Yeni Kanıt Yapışkan Bir Geometri Problemine İğne İpliği Atıyor | Quanta Dergisi

1917'de Japon matematikçi Sōichi Kakeya, ilk başta eğlenceli bir geometri egzersizinden başka bir şey gibi görünmeyen bir poz verdi. Sonsuz incelikte, inç uzunluğunda bir iğneyi düz bir yüzeye koyun, ardından sırayla her yönü gösterecek şekilde döndürün. İğnenin süpürebileceği en küçük alan neresidir?

Basitçe merkezi etrafında döndürürseniz, bir daire elde edersiniz. Ancak iğneyi yaratıcı şekillerde hareket ettirmek mümkündür, böylece çok daha küçük bir alan kazanırsınız. O zamandan beri matematikçiler, bu sorunun Kakeya varsayımı adı verilen ilgili bir versiyonunu ortaya attılar. Bunu çözme girişimlerinde, harmonik analiz, sayı teorisi ve hatta fizikle şaşırtıcı bağlantılar ortaya çıkardılar.

"Her nasılsa, birçok farklı yönü işaret eden bu çizgi geometrisi, matematiğin büyük bir bölümünde her yerde bulunur" dedi. jonathan hickman Edinburgh Üniversitesi'nden.

Ama aynı zamanda matematikçilerin hala tam olarak anlayamadığı bir şey. Son birkaç yılda, Kakeya varsayımının varyasyonlarını kanıtladılar. daha kolay ayarlarda, ancak soru normal, üç boyutlu uzayda çözülmeden kalır. Bir süre, çok sayıda matematiksel sonucu olmasına rağmen, varsayımın bu versiyonundaki tüm ilerleme durmuş gibi göründü.

Şimdi, iki matematikçi tabiri caizse iğneyi hareket ettirdi. Onların yeni kanıtı büyük bir engeli ortadan kaldırır on yıllardır geçerli olan bu, bir çözümün nihayet görünürde olabileceğine dair umudu yeniden alevlendiriyor.

Küçük Anlaşma Nedir?

Kakeya, her yönde 1 uzunluğunda bir doğru parçasını içeren düzlemdeki kümelerle ilgilendi. Bu tür kümelerin pek çok örneği vardır, en basiti 1 çapında bir disktir. Kakeya bu tür en küçük kümenin nasıl görüneceğini öğrenmek istedi.

Diskin alanının yarısına sahip, deltoid adı verilen, kenarları hafifçe çökmüş bir üçgen önerdi. Ancak, çok daha iyisini yapmanın mümkün olduğu ortaya çıktı.

1919'da, Kakeya'nın problemini ortaya koymasından sadece birkaç yıl sonra, Rus matematikçi Abram Besicovitch, iğnelerinizi çok özel bir şekilde düzenlerseniz, keyfi olarak küçük bir alana sahip, dikenli görünümlü bir set oluşturabileceğinizi gösterdi. (Birinci Dünya Savaşı ve Rus Devrimi nedeniyle, sonuçları matematik dünyasının geri kalanına birkaç yıl daha ulaşamayacaktı.)

Bunun nasıl çalıştığını görmek için bir üçgen alın ve onu tabanı boyunca daha ince üçgen parçalara bölün. Ardından, bu parçaları olabildiğince üst üste binecek, ancak biraz farklı yönlerde çıkıntı yapacak şekilde kaydırın. İşlemi defalarca tekrarlayarak - üçgeninizi daha ince ve daha ince parçalara bölerek ve bunları uzayda dikkatlice yeniden düzenleyerek - setinizi istediğiniz kadar küçük yapabilirsiniz. Sonsuz limitte, matematiksel olarak alanı olmayan ancak yine de paradoksal olarak herhangi bir yönü gösteren bir iğneyi barındırabilen bir küme elde edebilirsiniz.

"Bu biraz şaşırtıcı ve mantığa aykırı," dedi Ruixiang Zhang Kaliforniya Üniversitesi, Berkeley. "Çok patolojik bir set."

Bu sonuç daha yüksek boyutlara genelleştirilebilir: Her yönü işaret eden bir birim doğru parçasını içeren, isteğe bağlı olarak küçük hacimli bir küme oluşturmak mümkündür. n-boyutlu uzay.

Besicovitch, Kakeya'nın sorusunu tamamen çözmüş gibiydi. Ancak on yıllar sonra matematikçiler, alanı (veya daha yüksek boyutlu durumda hacmi) farklı bir boyut kavramıyla değiştirdikleri problemin başka bir versiyonu üzerinde çalışmaya başladılar.

Sorunun bu yeniden çerçevelenmesini anlamak için, önce bir Kakeya setindeki her çizgi parçasını alın ve biraz kalınlaştırın - sanki idealleştirilmiş bir iğne yerine gerçek bir iğne kullanıyormuşsunuz gibi. Uçakta setiniz son derece ince dikdörtgenlerden oluşacak; üç boyutlu uzayda son derece ince tüplerden oluşan bir koleksiyona sahip olacaksınız.

Bu besi setlerinin her zaman bir miktar alanı (veya hacmi) vardır, ancak şimdilik iki boyutlu duruma bağlı kalacağız. İğnenizin genişliğini değiştirdikçe bu alan değişecektir. 1970'lerde matematikçi Roy Davies (geçen ay öldü), toplam alan küçük bir miktar değişirse, her bir iğnenin genişliğinin büyük ölçüde değişmesi gerektiğini gösterdi. Örneğin, Besicovitch setinin kalınlaştırılmış bir versiyonunun 1/10 inç karelik bir alana sahip olmasını istiyorsanız, her bir iğnenin yaklaşık 0.000045 inçlik bir kalınlığa sahip olması gerekir: e^-10 kesin olmak gerekirse bir inç. Ancak toplam alanı bir inç karenin 1/100'ü kadar - 10 kat daha küçük - yapmak isteseydiniz, iğnenin e^-100 bir inç kalınlığında. (Diğer basamaklara gelmeden önce virgülü kırk üç sıfır takip eder.)

"Bölgenin ne kadar küçük olmasını istediğinizi söylerseniz, o zaman inanılmaz derecede ince bir iğne talep etmek zorunda kalacağım" dedi. Charles Fefferman Princeton Üniversitesi'nden.

Matematikçiler, Kakeya kümesinin "boyutunu", Minkowski boyutu adı verilen ve sıradan bir boyutla (bir alanı tanımlamak için ihtiyaç duyduğunuz bağımsız yönlerin sayısı olarak tanımlanır) ilişkili ancak tam olarak aynı olmayan bir niceliği kullanarak ölçer.

İşte Minkowski boyutunu düşünmenin bir yolu: Setinizi alın ve her biri tercih ettiğiniz birimin milyonda biri çapında olan küçük toplarla kaplayın. Setiniz 1 uzunluğunda bir çizgi parçasıysa, onu kaplamak için en az 1 milyon topa ihtiyacınız olacaktır. Kümeniz alan 1'in bir karesiyse, çok, çok daha fazlasına ihtiyacınız olacak: bir milyon kare veya bir trilyon. 1. hacimdeki bir küre için, yaklaşık 1 milyon küp (bir kentilyon) vb. Minkowski boyutu, bu üssün değeridir. Her bir topun çapı küçüldükçe setinizi doldurmanız gereken top sayısının artma hızını ölçer. Doğru parçasının boyutu 1, karenin boyutu 2 ve küpün boyutu 3'tür.

Bu boyutlar tanıdıktır. Ancak Minkowski'nin tanımını kullanarak, örneğin 2.7 boyutuna sahip bir küme oluşturmak mümkün olur. Böyle bir küme üç boyutlu uzayı doldurmasa da, bir anlamda iki boyutlu bir yüzeyden “daha ​​büyüktür”.

Bir seti belirli bir çaptaki toplarla kapladığınızda, setin şişmanlamış versiyonunun hacmine yaklaşmış olursunuz. İğnenizin boyutuyla birlikte setin hacmi ne kadar yavaş azalırsa, onu örtmek için o kadar fazla top gerekir. Bu nedenle, Davies'in sonucunu - düzlemde bir Kakeya kümesinin alanının yavaşça azaldığını belirten - kümenin Minkowski boyutunun 2 olması gerektiğini gösterecek şekilde yeniden yazabilirsiniz. Kakeya varsayımı bu iddiayı daha yüksek boyutlara geneller: Bir Kakeya kümesi her zaman içinde bulunduğu alanla aynı boyuta sahiptir.

Bu basit ifadeyi kanıtlamak şaşırtıcı derecede zor oldu.

Bir Varsayımlar Kulesi

Fefferman yapana kadar şaşırtıcı bir keşif 1971'de varsayım bir merak olarak görülüyordu.

O sırada tamamen farklı bir problem üzerinde çalışıyordu. Matematikçilerin fonksiyonları sinüs dalgalarının toplamı olarak yazarak incelemelerine olanak tanıyan güçlü bir araç olan Fourier dönüşümünü anlamak istedi. Pek çok örtüşen frekanstan oluşan bir nota düşünün. (Bu yüzden piyanodaki orta C sesi kemandaki orta C'den farklı ses çıkarır.) Fourier dönüşümü, matematikçilerin belirli bir notayı oluşturan frekansları hesaplamasına olanak tanır. Aynı prensip, insan konuşması kadar karmaşık sesler için de geçerlidir.

Matematikçiler ayrıca, sonsuz sayıda bileşen frekansının sadece bir kısmı kendilerine verilirse, orijinal işlevi yeniden oluşturup oluşturamayacaklarını bilmek isterler. Bunun tek boyutta nasıl yapılacağına dair iyi bir anlayışa sahipler. Ancak daha yüksek boyutlarda, hangi frekansları kullanacakları ve hangilerini göz ardı edecekleri konusunda farklı seçimler yapabilirler. Fefferman, meslektaşlarını şaşırtacak şekilde, özellikle iyi bilinen bir frekans seçme yöntemine güvenirken işlevinizi yeniden oluşturmada başarısız olabileceğinizi kanıtladı.

Kanıtı, Besicovitch'in Kakeya setini değiştirerek bir fonksiyon oluşturmaya bağlıydı. Bu daha sonra matematikçilere Fourier dönüşümünün daha yüksek boyutlu davranışı hakkında bir varsayımlar hiyerarşisi geliştirmeleri için ilham verdi. Bugün hiyerarşi, Schrödinger denklemi gibi fizikteki önemli kısmi diferansiyel denklemlerin davranışı hakkında varsayımlar bile içeriyor. Hiyerarşideki her varsayım otomatik olarak altındakini ima eder.

Kakeya varsayımı bu kulenin tam temelinde yatıyor. Yanlışsa, hiyerarşide daha yüksek olan ifadeler de yanlıştır. Öte yandan, bunun doğru olduğunu kanıtlamak, hemen üzerinde bulunan varsayımların doğruluğunu ima etmez, ancak onlara saldırmak için araçlar ve içgörüler sağlayabilir.

“Kakeya varsayımıyla ilgili şaşırtıcı olan şey, bunun sadece eğlenceli bir problem olmaması; bu gerçek bir teorik darboğaz," dedi Hickman. "Kısmi diferansiyel denklemlerde ve Fourier analizinde bu fenomenlerin çoğunu anlamıyoruz çünkü bu Kakeya kümelerini anlamıyoruz."

Bir Planın Kuluçkalanması

Fefferman'ın kanıtı - daha sonra sayı teorisi, kombinatorik ve diğer alanlarda keşfedilen bağlantılarla birlikte - en iyi matematikçiler arasında Kakeya problemine olan ilgiyi canlandırdı.

1995 yılında Thomas Wolff, 3B uzayda bir Kakeya setinin Minkowski boyutunun en az 2.5 olması gerektiğini kanıtladı. Bu alt sınırı artırmanın zor olduğu ortaya çıktı. Daha sonra, 1999'da matematikçiler Ağ Katz, izabella Łaba ve Terence tao yenmeyi başardı. Yeni sınırları: 2.500000001. İyileştirme ne kadar küçük olsa da, büyük bir teorik engeli aştı. Onların kağıdı yayımlanan Matematik Yıllıkları, alanın en prestijli dergisi.

Katz ve Tao daha sonra bu çalışmadaki bazı fikirleri 3B Kakeya varsayımına farklı bir şekilde saldırmak için uygulamayı umdular. Herhangi bir karşı örneğin üç belirli özelliği olması gerektiğini ve bu özelliklerin bir arada bulunmasının bir çelişkiye yol açması gerektiğini varsaydılar. Bunu kanıtlayabilirlerse, bu, Kakeya varsayımının üç boyutta doğru olduğu anlamına gelir.

Bütün yolu gidemediler ama biraz ilerleme kaydettiler. Özellikle, (diğer matematikçilerle birlikte) herhangi bir karşı örneğin üç özellikten ikisine sahip olması gerektiğini gösterdiler. "Düzlemsel" olmalıdır, yani doğru parçaları bir noktada kesiştiğinde, bu parçalar da hemen hemen aynı düzlemde bulunur. Aynı zamanda, yakın kesişme noktalarının düzlemlerinin benzer şekilde yönlendirilmesini gerektiren "grenli" olmalıdır.

Bu üçüncü mülkü terk etti. "Yapışkan" bir kümede, hemen hemen aynı yönü gösteren çizgi parçaları da uzayda birbirine yakın yerleştirilmelidir. Katz ve Tao, tüm karşı örneklerin yapışkan olması gerektiğini kanıtlayamadı. Ancak sezgisel olarak, yapışkan bir set, çizgi parçaları arasında çok fazla örtüşmeyi zorlamanın en iyi yolu gibi görünüyor, böylece seti olabildiğince küçük hale getiriyor - tam olarak bir karşı örnek oluşturmak için ihtiyacınız olan şey. Birisi yapışkan bir Kakeya setinin Minkowski boyutunun 3'ten küçük olduğunu gösterebilseydi, bu 3D Kakeya varsayımını çürütürdü. "'Yapışkan' en endişe verici durum gibi görünüyor" dedi Larry Guth Massachusetts Teknoloji Enstitüsü'nün.

Artık bir endişe değil.

yapışma noktası

2014'te - Katz ve Tao'nun Kakeya varsayımını kanıtlamaya çalışmasından on yıldan fazla bir süre sonra - Tao yaklaşımlarının bir taslağını yayınladı blogunda, diğer matematikçilere bunu kendileri için deneme şansı veriyor.

2021 olarak, Hong Wang, New York Üniversitesi'nde bir matematikçi ve Joshua Zahl British Columbia Üniversitesi'nden Tao ve Katz'ın kaldığı yerden devam etmeye karar verdi.

Minkowski boyutu 3'ten küçük olan yapışkan bir karşı örneğin varlığını varsayarak başladılar. Önceki çalışmalardan böyle bir karşı örneğin planlı ve grenli olması gerektiğini biliyorlardı. Zahl, "Demek Terry Tao ve Nets Katz'ın düşündüğü türden bir dünyadaydık" dedi. Şimdi, yassı, grenli ve yapışkan özelliklerin birbiriyle oynadığını ve bir çelişkiye yol açtığını göstermeleri gerekiyordu, bu da bu karşı örneğin gerçekte var olamayacağı anlamına gelirdi.

Ancak bu çelişkiyi elde etmek için Wang ve Zahl dikkatlerini Katz ve Tao'nun öngörmediği bir yöne, yansıtma teorisi olarak bilinen bir alana çevirdiler.

Yapışkan karşı örneğinin yapısını daha ayrıntılı bir şekilde analiz ederek işe başladılar. Kümenin idealize edilmiş halini göz önünde bulundurursanız, her yönü gösteren sonsuz sayıda çizgi parçasına sahiptir. Ancak bu problemde, bu çizgi parçalarının şişmanlamış versiyonlarıyla uğraştığınızı unutmayın - bir grup iğne. Bu iğnelerin her biri, idealleştirilmiş çizgi parçalarının çoğunu içerebilir, yani tüm sonsuz kümeyi sınırlı sayıda iğne ile kodlayabilirsiniz. İğnelerin ne kadar kalın olduğuna bağlı olarak, besi setiniz çok farklı görünebilir.

Set yapışkansa, iğneler ne kadar kalın olursa olsun aşağı yukarı aynı görünecektir.

Wang ve Zahl bu özelliği, iğneler inceldikçe setin giderek daha düzgün hale geldiğini göstermek için kullandılar. Zahl, bu süreçte "daha da patolojik bir nesneyi çıkarabileceklerini" söyledi - imkansız niteliklere sahip gibi görünen bir şey.

Sonra gösterdikleri buydu. Bu patolojik nesnenin, her ikisi de çelişkilere yol açan iki yoldan biri olması gerektiğini kanıtladılar. Ya onu birçok yönde çok daha küçültecek şekilde 2B uzaya yansıtabileceksiniz - Wang ve meslektaşlarının az önce sahip olduğu bir şey. imkansız gösterildi. Ya da ikinci durumda, takımdaki iğneler, Zahl ve işbirlikçilerinin yakın zamanda kanıtlamış olduğu çok özel bir işleve göre düzenlenecekti. var olamaz, çünkü mantıklı olmayan başka türden tahminlere yol açacaktı.

Wang ve Zahl'ın artık çelişkileri vardı - yani Kakeya varsayımının kalıcı karşı örnekleri yok. (Bunu yalnızca Minkowski boyutu için değil, aynı zamanda Hausdorff boyutu olarak adlandırılan ilgili bir nicelik için de gösterdiler.) Zahl, "Sonuç, tüm bu karşı örnekler sınıfını dışlıyor," dedi - matematikçilerin çürütme olasılığının en yüksek olduğunu düşündükleri tam küme türü. varsayım.

Yeni çalışma "Kakeya varsayımının doğru olduğuna güçlü bir destek" dedi. Pablo Şmerkin British Columbia Üniversitesi'nden. Yalnızca üç boyutlu durum için geçerli olsa da, tekniklerinden bazıları daha yüksek boyutlarda faydalı olabilir. Matematikçiler, diğer sayı sistemlerinde varsayım üzerinde ilerleme kaydetmek için yıllarını harcadıktan sonra, problemin orijinal gerçek sayılar alanına dönüşten heyecan duyuyorlar.

Zhang, "Bu davayı tamamen çözmüş olmaları dikkate değer," dedi. "Gerçek ortamda, bu son derece nadirdir." Ve eğer herhangi biri bir karşı örneğin yapışkan olması gerektiğini kanıtlayabilirse, yeni sonuç üç boyutlu tam varsayımı ima edecektir. Onun üzerine inşa edilen varsayımlar hiyerarşisi o zaman güvende, temeli sağlam kalacaktır.

Zahl, "Bir şekilde, yansıtma kuramındaki, görünüşte birbiriyle pek ilgisi olmayan bu iki farklı sorun, Kakeya için tam olarak ihtiyaç duyulan şeyi vermek üzere oldukça güzel bir şekilde bir araya geliyor," dedi.