Ось модульні форми, «п’ята фундаментальна операція» математики | Журнал Quanta

Нібито сказав німецький математик Мартін Ейхлер: «У математиці є п’ять основних операцій». «Додавання, віднімання, множення, ділення та модульні форми».

Звичайно, частина жарту полягає в тому, що один із них не схожий на інших. Модульні форми – це набагато складніші та загадковіші функції, і студенти зазвичай не стикаються з ними до закінчення школи. Але «ймовірно, менше областей математики, де вони не мають застосування, ніж там, де вони є», сказав Дон Загір, математик Інституту математики Макса Планка в Бонні, Німеччина. Щотижня з’являються нові статті, що стосуються теорії чисел, геометрії, комбінаторики, топології, криптографії та навіть теорії струн.

Їх часто описують як функції, які задовольняють настільки вражаючу та складну симетрію, що це було б неможливо. Властивості, пов’язані з цією симетрією, роблять модульні форми надзвичайно потужними. Саме це зробило їх ключовими гравцями в знаковому доказі останньої теореми Ферма 1994 року. Саме це зробило їх центральними новіші роботи з упаковки сфер. І саме це тепер робить їх вирішальними для поточного розвитку «математичної теорії всього», яка називається Програма Ленглендса.

Але які вони?

Нескінченні симетрії

Щоб зрозуміти модульну форму, спочатку подумайте про більш знайомі симетрії.

Загалом кажуть, що форма має симетрію, коли є певна трансформація, яка залишає її незмінною.

Функція також може проявляти симетрію. Розглянемо параболу, визначену рівнянням $latex f(x) = x^2$. Він задовольняє одну симетрію: його можна відобразити над y-вісь. Наприклад, $latex f(3) = f(−3) = 9$. Загалом, якщо ви змінюєте будь-який вхід $latex x$ на $latex -x$, то $latex x^2$ виводить те саме значення.

Нескінченна кількість функцій задовольняють цю симетрію. Ось лише деякі з них:

Останній приклад — функція косинус із тригонометрії. Він демонструє відбивну симетрію, але він також має інші симетрії. Якщо ви перекладете $latex x$ через ціле число, кратне $latex 2pi$, функція завжди повертає те саме значення — це означає, що існує нескінченна кількість перетворень, які можуть залишити функцію незмінною.

Ця додаткова симетрія робить такі функції, як косинус, неймовірно корисними. «Багато базової фізики починається з розуміння повного значення тригонометричних функцій», — сказав Кен Оно, математик Університету Вірджинії.

«Модульні форми — це щось на зразок тригонометричних функцій, але на стероїдах», — додав він. Вони задовольняють нескінченну кількість «прихованих» симетрій.

Комплексний Всесвіт

Функції можуть робити так багато, лише якщо вони визначені в термінах дійсних чисел — значень, які можна виразити як звичайний десятковий дроб. У результаті математики часто звертаються до комплексних чисел, які можна розглядати як пари дійсних чисел. Будь-яке комплексне число описується двома значеннями — «дійсним» компонентом і «уявним», яке є дійсним числом, помноженим на квадратний корінь із −1 (який математики записують як $latex i$).

Тому будь-яке комплексне число можна представити як точку на двовимірній площині.

Важко візуалізувати функції комплексних чисел, тому математики часто звертаються до кольору. Наприклад, ви можете розфарбувати складну площину так, щоб вона виглядала як райдужне колесо. Колір кожної точки відповідає її куту в полярних координатах. Безпосередньо праворуч від центру, де точки мають кут 0 градусів, ви отримуєте червоний колір. Під кутом 90 градусів або прямо вгору точки забарвлені в яскраво-зелений колір. І так далі. Нарешті, контурні лінії позначають зміни розміру або величини, як на топографічній карті.

Тепер ви можете використовувати його як еталонний графік для ілюстрації складних функцій. Положення точки на площині представляє вхідні дані, і ви призначаєте цій точці колір на основі опорного графіка. Наприклад, розглянемо функцію $latex f(z) = z^2$. Коли $latex z = 1 + i$, $latex f(z) = 2i$, оскільки $latex (1 + i)^2 = 2i$. Оскільки $latex 2i$ пофарбований у яскраво-зелений колір на еталонному графіку, на новому графіку ви пофарбуєте точку $latex 1 + i$ у яскраво-зелений колір.

Графік $latex f(z) = z^2$ проходить через кольори двічі, оскільки зведення комплексного числа в квадрат подвоює його кут. Він також має більше контурних ліній, тому що результати збільшуються в розмірі швидше.

Загалом, графік виглядає так само, коли ви відбиваєте точки над діагональною лінією, проведеною через центр (або початок).

Це одна симетрія комплекснозначної функції. Модульні форми демонструють дивовижну різноманітність таких симетрій. Але може бути важко зрозуміти фактичну функцію, яку представляють ці кольори та контурні лінії.

Фундаментальний домен

Для цього корисно спробувати спростити погляд на ці складні функції.

Завдяки симетрії модульної форми ви можете обчислити всю функцію на основі лише вузького фрагмента вхідних даних, розташованих в області площини, яка називається фундаментальною областю. Ця область виглядає як смуга, що йде вгору від горизонтальної осі з напівкруглим отвором, вирізаним у нижній частині.

Якщо ви знаєте, як функція поводиться там, ви знатимете, що вона робить всюди.

Ось як це зробити:

Два види перетворень копіюють фундаментальну область праворуч і ліворуч, а також серію постійно зменшуваних півкіл уздовж горизонтальної осі. Ці копії заповнюють всю верхню половину комплексної площини.

Модульна форма пов’язує копії одна з одною дуже особливим чином. Саме тут проявляється його симетрія.

Якщо ви можете перейти від точки в одній копії до точки в іншій за допомогою першого виду перетворення — шляхом зміщення однієї одиниці вліво або вправо — тоді модульна форма призначає однакове значення цим двом точкам. Подібно до того, як значення функції косинуса повторюються з інтервалами $latex 2pi$, модульна форма є періодичною з інтервалами в одну одиницю.

Тим часом ви можете дістатися від точки в одній копії до точки в іншій за допомогою другого типу перетворення — шляхом відображення над межею кола з радіусом 1 із центром у початку координат. У цьому випадку модульна форма не обов’язково призначає цим точкам однакове значення. Однак значення в двох точках пов’язані один з одним регулярним чином, що також призводить до симетрії.

Ви можете комбінувати ці перетворення нескінченно багатьма способами, що дає вам нескінченну кількість умов симетрії, яким повинна задовольняти модульна форма.

"Це не обов'язково звучить дуже захоплююче", сказав Джон Войт, математик Дартмутського коледжу. «Я маю на увазі, вирізати верхню півплощину та поставити цифри в різних місцях — кого це хвилює?»

«Але вони дуже елементарні», — додав він. І є причина, чому це так.

Контрольовані простори

У 1920-х і 30-х роках німецький математик Еріх Гекке розробив більш глибоку теорію модульних форм. Важливо те, що він зрозумів, що вони існують у певних просторах — просторах із певними розмірами та іншими властивостями. Він зрозумів, як конкретно описати ці простори та використати їх, щоб зв’язати різні модульні форми одна з одною.

Це усвідомлення спонукало багато до математики 20-го та 21-го століть.

Щоб зрозуміти, як це зробити, спочатку розглянемо старе запитання: скількома способами можна записати дане ціле число як суму чотирьох квадратів? Наприклад, існує лише один спосіб написати нуль, тоді як є вісім способів вираження 1, 24 способи вираження 2 і 32 способи вираження 3. Щоб вивчити цю послідовність — 1, 8, 24, 32 і так далі — математики закодували його в нескінченну суму, яка називається генеруючою функцією:

$latex 1 + 8q + {{24q}^2} + {{32q}^3} + {{24q}^4} + {{48q}^5} + …$

Існував необов’язковий спосіб дізнатися, яким має бути коефіцієнт, скажімо, $latex q^{174}$ — саме на це питання вони намагалися відповісти. Але, перетворивши послідовність у формувальну функцію, математики могли б застосувати інструменти з обчислень та інших галузей для отримання інформації про неї. Вони можуть, наприклад, знайти спосіб наближення значення будь-якого коефіцієнта.

Але виявляється, що якщо генеруюча функція має модульну форму, ви можете зробити набагато краще: ви можете отримати точну формулу для кожного коефіцієнта.

«Якщо ви знаєте, що це модульна форма, то ви знаєте все», — сказав Ян Брюньє Технічного університету Дармштадта в Німеччині.

Це тому, що нескінченна кількість симетрій модульної форми не просто прекрасна на вигляд — «вони настільки обмежують», сказав Ларрі Ролен Університету Вандербільта, що їх можна перетворити на «інструмент для автоматичного доведення конгруентності та тотожності між речами».

Математики та фізики часто кодують цікаві питання у генеруючих функціях. Вони можуть захотіти порахувати кількість точок на спеціальних кривих або кількість станів у певних фізичних системах. «Якщо пощастить, то це модульна форма», — сказав Клаудія Альфес-Нойман, математик Білефельдського університету в Німеччині. Це може бути дуже важко довести, але якщо ви можете, тоді «теорія модульних форм настільки багата, що вона дає вам масу можливостей для дослідження цих [серій] коефіцієнтів».

Будівельні блоки

Будь-яка модульна форма буде виглядати дуже складно. Деякі з найпростіших — які використовуються як будівельні блоки для інших модульних форм — називаються рядами Ейзенштейна.

Ви можете розглядати ряд Ейзенштейна як нескінченну суму функцій. Щоб визначити кожну з цих функцій, використовуйте точки на нескінченній двовимірній сітці:

Коли ви додаєте функції, пов’язані лише з чотирма точками сітки біля початку координат, ви можете побачити, як починають з’являтися чіткі симетрії.

Якщо взяти повну суму нескінченної кількості функцій сітки, ви отримаєте ряд Ейзенштейна, який, мабуть, є найлегшою для запису модульною формою. Візерунки відображають визначальні симетрії форми — нескінченно повторюючись ліворуч і праворуч і трансформуючись більш складними способами ближче до горизонтальної осі.

Гра продовжується

Вивчення модульних форм призвело до потоку математичних тріумфів. Наприклад, нещодавня робота з упаковки сфер, для якої український математик Марина Вязовська минулого року отримав медаль Філдса, використані модульні форми. «Коли я це побачив, я був дуже здивований», — сказав Брюньє. «Але це якось працює».

Виявилося, що модульні форми пов’язані з важливим алгебраїчним об’єктом під назвою група монстрів. Їх використовували для побудови особливих типів мереж, які називаються розширювач графіків, які з’являються в інформатиці, теорії комунікацій та інших додатках. Вони зробили можливим вивчення потенційних моделей взаємодії частинок у теорії струн і квантовій фізиці.

Можливо, найвідомішим є те, що доказ останньої теореми Ферма 1994 року базувався на модульних формах. Теорема, яка широко вважається однією з найважливіших проблем теорії чисел, стверджує, що не існує трьох ненульових цілих чисел. a, b та c які задовольняють рівняння $latex {a^n} + {b^n} = {c^n}$, коли $latex n$ є цілим числом, більшим за 2. Математик Ендрю Вайлз довів це, припустивши протилежне — що a розв’язок рівняння дійсно існує — а потім, використовуючи модульні форми, щоб показати, що таке припущення має призводити до протиріччя.

Спочатку він використав своє припущене рішення для побудови математичного об’єкта під назвою еліптична крива. Потім він показав, що ви завжди можете пов’язати унікальну модульну форму з такою кривою. Однак теорія модульних форм диктувала, що в даному випадку така модульна форма не може існувати. «Це надто добре, щоб бути правдою», — сказав Войт. Що, у свою чергу, означало, що припущене рішення не могло існувати, підтверджуючи останню теорему Ферма.

Це не тільки вирішило багатовікову проблему; це також забезпечило краще розуміння еліптичних кривих, які може бути важко вивчати безпосередньо (і які відіграють важливу роль у криптографії та кодах з виправленням помилок).

Доказ також висвітлив міст між геометрією та теорією чисел. З тих пір цей міст розширено на Програма Ленглендса, більший набір зв’язків між двома галузями — і предмет одного з центральних дослідницьких зусиль сучасної математики. Модульні форми також були узагальнені в інших областях, де їх потенційні можливості застосування тільки починають визнаватися.

Вони продовжують з’являтися скрізь у математиці та фізиці, іноді досить загадковим чином. "Я дивлюся в газету про чорні діри", - сказав Стів Кудла Університету Торонто, «і я знайшов модульні форми, які є моїми друзями. Але я не знаю, чому вони там».

«Якимось чином, — додав він, — модульні форми вловлюють деякі з найбільш фундаментальних симетрій світу».