Математик про творчість, мистецтво, логіку та мову | Журнал Quanta

Знадобилося багато часу, щоб Клер Вуазен закохалася в математику.

Це не означає, що вона ніколи не любила цю тему. Виросла у Франції — 10-та з 12 дітей — вона любила годинами розв’язувати математичні задачі зі своїм батьком, інженером. Коли їй виповнилося 12 років, вона почала самостійно читати підручник з алгебри для середньої школи, зачарована визначеннями та доказами, викладеними на його сторінках. «Там була вся ця структура», - сказала вона. «Алгебра — це насправді теорія структур».

Але вона не сприймала математику як покликання всього життя. Лише в університетські роки вона зрозуміла, наскільки це може бути глибоко й красиво — і що вона здатна робити нові відкриття. До того часу вона серйозно займалася декількома інтересами, крім математики: філософією, живописом і поезією. («Коли мені було 20, мені здається, я займалася лише математикою та малюванням. Це було, можливо, трохи надмірно», — засміялася вона.) До її 20 років математика витіснила все інше. Але живопис і поезія продовжували впливати на неї. Вона розглядає математику як мистецтво — і як спосіб розширювати межі мови та грати з ними.

Десятиліття потому, ставши лідером у галузі алгебраїчної геометрії, Вуазен знову знайшов час для малювання та виготовлення глиняних скульптур. Тим не менш, математика продовжує займати більшу частину її уваги; вона вважає за краще проводити свій час, досліджуючи цей «інший світ», де «ніби ти мрієш».

Вуазен є старшим науковим співробітником Національного центру наукових досліджень Франції в Парижі. Там вона вивчає алгебраїчні різновиди, які можна розглядати як фігури, визначені наборами поліноміальних рівнянь, як коло визначається поліномом x² + y² = 1. Вона є одним із провідних експертів у світі з теорії Ходжа, інструментарію, який математики використовують для вивчення ключових властивостей алгебраїчних різновидів.

Вуазен отримала низку нагород за свою роботу, включаючи премію Клея за дослідження в 2008 році, премію Хайнца Хопфа в 2015 році та премію Шоу з математики в 2017 році. У січні вона стала першою жінкою, яка отримала премію Крафурда в Математика.

Quanta говорив з Вуазеном про творчий характер математики. Інтерв’ю було скорочено та відредаговано для ясності.

Ви любили математику в дитинстві, але не бачили, щоб займалися нею. Чому ні?

Є магія доказу — емоції, які ви відчуваєте, коли розумієте це, коли усвідомлюєте, наскільки воно сильним і наскільки сильним це робить вас. У дитинстві я це вже бачив. І мені сподобалася концентрація, якої вимагає математика. Це те, що з віком я вважаю все більш і більш центральним у практиці математики. Решта світу зникає. Весь ваш мозок існує для вивчення проблеми. Це надзвичайний досвід, дуже важливий для мене — змусити себе залишити світ практичних речей, жити в іншому світі. Можливо, тому мій син так любить грати у відеоігри.

Але в певному сенсі я пізно прийшов до математики, так це те, що я абсолютно не цікавлюся іграми. Це не для мене. А в середній школі математика була як гра. Мені було важко сприймати це серйозно. Я спочатку не бачив глибин математики. Навіть коли я почав відкривати дуже цікаві докази та теореми після закінчення середньої школи, я жодного разу не думав, що можу винайти щось сам, що я можу зробити це своїм.

Мені було потрібно щось глибше, серйозніше, щось, що я міг би зробити своїм.

Перш ніж ви знайшли це в математиці, де ви це шукали?

Мені подобалася філософія та її наполягання на понятті концепції. Крім того, приблизно до 22 років я витрачав багато часу на малювання, особливо фігуративні твори, натхненні геометрією. І я дуже любив поезію — творчість Малларме, Бодлера, Рене Шара. Я вже жив у якомусь іншому світі. Але це нормально, я думаю, коли ти молодший.

Але все більшого значення набувала математика. Це справді забирає весь ваш мозок. Коли ви не за робочим столом і не працюєте над конкретною проблемою, ваш розум все ще зайнятий. Тож чим більше я займався математикою, тим менше малював. Я лише нещодавно знову почала малювати, тепер, коли всі мої діти вийшли з дому, і я маю набагато більше часу.

Що спонукало вас зрештою присвятити найбільше творчої енергії математиці?

Математика ставала для мене все цікавішою. Будучи магістром та кандидатом наук. Будучи студентом, я виявив, що математика 20 століття була чимось дуже глибоким і надзвичайним. Це був світ ідей і концепцій. В алгебраїчній геометрії відбулася знаменита революція під проводом Олександра Гротендіка. Ще до Гротендіка були неймовірні результати. Отже, це нещодавно з’явилася сфера з ідеями красивими, але водночас надзвичайно потужними. Теорія Ходжа, яку я вивчаю, була частиною цього.

Ставало дедалі очевиднішим, що там моє життя. Звичайно, у мене було сімейне життя — чоловік і п’ятеро дітей — і інші обов’язки та діяльність. Але я зрозумів, що з математикою я можу щось створити. Я міг би присвятити цьому своє життя, тому що це було так красиво, так видовищно, так цікаво.

Ви вже писали раніше про те, що математика — це творче завдання.

Я професійний математик, тому мій робочий день офіційно організований навколо математики. Я сиджу за партою; Я працюю на комп'ютері. Але більша частина моєї математичної діяльності припадає не на цей час. Вам потрібна нова ідея, гарне визначення, твердження, яке, на вашу думку, ви зможете використати. Тільки тоді можна розпочинати роботу. А цього не буває, коли я сиджу за своїм столом. Мені потрібно стежити за своїм розумом, продовжувати думати.

Схоже, математика для вас дуже особиста. Чи дізналися ви щось про себе в процесі?

Займаючись математикою, більшу частину часу я змушений боротися сам із собою, тому що я дуже розладнаний, я не дуже дисциплінований, і я також схильний впадати в депресію. Я не вважаю це легким. Але я виявив, що в деякі моменти — наприклад, вранці за сніданком, або коли я гуляю вулицями Парижа чи роблю щось безглузде, наприклад прибирання — мій мозок починає працювати сам по собі. Я усвідомлюю, що думаю про математику, не маючи наміру. Ніби тобі сниться. Мені 62, і я не маю реальних методів робити хорошу математику: я все ще більш-менш чекаю моменту, коли отримаю натхнення.

Ви працюєте з дуже абстрактними об’єктами — з просторами великої розмірності, зі структурами, які задовольняють складні рівняння. Як ви ставитесь до такого абстрактного світу?

Насправді це не так важко. Найбільш абстрактне визначення, коли ви з ним знайомі, більше не є абстрактним. Це як красива гора, яку ви бачите дуже добре, тому що повітря дуже чисте і є світло, яке дозволяє побачити всі деталі. Для нас математичні об’єкти, які ми вивчаємо, виглядають конкретними, тому що ми знаємо їх набагато краще, ніж будь-що інше.

Звичайно, є багато речей, які потрібно довести, і коли ви починаєте щось вивчати, ви можете постраждати через абстракцію. Але коли ви використовуєте теорію — оскільки ви розумієте теореми — ви насправді почуваєтеся дуже близькими до розглянутих об’єктів, навіть якщо вони абстрактні. Вивчаючи об’єкти, маніпулюючи ними та використовуючи їх у математичних аргументах, вони зрештою стають вашими друзями.

І це також вимагає розглядати їх з різних точок зору?

Спочатку я не вивчав алгебраїчну геометрію. Я працював у комплексній аналітичній та диференціальній геометрії. В аналітичній геометрії ви вивчаєте набагато більший клас функцій і форм, які локально визначаються цими функціями. Вони зазвичай не мають глобального рівняння, на відміну від алгебраїчної геометрії.

Спочатку я не звертав особливої ​​уваги на алгебраїчну точку зору. Але чим старшим я стаю і чим більше працюю в цій сфері, тим більше бачу необхідність мати ці дві різні мови.

Є неймовірна теорема під назвою GAGA, яка є трохи жартом; французькою це означає «старечий», але також означає géometrie algébrique et géométrie analytique. Там сказано, що ви можете переходити з однієї мови на іншу. Ви можете зробити обчислення в складній аналітичній геометрії, якщо це простіше, тоді поверніться до алгебраїчної геометрії.

В інших випадках алгебраїчна геометрія дає вам можливість вивчити іншу версію проблеми, яка може дати надзвичайні результати. Я працював над розумінням алгебраїчної геометрії в цілому, а не лише зосереджувався на її складній геометрії.

Цікаво, що ви думаєте про це як про різні математичні мови.

Мова є важливою. Перед математикою є мова. Багато логіки вже закладено всередині мови. Ми маємо всі ці логічні правила в математиці: квантори, заперечення, круглі дужки, щоб вказати правильний порядок операцій. Але важливо усвідомлювати, що всі ці життєво важливі для математиків правила вже є в нашій повсякденній мові.

Ви можете порівняти математичну теорему з віршем. Написано словами. Це продукт мови. У нас є математичні об’єкти лише тому, що ми використовуємо мову, тому що ми використовуємо повсякденні слова та надаємо їм певного значення. Тож ви можете порівняти поезію та математику, оскільки вони обидві повністю покладаються на мову, але все одно створюють щось нове.

Вас привабила математика через революцію Гротендіка в алгебраїчній геометрії. По суті, він створив нову мову для виконання такого роду математики.

Вірно.

Чи є способи, за допомогою яких математична мова, якою ви зараз користуєтеся, може все ще потребувати змін?

Математики постійно переробляють свою мову. Шкода, тому що це робить старі документи досить важко читати. Але ми переробляємо минулу математику, тому що розуміємо її краще. Це дає нам кращий спосіб написання та доведення теорем. Це було у випадку Гротендіка з його застосуванням когомології пучка до геометрії. Це дійсно вражаюче.

Важливо освоїти предмет, який вивчаєш, настільки, щоб він для тебе був як рідна мова. Коли теорія починає формуватися, потрібен час, щоб визначити правильні визначення та все спростити. Або, можливо, все ще дуже складно, але ми набагато ближче знайомимося з визначеннями та об’єктами; використовувати їх стає більш природно.

Це безперервна еволюція. Нам постійно доводиться переписувати та спрощувати, теоретизувати про те, що важливо, про те, які інструменти зробити доступними.

Чи доводилося вам у своїй роботі вводити нові визначення?

іноді. в робота, яку я зробив з Янош Коллар, стався поворотний момент, коли ми нарешті змогли знайти правильний погляд на проблему — через певне визначення. Це була дуже класична проблема, і ми працювали з класичними інструментами, але наше доведення насправді базувалося на цьому визначенні, яке ми створили.

В іншому випадку Олів'є Дебарр, Даніель Гюйбрехтс, Емануеле Макрі і я виявився хорошим результат класифікації про об’єкти, які називаються гіперкелеровими многовидами. І відправною точкою для цього доказу було введення інваріанта, який ми спочатку назвали «a.”[Сміється.]

Ви можете недооцінювати важливість визначень у математиці, але не варто.

Визначення та мова – не єдині керівні сили в математиці. Так само і припущення, які можуть бути правдою, а можуть і ні. Наприклад, ви багато працювали над гіпотезою Ходжа, проблемою тисячоліття Клея, розв’язання якої має Винагорода 1 мільйонів доларів.

Скажімо, у вас є алгебраїчний різновид, який ви хочете зрозуміти. Тож ви переходите до комплексно-аналітичної геометрії та розглядаєте її як комплексну різновид. Ви можете думати про складний різновид з точки зору його глобальної форми або топології. Існує об’єкт, який називається гомологією, який дає вам багато топологічної інформації про різновид. Але це не так легко визначити.

Тепер розглянемо алгебраїчні підмноговиди всередині вашого вихідного різновиду. Кожен матиме топологічний інваріант, певну топологічну інформацію, пов’язану з ним. Яку частину гомології комплексного різноманіття можна отримати, розглядаючи ці топологічні інваріанти?

Гіпотеза Ходжа дає конкретну відповідь. І відповідь дуже тонка.

Отже, математики не впевнені, чи виявиться гіпотеза Ходжа істинною чи хибною?

Вам хочеться вірити в гіпотезу Ходжа, тому що вона є таким путівником у основних теоріях алгебраїчної геометрії.

Ви дійсно хотіли б зрозуміти основні властивості алгебраїчного многовиду. І якщо гіпотеза Ходжа вірна, це дасть вам неймовірний контроль над геометрією вашого різновиду. Ви отримаєте дуже важливу інформацію про структуру різновидів.

Є кілька серйозних причин вірити в це. Відомі окремі випадки гіпотези Ходжа. І є багато глибоких тверджень про алгебраїчні різновиди, які натякають на те, що гіпотеза Ходжа істинна.

Але прогрес у доведенні цього практично відсутній. Я також довів, що немає способу поширити гіпотезу Ходжа на іншу ситуацію, де вона здавалася б природною. Тож це був трішки шок.

Після десятиліть роботи математиком чи відчуваєте ви, що тепер займаєтеся математикою ще глибше?

Тепер, коли я подорослішав, я маю набагато більше часу витрачати свою енергію на математику, бути в ній справді присутнім. Я також маю кращу здатність ходити туди-сюди. У минулому, можливо, через те, що у мене було менше часу, я мав меншу мобільність — хоча бути занадто мобільним, просто торкатися проблем, не притримуючись їх, теж не добре. Тепер я більш досвідчений і можу будувати власну картину.

У вас є набагато краще уявлення про те, чого ви не знаєте, про відкриті проблеми. Ви маєте детальний огляд свого поля та його меж. Повинні бути деякі хороші сторони старіння. І ще так багато потрібно зробити.