Новий доказ втягує нитку в голку в задачу з липкою геометрією | Журнал Quanta

У 1917 році японський математик Соїчі Какея поставив те, що спочатку здавалося не чим іншим, як веселою вправою з геометрії. Покладіть нескінченно тонку голку довжиною в дюйм на рівну поверхню, потім обертайте її так, щоб вона вказувала в усіх напрямках по черзі. Яку найменшу площу може вимести голка?

Якщо ви просто покрутите його навколо центру, ви отримаєте коло. Але можна рухати голку винахідливими способами, щоб вирізати набагато менший простір. Відтоді математики висунули пов’язану версію цього питання, яка називається гіпотезою Какея. У своїх спробах вирішити це питання вони виявили дивовижні зв’язки з гармонічним аналізом, теорією чисел і навіть фізикою.

«Таким чином ця геометрія ліній, що вказують у багатьох різних напрямках, є всюдисущою у значній частині математики», — сказав Джонатан Хікман Единбурзького університету.

Але це також те, що математики досі не до кінця розуміють. За останні кілька років вони довели варіації гіпотези Какея у простіших налаштуваннях, але питання залишається невирішеним у нормальному, тривимірному просторі. Деякий час здавалося, ніби весь прогрес зупинився на цій версії гіпотези, хоча вона має численні математичні наслідки.

Тепер два математики, так би мовити, поворухнули голкою. Їх новий доказ збиває велику перешкоду яка стояла десятиліттями — відроджуючи надію, що нарешті можна знайти рішення.

Що таке мала угода?

Какея цікавився множинами на площині, які містять відрізок довжиною 1 у кожному напрямку. Є багато прикладів таких наборів, найпростішим є диск діаметром 1. Какея хотів знати, як буде виглядати найменший такий набір.

Він запропонував трикутник зі злегка заглибленими сторонами, званий дельтоидом, який має половину площі диска. Проте виявилося, що можна зробити набагато, набагато краще.

У 1919 році, лише через кілька років після того, як Какея поставив свою проблему, російський математик Абрам Безикович показав, що якщо розташувати свої голки в дуже особливий спосіб, можна побудувати набір із шипами, який має як завгодно малу площу. (Через Першу світову війну та російську революцію його результат не досягне решти математичного світу протягом кількох років.)

Щоб побачити, як це може працювати, візьміть трикутник і розділіть його вздовж основи на більш тонкі трикутні частини. Потім посуньте ці частини так, щоб вони якомога більше перекривали один одного, але виступали в дещо різних напрямках. Повторюючи цей процес знову і знову — поділяючи свій трикутник на дедалі тонші фрагменти та обережно переставляючи їх у просторі — ви можете зробити свій набір настільки маленьким, наскільки хочете. У нескінченному обмеженні ви можете отримати набір, який математично не має площі, але все ще може, як це не парадоксально, вмістити голку, спрямовану в будь-якому напрямку.

«Це якось дивно та суперечить інтуїції», — сказав Руйсян Чжан Каліфорнійського університету в Берклі. «Це набір дуже патологічний».

Цей результат можна узагальнити для вищих вимірів: можна побудувати набір із як завгодно малим об’ємом, який містить одиничний відрізок лінії, спрямований у будь-якому напрямку в n- габаритний простір.

Безикович, здавалося, повністю вирішив питання Какеї. Але через десятиліття математики почали працювати над іншою версією проблеми, у якій вони замінили площу (або об’єм у випадку вищої розмірності) іншим поняттям розміру.

Щоб зрозуміти це переформатування питання, спершу візьміть кожен відрізок лінії в наборі Kakeya і трохи його відгодуйте — ніби ви використовуєте справжню голку, а не ідеалізовану. На площині ваш комплект буде складатися з надзвичайно тонких прямокутників; у тривимірному просторі ви матимете колекцію надзвичайно тонких трубок.

Ці відгодовані набори завжди мають певну площу (або об’єм, але ми поки зупинимося на двовимірному випадку). Коли ви змінюєте ширину вашої голки, ця область буде змінюватися. У 1970-х роках математик Рой Дейвіс (який помер минулого місяця) показав, що якщо загальна площа змінюється на невелику величину, ширина кожної голки повинна різко змінитися. Наприклад, якщо ви хочете, щоб відгодована версія набору Безіковіча мала площу 1/10 квадратного дюйма, кожна голка повинна мати товщину приблизно 0.000045 дюйма: e^-10 дюйма, якщо бути точним. Але якщо ви хочете зробити загальну площу 1/100 квадратного дюйма — у 10 разів меншою — голка повинна бути e^-100 товщиною в дюйм. (Сорок три нулі слідують за десятковою комою, перш ніж перейти до інших цифр.)

«Якщо ви скажете мені, наскільки малою ви хочете зробити цю площу, тоді я повинен вимагати голку, яка просто неймовірно тонка», — сказав Чарльз Фефферман Прінстонського університету.

Математики вимірюють «розмір» набору Kakeya за допомогою величини, яка називається розмірністю Мінковського, яка пов’язана зі звичайним розміром, але не зовсім такою ж, як (визначається як кількість незалежних напрямків, необхідних для опису простору).

Ось один із способів подумати про розмір Мінковського: візьміть свій набір і накрийте його крихітними кульками, кожна з яких має діаметр однієї мільйонної одиниці, якій ви віддаєте перевагу. Якщо ваш набір являє собою відрізок лінії довжиною 1, вам знадобиться принаймні 1 мільйон кульок, щоб покрити його. Якщо ваш набір є квадратом із площею 1, вам знадобиться набагато, набагато більше: мільйон у квадраті або трильйон. Для кулі об’єму 1 це приблизно 1 мільйон кубів (квінтильйон) і так далі. Розмірність Мінковського є значенням цього показника. Він вимірює швидкість, з якою кількість кульок, необхідних для покриття вашого набору, зростає зі зменшенням діаметра кожної кульки. Відрізок має розмірність 1, квадрат – розмірність 2, а куб – розмірність 3.

Ці розміри знайомі. Але використовуючи визначення Мінковського, стає можливим побудувати множину, яка має розмірність, скажімо, 2.7. Хоча такий набір не заповнює тривимірний простір, він у певному сенсі «більший» за двовимірну поверхню.

Коли ви накриваєте набір кульками заданого діаметру, ви наближаєтесь до об’єму відгодованої версії набору. Чим повільніше зменшується об’єм набору разом із розміром вашої голки, тим більше кульок вам потрібно покрити. Таким чином, ви можете переписати результат Дейвіса, який стверджує, що площа множини Какея на площині повільно зменшується, щоб показати, що множина повинна мати розмірність Мінковського 2. Гіпотеза Какея узагальнює це твердження для вищих вимірів: множина Какея повинна завжди має той самий вимір, що й простір, який він населяє.

Це просте твердження було напрочуд важко довести.

Вежа припущень

Поки Фефферман не зробив разюче відкриття у 1971 році ця гіпотеза розглядалася як курйоз.

У той час він працював над зовсім іншою проблемою. Він хотів зрозуміти перетворення Фур’є, потужний інструмент, який дозволяє математикам вивчати функції, записуючи їх у вигляді суми синусоїд. Подумайте про музичну ноту, яка складається з багатьох частот, що перекриваються. (Ось чому середня до на піаніно звучить по-різному, ніж середня до на скрипці.) Перетворення Фур’є дозволяє математикам обчислювати складові частоти певної ноти. Той самий принцип працює для таких складних звуків, як людська мова.

Математики також хочуть знати, чи зможуть вони відновити вихідну функцію, якщо їм дано лише деякі з її нескінченної кількості складових частот. Вони добре розуміють, як це зробити в одному вимірі. Але у вищих вимірах вони можуть робити різні вибори щодо того, які частоти використовувати, а які ігнорувати. Фефферман довів, на подив своїх колег, що ви можете не перебудувати свою функцію, покладаючись на особливо добре відомий спосіб вибору частот.

Його доказ ґрунтувався на побудові функції шляхом модифікації множини Какея Безіковіча. Пізніше це надихнуло математиків на розробку ієрархії припущень щодо поведінки перетворення Фур’є у вищих вимірах. Сьогодні ця ієрархія навіть включає припущення про поведінку важливих диференціальних рівнянь у фізиці, таких як рівняння Шредінгера. Кожне припущення в ієрархії автоматично передбачає те, що стоїть нижче.

Гіпотеза Какея лежить у самій основі цієї вежі. Якщо воно хибне, то хибними є й твердження, вищі в ієрархії. З іншого боку, доведення його істинності не відразу означатиме істинність припущень, розташованих над ним, але це може надати інструменти та ідеї для їх нападу.

«Дивовижна річ у припущенні Какея полягає в тому, що це не просто весела проблема; це справжнє теоретичне вузьке місце», — сказав Хікман. «Ми не розуміємо багато з цих явищ у диференціальних рівняннях з частинними похідними та аналізі Фур’є, тому що ми не розуміємо ці набори Какея».

Виношування плану

Доказ Феффермана — разом із згодом відкритими зв’язками з теорією чисел, комбінаторикою та іншими областями — відродив інтерес до проблеми Какея серед провідних математиків.

У 1995 році Томас Вольф довів, що розмірність Мінковського множини Kakeya в 3D-просторі повинна бути принаймні 2.5. Цю нижню межу виявилося важко збільшити. Потім, у 1999 році, математики Нетс Кац, Ізабелла Лаба та Теренс Дао вдалося перемогти. Їхня нова межа: 2.500000001. Незважаючи на те, наскільки незначним було покращення, воно подолало величезний теоретичний бар’єр. Їхній папір був опубліковано в Аннали математики, найпрестижніший журнал у галузі.

Пізніше Кац і Тао сподівалися застосувати деякі ідеї з цієї роботи, щоб по-іншому атакувати гіпотезу 3D Kakeya. Вони припустили, що будь-який контрприклад повинен мати три особливі властивості, і що співіснування цих властивостей повинно призводити до протиріччя. Якби вони змогли це довести, це означало б, що гіпотеза Какеї була вірною в трьох вимірах.

Вони не змогли пройти весь шлях, але вони досягли певного прогресу. Зокрема, вони (разом з іншими математиками) показали, що будь-який контрприклад повинен мати дві з трьох властивостей. Вона має бути «плоскою», що означає, що коли відрізки лінії перетинаються в точці, ці відрізки також лежать майже в одній площині. Він також має бути «зернистим», що вимагає, щоб площини найближчих точок перетину були однаково орієнтовані.

Залишилося третє майно. У «липкому» наборі відрізки ліній, які вказують майже в одному напрямку, також повинні бути розташовані близько один до одного в просторі. Кац і Тао не змогли довести, що всі контрприклади мають бути липкими. Але інтуїтивно зрозуміло, що липкий набір здається найкращим способом змусити багато накладатися між сегментами ліній, тим самим роблячи набір якомога меншим — саме те, що вам потрібно для створення контрприкладу. Якби хтось міг показати, що липкий набір Kakeya мав розмірність Мінковського менше 3, це б спростувало 3D гіпотезу Kakeya. «Звучить так, що «липкий» буде найбільш тривожним випадком», – сказав Ларрі Гут Массачусетського технологічного інституту.

Це вже не хвилювання.

Точка споткнення

У 2014 році — більше десяти років після того, як Кац і Тао спробували довести гіпотезу Какеї — Тао опублікував план свого підходу у своєму блозі, даючи іншим математикам можливість випробувати це на собі.

У 2021, Хун Ван, математик Нью-Йоркського університету, і Джошуа Зал Університету Британської Колумбії вирішив продовжити з того місця, де зупинилися Тао і Кац.

Вони почали з припущення існування липкого контрприкладу з розмірністю Мінковського менше 3. Вони знали з попередньої роботи, що такий контрприклад повинен бути плоским і зернистим. «Тож ми опинилися в тому світі, про який думали Террі Тао та Нетс Кац», — сказав Зал. Тепер їм потрібно було показати, що плоскі, зернисті та липкі властивості взаємодіють одна з одною та призводять до протиріччя, яке означатиме, що цей контрприклад насправді не може існувати.

Однак, щоб зрозуміти це протиріччя, Ван і Зал звернули свою увагу в напрямку, якого Кац і Тао не передбачали — до області, відомої як теорія проекції.

Вони почали з більш детального аналізу структури свого липкого контрприкладу. Якщо ви розглядаєте ідеалізований варіант набору, він має нескінченну кількість відрізків ліній, спрямованих у будь-якому напрямку. Але в цій задачі пам’ятайте, що ви маєте справу з відгодованими версіями цих відрізків — купою голок. Кожна з цих голок може містити багато ідеалізованих сегментів лінії, тобто ви можете закодувати весь нескінченний набір за допомогою кінцевої кількості голок. Залежно від того, наскільки товсті голки, ваш відгодований набір може виглядати зовсім по-різному.

Якщо набір липкий, він виглядатиме більш-менш однаково незалежно від товщини голок.

Ван і Зал використали цю властивість, щоб показати, що в міру того, як голки стають тоншими, набір стає все більш і більш гладким. Завдяки цьому процесу вони могли «витягнути ще більш патологічний об’єкт», — сказав Зал — те, що, здавалося, мало неможливі якості.

Ось що показали далі. Вони довели, що цей патологічний об'єкт повинен дивитися в одну з двох сторін, обидва з яких призводили до протиріч. Або ви зможете спроектувати його у двовимірний простір таким чином, щоб зробити його набагато меншим у багатьох напрямках – те, що щойно зробили Ван та її колеги показано неможливим. Або, у другому випадку, голки в наборі будуть організовані відповідно до дуже специфічної функції, яку Зал і його співробітники нещодавно довели. не міг існувати, тому що це призведе до інших типів проекцій, які не матимуть сенсу.

Тепер Ван і Зал мали протиріччя — це означає, що немає жодних контрприкладів для гіпотези Какеї. (Вони показали це не лише для розмірності Мінковського, а й для пов’язаної величини, яка називається розмірністю Хаусдорфа.) «Результат виключає весь цей клас контрприкладів», — сказав Зал — саме той тип множини, який математики вважали найвірогіднішим для спростування. припущення.

Нова робота «є сильним підтвердженням того, що гіпотеза Какея є правдивою», — сказав він Пабло Шмеркін Університету Британської Колумбії. Хоча це стосується лише тривимірного випадку, деякі з його методів можуть бути корисними у вищих вимірах. Витративши роки на розвиток гіпотези в інших системах числення, математики схвильовані цим поверненням до початкової області проблеми дійсних чисел.

«Це чудово, що вони повністю розкрили цю справу», — сказав Чжан. «У реальних умовах це надзвичайно рідко». І якщо хтось зможе довести, що контрприклад має бути липким, новий результат означатиме повну гіпотезу в трьох вимірах. Ієрархія припущень, побудована над нею, тоді залишатиметься безпечною, а її основа стабільною.

«Якимось чином ці дві різні проблеми в теорії проекції, які на перший погляд не мають багато спільного одна з одною, досить добре поєднуються, щоб дати саме те, що було потрібно для Kakeya», — сказав Зал.