Кількість відстаней, що розділяють точки, має нову межу | Журнал Quanta

Розкидайте три точки на площині, потім виміряйте відстані між кожною їх парою. Швидше за все, ви знайдете три різні відстані. Але якщо розташувати точки в рівносторонньому трикутнику, то всі відстані однакові. У літаку це неможливо зробити з чотирма точками. Найменша кількість відстаней, які ви можете спроектувати, становить 2 — ребра та діагоналі квадрата.

Але якщо ви піднімете одну з точок над площиною, щоб створити піраміду, кожна зі сторін якої є рівностороннім трикутником, ви отримаєте набір із чотирьох точок, які розділені єдиною унікальною відстанню — довжиною однієї сторони трикутник.

Якщо у вас багато очок, ці моделі стають ще більш виразними. Сотня випадково розкиданих точок на площині, ймовірно, визначать 4,950 різних попарних відстаней. Але якщо ви розмістите 100 точок у плоскій квадратній сітці, будь-яка пара точок буде розділена однією з 50 можливих відстаней. Підніміть точки в тривимірну сітку, і ви зможете ще більше зменшити це число.

Відповідь на запитання про кількість відстаней між точками може здатися езотеричною вправою. Але в пошуках вирішення таких проблем, які тривали десятиліттями, математики розробили інструменти, які мають широкий спектр інших застосувань, від теорії чисел до фізики.

«Коли люди намагалися вирішити проблему», — сказав Пабло Шмеркін Університету Британської Колумбії, «вони почали виявляти зв’язки, які були дивовижними та несподіваними».

Остання розробка з’явилася наприкінці минулого року, коли відбулася співпраця чотирьох математиків підтвердили нові стосунки між геометрією множин точок і відстанями між ними.

Список різних відстаней, визначених набором точок, називається його набором відстаней; підрахуйте, скільки чисел у цьому списку, і ви отримаєте розмір набору відстаней. У 1946 році видатний математик Пауль Ердеш припустив, що для великої кількості точок набір відстаней не може бути меншим за той, який ви отримуєте, коли розташовуєте точки в сітку. Проблема, хоч і проста на вигляд, виявилася надзвичайно глибокою і складною. Навіть у двох вимірах це все ще не було повністю доведено, хоча в 2010 році двоє математиків підійшов так близько що зараз він вважається фактично вирішеним; воно залишається відкритим у вищих вимірах.

Тим часом математики також сформулювали нові версії гіпотези. Одна з найважливіших з них виникла в а Папір 1985 by Кеннет Фальконер, математик в Сент-Ендрюському університеті в Шотландії. Фальконер цікавився, що можна сказати про різні відстані між нескінченною кількістю точок.

Якщо у вас нескінченно багато балів, просто підраховувати вже не дуже корисно. Але математики мають інші способи визначення розміру. Гіпотеза Фальконера передбачає зв’язок між геометрією набору точок, що характеризується числом, яке називається фрактальним виміром, і розміром набору відстаней, що характеризується числом, яке називається мірою.

Фрактальний вимір узгоджується зі звичайною інтуїцією про виміри. Подібно до більш звичного поняття розмірності, відрізок лінії має фрактальну розмірність 1, тоді як квадрат (із заповненою внутрішньою частиною) має фрактальну розмірність 2. Але якщо сукупність точок утворює більш складну фрактальну модель — як крива, де мікроскопічні повороти продовжують з’являтися незалежно від того, наскільки ви наближаєте — її фрактальний вимір може бути не цілим числом. Наприклад, показана нижче крива сніжинки Коха, яка має нескінченну серію все менших трикутних виступів, має розмірність приблизно 1.26.

Загалом, нескінченна сукупність точок має фрактальну розмірність, яка приблизно залежить від того, наскільки вона розсіяна. Якщо він розповсюджений навколо площини, його фрактальна розмірність буде близькою до 2. Якщо вона більше схожа на лінію, її фрактальна розмірність буде близькою до 1. Ті самі типи структур можна визначити для наборів точок у тривимірному просторі , або навіть у вищих вимірах.

З іншого боку гіпотези Фальконера — міра множини відстані. Міра — це своєрідне математичне узагальнення поняття довжини. Окреме число, яке можна представити у вигляді точки на числовій прямій, має нульову міру. Але навіть нескінченні множини можуть мати нульову міру. Наприклад, цілі числа настільки мало розсіяні серед дійсних чисел, що вони не мають загальної «довжини», і тому утворюють набір міри нуль. З іншого боку, дійсні числа між, скажімо, 3/4 і 1 мають міру 1/4, тому що саме стільки дорівнює інтервал.

Міра дає спосіб охарактеризувати розмір множини різних відстаней між нескінченною кількістю точок. Якщо кількість відстаней «мала», це означає, що набір відстаней матиме нульову міру: існує багато дубльованих відстаней. З іншого боку, якщо набір відстаней має міру, більшу за нуль, це означає, що є багато різних відстаней.

У двох вимірах Фальконер довів, що будь-який набір точок із фрактальною розмірністю більше 1.5 має набір відстані з ненульовою мірою. Але математики швидко прийшли до висновку, що це справедливо для всіх множин із фрактальною розмірністю, більшою за 1. «Ми намагаємося вирішити цей розрив у 1/2», — сказав Юмен Оу Університету Пенсільванії, один із співавторів нової статті. Крім того, гіпотеза Фальконера поширюється на три або більше вимірів: для точок, розкиданих у d-вимірного простору, він стверджує, що якщо фрактальна розмірність точок перевищує d/2, тоді міра набору відстані має бути більшою за 0.

У 2018 році Оу разом із колегами показав, що припущення виконується у двох вимірах для всіх множин із фрактальною розмірністю більше 5/4. Тепер Ou — разом із Сюмінь Ду Північно-західного університету, Руйсян Чжан Каліфорнійського університету в Берклі та Кевін Рен Прінстонського університету — довели, що у вищих вимірах поріг для забезпечення відстані, встановленої з ненульовою мірою, трохи менший, ніж d/2 + 1/4. «Межі у вищих вимірах у цьому документі вперше кращі, ніж у вимірі 2», — сказав Шмеркін. (У двох вимірах поріг є точним d/2 + 1/4.)

Цей останній результат лише один із хвиля останніх досягнень on Гіпотеза Фальконера. Доказ удосконалив методи гармонічного аналізу — здавалося б, віддаленої області математики, яка має справу з представленням довільно складних функцій у термінах простих хвиль — для посилення межі. Але деякі з цих методів були вперше розроблені для вирішення цієї проблеми.

Це питання про відстані між точками «послужило майданчиком для деяких з найбільших ідей у ​​гармонічному аналізі», сказав Олексій Йосевич Рочестерського університету.

Хоча вони закрили лише половину прогалини, залишеної Фальконером у його статті 1985 року, математики бачать недавній потік робіт як доказ того, що повна гіпотеза нарешті може бути доступна. Тим часом вони продовжуватимуть використовувати цю проблему як полігон для своїх найдосконаліших інструментів.