Коротка історія складних математичних плиток | Журнал Quanta

Кожен день ми бачимо приклади повторюваних мотивів. Ця симетрія та регулярність можуть здаватися буденними та майже непомітними, як цегляна кладка на стінах будівель або шестикутний візерунок у сотах. Або якщо нам пощастить зустріти щось на кшталт елегантної кахельної роботи в іспанській Альгамбрі чи творчих малюнків MC Escher, візерунки можуть надихнути та вразити нас.

Століттями математики гралися з цими повторюваними формами, вириваючи з них захоплюючі ідеї та нові можливості. Краса математики зрівняється з красою самих дизайнів.

Найпростіші мозаїки складаються з однакових багатокутників зі сторонами однакової довжини та кутами однакової міри, з’єднаних повним ребром до повного краю. Але хоча цих «правильних» багатокутників нескінченно багато — по одному на кожну кількість сторін — існує лише три правильні мозаїки, утворені з фігур із трьома, чотирма або шістьма сторонами — тобто трикутники, квадрати та шестикутники.

Інші форми просто не створені для цього. Правильний п'ятикутник (з п'ятьма сторонами) має внутрішній кут 108 градусів. Це не рівномірно ділиться на 360 градусів, тому будь-яка спроба зібрати правильні п’ятикутники в мозаїку обов’язково призведе до прогалин, які неможливо заповнити; ми говоримо, що правильний п'ятикутник не може викласти площину. А правильні багатокутники з більш ніж шістьма сторонами мають занадто великі внутрішні кути, щоб три кути зустрілися в одній точці, тому вони також не можуть.

Інший погляд на мозаїку з правильними багатокутниками походить від Йоганна Кеплера, сьогодні найбільш відомого своїми відкриттями про рух планет. У 1619 році він показав, що навіть якщо ви використовуєте більше ніж один правильний багатокутник, ви можете створити лише вісім нових шаблонів розкладки, де конфігурація навколо кожної вершини ідентична. (Якщо нам дозволено відійти від цього обмеження, можливостей буде більше.)

Коли ми допускаємо неправильні багатокутники, все стає цікавішим. Дивно, але кожний трикутник може викласти площину плиткою, а ще більш дивно – кожен чотирикутник.

З іншого боку, неможливо викласти площину будь-яким опуклим багатокутником з більш ніж шістьма сторонами; сума внутрішніх кутів занадто велика. Тож залишаються лише п’ятикутники та шестикутники як інші можливості.

У своїй докторській дисертації 1918 року Карл Рейнхардт довів, що площину можна розбити нескінченною кількістю опуклих шестикутників — тих, що не мають відступів, — які він згрупував у три групи.

Опуклі п’ятикутники, які вкривають площину, було складніше класифікувати. Рейнхардт відкрив п'ять сімейств таких п'ятикутників; Через 50 років Річард Кершнер знайшов ще трьох. Потім у 1975 році Мартін Гарднер написав про проблему для Scientific American, доводячи його до уваги як професійних математиків, так і математиків-аматорів. Один такий аматор, комп’ютерний програміст на ім’я Річард Джеймс III, надіслав Гарднеру приклад дев’ятої родини, запитавши: «Ви згодні, що Кершнер пропустив цю?» Він мав.

Марджорі Райс, домогосподарка, також прочитала колонку Гарднера і почала ламати голову над проблемою за своїм кухонним столом. Вона майструвала більше двох років і знайшла ще чотири родини черепиці п'ятикутників.

У 14 році дослідники знайшли 1985-е сімейство плиткових п’ятикутників, а через три десятиліття інша команда знайшла 15-е сімейство за допомогою комп’ютерного пошуку. Ніхто не знав, чи ця знахідка завершує список, чи є ще сім’ї, які все ще ховаються. Відповідь на це запитання було отримано в 2017 році, коли Майкл Рао доведений що всі опуклі п’ятикутники — а разом з ними й усі опуклі багатокутники — були знайдені.

Всі ці плитки повторюються. Тобто, вони мають періодичну симетрію, що в основному означає, що якби ми обкреслили мозаїку на аркуші паперу та ковзали цим папером у певних напрямках, вона знову вирівнялася б точно з мозаїкою.

Можливі й інші види симетрії. Наприклад, дзеркальна симетрія передбачає, що наші візерунки вирівняються, якщо ми перевернемо нашу кальку догори дном навколо фіксованої лінії. Обертальна симетрія означає, що вони вишикуються, якщо ми обертаємо наш папір. І ми можемо комбінувати дії, щоб отримати симетрію відображення ковзання, що схоже на ковзання паперу, а потім його перевертання.

У 1891 році російський кристалограф Євграф Федоров довів, що існує лише 17 способів поєднання цих симетрій. Оскільки це обмеження стосується всіх періодичних прикрас площини, їх широко називають 17 «групами шпалер».

Після знайомства з цією класифікацією шаблонів симетрії майже неможливо побачити періодичний дизайн, яким би складним він не був, і не розглядати його як головоломку для розшифровки: де і як саме вона повторюється? Де ті симетрії?

Звичайно, не кожен дизайн плитки є періодичним. Можна, і часто легко, розташувати плитку в площині так, щоб отриманий дизайн ніколи не повторювався. У нашому прикладі з шестикутниками, квадратами та трикутниками ви можете зробити це, просто повернувши один шестикутник і багатокутники навколо нього на 30 градусів. Отримане розбиття більше не має трансляційної симетрії.

У 1961 році логік Хао Ван висловив припущення, що якщо набір фігур об’єднує площину, то фігури повинні мати можливість періодично об’єднувати площину. Всього через кілька років його аспірант Роберт Бергер довів його помилку, виявивши величезний набір із понад 20,000 XNUMX плиток, якими плиткою є літак, але лише неперіодично. Такі набори плиток називають аперіодичними.

Хоча Бергер та інші змогли значно зменшити розмір цих аперіодичних наборів, у середині 1970-х років Роджер Пенроуз привернув увагу світу, відкривши дуже маленькі набори своїх власних аперіодичних плиток. Найменші набори потребують лише двох плиток.

Ці форми та візерунки захоплювали математиків, вчених і широку громадськість. Але вони поставили очевидне наступне питання: чи існує єдина аперіодична плитка? Остаточним пошуком теорії черепиці тепер було знайти таку «плитку Ейнштейна» — названу не на честь фізика, а за німецькою фразою «один камінь».

У 2010 році Джошуа Соколар і Джоан Тейлор були дуже близькі до відкриття Ейнштейна. Проблема їхнього підходу полягала в тому їхню плитку довелося від’єднати; це було б схоже на те, що на площині можна було б додати фігури, такі як штат Гаваї, єдине ціле, що складається з окремих регіонів, а не пов’язані форми, як Каліфорнія. Математики все частіше підозрювали, що якщо Ейнштейн і справді існує, то це має бути щось дуже геометрично складне.

У березні 2023 року дилетант знову шокував світ. Відставний друкар і любитель математики на ім’я Девід Сміт виявив не лише один аперіодичний монотиль, а нескінченна сім'я цих невловимих Ейнштейнів. Він залучив Крейга Каплана, Хаїма Гудмена-Страуса та Джозефа Семюеля Майєрса — експертів з інформатики, математики та теорії мозаїк — і разом вони представили геометрично простий Ейнштейн під назвою «плитка капелюха» (яку Інтернет вважав схожою на футболку). ).

Реакція була швидкою та позитивною. Першовідкривачі виступали на конференціях і виступали з доповідями онлайн. Художники-математики скористалися нагодою знайти креативні способи створення дизайнів, схожих на Ешера, на основі цих нових геометрично цікавих плиток. Капелюшна плитка навіть з’явилася в монолозі однієї вечірньої телевізійної передачі.

Але все ще було місце для вдосконалення. Щоб облицювати літак капелюхом, потрібно перевернути приблизно одну сьому частину плиток догори дном. Домовласнику, який бажає облицювати свою ванну кімнату плиткою-шляпкою, доведеться купувати два види плитки: стандартну плитку та її дзеркальне відображення. Чи справді це було необхідно?

Ще до того, як ажіотаж від плитки капелюха вщух, команда зробила ще одне оголошення. У цьому нескінченному сімействі аперіодичних монотилей Сміт знайшов один, який він назвав «привидом», який міг розрізняти площину, не вимагаючи відбитих копій. Нарешті з'явився справжній Ейнштейн.

Зараз ми перебуваємо в центрі відродження математичних досліджень мозаїк і мозаїк. Він спирався на важливий внесок аматорів, надихав творчість математиків і використовував потужність комп’ютерів, щоб розширити межі знань. І завдяки цьому ми досягли нового розуміння природи симетрії, геометрії та дизайну.

виправлення: Жовтень 30, 2023
Початкова версія цієї статті стверджувала, що неможливо викласти площину будь-яким багатокутником з більш ніж шести сторін. Це вірно лише в тому випадку, якщо багатокутник опуклий.

Quanta проводить серію опитувань, щоб краще обслуговувати нашу аудиторію. Візьміть наші опитування читачів з математики і ви будете введені, щоб виграти безкоштовно Quanta мерч.