Вступ
Ідея нескінченності, мабуть, така ж стара, як і самі числа, вона сягає того часу, коли люди вперше зрозуміли, що можуть продовжувати рахувати вічно. Але навіть незважаючи на те, що ми маємо знак нескінченності і можемо посилатися на це поняття в невимушеній розмові, нескінченність залишається надзвичайно загадковою навіть для математиків. У цьому епізоді Стівен Строгатц спілкується зі своїм колегою-математиком Джастін Мур Корнельського університету про те, як одна нескінченність може бути більшою за іншу (і чи можемо ми бути впевнені, що між ними немає проміжної нескінченності). Вони також обговорюють, як фізики та математики по-різному використовують нескінченність і важливість нескінченності для самої основи математики.
Слухай далі Apple Podcasts, Spotify, Підкасти Google, брошюровщик, Налаштувати або ваш улюблений додаток для подкастингу, або ви можете транслювати його з Quanta.
Розшифровка
Стівен Строгац (00:03): Я Стів Строгац, а це так Радість чому, подкаст від Журнал Quanta це перенесе вас на деякі з найбільших питань без відповіді в математиці та природничих науках сьогодні.
(00:13) У цьому епізоді ми будемо обговорювати нескінченність. Ніхто насправді не знає, звідки взялася ідея нескінченності, але вона, мабуть, дуже давня — така ж стара, як надії та страхи людей щодо того, що, ймовірно, може тривати вічно. Деякі з них страшні, як бездоння, а деякі піднімають настрій, як нескінченна любов. У математиці ідея нескінченності, ймовірно, така ж стара, як і самі числа. Одного разу люди зрозуміли, що можна продовжувати рахувати вічно — 1, 2, 3 і так далі. Але незважаючи на те, що нескінченність є дуже старою ідеєю, вона залишається глибоко загадковою. Люди чухають голови про нескінченність вже тисячі років, принаймні з часів Зенона та Аристотеля в Стародавній Греції.
(00:57) Але як сьогодні математики розуміють нескінченність? Чи існують різні розміри нескінченності? Чи корисна нескінченність математикам? І якщо так, то як саме? І яке відношення все це має до основ самої математики?
(01:14) Джастін Мур, професор математики Корнельського університету, приєднується до мене сьогодні, щоб обговорити нескінченність. Його наукові інтереси включають теорію множин, математичну логіку та нескінченну комбінаторику та їх застосування в інших галузях математики, таких як топологія, функціональний аналіз і алгебра. Ласкаво просимо, Джастіне.
Джастін Мур (01:33): Привіт, Стіве. Дякую, що прийняли мене.
Строгац (01:35): Так, я дуже радий поговорити з вами. Для повного розкриття я маю сказати, що Джастін — мій друг і колега на математичному факультеті Корнельського університету. Отже, переходимо до роздумів про нескінченність, як думають про це математики. Насправді, можливо, перш ніж ми зануримося в математичну частину, давайте просто поговоримо на секунду про реальний світ, тому що ми будемо там недовго. Я маю рацію, колись ви навчалися у світі фізики?
Мур (02:02): Так, коли я навчався на бакалаврі, це була фізика та математика. Я якось згорів на фізиці. Спочатку я віддавав перевагу фізиці, а також трохи цікавився математикою більше для відпочинку. А потім якимось чином, під час цього, я більше зацікавився математикою та фізикою.
Строгац (02:18): Добре. Ну, а як щодо фізики нескінченності? Це взагалі має сенс? Чи існує нескінченна кількість речей у реальному світі, про які ми знаємо?
Мур (02:26): Ви знаєте це відео, Ступені 10, який створили Чарльз і Рей Імс? Де в основному кожні — я думаю, це кожні 10 секунд, ви на 10 менший. Ну, спочатку я думаю, що ступінь 10 більший. Ви зменшуєте масштаб. А потім кожні 10 секунд ви стаєте на 10 разів меншими, і ви переходите від найбільшого масштабу Всесвіту до найменшого масштабу субатомної частинки. Ви знаєте, це було зроблено, я хочу сказати, наприкінці 70-х або на початку 80-х. І я думаю, що з тих пір наше розуміння деяких речей дещо змінилося, але не дуже. Але я маю на увазі, що справа в тому, що є близько 40 ступенів 10, які відокремлюють найменшу шкалу довжини від найбільшої шкали довжини, і, можливо, ви можете бути щедрими і додати кілька додаткових ступенів 10, просто для хорошої міри. Але чесно сказати, що у фізиці немає нічого більшого, ніж, знаєте, 10100 або 10200 або щось подібне.
(03:22) І, можливо, наше уявлення про те, що речі безперервні — безперервний рух чи щось інше — можливо, це все лише ілюзія. Можливо, все справді гранульоване й кінцеве. Але правдою є те, що фізики, безсумнівно, відкрили багато про світ, у якому ми живемо, уявивши, що все гладко й безперервно, і що ця нескінченність має сенс. Коли ви заглиблюєтеся в ті частини фізики, де вони ще не формалізували речі, багато проблем, які мають математики з цим, зводяться до того, що фізики ставляться до нескінченності різними способами, і віднімають нескінченність від нескінченності. , і, можливо, вони не настільки відповідальні за це, як хотів би математик. Я не думаю, що це справді суперечливе твердження. Я думаю, що фізик — ймовірно, більшість фізиків — я маю на увазі, гаразд, можливо, вам було б краще знати. Але я вважаю, що більшість фізиків скажуть, що це досить правильне твердження.
Строгац (04:20): Отже, з точки зору вашої особистої історії — я обіцяю, що не буду надто глибоко заглиблюватися, щоб збентежити вас у цьому — але що саме привернуло вас до нескінченності? Якось фізика здалася тобі замалою? Або тобі просто подобається точність математики, чи...?
Мур (04:33): Я маю на увазі, що я зацікавився математикою в цілому і відійшов від фізики до того, як зацікавився конкретно теорією множин. За іронією долі, це було тому, що я... ну, якщо ти йдеш на урок фізики, в якийсь момент ти стаєш досить швидким і розкутим з математикою. І ти або в порядку з цим, або ні. Я був одним із тих, кому це було неприємно.
Строгац (04:56): Га. І я був тим, хто був у порядку, і я все ще це роблю. Ви знаєте, я маю на увазі, що ці речі мене не надто хвилювали, хоча я поважаю ту турботу про те — інтелектуальну цілісність, яку мають чисті математики, знаєте, які турбуються про ці речі.
(05:11): Гаразд, припустімо, що я просто, не знаю, як допитливий підліток, і я навіть не знаю, що таке нескінченність. Що б ви сказали? Чи варто думати про це як про дуже велике число? Це якийсь символ? Це власність? Який хороший спосіб подумати про те, що таке нескінченність?
Мур (05:26): Так, я маю на увазі, я думаю, це — це може бути ідеалізована точка в кінці рядка, добре? Це може бути офіційний символ. Ви знаєте, ви можете думати про це як… формальний символ у тому самому сенсі, як, скажімо, ми вводимо -1, чи не так? І я пам’ятаю, коли я був маленькою дитиною, вчителі не хотіли пояснювати, чи безпечно говорити про від’ємні числа. І, правда, заднім числом це звучить безглуздо, але на якомусь рівні, правда, чи існує -1 у реальному світі? Але ви можете формально маніпулювати цим і ви можете формально маніпулювати нескінченністю на якомусь рівні, але вам, можливо, доведеться проявити трохи більше уваги. Ви також можете використовувати нескінченність як засіб кількісного визначення кількості чогось. І це відкриває більше дверей, тому що можна говорити про існування нескінченних наборів, деякі з яких більші за інші.
Строгац (06:15): Добре. добре Отже, ви згадали це слово «множини», і ми, безумовно, сьогодні будемо багато говорити про набори. Я вже казав, що ваші інтереси включають теорію множин. Ви хочете сказати більше про те, що ви маєте на увазі під набором?
Мур (06:26): Мабуть, я… Відповідь і так, і ні. Тож я вважаю, що це нормально, коли мимоволі дивимося на це як на невизначене поняття та використовуємо його інтуїтивно. Але це також використовувалося як механізм для створення основи для математики, коли люди зрозуміли, що нам потрібно мати якусь, створити якусь ретельну основу для того, що таке математика.
Строгац (06:49): Ага. Це цікаво. Тому що я... як маленькі діти, ми вчимося рахувати на пальцях, або наші батьки, ймовірно, починають говорити слова, а потім вони можуть вказувати на предмети і казати: «1, 2, 3…» І ми вивчали звуки — діти так, коли вони дуже маленькі, я знаю, правда? Я маю на увазі, якщо у вас самих є маленькі діти або родичі. Отже, є й інша сторона справи. І я думаю, що більшість людей уявляють, що числа є основою математики. Але ви говорите, і я думаю, що більшість математиків погодяться, що є щось навіть глибше, ніж числа, якою є ця концепція множин, чи не так?
Мур (07:22): Я думаю, що концепція «множини» виникла як фундаментальна концепція, тому що вона така проста і така примітивна. І якщо ви, якщо ви хочете мати щось, що можна використовувати як тканину для математики, ви хочете почати з чогось, де його основні властивості здаються дуже примітивними, а потім почати з цього. І тоді ідея полягає в тому, що ви потім використовуєте набори для кодування таких речей, як числа для підрахунку, і такі речі, як раціональні числа, і дійсні числа, і так далі. А потім звідти всі види інших складніших математичних конструкцій, як-от різноманіття, або, або що завгодно.
Строгац (07:57): Отже, я пам'ятаю, в a вулиця Сезам епізод, який я дивився зі своїми дітьми. Це було у фільмі; Я думаю, що це було. Що є персонаж, який замовляв рибу для кімнати, повної голодних пінгвінів. І він попросив пінгвінів крикнути, і вони сказали: «Риба, риба, риба, риба, риба, риба». І тоді офіціант кличе на кухню: «Риба, риба, риба, риба, риба». А потім хтось інший каже: «Ні, ти помилився». І хтось інший каже: «Ну чому ти просто не сказав, що вони замовили шість рибок?» Але це вказує на те, що ця ідея числа з’явилася після цієї колекції об’єктів риби. А потім інший персонаж здивовано каже: «Це працює для свічок запалювання?» А булочки з корицею?»
Мур (08:42): Я маю на увазі, я також думаю, що якщо вам цікаво спробувати зрозуміти, чи можете ви це довести? Або ви можете це довести? І ви намагаєтеся встановити правила того, як ви будете доводити речі чи щось інше, ви хотіли б, щоб основні принципи були якомога простішими. І тому замість того, щоб намагатися записати правила того, як працює арифметика, ви починаєте із запису простіших правил для простіших речей, а потім будуєте арифметику з цих більш базових будівельних блоків.
Строгац (09:08): Добре. Отже, і це також нагадує мені «Нову математику», коли в дитинстві в 60-х ми вивчали перетини, діаграми Венна та об’єднання, так? Це був початок теорії множин. Вони вчили нас у — я не пам’ятаю — це був другий чи третій клас; мої батьки не знали чому. Але, мабуть, математики вашого типу чи інші вважали, що діти повинні вивчати множини до чи одночасно з вивченням арифметики.
Мур (09:33): Так, більшість з того, що люди вивчають у теорії множин, я маю на увазі, сьогодні насправді це те, як працюють нескінченні множини. Тому що наша інтуїція щодо нескінченних множин не така хороша, як наша інтуїція щодо скінченних множин. І я думаю, що багато в чому причина того, чому був потяг до фундаментів. Частково це сталося тому, що ми хотіли б записати: гаразд, якими, на нашу достатню впевненість, мають бути властивості нескінченних множин і множин загалом, а потім спробувати звідси зрозуміти, що правда про нескінченні множини?
Строгац (10:03): Добре, чому б нам не навести кілька прикладів? Чи можете ви навести мені кілька прикладів речей, які є нескінченними множинами?
Мур (10:08): Ну, як натуральні числа. Як ви сказали — наприклад, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і так далі — але також і такі речі, як раціональні числа. Ви знаєте, дроби, як два натуральних числа одне над одним, або, можливо, від’ємний дріб. Але є також такі речі, як дійсні числа, де — ви знаєте, все, що ви можете виразити десятковим числом, включаючи такі речі, як пі та e.
Строгац (10:28): М-м-м. Тому вони можуть мати нескінченну кількість цифр після коми.
Мур (10:32): Так, так, нескінченно багато цифр. Вони не повинні повторюватися.
Строгац (10:35): Ага. А як щодо таких речей, як фігури, точки чи геометричні речі, а не лише числа?
Мур (10:41): Так, ви також можете говорити про колекції геометричних фігур.
Строгац (10:45): Гаразд, це гарна особливість множин: ми можемо за допомогою множин уніфікувати або принаймні мати спільну мову для розмов про арифметику, геометрію, ….
Мур (10:54): Так.
Строгац (10:55): Гадаю, ми могли б говорити про набір функцій, якби ми проходили курс до обчислення. Ви знаєте, як множина множини неперервних функцій, якби ми були на курсі числення.
Мур (11:04): Звичайно. так
Строгац (11:05): Або що завгодно. Так, це дає нам спільну мову для всіх різних частин математики.
Мур (11:09): Так.
Строгац (11:10): І — але це відносно нова ідея як основи математики з точки зору загальної історії математики, чи не так?
Мур (11:16): Так, я маю на увазі, я… Ну, сучасній математиці, як ми її знаємо, їй приблизно від 100 до 150 років. Але я зазвичай асоціюю це з тим, що перша половина минулого століття була тоді, коли ми дійсно почали бачити, що всі основні частини математики, якими ми їх знаємо сьогодні, почали розвиватися і дійсно стали окремими предметами. І це також було приблизно в той самий час, коли [Бертран] Рассел відкрив свій парадокс, який підштовхнув потребу в якихось строгих основах для математики.
Строгац (11:49): Ага. Слід зазначити — так. Тож Бертран Рассел, про якого ми зараз говоримо, часто більше відомий як філософ чи пацифіст, і все ж він був досить сильним математиком і логіком, тим, хто цікавився логікою як частиною математики.
Мур: Так Так.
Строгац (12:04): Отже, як ви сказали, він був одним із тих, хто допоміг запровадити теорію множин. А ще до нього був цей пан, Георг Кантор, про якого ми будемо говорити зовсім небагато, у Німеччині наприкінці 1800-х років.
(12:17): Гаразд, то як, скажімо, в математиці математики використовують нескінченність? Ви згадали, наскільки це може бути корисним. Де він використовується?
Мур (12:27): Так, у класі числення це корисний символ для виконання певних обчислень. Говорячи про те, як поводиться функція, коли вхід стає дуже великим. Ви можете говорити про обмеження на нескінченності або про співвідношення кількостей, коли число прямує до нуля, нескінченності чи щось подібне. Це поняття нескінченності, яке є начебто в першому значенні, яке я згадав, де ви розглядаєте нескінченність як ідеалізовану точку в кінці лінії.
(12:53) Але ви також можете говорити про це як... ви знаєте, ви можете, ви можете говорити про підрахунок кількості елементів деякої колекції чи деякої множини та відстеження того, скільки елементів вона має, або, можливо, якщо він має нескінченно багато елементів, намагаючись розрізнити різні розміри нескінченності. Я маю на увазі, що всі розуміють — або роблять вигляд, що розуміють — різницю між скінченністю та нескінченністю. І я думаю Чудове відкриття Кантора було те, що ви можете, для нескінченної множини, ви можете робити додаткові відмінності. Ви можете розрізняти те, що називається лічильним, і те, що називається незлічуваним. Або навіть загалом, вищі незлічені кардинали, ніж відмінності між різними незліченними кардиналами.
Строгац (13:34): Добре, давайте туди. Тому що це дійсно занурює нас у суть нашої теми. Я думаю, що пересічна людина, яка вперше чує слово «злічувальний», може подумати, що воно буквально означає «злічувальний», як щось, що має 10. Знаєте, якщо на столі 10 свічок запалювання, я міг би їх порахувати — 1, 2, 3 , до 10. Але ви та інші математики використовуєте рахунковий, щоб означати щось трохи інше, ніж це.
Мур (13:56): Це просто означає, що ви можете призначити натуральне число кожному елементу набору, щоб жодне натуральне число не використовувалося двічі.
Строгац (13:56): Отже, щось може бути зліченим і нескінченним.
Мур (13:57): І нескінченно. Отже, натуральні числа, очевидно, рахункові, оскільки вони рахуються самі. Але, можливо, дещо менш очевидним є те, що цілі числа, включно з негативними натуральними числами, є рахунковими.
Строгац (14:18): Тож давайте поговоримо про це на секунду. Тож якщо людина раніше про це не замислювалася, це цікаво. Тому що, як ви сказали, ви збираєтеся розглянути всі числа, усі цілі додатні числа, усі цілі від’ємні числа та нуль.
Мур (14:29): Так.
Строгац (14:30): Ви можете зробити це неправильно. Наприклад, якщо ви почали з нуля і почали рахувати праворуч, а потім дійшли до 0, 1, 2, 3, ви ніколи не повернетеся до від’ємних чисел. Тоді ви не змогли б порахувати всі цілі числа.
Мур (14:41): Так.
Строгац: Але що робити замість цього?
Мур: Ви можете порахувати 0, 1, -1, а потім 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5. І якщо ви їх таким чином перераховуєте, то врешті-решт ви перерахуєте все.
Строгац (14:55): Красиво. Отже, цей зигзагоподібний аргумент, де ви стрибаєте туди-сюди між позитивними та негативними моментами, є гарним, організованим, систематичним способом показати, що якщо ви думаєте про будь-яке ціле число, зрештою воно буде в списку.
Мур: Так. так
Строгац(15:07): Так це чудово. Отже, цілі числа зліченні. Кантор також виявив деякі інші речі, які можна підрахувати, але я не знаю, чи він був здивований, але багато хто з нас дивуються, коли вперше дізнаються про це. Як, як що?
Мур (15:21): Так, я вважаю, що два гарних приклади, які дивують, — це — по-перше, раціональність. Таким чином, сукупність усіх дробів двох цілих чисел є рахунковою. Насправді це досить легко побачити, якщо ви подумаєте про це, тому що ви можете просто перерахувати всі дроби зі знаменником 1 — чи чисельником і знаменником за абсолютним значенням не більше 1. А потім не більше 2, не більше 3, не більше 4 І на кожному етапі існує лише скінченна кількість дробів, у яких чисельник і знаменник мають величину не більше ніж n. І тоді ви можете вичерпати всі раціональні висновки таким чином.
Строгац (15:55): Якби я вибрав число n як 3, ви б сказали, що я міг би мати таке число, як 1/2, 2/1 або 0/3, тому що чисельник і знаменник складаються до 3?
Мур (16:06): Так. Ще один, який, знову ж таки, трохи дивує, якщо взяти кількість слів, які ви можете записати латинським алфавітом, або будь-яким алфавітом, який ви хочете. Існує щонайбільше підрахункова кількість скінченних слів або скінченних рядків символів, що походять із цього алфавіту. Якщо ви думаєте про всі слова чи всі речення, про всі літературні твори, якщо хочете —
Строгац: Ой.
Мур (16:30): — все, що не тільки існує зараз, але потенційно може існувати в якийсь час у майбутньому. Ви знаєте, ви садите цих нескінченно багато мавп за друкарську машинку і дивитеся, які результати вони можуть створити за кінцевий проміжок часу. Це все просто лічильний набір.
Строгац (16:44): Вау. Отже, всі можливі книги всіма, скажімо, латиницею, усіма можливими мовами, які ми знаємо?
Мур (16:50): Усіма можливими мовами. так Я маю на увазі, якщо вам навіть подобається, ви можете мати рахунковий алфавіт, якщо хочете. Це не робить нічого більшим.
Строгац (16:56): Таким чином, підрахункові здавалося б дуже великою нескінченністю. І все ж —
Мур (16:59): Так. Перше, що дивує, полягає в тому, що ті множини, які здаються більшими за натуральні числа, насправді мають той самий розмір, що й натуральні числа. Їх можна порахувати. Але є ще один сюрприз, який полягає в тому, що дійсні числа, набір десяткових чисел, незліченні.
Строгац (17:13): Отже, є чудовий момент, про який ви згадали, що можуть існувати множини, які не підлягають рахунку. І, мабуть, найпростішим прикладом буде: подумайте про лінію, яка тягнеться до нескінченності в обох напрямках. Як нескінченно довга пряма лінія. Справжня лінія, як ми б її назвали. Це незліченно.
Мур (17:32): Так. Якщо ви передасте мені список, передбачуваний список усіх елементів у цьому рядку, є процедура, яка називається діагональним аргументом, яка дозволяє створити нову точку, яка є на рядку, але не у вашому списку. Це було знамените відкриття Кантора.
Строгац (17:49): Тож, мабуть, на той час це було справді вражаюче відкриття, чи не так? Що тепер ви раптом можете говорити про дві нескінченні множини і порівнювати їх.
Мур (17:58): Так, так. І відмінність між зліченними та незліченними є справді корисною в математиці. По суті, лічильні набори, ви все ще можете говорити про суми лічильно нескінченної довжини. Це те, чого викладають наприкінці стандартного — наприкінці курсу обчислення другого семестру. Тоді як суми за незліченними множинами є менш значущими, або, принаймні, ви повинні визначити їх більш делікатним способом. Тим не менш, щось більше в стилі інтеграла або щось подібне.
Строгац (18:30): Гаразд, тепер у нас є ця відмінність злічуваних, як цілі числа — 1, 2, 3, 4, 5 — і незлічуваних, як точки на лінії. Є ще одне запитання, яке, на мою думку, було б добре, якби ми могли приділити йому трохи часу. Називається гіпотезою континууму. Чи могли б ви сказати нам, що це?
Мур (18:50): Так. Тому Кантор задумався: чи є, чи є щось посередині? Ви можете — ви знаєте, натуральні числа знаходяться всередині дійсних чисел, а натуральні числа підлягають рахунку. Дійсні числа незліченні і більші за натуральні числа. Чи існує набір дійсних чисел, який більший за натуральні числа, але менший за —
Строгац (19:10): Менший у цьому сенсі підрахунку.
Мур (19:12): — менше лінії? Чи існує множина точок на цій прямій, на числовій прямій, яка більша за натуральні числа, більша за раціональні числа, але менша за всю пряму? Твердження про відсутність такого проміжного набору називається гіпотезою континууму. І це була перша проблема Гільберта, чи є гіпотеза континууму істинним чи хибним твердженням.
Строгац (19:35): Ага, тож Гільберт був великим математиком цього — можливо, трохи пізнішого покоління, але не набагато пізнішого. І в рік — який це був, я думаю, 1900 або близько того — він оголосив або склав список того, що, на його думку, було одними з найбільших проблем майбутнього, над якими математики 20-го століття повинні працювати. І я думаю, що це було питання номер один у його списку?
Мур (19:58): Так, це було питання номер один.
Строгац (20:00): Вау. Тож думати про це було серйозно. Ви скажете, що Кантор назвав це гіпотезою. Він думав, що це виявиться правдою.
Мур: Так.
Строгац (20:07): Що між цими двома, про які він уже знав, не було нескінченності
Мур (20:11): Так. І справа в тому, що він витримує випробування пошуком контрприкладів. Я маю на увазі, що якщо ви почнете розглядати всі набори дійсних чисел, підмножини лінії, які ви можете записати опис або які ви можете побудувати якимось чином. Він спробував це. І він довів, я маю на увазі, добре, він показав, що немає контрприкладів. Існують навіть теореми, які стверджують, що множини того чи іншого типу не можуть бути контрприкладами.
Строгац (20:40): Це дивно. Дозвольте мені переконатися, що я це зрозумів. Я ніколи не чув такого твердження: сам факт того, що деякі з них можна описати, робить їх у певному сенсі недостатньо хорошими.
Мур (20:49): Наприклад, замкнута множина має всі свої граничні точки. Кантор довів, що це не може бути протилежним прикладом. Він або злічуваний, або має той самий розмір, що й дійсні числа.
Строгац (21:00): Отже, якщо є контрприклад, він має бути невимовним.
Мур (21:04): Так, це має бути складно.
Строгац (21:06): Вау. Але, звісно, цілком можливо, що він є, просто це буде якась дивна річ.
Мур (21:12): Так. Таким чином, це підводить нас до чогось, що повертає до цього фундаментального питання. Знаєте, приблизно в той час вони почали намагатися формалізувати те, що таке аксіоми математики. А десь пізніше, десь у 1930-х роках, [Курт] Гедель довів, що насправді будь-яка зрозуміла система аксіом, яку ви можете мати, яка досягає скромної мети формалізації арифметики на натуральних числах, обов’язково є неповною. Є твердження, які ви не можете довести за допомогою цієї системи аксіом, і ви не можете спростувати їх за допомогою аксіом, використовуючи стандартні кінцеві докази.
(21:52) І це було, я думаю, досить шокуюче. Тому що це говорить вам про те, що мета якимось чином алгоритмічно намагатися вирішити всі ваші проблеми в математиці та створити якусь алгоритмічну основу, якусь повну основу математики, у певному сенсі, приречена. Або, принаймні, має керуватися якоюсь вищою інтуїцією, окрім — я не знаю — того, що було доступно на той час.
(22:16) І те, що Ґодель довів — одна з речей, які він довів пізніше, полягала в тому, що одним із тверджень, які ви не можете довести чи спростувати, є твердження про те, що ваша система аксіом узгоджена в першу чергу. Щоб це не призводило до жодних протиріч. Це твердження можна закодувати як своєрідне твердження про теорію чисел, про арифметику натуральних чисел, але не в особливо природний спосіб. Якщо ви підете і поговорите з одним із теоретиків чисел у відділі, вони не вважатимуть це проблемою чи формулюванням теорії чисел, хоча технічно це так. Так воно і було — питання, яке залишилося з часів Геделя, полягало в тому, чи є гіпотеза континууму — чи існує якесь інше природниче математичне твердження, яке нерозв’язне на основі системи аксіом, у рамках якої ми працювали.
Строгац (23:02): Отже, є ця концепція аксіом. Мабуть, нам варто спробувати згадати, як вони виглядають. Тому що, якщо ми робимо дуже уважну математику, ми повинні сформулювати деякі визначення, а також деякі речі, які ми приймаємо — я не знаю, чому я не хочу сказати «ми приймаємо як належне», але ми приймаємо як підстилка.
Мур (23:19): Так, так. Тож це, я маю на увазі, це те, що робили греки, це було, ви знаєте, — одне з досягнень у формалізації геометрії — полягало в тому, щоб замість того, щоб намагатися визначити, що таке геометрія, розглядати це як: Ви є збираюся записати кілька невизначених термінів, а потім записати правила або аксіоми, які керують поведінкою цих невизначених термінів. Для них це були такі речі, як точка і лінія. А коли точка знаходиться на прямій, це невизначені поняття. А коли точка знаходиться між двома іншими точками на прямій, це невизначені поняття. А потім ви записуєте набір аксіом, які регулюють роботу цих концепцій. І якщо ви зробили це правильно, тоді всі погодяться, що ці властивості, очевидно, вірні для цих, цих речей. Отже, ці аксіоми є речами, які є начебто самоочевидно істинними.
(23:19) Отже, для геометрії, знаєте, є знаменитий паралельний постулат, який — ви не можете вивести його з інших. І це було дещо революційним, коли було виявлено, що можна побудувати моделі геометрії, які задовольняють усі аксіоми, але не паралельний постулат. І тому паралельний постулат не можна довести з інших аксіом. Тож у певному сенсі Гедель розробив метод для цього, але на рівні математичних моделей або принаймні моделей цієї системи аксіом, яку ми маємо для математики.
Строгац (24:45): Ага, цікаво це сказати. Отже, наприклад, де ми маємо евклідову геометрію, а також нові новомодні неевклідові геометрії, які, як відомо, Ейнштейн використовував у загальній теорії відносності, але вони також використовуються в інших місцях. І вони логічно такі ж хороші, як евклідова геометрія. Але тепер замість того, щоб просто говорити про геометрію, ви говорите, що це ніби ми могли б мати традиційне — ну, я не впевнений, що це за слова. Що є аналогом евклідової геометрії? Чи існує традиційна математика?
Мур (25:16): Це відкрите питання. Я маю на увазі це, я маю на увазі — я думаю, що це частково філософське питання. Можливо, це соціологічне питання, тому що це питання про те, що таке математика, чи не так? Це повертається до цього основного питання. І я думаю, що аксіоми, які ми маємо, аксіоми ZFC, які були розроблені трохи більше 100 років тому, є тими, з якими ми загалом погоджуємося, що вони правдиві, або це такі властивості, які повинен мати «набір», але вони повторно не завершено.
Строгац (25:44): Ну, зачекайте, давайте розпакуємо все це. Це звучить непогано. Отже, ZFC, чому б нам не почати з цього? Це імена деяких людей і ще щось.
Мур (25:51): Так, так. «Теорія множин Цермело-Френкеля” з чимось, що називається “аксіомою вибору”. так
Строгац (25:55): Добре. І тому це правила гри, які широко прийняті.
Мур (25:59): Так, це список аксіом — він досить довгий, але не такий. Такі речі, як, якщо у вас є дві множини, є множина, у якій вони обидва є своїми елементами. Аксіома створення пар, що ви можете взяти об’єднання колекції множин, і це множина. І так далі.
Строгац (26:15): Добре. Отже, є метод ZFC для створення теорії множин, і це, як ви кажете, запропоновано в певний час, і людям це подобається, але потім ви сказали, що це не завершено?
Мур (26:26): Так. Отже, це те, що ви можете написати. Комп’ютерний алгоритм для переліку аксіом. Це нескінченний набір аксіом. Але за винятком двох сортів кластерів аксіом, це скінченно. Якби ви не звертали уваги, ви б насправді подумали, що ці, кожен із цих кластерів аксіом є єдиними аксіомами. Але насправді це нескінченна сім’я аксіом. Ви можете створити комп’ютерну програму, яка виплюне всі аксіоми. Ми схильні вірити, що ZFC послідовний, тому що ми не виявили жодних протиріч. Якщо ви вірите в це, то згідно з теоремою про неповноту Геделя ZFC не зможе довести, що він послідовний.
(27:03) І тому є твердження, такі як послідовність ZFC, які ZFC не може довести. Це цікавий момент. Знову ж таки, ми віримо, що ZFC послідовний. І це, я маю на увазі, одна з причин того, що, я маю на увазі... Більшість математиків, вони збираються працювати, засновані на вірі в те, що CFC послідовний. правильно? Але це те, що ми вважаємо правдивим твердженням. Але це не те, що ZFC сам по собі достатньо підтвердити.
Строгац (27:27): Я просто думаю. Дорогою сюди ми згадували Геделя. Я не знаю, чи ми сказали, хто він. Хочете розповісти коротко?
Мур (27:34) Так, був. Я маю на увазі, що він був свого роду революційним логіком. Ця теорема про неповноту була одним із його головних досягнень. Іншим його великим досягненням було показати, що гіпотезу континууму неможливо спростувати за допомогою аксіом ZFC.
Строгац (27:49): Деякі люди вважають його найбільшим логіком з часів Аристотеля. А Ейнштейн, який був його другом і колегою в Інституті перспективних досліджень, сказав, що йому подобалося мати привілей ходити на роботу пішки з Курт Гедель. Я маю на увазі, що він був в одній інтелектуальній лізі з Ейнштейном. Якщо ви про нього не чули, рекомендую переглянути книгу про нього під назвою Подорож на край розуму. Чудова книга про життя Геделя. Але гаразд, значить, він логік середини 20-го, початку 20-го століття. І ви кажете, що він довів це — добре, скажіть ще раз про гіпотезу континууму?
Мур (28:23): У будь-якій моделі теорії множин він побудував меншу модель теорії множин, яка задовольняє гіпотезі континууму. І це свідчить про те, що ви не можете спростувати гіпотезу континууму в рамках аксіом теорії множин. З однієї моделі теорії множин, якщо вона у вас є, я можу створити нову, яка задовольняє гіпотезу континууму.
Строгац (28:43): Розумію. Отже, можуть існувати версії теорії множин, начебто менші версії, які все ще підходять для виконання арифметики, я так розумію.
Мур: Так.
Строгац (28:51): Але, добре, гіпотеза континууму вірна, як і здогадався Кантор.
Мур: Так.
Строгац (28:56): А потім. Але в цій історії є велике «але».
Мур (28:59): Так. Через багато-багато років, [Пол] Коен розробив техніку під назвою форсування, яка дозволила йому розширити моделі теорії множин. І використовуючи це, він довів, що ви не можете довести гіпотезу континууму. Крім того, його техніку також можна використати, щоб довести, що ви не можете її спростувати. Це, так, ця техніка, яка називається форсування, справді дуже потужна. Форсування та техніка побудови меншої моделі в рамках вашої моделі теорії множин. Це свого роду два інструменти, які ми маємо для створення нових моделей теорії множин зі старих моделей теорії множин.
Мур (29:32): Повертаючись до аналогії з геометрією. Я маю на увазі, навіть ці моделі гіперболічної площини, які були неевклідовими моделями геометрії — вони самі починаються з того, що беруть евклідову площину або її підмножину та будують модель геометрії, як точки та лінії там. Точки - це звичайні точки на цьому диску. І лінії є колами, певними колами в оригінальній геометрії. Те, що я намагаюся підкреслити, полягає в тому, що це плідна справа, яку ви робите в математиці. Часто ви починаєте з якоїсь структури, яка задовольняє вашу систему аксіом, як-от геометрія, яка задовольняє ваші аксіоми геометрії, і ви якось маніпулюєте нею та створюєте щось нове, яке, можливо, задовольняє інший набір аксіом. Ось що Коен і Ґодель робили: вони взяли модель аксіом теорії множин — і, отже, в певному сенсі, математичну модель — і маніпулювали нею, використовуючи різні техніки для створення нових моделей, які задовольняли або те, що гіпотеза континууму вірна, або що гіпотеза континууму хибна.
Строгац (30:36): Для мене це справді дивовижно, і я впевнений, що для багатьох людей, знаєте… Наприклад, у Платона є така філософія, що існують певні ідеальні форми та істини, які — можливо, ми можемо Не побачиш їх тут, на Землі, але в якомусь платонівському царстві їх правда існує.
Мур: Так Так.
Строгац (30:57): І ви відчуєте, що реальні числа існують, незалежно від того, думають про них люди чи ні, і що гіпотеза континууму або вірна щодо реальних чисел, або ні. Але ти мені кажеш?
Мур (31:09): Ну, я маю на увазі, так, існують різні школи думки щодо цього. Я маю на увазі, ви не могли — ви можете розглядати це так, що є щось, що, я думаю, підходить під назвою, цей загальний погляд на мультивсесвіт, що більше нічого не можна сказати. Є просто всі ці моделі теорії множин. І найкраще, що ми можемо зробити, це спробувати зрозуміти, що є правдою в кожному з них, і рухатися між ними. І це дуже неплатонічний погляд на речі, свого роду формалістичний погляд на речі. Ви також можете прийняти точку зору, що існує деяка, можливо, краща модель теорії множин. Це, ви знаєте, реальність, у якій ми живемо, і всі ці інші моделі, це моделі аксіом, але насправді це не те, що ми намагаємося описати за допомогою аксіом. Я думаю, що аналогія з геометрією є дещо показовою, чи не так? Я маю на увазі, що ви можете створити багато різних геометричних моделей. Але ми все ще живемо у фізичному світі, який має геометрію, і, можливо, це та геометрія, яка нас найбільше хвилює.
Строгац (32:03): Розумію. Так само, як ми могли б надати евклідовій геометрії певний пріоритетний статус, тому що ми звикли до неї. Це той, який існує давно, тому що він начебто найпростіший і найочевидніший, але ми все ще вважаємо, що ці інші хороші, і вони мають свої сфери, де вони корисні та цікаві.
Мур (32:20): Але, можливо, тут також варто звернути увагу на те, що навіть наше розуміння... Ну, по-перше, я не впевнений, що ми живемо в евклідовій геометрії. Але є питання щодо цього. Але навіть наше розуміння фізичного світу значно збагачується розумінням усіх цих інших геометрій, цим вільним дослідженням інших моделей геометрії. Те саме стосується теорії множин. Я думаю, навіть якщо в майбутньому ми досягнемо певного консенсусу щодо того, що є новою аксіомою для теорії множин, прибуття до цього пункту призначення буде неможливим без усіх цих досліджень, які відбуваються заздалегідь.
Строгац (33:00): Що означатиме підтвердження чи спростування гіпотези континууму? Для кожного з цих таборів? Що поставлено на карту?
Мур (33:08): Так, це — добре, тому я думаю, що табір, який дотримується такої точки зору «всіх світів», просто сказав би, що це безглузде запитання. Те, що Коен і Ґодель та їхні методи побудови багатьох моделей теорії множин – це ніби кінець дискусії. І ви знаєте, можливо, ми створимо багато нових моделей теорії множин, але ми ніколи не матимемо остаточної відповіді на те, що гіпотеза континууму істинна чи хибна. Люди, які дотримуються точки зору, що в цьому твердженні є якась істина чи хибність, мабуть, намагатимуться придумати якусь нову аксіому та ймовірно якесь евристичне обґрунтування того, чому ця аксіома має бути істинною — або евристичне, або, можливо, прагматичне обґрунтування чому це правда. І тоді як тільки ви стверджуєте, що цю аксіому слід прийняти, що вона якимось чином інкапсулює деяку інтуїцію, яку ми маємо щодо математики чи множин, тоді, якщо ця аксіома також доводить або спростовує гіпотезу континууму в якомусь формальному сенсі цього слова, тоді ви побачите що CH є істинним чи хибним.
Строгац (34:12): Ось де ми зараз знаходимося. Що насправді на даний момент існують ці два табори.
Мур (34:16): Так, певною мірою. Минуло стільки часу з тих пір, як було доведено, що гіпотеза континууму нерозв’язна на основі аксіом, що я думаю, що більшість математиків уже звикли до того факту, що, можливо, це найбільше, що можна сказати. І я думаю, що на даний момент було б дивовижно, якби математики в цілому змогли об’єднатися навколо якоїсь нової евристики, яка, знаєте, всі погодяться, що вона має бути вірною. І, можливо, цього ніколи не станеться. Можливо, можливо, у спільноті занадто багато різних точок зору. Чесно кажучи, я вважаю, що це — я вважаю, що це певною мірою консенсусна точка зору, але не універсальна, що ZFC — це набір істинних аксіом для математики. Звичайно, є люди, які вважають, що нічого нескінченного просто не існує. І говорити про це немає сенсу і не варто говорити.
Строгац (35:05): Ну, це давня традиція. Я маю на увазі, що Аристотель казав нам остерігатися нескінченності. І в історії математики навіть такі великі люди, як [Карл Фрідріх] Гаус були дуже обережні щодо цієї концепції завершеної нескінченності, і саме це Кантор відкрив для нас цю банку з черв’яками. Але я не знаю, що це глисти. Здається, що це — знаєте, яка шкода? Це те, що ми даємо волю своїй уяві та відкриваємо багато цікавого.
(35:30) Але в мене є запитання. Як людина, яка не є теоретиком множин, я не хочу запитувати це неввічливо. Але це може здатися трохи неввічливим, що… ви знаєте, куди я прямую, чи не так? Наприклад, як це впливає на мене? Чи відчуває решта математики вібрації, які відбуваються в теорії множин? Або ми якось ізольовані від того, що ви робите?
Мур (35:49): Це гарне запитання. Я думаю, що більшість математиків ніколи не стикаються з твердженням, яке не можна ні довести, ні спростувати у звичайній системі аксіом для математики в ZFC. І теоретики множин певною мірою знайшли цьому пояснення. Існує модель теорії множин, яка більша за оригінальну модель Геделя, але менша за всесвіт усіх множин, яка називається твердою базовою моделлю, тобто [Роберт] Соловей виявлено приблизно в період роботи Коена. І дивовижним відкриттям є те, що на цю модель — те, що в ній є істинним, не можна вплинути примусово. І тому, по суті, якщо ви можете сформулювати щось про те, що є істинним у цій моделі або хибним у цій моделі, це те, що значною мірою не піддається феномену незалежності.
(36:35) Заковика в тому, що ця модель теорії множин не задовольняє аксіому вибору. Отже, аксіома вибору така: це ще одна банка черв’яків. Але одна з причин, чому аксіома вибору відрізняється від інших аксіом, полягає в тому, що вона неконструктивна. Усі інші аксіоми говорять вам, що деяка множина, яку ви описуєте, насправді є множиною. Саме так працюють аксіоми. Але аксіома вибору говорить вам, що з набору наборів, які не є порожніми, ви можете вибрати щось із кожного з них — отже, вибір — але вона не говорить вам, як ви збираєтеся зробити вибір. Це була аксіома, яка, з одного боку, дозволяла нам конструювати всі види дивних, парадоксальних речей. Ви знаєте, я думаю, на полі 100 років тому або близько того, як невимірні набори, що б це не було. Це відоме розкладання сфери Парадокс Банаха-Тарського, що —
Строгац (37:29): О, це цікаво.
Мур (37:32): — ви можете розрізати сферу на скінченну кількість частин, а потім знову зібрати їх у дві сфери, які мають ті самі розміри, що й початкова сфера. Причина, чому це абсурдно, полягає в тому, що ви повинні мати можливість призначити масу кожній з... знаєте, вихідній сфері, а потім призначити масу всім цим шматочкам, на які ви можете її розрізати, і тим слід додати до вихідної маси. А потім, коли ви їх переставляєте, цей процес не повинен змінювати масу. Але якимось чином, коли ви знову збираєте їх, ви маєте вдвічі більшу масу, ніж спочатку. Тепер суть цього аргументу — де все йде не так, це розрізання сфери, яке дозволяє вам зробити аксіома вибору, настільки погане, що ви не можете призначити маси тим шматкам, які у вас є.
(38:11) Така парадоксальна поведінка спонукала людей думати, що аксіома вибору є певною мірою проблематичною. Можливо, це призведе до якогось парадоксу в самій математиці. А отже, з аксіомою вибору не варто погоджуватися. Одна з речей, яку Гедель довів одночасно з тим, що ви не можете спростувати гіпотезу континууму, полягає в тому, що також безпечно припуститися аксіоми вибору. Тобто, якщо аксіоми ZFC без аксіоми вибору є узгодженими, то таким же є і набір аксіом ZFC з аксіомою вибору. Можливо, це дає вам багато дивних, екзотичних речей, але з фундаментальної точки зору це не забруднює воду.
(38:51) Дещо пізніше було відкрито таку річ, яка називається лемою Цорна, яка виявилася еквівалентною аксіомі вибору. І це дійсно дуже плідно для розвитку багатьох різних галузей математики. Це те, що — ви дізнаєтесь про це, якщо ви є бакалавром або аспірантом математики. Це певним чином частина просто необхідного навчання для вищого ступеня з математики. І через цю надзвичайну корисність ми сьогодні просто приймаємо це. Я думаю, що більшості математиків незручно працювати без аксіоми вибору лише тому, що в багатьох випадках вони можуть використовувати її, навіть не підозрюючи про це.
(39:31) Тож я думаю, що це також приклад того, як ми можемо підтвердити гіпотезу континууму. Йдеться про те, що в майбутньому ми відкриваємо якусь аксіому, яка настільки корисна для подальшого розвитку математики, що ми просто вважаємо цю аксіому певною мірою вірною. Ось що сталося з лемою Цорна. І з аксіомою вибору це не було те, що спочатку вважалося істинним. Фактично, спочатку на це дивилися з певним скептицизмом.
Строгац (39:56): Але дозвольте мені перевірити, чи зможу я, оскільки це так... Зараз ми багато говорили про аксіому вибору: її зв’язок із гіпотезою континууму. Чи є влучний спосіб сказати, що це таке?
Мур (40:06): Ви знаєте, аксіома вибору та гіпотеза континууму мають дивний зв’язок, тому що вони… Гаразд, гіпотеза континууму, з точки зору теоретика множини, вона дозволяє створювати багато екзотичних речей . Це дозволяє вам робити нескінченно довгу, навіть незліченно довгу конструкцію, де ви робите все дуже контрольованим способом, алгоритмічним способом. І побудувати якийсь дивний об’єкт, над яким ви зберігаєте великий контроль. За відсутності аксіоми вибору, гіпотези континууму, як я висловив це спочатку, не існує набору правил, який є проміжним, це те, що не має такого ж характеру, як якщо б аксіома вибору була істинною. І причина цього в тому, що, наприклад, за відсутності аксіоми вибору можна говорити про ще сильніші версії гіпотези континууму. Мовляв, кожна підмножина цієї числової прямої, дійсної числової прямої, є або рахунковою, або існує копія множини Кантора, яка живе всередині неї. Наприклад, є дерево точок, бінарне дерево точок, яке знаходиться всередині вашого набору. І це дуже конкретний спосіб сказати, що воно має той самий розмір, що й реальні числа.
Строгац (41:14): Тож для решти з нас, які займаються математикою поза теорією множин, чи варто нам втрачати сон через — що здається — якийсь невизначений статус на момент гіпотези континууму? Нам кажуть, що це неможливо розв’язати в стандартній моделі теорії множин. Знаєш, хіба це має значення? Чи впливає це на решту математики?
Мур (41:35): Відповідь переважно ні. Але це не зовсім відомо. Гіпотеза континууму. Це правда в Модель Solovay, наприклад: кожен набір дійсних чисел або зліченний, або всередині нього є замкнутий набір дійсних чисел, який є незліченним і не має ізольованих точок. Але є твердження, які з’являються в математиці, питання, які з’являються природно, ніби органічно в інших галузях, де виявляється, що вони залежать або від гіпотези континууму, або від чогось іншого, що не залежить від аксіом ZFC. Одним із прикладів цього є те, що називається медіальна межа, яка є пристроєм, який є корисним для ймовірності та деяких частин ймовірності для встановлення меж речей і все ще підтримання того, що речі вимірні. Медіальні межі – це те, що ви можете побудувати за допомогою гіпотези континууму, але це не те, що ви можете побудувати в ZFC.
Строгац (42:27): Це робить мене щасливим, маю сказати. Я маю на увазі, я хочу вірити, що математика — це одна велика мережа. І це, як у старій приказці: «Жодна людина не острів», від кого б то не було, я не знаю. Але все одно я не хочу, щоб будь-яка частина математики була островом. Тож мені не хотілося б думати, що теорія множин є чимось — я маю на увазі, ніхто б не сказав, що це так, але навіть та частина, яка містить гіпотезу континууму, я не хочу, щоб вона була відокремлена від великого континенту. І схоже, що це не так.
Мур (42:52): Так. Якщо ви візьмете гільбертовий простір і подивіться на обмежені оператори та компактні оператори, то це добре вивчені алгебри об’єктів, які вивчаються в математиці. Ви можете взяти їх частку. Вивчення так званої групи автоморфізмів — це те, про що може запитати математик. І дійсно, Браун, Дуглас і Філмор запитували про це в 1970-х роках. І відомо, що гіпотеза континууму істинна чи хибна залежить від того, чи існують дуже складні автоморфізми цієї алгебри чи ні. Це те, що, знаєте, є стандартним об’єктом у курсі функціонального аналізу, який ви б викладали на рівні випускників. І це дуже, дуже основні властивості цього об’єкта.
(43:34) Але справа в тому, що це те, що, на перший погляд, — це не проблема в теорії множин. Різні теоретики множин по-різному бачать, чому предмет є важливим. Але для мене тема ось чому — для чого вона важлива. Справа в тому, що він відіграє цю унікальну роль, оскільки може повідомляти вам, коли ви задаєте запитання, яке може бути нерозв’язним на основі аксіом. Тому що ви не хочете вивчати цю проблему, яку ви не можете безуспішно вирішити протягом років і років і років. І якщо хтось може сказати вам: «Ну, ви ніколи не знайдете рішення цієї проблеми, тому що ви не можете ані довести, ані спростувати це», чи не так? Це добре знати.
Строгац (44:13): Добре. Що ж, для мене це дуже надихаюче повідомлення, яке ти даєш, Джастіне, що — Джон Донн! Це ім’я, яке я шукав, Джон Донн. І скажемо це по-сучасному: жодна людина не є островом. І те саме без частини математики. Існує — навіть найезотеричніші, здавалося б, речі на межі теорії множин все ще пов’язані з дуже приземленими частинами математики, ймовірно, у функціональному аналізі, який лежить в основі квантової теорії. Отже, для мене це новина, і я просто хочу подякувати вам за те, що ви нас просвітили. Це було весело. Дякую.
Мур (44:46): Дякую, що прийняли мене.
Диктор (44:46): Досліджуйте більше математичних загадок у Quanta книга Змова простих чисел, опублікований The MIT Press, доступний зараз за адресою Amazon.com, Barnesandnoble.comабо в місцевому книжковому магазині. Також обов’язково розкажіть друзям про цей подкаст і напишіть нам позитивний відгук або слідкуйте за тим, де ви слухаєте. Це допомагає людям знайти Радість чому.
Строгац (45: 12): Радість чому це подкаст від Журнал Quanta, редакційне незалежне видання, яке підтримується Фондом Сімонса. Рішення про фінансування, прийняті Фондом Сімонса, не впливають на вибір тем, гостей чи інші редакційні рішення в цьому подкасті або в Журнал Quanta. Радість чому продюсують Сьюзен Валот і Поллі Страйкер. Нашими редакторами є Джон Ренні та Томас Лін за підтримки Мета Карлстрома, Енні Мелчер та Зака Савіцького. Музику для нашої теми написав Річі Джонсон, назву подкасту придумав Джуліан Лін. Автор епізоду Пітер Грінвуд, а наш логотип – Джекі Кінг. Особлива подяка Берту Одом-Ріду з Cornell Broadcast Studios. Я ваш господар Стів Строгатц. Якщо у вас є запитання чи коментарі до нас, надішліть нам електронний лист на адресу Спасибі за слухання.
- Розповсюдження контенту та PR на основі SEO. Отримайте посилення сьогодні.
- Платоблокчейн. Web3 Metaverse Intelligence. Розширені знання. Доступ тут.
- Карбування майбутнього з Адріенн Ешлі. Доступ тут.
- джерело: https://www.quantamagazine.org/how-can-some-infinities-be-bigger-than-others-20230419/
- : має
- :є
- ][стор
- $UP
- 1
- 10
- 100
- 11
- 28
- 39
- 7
- 8
- a
- Здатний
- МЕНЮ
- про це
- абсолют
- AC
- Прийняти
- досягнення
- Досягнення
- насправді
- просунутий
- впливати
- після
- алгоритм
- алгоритмічний
- алгоритмічно
- ВСІ
- дозволяє
- по
- Алфавіт
- вже
- хоча
- дивовижний
- кількість
- аналіз
- Древній
- та
- оголошений
- Інший
- відповідь
- будь-який
- додаток
- Apple
- застосування
- ЕСТЬ
- сперечатися
- аргумент
- навколо
- прибувають
- Art
- AS
- Юрист
- At
- увагу
- доступний
- середній
- назад
- поганий
- база
- заснований
- основний
- В основному
- BE
- красивий
- оскільки
- ставати
- стає
- було
- перед тим
- початок
- буття
- Вірити
- Берклі
- Бертран
- КРАЩЕ
- Краще
- між
- За
- Великий
- більший
- найбільший
- Біт
- блоки
- книга
- книги
- гілки
- коротко
- Приносить
- віщати
- будувати
- Створюємо
- спалили
- by
- розрахунки
- call
- званий
- Виклики
- Кембридж
- Табір
- CAN
- не може
- який
- обережний
- Селюк
- випадків
- випадковий
- Залучайте
- Століття
- певний
- звичайно
- зміна
- характер
- Чарльз
- вибір
- кола
- клас
- ясно
- закрито
- колега
- збір
- Колекції
- Приходити
- зручний
- майбутній
- коментарі
- загальний
- співтовариство
- порівняти
- повний
- Зроблено
- складний
- складається
- комп'ютер
- концепція
- поняття
- Консенсус
- Вважати
- послідовний
- будувати
- будівництво
- конструктивний
- містить
- континент
- безперервний
- Континуум
- контроль
- контроль
- спірний
- Розмова
- може
- Counter
- Курс
- створений
- цікавий
- Вирізати
- різання
- Днів
- вирішувати
- рішення
- глибокий
- глибше
- Ступінь
- відділ
- залежний
- описувати
- description
- призначення
- розвивати
- розвиненою
- розвивається
- пристрій
- діаграми
- DID
- різний
- цифр
- розміри
- розкриття
- відкрити
- відкритий
- відкриття
- відкриття
- обговорювати
- обговорення
- обговорення
- чіткий
- розрізняти
- Ні
- справи
- домени
- Не знаю
- Приречений
- Двері
- подвійний
- вниз
- управляти
- кожен
- Рано
- земля
- Найпростіший
- край
- Редакційний
- або
- елемент
- елементи
- Нескінченний
- досить
- Збагачений
- повністю
- Еквівалент
- по суті
- Навіть
- врешті-решт
- Кожен
- все
- все
- еволюціонували
- точно
- приклад
- Приклади
- Крім
- виняток
- збуджений
- проявляти
- існує
- Екзотичний
- пояснення
- дослідження
- дослідити
- експрес
- додатково
- екстремальний
- тканину
- Face
- не вдалося
- ярмарок
- достатньо
- віра
- сім'я
- знаменитий
- хвацько
- ШВИДКО
- Улюблений
- страх
- особливість
- fellow
- кілька
- Поля
- остаточний
- знайти
- Перший
- перший раз
- риба
- стежити
- для
- назавжди
- формальний
- Формально
- форми
- фонд
- Підвалини
- фракція
- Безкоштовна
- друг
- друзі
- від
- Повний
- веселощі
- функція
- функціональний
- Функції
- фінансування
- далі
- майбутнє
- гра
- Загальне
- в цілому
- породжувати
- покоління
- щедрий
- Німеччина
- отримати
- отримання
- Давати
- даний
- дає
- дає
- Go
- мета
- йде
- буде
- добре
- клас
- випускник
- надається
- великий
- найбільший
- значно
- Greece
- листяний ліс
- Group
- здогадався
- Гості
- рука
- траплятися
- сталося
- Відбувається
- щасливий
- Мати
- має
- he
- голови
- почутий
- слух
- Серце
- допоміг
- корисний
- допомагає
- тут
- вище
- заднім числом
- історія
- сподівається,
- господар
- Як
- HTTPS
- людина
- Голодний
- i
- ідея
- ідеальний
- Illusion
- уява
- значення
- важливо
- in
- В інших
- включати
- У тому числі
- незалежність
- незалежний
- Нескінченний
- Infinity
- вплив
- під впливом
- спочатку
- вхід
- екземпляр
- замість
- Інститут
- інтегральний
- цілісність
- інтелектуальний
- зацікавлений
- цікавий
- інтереси
- вводити
- Як не дивно
- острів
- ізольований
- питання
- IT
- ЙОГО
- сам
- Джон
- Джонсон
- приєднання
- Джастін
- тримати
- зберігання
- дитина
- Діти
- Дитина
- King
- Знати
- Знання
- відомий
- мова
- мови
- великий
- в значній мірі
- більше
- найбільших
- останній
- Пізно
- Latin
- вести
- Ліга
- УЧИТЬСЯ
- вчений
- вивчення
- Led
- лема
- довжина
- здавати
- рівень
- життя
- як
- МЕЖА
- рамки
- Лінія
- ліній
- пов'язаний
- список
- Прослуховування
- літератури
- трохи
- жити
- Місце проживання
- місцевий
- логотип
- Довго
- подивитися
- виглядає як
- шукати
- програш
- серія
- любов
- улюблене
- made
- журнал
- Підтримка
- основний
- зробити
- РОБОТИ
- людина
- маніпулювання
- багато
- багато людей
- Маса
- маси
- математики
- математичний
- математика
- Матерія
- значущим
- засоби
- вимір
- механізм
- згаданий
- повідомлення
- метод
- В середині
- може бути
- MIT
- модель
- Моделі
- сучасний
- момент
- більше
- найбільш
- рух
- рухатися
- фільм
- Мультивсесвіт
- музика
- таємничий
- ім'я
- Імена
- Природний
- обов'язково
- Необхідність
- негативний
- ні
- Нові
- новини
- поняття
- номер
- номера
- об'єкт
- об'єкти
- Очевидний
- of
- часто
- Старий
- on
- ONE
- відкрити
- відкритий
- Відкриється
- Оператори
- звичайний
- органічно
- Організований
- оригінал
- спочатку
- Інше
- інші
- наші
- поза
- над
- загальний
- власний
- спаровування
- Парадокс
- Паралельні
- батьки
- частина
- особливо
- частини
- Пол
- платіж
- Пінгвіни
- Люди
- народний
- може бути
- людина
- персонал
- Пітер
- явище
- філософія
- фізичний
- Фізика
- частин
- місце
- місця
- plato
- Інформація про дані Платона
- PlatoData
- будь ласка
- плюс
- Подкаст
- Подкастинг
- точка
- Точка зору
- точок
- позитивний
- це можливо
- потенційно
- влада
- потужний
- повноваження
- прагматичний
- переважним
- press
- досить
- Prime
- примітивний
- Принципи
- ймовірно
- Проблема
- проблеми
- процес
- виробляти
- Вироблений
- Професор
- програма
- обіцянку
- докази
- властивості
- власність
- запропонований
- захищений
- доказуемо
- Доведіть
- доведений
- доводить
- забезпечувати
- Публікація
- опублікований
- put
- Квантамагазин
- Квантовий
- питання
- питань
- згуртуватися
- швидше
- Раціональний
- RAY
- Досягає
- реальний
- Реальний світ
- Реальність
- зрозумів,
- царство
- причина
- Причини
- рекомендувати
- пов'язаний
- зв'язок
- відносини
- щодо
- родичі
- залишається
- чудовий
- запам'ятати
- повторювати
- вимагається
- дослідження
- повага
- REST
- огляд
- революційний
- суворий
- РОБЕРТ
- Роль
- рухомий
- рулонах
- Кімната
- Правила
- сейф
- Зазначений
- то ж
- Незадоволений
- говорить
- шкала
- Школи
- наука
- другий
- seconds
- Здається,
- вибір
- сенс
- окремий
- комплект
- набори
- оселитися
- Врегульований
- кілька
- форми
- Повинен
- Показувати
- показаний
- Шоу
- сторона
- підпис
- простий
- з
- один
- SIX
- Розмір
- розміри
- Скептицизм
- сон
- невеликий
- менше
- So
- solid
- рішення
- деякі
- Хтось
- що в сім'ї щось
- кілька
- десь
- Простір
- Іскритися
- спеціальний
- конкретно
- витрачати
- Spotify
- Стажування
- частка
- standard
- старт
- почалася
- Починаючи
- заявив,
- Заява
- заяви
- Статус
- Стів
- Як і раніше
- Історія
- прямий
- сильний
- більш сильний
- структура
- студент
- навчався
- студії
- Вивчення
- вивчення
- тема
- успіх
- такі
- достатній
- Підтриманий
- напевно
- сюрприз
- здивований
- дивно
- Сьюзен
- символ
- система
- таблиця
- Приймати
- приймає
- взяття
- балаканина
- говорити
- вчителя
- Навчання
- методи
- підліток
- розповідає
- terms
- тест
- Дякую
- Що
- Команда
- Майбутнє
- Лінія
- світ
- їх
- Їх
- тема
- самі
- Там.
- отже
- Ці
- річ
- речі
- Мислення
- третій
- думка
- тисячі
- через
- по всьому
- час
- до
- сьогодні
- занадто
- інструменти
- теми
- ТОТАЛЬНО
- трек
- традиційний
- традиційний
- навчений
- лікування
- Величезно
- правда
- Правда
- ПЕРЕГЛЯД
- Опинився
- Двічі
- невизначених
- при
- розуміти
- розуміння
- розумієш
- союз
- Союзи
- створеного
- Universal
- Всесвіт
- університет
- us
- використання
- використовуваний
- зазвичай
- утиліта
- значення
- різний
- вид
- точки зору
- чекати
- ходьба
- бажаючий
- годинник
- вода
- шлях..
- способи
- Web
- webp
- ласкаво просимо
- ДОБРЕ
- Що
- Що таке
- Чи
- який
- ВООЗ
- хто б не
- всі
- широко
- волі
- готовий
- з
- в
- без
- слово
- слова
- Work
- робочий
- працює
- світ
- глисти
- хвилювалися
- вартість
- б
- запис
- лист
- Неправильно
- рік
- років
- Ти
- вашу
- себе
- зефірнет
- нуль
- зум