Еліптичні криві розкривають свої секрети в новій системі числення | Журнал Quanta

Багато складних досягнень у дослідницькій математиці викликані бажанням зрозуміти деякі з найпростіших питань про числа. Як розподіляються прості числа в цілих числах? Чи існують ідеальні кубики (наприклад, 8 = 2³ або 27 = 3³), що можна записати як суму двох інших кубів? Загалом, математики можуть захотіти розв’язати рівняння. Але часто це неможливо зробити, попрацювавши над самим рівнянням. Натомість математики знаходять способи зв’язати рішення з дико абстрактними структурами, у складності яких зашифровані їхні таємниці.

Протягом останніх кількох десятиліть одне з найцікавіших напрямів дослідження в математиці було в цій формі. Це пов’язано з розумінням зв’язку між певними видами поліноміальних рівнянь, які називаються еліптичними кривими, та більш езотеричними об’єктами, які називаються модульними формами, які набули популярності в математиці в 1994 році, коли Ендрю Вайлз використав їх для доведення останньої теореми Ферма, одного з найвідоміших результатів 20-го століття. математика.

У січні минулого року Ана Караяні Імперського коледжу Лондона та Боннського університету Джеймс Ньютон Оксфордського університету відкрив новий напрямок досліджень у цій галузі коли довели що Вайлз встановив зв’язок між еліптичними кривими та модульними формами також справедливий для деяких математичних об’єктів, які називаються уявними квадратичними полями.

Вайлз довів, що певні типи еліптичних кривих є модульними — це означає, що існує певна модульна форма, яка відповідає кожній кривій — коли дві змінні та два коефіцієнти, задіяні у визначенні кривої, є раціональними числами, значеннями, які можна записати дробами. Після його роботи математики намагалися встановити модульність у більшій різноманітності контекстів. У 2001 році четверо математиків довели, що всі еліптичні криві є модулярними над раціональними числами (тоді як Вайлз довів це лише для деяких кривих). У 2013 році троє математиків в т.ч Самір Сіксек Університету Ворвіка довів, що еліптичні криві також є модулярними над дійсними квадратичними полями  (це означає, що змінні та коефіцієнти беруться із системи числення, яка називається дійсним квадратичним полем).

По мірі прогресу одна конкретна мета залишалася недосяжною: довести, що еліптичні криві є модулярними над уявними квадратичними полями.

Квадратичні поля є математичним переходом між раціональними числами та дійсними числами, які включають усі можливі десяткові числа, навіть ті з нескінченними шаблонами праворуч від коми, які ніколи не повторюються. (Сюди входять усі ірраціональні числа, наприклад $latex sqrt{2}$ або $latex pi $.)

Квадратичні поля вибирають деяке ціле число — скажімо, 5 — і містять усі числа у формі $latex a + bsqrt{5}$, де a та b обидва є раціональними числами. Якщо ціле число, про яке йде мова, додатне, то отримане квадратичне поле є підмножиною дійсних чисел, тому воно називається дійсним квадратичним полем.

А як щодо еліптичних кривих, які визначені над уявними квадратичними полями — тими, які утворюються витягуванням квадратного кореня з від’ємного числа?

Ось цю проблему вирішували Караяні та Ньютон.

Сотні років тому математики визначили квадратний корінь із від’ємних чисел простим способом: вони дали назву, i, до квадратного кореня з −1. Тоді квадратний корінь будь-якого іншого від’ємного числа є справедливим i помножити на квадратний корінь із відповідного додатного числа. Отже, $latex sqrt{-5}=isqrt{5}$. Уявні числа відіграють вирішальну роль у математиці, оскільки для вирішення багатьох завдань з ними легше працювати, ніж з реальними числами.

Але доказ того, що еліптичні криві є модулярними над уявними квадратичними полями, довго залишався недосяжним, оскільки техніка доказу модулярності над реальними квадратичними полями не працює.

Караяні та Ньютон досягли модульності — для всіх еліптичних кривих приблизно на половині всіх уявних квадратичних полів — з’ясувавши, як адаптувати процес доказу модульності, запроваджений Уайлсом та іншими, до еліптичних кривих над уявними квадратичними полями.

«Ось тут і з’явилася чудова робота Караяні та Ньютона. Вони вдосконалили другий крок Уайлза», – сказав Чандрашехар Кхаре Каліфорнійського університету, Лос-Анджелес.

Ця робота сама по собі є технічним досягненням, і вона відкриває двері для досягнення прогресу в деяких найважливіших питаннях математики в уявній обстановці.

Сваха, Сваха

Математики дбали про рішення поліноміальних рівнянь — комбінацій змінних, зведених до постійних степенів — принаймні з часів стародавніх греків. Рівняння бувають нескінченні різновиди, що досягається шляхом регулювання кількості змінних, коефіцієнтів цих змінних і ступенів, до яких вони зведені. $latex 3x^5+x^4−9x^3−4x^2+x−7=0$ є лише одним із прикладів.

Еліптичні криві — це поліноміальні рівняння, які мають оптимальний рівень жорсткості для математичного дослідження. Є приборка (і широко навч) формула для знаходження розв’язків квадратних поліномів від однієї змінної, у яких найвищий ступінь дорівнює 2, але не існує такої формули для розв’язків поліномів, у яких найвищий степінь дорівнює 5 або вище. Додавання більшої кількості змінних також ускладнює речі. Але еліптичні криві, які мають дві змінні та найвищий ступінь яких дорівнює 3, як $latex (y^2=x^3+1)$, досить складні, щоб надихнути на винахід, але не настільки жорсткі, що здаються безнадійними.

Одне з основних питань щодо еліптичної кривої полягає в тому, чи існує скінченна чи нескінченна кількість раціональних пар, які її розв’язують. Одні еліптичні криві мають скінченну кількість раціональних розв’язків, інші — нескінченно багато, а деякі не мають жодного.

«У них така кумедна проміжна поведінка», — сказав Караяні.

Якщо вам вручають випадкову еліптичну криву, не відразу зрозуміло, до якої категорії вона належить. Але його можна декодувати, поєднавши його з відповідним об’єктом, який називається модульною формою, властивості якого розкривають відповідь.

Злови мене модульна форма

Модульні форми — це функції, які вивчаються в аналізі, вдосконалена форма числення. Вони є дуже симетричний і часто можна перекладати — зміщувати вліво або вправо — без втрати зовнішнього вигляду. Таким чином, вони мають спільні риси з іншими високосиметричними функціями, такими як функція синус, хоча їх не так просто записати чи візуалізувати.

Кожна модульна форма має коефіцієнти. Їх можна записати, створивши ряд чисел. Ці числа мають дуже гарні властивості і здаються далеко не випадковими. Вони ввели в оману математиків на початку 20-го століття, коли математичний геній Срінівасан Рамануджан почав усвідомлювати, що закономірності в коефіцієнтах модульної форми пояснюються тим фактом, що кожна модульна форма приєднана до об’єкта другого типу, який називається представленням Галуа. . Пізніші роботи підтвердили зв’язок.

Еліптичні криві також мають представлення Галуа, і після роботи Рамануджана здавалося можливим, що представлення Галуа можна інтерполювати між еліптичними кривими та модульними формами: почніть з одного, визначте його представлення Галуа, знайдіть інше.

«Ви начебто думаєте: еліптичні криві, об’єкти з геометрії мають представлення Галуа, а модульні форми мають представлення Галуа — чи є відповідність?» – сказав Сіксек.

Наприкінці 1950-х років Ютака Таніяма та Горо Шімура припустили, що існує ідеальна відповідність 1 до 1 між певними модульними формами та еліптичними кривими. Наступне десятиліття Роберт Ленглендс спирався на цю ідею у своїй побудові широка програма Ленглендса, яка стала однією з найбільш масштабних і послідовних дослідницьких програм у математиці.

Якщо відповідність 1 до 1 вірна, це дало б математикам потужний набір інструментів для розуміння розв’язків еліптичних кривих. Наприклад, існує своєрідне числове значення, пов’язане з кожною модульною формою. Одна з найважливіших відкритих задач у математиці (доведення її приходить із a приз у мільйон доларів) — гіпотеза Берча та Свіннертона-Дайєра — передбачає, що якщо це значення дорівнює нулю, то еліптична крива, пов’язана з цією модульною формою, має нескінченну кількість раціональних розв’язків, а якщо вона не дорівнює нулю, еліптична крива має скінченну кількість раціональних розв’язків.

Але перш ніж братися за щось подібне, математики повинні знати, що відповідність виконується: дайте мені еліптичну криву, і я можу передати вам її відповідну модульну форму. Доводом цього займалися багато математиків, від Уайлса до Караяні та Ньютона, протягом останніх кількох десятиліть.

Перегляньте свою книгу

До роботи Вайлза математикам вдалося довести один напрямок відповідності: у деяких випадках вони могли почати з модульної форми та знайти відповідну їй еліптичну криву. Але піти в іншому напрямку — саме це мають на увазі математики, коли говорять про модульність еліптичних кривих — було важче, і Вайлз був першим, хто досяг цього.

«Раніше люди знали, як переходити від модульної форми до еліптичної за певних обставин, але цей зворотний напрямок від еліптичної до модульної був мотивом Вайлза», — сказав Кхаре.

Вайлз довів модульність для деяких видів еліптичних кривих з коефіцієнтами, які є раціональними числами. Цього самого по собі було достатньо, щоб довести останню теорему Ферма через протиріччя. (Вайлз довів, що якби остання теорема Ферма була хибною, це означало б існування еліптичної кривої, яка, як було встановлено попередніми роботами, не може існувати. Тому остання теорема Ферма має бути істинною.)

Розширюючи роботу Вайлса над еліптичними кривими, математики використовували той самий метод, який він використовував для підтвердження свого початкового результату.

Після успіху в узагальненні результату на раціональні числа та раціональні квадратичні поля, очевидним наступним розширенням були уявні квадратичні поля.

«Є лише дві речі, які можуть статися: поле або реальне, або уявне», — сказав Караяні. «Реальний випадок уже зрозуміли, тому природно перейти до уявного».

Уявні квадратичні поля мають ті самі основні арифметичні властивості, що й раціональні та дійсні числа, але метод Уайлза не можна було пересадити туди так само легко. Є багато причин чому, але, зокрема, модульні форми над уявними квадратичними полями набагато менш симетричні, ніж над раціональними та дійсними числами. Ця відносна відсутність симетрії ускладнює визначення їхніх представлень Галуа, які є ключем до встановлення відповідності з еліптичною кривою.

Протягом багатьох років після доказу Ферма Уайлза «випадок уявних квадратичних полів все ще був поза межами можливого», — сказав Кхаре. Але за останнє десятиліття низка досягнень підготувала шлях для роботи Караяні та Ньютона.

Принеси мені кільце (або, ще краще, поле)

Першим кроком у методі Вайлза було встановлення приблизної відповідності між еліптичними кривими та модульними формами. Вони з’єднані через уявлення Галуа, які закодовані в ряді чисел, що походять унікально з обох сторін пари.

Зрештою, ви хочете показати, що числа, які визначають представлення Галуа, точно збігаються, але на цьому першому кроці достатньо показати, що вони відрізняються деякою постійною похибкою. Наприклад, ви можете довести, що ряд чисел збігається, якщо ви можете додати або відняти кратні 3, щоб отримати від кожного числа відповідне число. У цьому світлі (4, 7, 2) збігається з (1, 4, 5) або з (7, 10, 8), але не збігається з (2, 8, 3). Ви також можете сказати, що вони збігаються, якщо вони відрізняються на кратне 5, 11 або будь-яке просте число (з технічних, але важливих причин, похибка завжди має бути простим). 2019 рік папір by Патрік Аллен, Харе і Джек Торн забезпечив такий вид опори на проблему.

«Вони довели теореми, які дають вам з чого почати», — сказав Ньютон.

Приблизно в той самий час, коли була написана стаття 2019 року, група з 10 математиків працювала над тим, щоб додаткові кроки методу Вайлза працювали для уявних квадратичних полів. Співпраця почалася протягом тижня, проведеного в Інституті перспективних досліджень, і включала Аллена та Торна — співавторів статті 2019 року — а також Караяні та Ньютона.

Першою метою групи було встановити, що представлення Галуа, що походять від модульних форм, мають певний вид внутрішньої узгодженості. Ця властивість — яка є передумовою для їх узгодження з уявленнями Галуа, отриманими з еліптичних кривих — називається локально-глобальна сумісність.

Колаборація з 10 осіб вдалося це зробити у деяких особливих випадках, але не в більшості. Коли співпраця закінчилася, Караяні та Ньютон вирішили продовжити співпрацю, щоб побачити, чи зможуть вони зробити більше.

«Ми були в Лондоні одночасно, і нам було приємно говорити один з одним про те, що виявилося в тому проекті 10 авторів», — сказав Караяні. «Ми знали, які були точки спотикання, які були перешкоди для просування далі».

Ніч за ніччю в темряві 

Невдовзі після того, як вони почали працювати самостійно, Караяні та Ньютон розробили стратегію виходу за рамки роботи, яку вони розпочали з більшою групою. Це не здавалося явно неправильним, але вони також не мали уявлення, чи це справді спрацює.

«Ми почали з оптимістичною ідеєю, що все вийде, що ми зможемо довести щось дещо сильніше, ніж ця стаття 10 авторів, і зрештою ми це зробили», — сказав Ньютон.

Караяні та Ньютон працювали над цією ідеєю два роки, і наприкінці 2021 року їхній оптимізм виправдався: вони покращили результат локальної та глобальної сумісності, отриманий командою з 10 авторів. Вони описують, як у довгому технічному розділі, який складається з першої половини їхньої остаточної роботи, яка має понад 100 сторінок.

«Ми знали, що як тільки у нас буде ця технічна частина, модульність почне діяти», — сказав Караяні.

Першим кроком методу Вайлза було встановлення свого роду приблизної модульності. Другим кроком був результат локально-глобальної сумісності. Третім кроком було взяти їхні знання про те, що принаймні невелика кількість кривих є модульними, і використовувати їх, щоб довести, що багато кривих є модульними. Цей крок став можливим завдяки тому, що називається теоремою підйому модульності.

«Це дозволяє поширювати модульність», — сказав Ньютон. «Якщо ви знаєте модульність чогось, цей підйом речей дозволить вам врятувати модульність багатьох інших речей. Ви якось добре поширюєте цю властивість модульності».

Незрівнянний матч

Застосування теореми підйому дозволило Караяні та Ньютону довести модульність нескінченної кількості еліптичних кривих, але все ще були деякі кутові випадки, які вони не могли зрозуміти. Це була невелика кількість сімейств еліптичних кривих з унікальними властивостями, які робили їх недоступними для теореми підйому.

Але оскільки їх було дуже мало, Караяні та Ньютон могли атакувати їх вручну, обчислюючи їхні представлення Галуа одне за іншим, щоб спробувати знайти відповідність.

«Там ми веселилися, обчислюючи багато-багато точок на деяких кривих», — сказав Караяні.

Зусилля були успішними, до певного моменту. Зрештою Караяні та Ньютону вдалося довести, що всі еліптичні криві є модулярними відносно половини уявних квадратичних полів, включаючи поля, утворені об’єднанням раціональних чисел із квадратним коренем із −1, −2, −3 або −5. Для інших уявних квадратичних полів вони змогли довести модульність для багатьох, але не для всіх еліптичних кривих. (Модульність блоків залишається відкритим.)

Їхній результат забезпечує основу для дослідження деяких із тих самих основних питань про еліптичні криві над уявними квадратичними полями, які математики шукають над раціональними та дійсними числами. Сюди входить уявна версія останньої теореми Ферма — хоча до цього потрібно закласти додаткову основу — і уявна версія гіпотези Берча та Свіннертона-Дайєра.

Але якщо математики досягнуть прогресу в будь-якому місці, Караяні не буде частиною цього — принаймні поки що. Після років роботи над модульністю еліптичних кривих вона готова спробувати щось інше.

«Якщо я отримую результат в одному напрямку, я не завжди люблю продовжувати працювати тільки в цьому напрямку», – сказала вона. «Тепер я переключив свої інтереси на щось із більш геометричним відтінком».

виправлення: Липень 6, 2023
У цій статті спочатку говорилося, що не існує загальної формули для розв’язків поліноміального рівняння, старший показник якого дорівнює 4 або вище. Правильне число 5. Статтю виправлено.