Математика, яка триває вічно, але ніколи не повторюється | Журнал Quanta

Ви коли-небудь захоплювалися тим, як ламелі дерев’яної підлоги так чітко з’єднуються один з одним, або як шестикутники під килимком у ванній ідеально з’єднуються? Це приклади геометричних плиток, композицій фігур, які щільно прилягають одна до одної, заповнюючи простір. Двовимірні плитки захоплюються в усьому світі як за їхню красу — як це видно в майстерності мозаїк у соборах і мечетях по всьому світу — так і за їх корисність на стінах і підлозі всюди.

У математиці мозаїки часто цінують за їхні регулярні візерунки. Але математики також знаходять красу в нерегулярності. Саме такої краси шукав технік-друкар на пенсії, коли він нещодавно виявлено перший «аперіодичний монотиль» — окрема плитка, яка заповнює площину в неповторюваному візерунку. Щоб розібратися в цьому великому відкритті, давайте почнемо з простішої проблеми: як викласти лінію.

Давайте уявимо, що наші плитки, що заповнюють лінії, є літерами, які злипаються разом, утворюючи послідовності. Якщо плитки та правила, які ми приймаємо для їх розміщення, дозволяють нам створити рядок літер, який продовжується нескінченно в обох напрямках, ми можемо «викласти рядок плиткою». Наприклад, скажімо, у нас є дві плитки, A і B, і два правила їх складання:

1. Поруч із буквою А з обох боків можна поставити лише букву В.
2. Поруч із Б, з обох боків можна поставити лише А.

Чи можемо ми викласти лінію за допомогою цих плиток і цих правил? Абсолютно. Припустімо, що ми спочатку поставили А.

A

Згідно з правилами, ми повинні поставити Б з обох боків.

БАБ

Тепер, по обидва боки від цих B, ми повинні поставити A і так далі.

…АБАБАБАБАБАБА…

За допомогою цих плиток і правил ми можемо продовжувати вічно в обох напрямках, тож ми можемо викладати лінію. Фактично, ми можемо зробити більш переконливий висновок: це, по суті, єдиний спосіб, яким ми можемо вирівняти ці правила. Давайте подивимося, що це означає.

Припустімо, замість цього ми почали з B.

B

Правила вимагають, щоб ми ставили A з обох боків.

ABA

А потім Б по обидва боки від А тощо.

…БАБАБАБАБАБАБ…

Це виглядає як друга дійсна мозаїка лінії. Але давайте порівняємо його пліч-о-пліч з першим.

…БАБАБАБАБАБАБ…

…АБАБАБАБАБАБА…

Якщо ми перемістимо будь-яку плитку на одну плитку, вони ідеально збігаються — назавжди.

  …БАБАБАБАБАБАБ…

…АБАБАБАБАБАБА…

Іншими словами, після перекладу мозаїки є еквівалентними. Це показує, що дві мозаїки дотримуються однакового шаблону.

При ближчому розгляді можна побачити щось ще цікавіше. Почніть із двох копій оригінальної плитки:

…АБАБАБАБАБАБА…

…АБАБАБАБАБАБА…

Тепер подивіться, що станеться, коли ви пересунете верхню по двох плитках:

     …АБАБАБАБАБАБА…

…АБАБАБАБАБАБА…

Оригінальна плитка відповідає сама собі. Коли мозаїка еквівалентна сама собі після перекладу, вона має «трансляційну симетрію». (Це схоже на те, що об’єкт має «відбивну симетрію», якщо його дві дзеркальні половини можуть відбиватися одна на одну.)

Трансляційна симетрія показує, що мозаїка насправді є лише одним шаблоном, який повторюється знову і знову. У цьому випадку мозаїку лінії …ABABABABABABA… можна розглядати як нескінченну кількість перекладених копій візерунка з двох плиток AB.

AB

ABAB

ABABAB

Це один простий приклад мозаїки лінії, яка має трансляційну симетрію. У двох вимірах є багато знайомих прикладів мозаїк площини, які також мають цю властивість.

У кожному випадку, наведеному вище, можна перекласти всю плитку на деяку кількість, щоб вона точно збігалася з оригіналом.

Подібно до нашого мозаїки лінії, ці двовимірні мозаїки з трансляційною симетрією можна розглядати як один візерунок, який повторюється знову і знову. Наприклад, єдиний шестикутник простягається в усіх напрямках.

Щоб побачити це в мозаїці рівностороннього трикутника, уявіть, що трикутники збираються разом, утворюючи шестикутники, і ці шестикутники повторюються знову і знову шляхом перекладу.

Трикутники, шестикутники та квадрати на площині є «одногранними», оскільки всі вони складаються з нескінченної кількості копій однієї плитки. Існує також багато способів обробити площину плиткою, використовуючи кілька плиток, як показано нижче (і на підлозі багатьох ванних кімнат).

Але повернемося до розкладання лінії. Є важлива відмінність, яку ми повинні зробити.

Розглянемо наступні нові правила для наших плиток A і B.

1. Поруч з буквою А з обох боків можна розмістити букву А або Б.
2. Поруч із Б, з обох боків можна поставити лише А.

Чи можемо ми все-таки викласти лінію за цими правилами? Простий спосіб переконатися, що відповідь так, це помітити, що попередня плитка також задовольняє новий набір правил.

…АБАБАБАБАБАБА…

Але нові правила надають більшу гнучкість, і це призводить до більшої кількості фрагментів лінії.

Наприклад, обидві конфігурації є дійсними за новими правилами:

АААБАБА

АБАБАААБААБ

І їх можна продовжувати нескінченно в будь-якому напрямку нескінченно багатьма способами.

Крім того, що нові правила дають нам багато нових тайлінгів лінії, вони дозволяють нам генерувати тайлінги, які, на відміну від нашого першого прикладу, не повторюються. Наприклад, розглянемо наступну плитку:

…АБААБАААБАААБ…

Яка тут закономірність? Почніть з А, потім поставте Б праворуч, потім два А праворуч, потім Б, потім три А, потім Б, потім чотири А і так далі. Ліворуч просто додавайте A:

…АААААБАААААААААААААБ…

Зробіть це, і ви отримаєте мозаїку, яку неможливо перекласти на саму себе, щоб усе збігалося.

Простий спосіб побачити це — спостерігати, що в цій мозаїці є унікальна крайня ліва B, тож куди вона піде після перекладу? Якщо ви перекладаєте ліворуч, немає B, з яким можна було б відповідати. Але якщо ви перекладете праворуч, зліва не буде букви Б, яка б відповідала цьому.

Таким чином, нові правила дозволяють як тайлінги, які мають трансляційну симетрію, так і тайлінги, які її не мають. Існують плитки площини, які також працюють так.

Наприклад, ми вже бачили мозаїку з квадратами, яка має трансляційну симетрію, але ми також можемо використовувати квадрат для побудови мозаїк, які не мають цієї властивості.

Це дуже відмінна ситуація від одногранних мозаїк, які використовують правильні шестикутники. У цих плитках повторюваної структури не уникнути. Геометрія самих плиток змушує плитку мати трансляційну симетрію. Ми називаємо такі тайлінги «періодичними».

Навпаки, квадрат допускає візерунки, які повторюються, і візерунки, які не повторюються. Це призводить до природного, непереборного запитання для математиків: якщо існують мозаїки площини, які змушені мати таку повторювану структуру, то чи існують мозаїки, які змушені її уникати? З цим питанням, сформульованим у 1960-х роках, розпочалася полювання на «аперіодичні тайлінги».

Для наших пошуків ми зробимо ще одну поїздку назад до лінії. Наша остаточна плитка одновимірного простору буде використовувати незвичайний на вигляд набір плиток:

A-плитки: A, AA, AAA, AAAA, …

B-плитки: B, BB, BBB, BBBB, …

Зауважте, що цей набір плиток нескінченний. Якщо це виглядає як обман, ви думаєте як математик. Ми повернемося до цього пізніше, а поки що ось два правила складання нескінченної кількості плиток разом:

1. Поруч з A-плиткою довжини n, можна класти тільки В-плитку довжиною n з обох боків.
2. Поруч із B-плиткою довжини n, можна класти тільки А-плитку довжиною n + 1 з обох сторін.

Як завжди, наше запитання: чи можемо ми викласти лінію за допомогою цих плиток і правил? Ну, припустімо, ми починаємо з A-плитки довжини 1.

A

Відповідно до правил, з будь-якої сторони ми можемо розміщувати лише плитки B довжиною 1.

БАБ

Тепер біля кожного B ми повинні поставити A-плитки довжиною 2.

ААБАБАА

Потім додаємо B-плитки довжиною 2.

ББААБАБААББ

І так далі. Легко побачити, що ми можемо продовжувати вічно в будь-якому напрямку, а це означає, що ми справді можемо викласти лінію за допомогою цих нових плиток і правил. І що стосується нашого пошуку, це мозаїка не має трансляційної симетрії. Зауважте, що єдина А, яку ми поставили на початку, одразу оточується Б з обох боків, і отриманий візерунок — BAB — більше ніколи не з’явиться. У нескінченно довгому рядку, який представляє нашу мозаїку, кожна інша А, яка з’являється, буде принаймні одна інша А. Це означає, що рядку BAB нікуди подітися, тому немає способу перекласти цю мозаїку на себе.

Це буде вірно незалежно від того, з якої плитки ми починаємо. Якщо B, правила негайно ведуть до рядка

…BBAABAABB…

І, як і раніше, шаблон ABA ніколи не повториться. Навіть якщо ви почнете з чогось на зразок AAA, станеться те саме.

…AAAABBBAAABBBAAA…

З чого б ви не почали, початкова плитка завжди буде єдиною плиткою A або B цієї конкретної довжини, що запобігатиме появі будь-якої трансляційної симетрії. Виявилося, що це саме те, що ми шукали: набір мозаїк і правил, які дозволяють нам розміщувати лінії, але ніколи не допускають трансляційної симетрії.

Ви можете бути незадоволені аперіодичною плиткою, яка вимагає нескінченно багато плиток, і ви не самотні. Коли математики почали серйозно шукати аперіодичні розбиття площини, вони хотіли знайти кінцевий набір плиток, які могли б розбивати площину, але не мали трансляційної симетрії. Перше рішення використовувало 20,426 XNUMX плиток, але за кілька років математики скоротили це число до шести.

Прорив стався в 1970-х роках, коли Роджер Пенроуз, британський математик і фізик, відкрив знаменитий набір із двох плиток, який тепер носить його ім’я. Плитки Пенроуза — це пара простих чотирикутників, які за допомогою ретельного набору правил розміщують площину, не допускаючи трансляційної симетрії.

Існує лише один спосіб удосконалити аперіодичну мозаїку з двох плиток, тому математики, любителі та художники почали шукати аперіодичну «монотилу», яка виконувала б цю роботу сама по собі.

У листопаді минулого року Девід Сміт знайшов його. Це «капелюх», перший відомий аперіодичний монотиль.

Сміт, любитель математики, художник і ентузіаст плитки, відкрив капелюх так само, як і математика: погравшись і побачивши, що відбувається. Пізніше Сміт зв’язався з дослідниками Крейгом Капланом, Хаїмом Гудман-Страусом і Джозефом Семюелем Майерсом, які разом підтвердили, що це справді довгоочікуваний аперіодичний монотиль.

Довести, що щось може вирівняти площину, але не може мати трансляційну симетрію, нелегке завдання, але деякі методи, які вони використовували, натякають на наші прості приклади. Наприклад, один із способів показати, що рівносторонні трикутники можуть розміщувати площину, це помітити, що вони об’єднуються, утворюючи більші структури, у цьому випадку шестикутники, які, як відомо, розбивають площину. Плитка капелюха також об’єднується, утворюючи більші регулярні структури, за якими можна зрозуміти, як вона покриває площину.

Хоча в нашому аперіодичному мозаїці лінії може не бути повторюваного шаблону, є шаблон, який розширюється, коли ви рухаєтесь праворуч. Спочатку ви бачите AB, потім AABB, потім AAABBB, потім AAAABBBB і так далі. Це різновид самоподібності — шаблон, який повторюється в змінних масштабах — який іноді можна використовувати, щоб показати, що конкретна мозаїка не може перекластися сама на себе, оскільки це спотворить довжину.

Працюючи разом, група довела, що використовуючи лише плитку капелюха та її дзеркальне відображення, можна викласти площину плиткою, але не з поступальною симетрією. І на відміну від інших спроб із різними наборами плиток, ця не вимагала особливих правил. Сама плитка форсувала аперіодичність. Поглиблюючись у геометрію, вони знайшли ще більше рішень. Капелюх насправді є одним із нескінченної родини аперіодичних плиток!

Пошуки аперіодичного монотиля, здається, підійшли до кінця. Або має? Коли викладаєте площину аперіодично капелюшком, вам також потрібно її відображення (те, що ви отримаєте, якщо перевернути плитку). Можливо, існує ще невідкритий аперіодичний монотиль, який не потребує свого дзеркального відображення. Знайди його і станеш відомим. Натхнення може бути прямо у вас під ногами.

Виправлення: 23 травня 2023 р

Цей стовпець було переглянуто, щоб відобразити той факт, що повторюваної структури можна уникнути в одногранних мозаїках рівносторонніх трикутників.