ancak yerel yumuşatma varsayımını kanıtlama konusundaki yavaş ilerlemeye rağmen, bunun üzerinde yapılan çalışmalar başka yerlerde muazzam ilerlemelere yol açtı. 1999 yılında matematikçi Thomas Wolff, bu varsayımı çözmeye çalışırken ayrıştırma olarak bilinen bir yöntemi tanıttı. O zamandan beri bu teknik kendi başına bir hayat kazandı: Sadece harmonik analizde değil, sayılar teorisi, geometri ve diğer alanlarda da büyük atılımlar yapmak için kullanıldı. "Ayırma sonuçlarını kullanarak artık çok ünlü, önemli problemlerde dünya rekorlarına sahipsiniz" dedi Christopher Sogge Yerel yumuşatma varsayımını ilk kez 1990'larda formüle eden Johns Hopkins Üniversitesi'nden Dr. Örneğin ayrıştırma, bir tam sayının karelerin, küplerin veya başka bir kuvvetin toplamı olarak kaç şekilde temsil edilebileceğini saymaya yardımcı olmak için kullanılmıştır.

Demeter'in ifadesiyle bu sonuçlar mümkün çünkü "sayılara dalga olarak bakabiliyoruz." Tüm bu sorunların Kakeya iğne setleriyle bağlantılı olmasının "büyüleyici" olduğunu ekledi. "Çizgi parçaları kullanılarak formüle edilebilecek bir şeyde bu kadar güzelliğin, zorluğun ve önemin gizlenebileceğini düşünmüyorsunuz."