Пошуки декодування множини Мандельброта, знаменитого фракталу математики | Журнал Quanta

У середині 1980-х, подібно до касетних програвачів Walkman і розфарбованих краваток, силует Мандельброта, схожий на жуків, був повсюди.

Студенти обштукатурили нею стіни гуртожитків по всьому світу. Математики отримали сотні листів із гарячими проханнями роздрукувати набір. (У відповідь деякі з них випустили каталоги з прайс-листами; інші зібрали його найяскравіші характеристики в книжки.) Більш підковані фанати могли б звернутися до серпневого випуску 1985 року. Scientific American. На його обкладинці набір Мандельброта розгорнувся вогненними вусиками, його межі палали вогні; всередині були ретельні інструкції з програмування, в яких детально описувалося, як читачі можуть створити для себе культове зображення.

На той час ці вусики також розширили свій охоплення далеко за межі математики, до, здавалося б, непов’язаних куточків повсякденного життя. Протягом наступних кількох років набір Мандельброта надихне Девіда Хокні на новітні картини та новітні композиції кількох музикантів — фугоподібні твори у стилі Баха. Воно з’явиться на сторінках художньої літератури Джона Апдайка та покаже, як літературний критик Г’ю Кеннер аналізував поезію Езри Паунда. Це стане предметом психоделічних галюцинацій і популярного документального фільму, оповіданого видатним фантастом Артуром К. Кларком.

Набір Мандельброта — це особлива форма з фрактальним контуром. Використовуйте комп’ютер, щоб збільшити нерівну межу знімального майданчика, і ви побачите долини морських коників і паради слонів, спіральні галактики та нейроноподібні нитки. Незалежно від того, наскільки глибоко ви досліджуєте, ви завжди побачите майже копії оригінального набору — нескінченний, запаморочливий каскад самоподібності.

Ця самоподібність була ключовим елементом бестселера Джеймса Глейка хаос, що закріпило місце сету Мандельброта в масовій культурі. «У ньому був цілий всесвіт ідей», — писав Глейк. «Сучасна філософія мистецтва, обґрунтування нової ролі експерименту в математиці, спосіб представити складні системи широкому загалу».

Набір Мандельброта став символом. Це означало потребу в новій математичній мові, кращому способі описати фрактальну природу світу навколо нас. Це продемонструвало, наскільки глибока заплутаність може виникнути з найпростіших правил — подібно до самого життя. («Тому це справжнє послання надії», Джон Хаббард, один із перших математиків, який вивчав множину, сказав у відео 1989 року, «що, можливо, біологію справді можна зрозуміти так само, як можна зрозуміти ці картини».) У множині Мандельброта порядок і хаос жили в гармонії; детермінізм і свобода волі можуть бути примирені. Один математик згадав, як у підлітковому віці натрапив на набір і побачив його як метафору складної межі між правдою та брехнею.

Набір Мандельброта був всюди, поки його не стало.

За десятиліття воно, здавалося, зникло. Математики перейшли до інших предметів, а публіка перейшла до інших символів. Сьогодні, лише через 40 років після свого відкриття, фрактал став кліше, граничним кітчем.

Але жменька математиків відмовилися від цього відмовитися. Вони присвятили своє життя розкриттю таємниць набору Мандельброта. Тепер вони думають, що нарешті підійшли до справжнього розуміння цього.

Їхня історія — це дослідження, експерименти — і те, як технології формують наше мислення та питання, які ми ставимо про світ.

Мисливці за головами

У жовтні 2023 року 20 математиків з усього світу зібралися в приземкій цегляній будівлі на території, яка колись була військовою дослідницькою базою Данії. База, побудована наприкінці 1800-х років посеред лісу, була схована на фіорді на північно-західному узбережжі найбільш густонаселеного острова Данії. Вхід охороняла стара торпеда. На стінах красувалися чорно-білі фотографії офіцерів ВМФ у формі, катерів, вишикуваних біля доку, випробувань підводного човна. Упродовж трьох днів, поки сильний вітер розбивав воду за вікнами на білу піну, група слухала серію доповідей, більшість із яких проводили двоє математиків з Університету Стоуні Брук у Нью-Йорку: Міша Любич та Діма Дудко.

Серед слухачів майстерні були деякі з найвідчайдушніших дослідників групи Мандельброта. Біля передньої сидів Міцухіро Шисікура Університету Кіото, який у 1990-х роках довів, що межа множини настільки складна, наскільки це можливо. Було кілька місць Хіроюкі Іноу, який разом із Шісікурою розробив важливі методи для вивчення особливо резонансної області набору Мандельброта. В останньому ряду був Вольф Юнг, творець Mandel, програмного забезпечення для математиків для інтерактивного дослідження множини Мандельброта. Також були присутні Арно Шеріта Університету Тулузи, Карстен Петерсен Університету Роскільде (який організував семінар), і кілька інших, які зробили великий внесок у розуміння математиками множини Мандельброта.

А біля дошки стояв Любич, провідний у світі знавець теми, і Дудко, один із його найближчих співробітників. Разом з математиками Джеремі Кан та Алекс Капіамба, вони працювали, щоб довести давню гіпотезу про геометричну структуру множини Мандельброта. Ця гіпотеза, відома як MLC, є останньою перешкодою в десятирічних пошуках характеристики фракталу, приборкання його заплутаної пустелі.

Створивши та відточивши потужний набір інструментів, математики боролися за контроль над геометрією «майже всього в наборі Мандельброта». Керолайн Девіс Університету Індіани — за винятком кількох решти випадків. «Міша, Діма, Джеремі та Алекс схожі на мисливців за головами, які намагаються вистежити цих останніх».

Любич і Дудко були в Данії, щоб поінформувати інших математиків про нещодавній прогрес у доведенні MLC і методи, які вони для цього розробили. Протягом останніх 20 років дослідники збиралися тут на семінари, присвячені розкриттю результатів і методів у сфері комплексного аналізу, математичного вивчення типів чисел і функцій, які використовуються для створення множини Мандельброта.

Це була незвичайна ситуація: математики їли всі разом, розмовляли та сміялися за пивом до ранньої години. Коли вони нарешті вирішували лягти спати, вони усамітнювалися на двоярусних ліжках або дитячих ліжечках у маленьких кімнатах, якими вони ділилися на другому поверсі закладу. (Після нашого прибуття нам сказали схопити простирадла та наволочки з купи та віднести їх нагору, щоб застелити ліжка.) У деякі роки учасники конференції сміливо купаються в холодній воді; частіше бродять по лісі. Але здебільшого, окрім математики, робити нічого.

Зазвичай, як сказав мені один із відвідувачів, семінар приваблює багато молодших математиків. Але цього разу це було не так — можливо, тому, що була середина семестру, або, як він припускав, через те, наскільки складним був предмет. Він зізнався, що в той момент він відчував дещо страх перед перспективою виступити перед багатьма великими гравцями.

Але враховуючи, що більшість математиків у ширшій області комплексного аналізу більше не працюють безпосередньо над множиною Мандельброта, навіщо присвячувати цілий семінар MLC?

Множина Мандельброта — це більше, ніж фрактал, і не лише в метафоричному сенсі. Він служить свого роду головним каталогом динамічних систем — усіх різних способів, якими точка може рухатися в просторі відповідно до простого правила. Щоб зрозуміти цей основний каталог, потрібно подолати багато різних математичних ландшафтів. Множина Мандельброта глибоко пов'язана не тільки з динамікою, але й з теорією чисел, топологією, алгебраїчною геометрією, теорією груп і навіть фізикою. «Це чудово взаємодіє з рештою математики», — сказав він Саб'ясачі Мукерджі Інституту фундаментальних досліджень Тата в Індії.

Щоб досягти прогресу в MLC, математикам довелося розробити складний набір методів — те, що Шеріта називає «потужною філософією». Ці інструменти привернули велику увагу. Сьогодні вони є центральною опорою у вивченні динамічних систем у більш широкому плані. Вони виявилися вирішальними для вирішення безлічі інших проблем — проблем, які не мають нічого спільного з набором Мандельброта. І вони перетворили MLC із нішевого питання на одне з найглибших і найважливіших відкритих припущень у галузі.

Любич, математик, який, мабуть, найбільш відповідальний за формування цієї «філософії» в її нинішній формі, стоїть високо, прямо і тихо говорить. Коли інші математики на семінарі підходять до нього, щоб обговорити концепцію або поставити запитання, він заплющує очі й уважно слухає, насупивши густі брови. Відповідає обережно, з російським акцентом.

Але він також швидко вривається в голосний, теплий сміх і відпускає криві жарти. Він щедрий на свій час і поради. Він «справді виховав чимало поколінь математиків», – сказав Мукерджі, один із колишніх постдокторів Любіча та його постійний співробітник. За його словами, кожен, хто цікавиться вивченням складної динаміки, проводить деякий час у Stony Brook, навчаючись у Любіча. «У Міші є таке бачення того, як ми маємо виконувати певний проект або на що дивитися далі», — сказав Мукерджі. «У нього в голові ця грандіозна картина. І він із задоволенням ділиться цим з людьми».

Любич уперше відчуває, що може побачити цю грандіозну картину в її повноті.

Приз Бійці

Набір Мандельброта розпочався з нагороди.

У 1915 році, мотивована недавнім прогресом у вивченні функцій, Французька академія наук оголосила конкурс: через три роки вона запропонує головний приз у 3,000 франків за роботу над процесом ітерації — тим самим процесом, який би пізніше генерувати набір Мандельброта.

Ітерація — це повторне застосування правила. Вставте число у функцію, а потім використовуйте вихід як наступний вхід. Продовжуйте це робити та спостерігайте, що відбувається з часом. Коли ви продовжуєте повторювати свою функцію, отримані числа можуть швидко зростати до нескінченності. Або їх може бути притягнуто до певного числа, як залізні стружки, що рухаються до магніту. Або в кінцевому підсумку стрибають між тими самими двома числами, або трьома, або тисячею, на стабільній орбіті, з якої вони ніколи не зможуть вибратися. Або перескакуйте з одного номеру на інший без рими чи причини, слідуючи хаотичному, непередбачуваному шляху.

Французька академія та математики загалом мали ще одну причину зацікавитися ітерацією. Цей процес відіграв важливу роль у вивченні динамічних систем — систем, таких як обертання планет навколо Сонця чи течії турбулентного потоку, систем, які змінюються з часом відповідно до певного набору правил.

Премія надихнула двох математиків на розвиток абсолютно нової галузі досліджень.

Першим був П’єр Фату, який в іншому житті міг би бути військовослужбовцем (сімейна традиція), якби не його слабке здоров’я. Натомість він продовжив кар’єру в математиці та астрономії, і до 1915 року він уже довів кілька важливих результатів в аналізі. Потім був Гастон Джулія, багатообіцяючий молодий математик, який народився в окупованому Францією Алжирі, навчання якого перервала Перша світова війна та його призов до французької армії. У віці 22 років, отримавши важке поранення невдовзі після початку служби — він усе життя носитиме шкіряний ремінь на обличчі, оскільки лікарі не змогли відновити пошкодження — він повернувся до математики, займаючись деякими з роботу, яку він подав би на премію Академії з лікарняного ліжка.

Премія спонукала і Фату, і Джулію дослідити, що відбувається, коли ви повторюєте функції. Вони працювали незалежно, але в результаті зробили дуже схожі відкриття. Їхні результати настільки збігалися, що навіть зараз не завжди зрозуміло, як призначити кредит. (Джулія була більш комунікабельною, тому їй приділяли більше уваги. Зрештою він виграв приз; Фату навіть не подав заявку.) Завдяки цій роботі їх двоє тепер вважають засновниками галузі складної динаміки.

«Комплексний», оскільки Фату та Джулія повторювали функції комплексних чисел — чисел, які поєднують знайоме дійсне число з так званим уявним числом (кратним i, символ, який математики використовують для позначення квадратного кореня з −1). У той час як дійсні числа можна розмістити як точки на прямій, комплексні числа візуалізуються як точки на площині, наприклад:

Фату та Джулія виявили, що ітерація навіть простих складних функцій (це не парадокс у сфері математики!) може призвести до насиченої та складної поведінки, залежно від вашої початкової точки. Вони почали документувати цю поведінку та представляти її геометрично.

Але потім їх творчість пішла в невідомість на півстоліття. «Люди навіть не знали, що шукати. Вони були обмежені в тому, які питання навіть поставити", - сказав Артур Авіла, професор Цюріхського університету.

Це змінилося, коли комп’ютерна графіка досягла зрілості в 1970-х роках.

На той час математик Бенуа Мандельброт здобув репутацію академічного дилетанта. Працюючи в дослідницькому центрі IBM на північ від Нью-Йорка, він пробував себе в багатьох галузях, від економіки до астрономії. Коли його призначили стипендіатом IBM у 1974 році, він мав ще більше свободи для незалежних проектів. Він вирішив застосувати значну обчислювальну потужність центру, щоб вивести складну динаміку зі сплячки.

Спочатку Мандельброт використовував комп’ютери для генерування форм, які вивчали Фату та Джулія. У зображеннях була закодована інформація про те, коли початкова точка під час ітерації втікає до нескінченності, а коли вона потрапляє в пастку в якийсь інший шаблон. Малюнки Фату та Джулії, зроблені 60 років тому, виглядали як скупчення кіл і трикутників, але комп’ютерні зображення, які зробив Мандельброт, виглядали як дракони та метелики, кролики та собори та головки цвітної капусти, іноді навіть роз’єднані хмари пилу. На той час Мандельброт уже ввів слово «фрактал» для форм, які виглядали схожими в різних масштабах; це слово викликало уявлення про новий вид геометрії — щось фрагментоване, дробове або зламане.

Зображення, що з’являлися на екрані його комп’ютера — сьогодні відомі як набори Джулії — були одними з найкрасивіших і найскладніших прикладів фракталів, які коли-небудь бачив Мандельброт.

Робота Фату та Джулії була зосереджена на геометрії та динаміці кожного з цих наборів (та їхніх відповідних функцій) окремо. Але комп’ютери дали Мандельброту можливість думати про цілу групу функцій одночасно. Він міг би закодувати їх усі в зображенні, яке носило б його ім’я, хоча залишається питанням, чи був він насправді першим, хто відкрив це.

Набір Мандельброта має справу з найпростішими рівняннями, які все ще роблять щось цікаве при повторенні. Це квадратичні функції виду f(z) = z² + c. Зафіксуйте значення c — це може бути будь-яке комплексне число. Якщо повторити рівняння, починаючи з z = 0 і виявити, що числа, які ви генеруєте, залишаються малими (або обмеженими, як кажуть математики), тоді c знаходиться в наборі Мандельброта. Якщо, з іншого боку, ви повторюєте і виявляєте, що зрештою ваші числа починають зростати до нескінченності, тоді c не входить до множини Мандельброта.

Це просто, щоб показати, що значення c у наборі близькі до нуля. І так само просто показати, що великі значення c не є. Але комплексні числа виправдовують свою назву: межі множини надзвичайно заплутані. Немає жодної очевидної причини для зміни c невеликими кількостями має змусити вас продовжувати перетинати межу, але коли ви наближаєте його, з’являється нескінченна кількість деталей.

Більше того, множина Мандельброта діє як карта множин Джулії, як можна побачити на інтерактивному малюнку нижче. Виберіть значення c у наборі Мандельброта. Відповідний набір Julia буде підключено. Але якщо залишити набір Мандельброта, то відповідний набір Джулії буде відключеним пилом.