1Факультет математики, Університет Дьюка, Дарем, NC 27708, США
2Департамент електротехніки та комп’ютерної інженерії, Департамент комп’ютерних наук, Університет Дьюка, NC 27708, США
Вам цей документ цікавий чи ви хочете обговорити? Скайте або залиште коментар на SciRate.
абстрактний
Завдання квантових обчислень полягає в тому, щоб поєднати стійкість до помилок з універсальними обчисленнями. Діагональні ворота, такі як трансверсальний $T$, відіграють важливу роль у реалізації універсального набору квантових операцій. У цій статті представлено структуру, яка описує процес підготовки стану коду, застосування діагонального фізичного вентиля, вимірювання кодового синдрому та застосування поправки Паулі, яка може залежати від виміряного синдрому (середній логічний канал, викликаний довільним діагональним вентилем) . Він зосереджений на кодах CSS і описує взаємодію станів коду та фізичних воріт у термінах генераторних коефіцієнтів, визначених індукованим логічним оператором. Взаємодія станів коду та діагональних вентилів дуже сильно залежить від знаків $Z$-стабілізаторів у коді CSS, і запропонована структура коефіцієнтів генератора явно включає цей ступінь свободи. У статті виведено необхідні та достатні умови для довільного діагонального вентиля для збереження кодового простору коду стабілізатора та надано явний вираз індукованого логічного оператора. Коли діагональний вентиль є діагональним вентилем квадратичної форми (введений Rengaswamy та ін.), умови можуть бути виражені в термінах подільності ваг у двох класичних кодах, які визначають код CSS. Ці коди знаходять застосування в магічній дистиляції та в інших місцях. Коли всі знаки додатні, стаття характеризує всі можливі коди CSS, інваріантні щодо трансверсального $Z$-повороту через $pi/2^l$, які побудовані з класичних кодів Ріда-Мюллера шляхом виведення необхідних і достатніх обмежень на $ l$. Структура генераторних коефіцієнтів поширюється на довільні стабілізаційні коди, але нічого не можна отримати, розглядаючи більш загальний клас невироджених стабілізаційних кодів.
Популярне резюме
Ми вивели необхідні та достатні умови для того, щоб діагональний вентиль зберігав кодовий простір CSS-коду, і надали явний вираз його індукованого логічного оператора. Коли діагональний гейт є трансверсальним $Z$-поворотом на кут $theta$, ми вивели просту глобальну умову, яка може бути виражена в термінах подільності ваг у двох класичних кодах, які визначають код CSS. Коли всі знаки в CSS-коді додатні, ми довели необхідні та достатні умови для компонентних кодів Ріда-Мюллера для побудови сімейства CSS-кодів, інваріантних щодо трансверсального $Z$-повороту через $pi/2^l$ для деякого цілого $ l$.
Структура коефіцієнтів генератора надає інструмент для аналізу еволюції під будь-яким заданим діагональним воріт кодів стабілізатора з довільними знаками та допомагає охарактеризувати більше можливих кодів CSS, які можна використовувати в дистиляції магічного стану.
► Дані BibTeX
► Список літератури
[1] Джонас Т. Андерсон і Томас Йохім-О'Коннор. Класифікація поперечних вентилів у кодах стабілізатора кубітів. Квантова інформація. Comput., 16(9–10):771–802, липень 2016 р. doi:10.26421/qic16.9-10-3.
https:///doi.org/10.26421/qic16.9-10-3
[2] Хуссейн Анвар, Ерл Т. Кемпбелл і Ден Е Браун. Дистиляція магічного стану Qutrit. New J. Phys., 14(6):063006, 2012. doi:10.1088/1367-2630/14/6/063006.
https://doi.org/10.1088/1367-2630/14/6/063006
[3] Джеймс Акс. Нулі поліномів над скінченними полями. Am. J. Math., 86(2):255–261, 1964. doi:10.2307/2373163.
https: / / doi.org/ 10.2307 / 2373163
[4] Салман Бейгі та Пітер Шор. $mathcal{C}_3$, напівкліффордові та узагальнені напівкліффордові операції. Квантова інф. Обчислювальна техніка, 10(1&2), 2010. doi:10.26421/QIC10.1-2-4.
https:///doi.org/10.26421/QIC10.1-2-4
[5] Інгемар Бенгтссон, Кейт Бланчфілд, Ерл Т. Кемпбелл і Марк Ховард. Симетрія 3-го порядку в ієрархії Кліффорда. J. Phys. Математика. Theor., 47(45):455302, 2014. doi:10.1088/1751-8113/47/45/455302.
https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/45/455302
[6] Борисов Юрій Леонідович. Про результат Макеліце про подільність ваг у двійкових кодах Ріда-Мюллера. У Сьомому міжнародному семінарі, Оптимальні коди та пов’язані теми, сторінки 47–52, 2013. URL: http:///www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf.
http:///www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf
[7] П. Оскар Бойкін, Тал Мор, Метью Пулвер, Ввані Ройчоудхурі та Фаррох Ватан. Про універсальні та стійкі до відмов квантові обчислення: новий базис і нове конструктивне підтвердження універсальності для базису Шора. У 40-му році. Симп. знайдено. обчис. Sci. (Кат. № 99CB37039), сторінки 486–494. IEEE, 1999. doi:10.1109/sffcs.1999.814621.
https:///doi.org/10.1109/sffcs.1999.814621
[8] Сергій Бравий, Матіас Енгльбрехт, Роберт Кеніг і Нолан Пірд. Виправлення когерентних помилок за допомогою поверхневих кодів. Npj Quantum Inf., 4(1):1–6, 2018. doi:10.1038/s41534-018-0106-y.
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41534-018-0106-y
[9] Сергій Бравий і Чонван Хаа. Чарівна дистиляція з низькими витратами. фіз. Rev. A, 86(5):052329, 2012. doi:10.1103/physreva.86.052329.
https:///doi.org/10.1103/physreva.86.052329
[10] Сергій Бравий та Олексій Китаєв. Універсальне квантове обчислення з ідеальними воротами Кліффорда та шумними анцилами. фіз. Rev. A, 71(2):022316, 2005. doi:10.1103/physreva.71.022316.
https:///doi.org/10.1103/physreva.71.022316
[11] Роберт А. Колдербенк, Ерік М. Рейнс, Пітер В. Шор і Ніл Дж. Слоун. Квантова корекція помилок за допомогою кодів понад ${GF}$(4). IEEE Trans. Інф. Теорія, 44(4):1369–1387, 1998. doi:10.1109/isit.1997.613213.
https:///doi.org/10.1109/isit.1997.613213
[12] Роберт А. Колдербенк і Пітер В. Шор. Існують хороші квантові коди для виправлення помилок. фіз. Rev. A, 54:1098–1105, серпень 1996. doi:10.1103/physreva.54.1098.
https:///doi.org/10.1103/physreva.54.1098
[13] Ерл Т. Кемпбелл, Хуссейн Анвар і Ден Е Браун. Дистиляція магічного стану в усіх простих вимірах за допомогою квантових кодів Ріда-Мюллера. фіз. Rev. X, 2(4):041021, 2012. doi:10.1103/physrevx.2.041021.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevx.2.041021
[14] Ерл Т. Кемпбелл і Марк Ховард. Уніфікований фреймворк для магічної дистиляції та мультикубітного гейт-синтезу зі зниженою вартістю ресурсів. фіз. Rev. A, 95(2):022316, 2017. doi:10.1103/physreva.95.022316.
https:///doi.org/10.1103/physreva.95.022316
[15] Шон X. Куї, Деніел Готтесман і Аніруд Крішна. Діагональні ворота в ієрархії Кліффорда. фіз. Rev. A, 95(1):012329, 2017. doi:10.1103/physreva.95.012329.
https:///doi.org/10.1103/physreva.95.012329
[16] Дріпто М. Деброй, Лейрд Іган, Крістал Ноель, Ендрю Райзінгер, Дайвей Чжу, Дебопрійо Бісвас, Марко Четіна, Кріс Монро та Кеннет Р. Браун. Оптимізація паритетів стабілізатора для покращення пам’яті логічних кубітів. фіз. Rev. Lett., 127(24), грудень 2021. doi:10.1103/physrevlett.127.240501.
https:///doi.org/10.1103/physrevlett.127.240501
[17] Брайан Істін та Емануель Нілл. Обмеження на трансверсально закодовані набори квантових воріт. фіз. Rev. Lett., 102(11):110502, 2009. doi:10.1103/physrevlett.102.110502.
https:///doi.org/10.1103/physrevlett.102.110502
[18] Даніель Готтесман. Коди стабілізатора та квантова корекція помилок. Каліфорнійський технологічний інститут, 1997. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9705052.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9705052
arXiv: quant-ph / 9705052
[19] Даніель Готтесман. Уявлення Гейзенберга квантових комп'ютерів. Препринт arXiv quant-ph/9807006, 1998. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9807006.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9807006
arXiv: quant-ph / 9807006
[20] Даніель Готтесман та Ісаак Л. Чуанг. Демонстрація життєздатності універсальних квантових обчислень за допомогою телепортації та однокубітних операцій. Nature, 402(6760):390–393, 1999. doi:10.1038/46503.
https: / / doi.org/ 10.1038 / 46503
[21] Чонван Хаа. Вежі узагальнених подільних квантових кодів. фіз. Rev. A, 97(4):042327, 2018. doi:10.1103/physreva.97.042327.
https:///doi.org/10.1103/physreva.97.042327
[22] Чонван Хаа та Метью Б. Гастінгс. Коди та протоколи для дистиляції $ t $, контрольованих $ s $ і затворів toffoli. Quantum, 2:71, 2018. doi:10.22331/q-2018-06-07-71.
https://doi.org/10.22331/q-2018-06-07-71
[23] Цзінчжень Ху, Цінчжун Лян, Нараянан Ренгасвамі та Роберт Колдербенк. Пом'якшення когерентного шуму шляхом балансування вагових $2$ $Z$-стабілізаторів. IEEE Trans. Інф. Теорія, 68(3):1795–1808, 2022. doi:10.1109/tit.2021.3130155.
https:///doi.org/10.1109/tit.2021.3130155
[24] Емануель Кнілл, Раймон Лафламме та Войцех Зурек. Поріг точності для квантових обчислень. arXiv quant-ph/9610011, 1996. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9610011.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9610011
arXiv: quant-ph / 9610011
[25] Аніруд Крішна і Жан-П'єр Тілліх. На шляху до магічної дистиляції з низькими накладними витратами. фіз. Rev. Lett., 123(7):070507, 2019. doi:10.1103/physrevlett.123.070507.
https:///doi.org/10.1103/physrevlett.123.070507
[26] Ендрю Дж. Ландаль і Кріс Чезаре. Складна обчислювальна архітектура набору інструкцій для виконання точних квантових $ z $ обертань з меншою магією. Препринт arXiv arXiv:1302.3240, 2013. doi:10.48550/arXiv.1302.3240.
https:///doi.org/10.48550/arXiv.1302.3240
arXiv: 1302.3240
[27] Флоренс Дж. МакВільямс. Теорема про розподіл ваг у систематичному коді. Bell Labs Tech. J., 42(1):79–94, січень 1963. doi:10.1002/j.1538-7305.1963.tb04003.x.
https: / / doi.org/ 10.1002 / j.1538-7305.1963.tb04003.x
[28] Флоренс Дж. МакВільямс і Ніл Дж. Слоун. Теорія кодів з виправленням помилок, том 16. Elsevier, 1977.
[29] Роберт Дж. Макеліс. Про періодичні послідовності з GF($q$). Дж. Комб. Теорія сер. A., 10(1):80–91, 1971. doi:10.1016/0097-3165(71)90066-5.
https://doi.org/10.1016/0097-3165(71)90066-5
[30] Роберт Дж. Макеліс. Вагові конгруенції для p-річних циклічних кодів. Дискретна математика, 3(1):177–192, 1972. doi:10.1016/0012-365X(72)90032-5.
https://doi.org/10.1016/0012-365X(72)90032-5
[31] Сепер Незамі та Чонван Хаа. Класифікація малих триортогональних кодів. фіз. Rev. A, 106:012437, липень 2022 р. doi:10.1103/PhysRevA.106.012437.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.106.012437
[32] Майкл А. Нільсен та Ісаак Л. Чуанг. Квантові обчислення та квантова інформація: Видання до 10-ї річниці. Cambridge University Press, 2011.
[33] Тефйол Пллаха, Нараянан Ренгасвамі, Олав Тіркконен і Роберт А. Калдербенк. Відокремлення ієрархії Кліффорда. Quantum, 4:370, 2020. doi:10.22331/q-2020-12-11-370.
https://doi.org/10.22331/q-2020-12-11-370
[34] Бен В. Райхардт. Квантова універсальність від дистиляції магічних станів, застосована до кодів css. Квантова інф. Process., 4(3):251–264, 2005. doi:10.1007/s11128-005-7654-8.
https://doi.org/10.1007/s11128-005-7654-8
[35] Нараянан Ренгасвамі, Роберт А. Колдербенк, Майкл Ньюман і Генрі Д. Пфістер. Про оптимальність кодів CSS для трансверсалі $T$. IEEE J. Sel. Області в інф. Теорія, 1(2):499–514, 2020. doi:10.1109/jsait.2020.3012914.
https:///doi.org/10.1109/jsait.2020.3012914
[36] Нараянан Ренгасвамі, Роберт А. Колдербенк і Генрі Д. Пфістер. Об’єднання ієрархії Кліффорда за допомогою симетричних матриць над кільцями. фіз. Rev. A, 100(2):022304, 2019. doi:10.1103/physreva.100.022304.
https:///doi.org/10.1103/physreva.100.022304
[37] А. М. Стін. Прості квантові коди з виправленням помилок. фіз. Rev. A, 54(6):4741–4751, 1996. doi:10.1103/PhysRevA.54.4741.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.54.4741
[38] Майкл Фасмер і Олександр Кубіца. Морфінг квантових кодів. PRX Quantum, 3(3), серпень 2022 р. doi:10.1103/prxquantum.3.030319.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.3.030319
[39] Крістоф Війо та Ніколас П. Брейкман. Квантові пін-коди. IEEE Trans. Інф. Теорія, 68(9):5955–5974, вересень 2022. doi:10.1109/tit.2022.3170846.
https:///doi.org/10.1109/tit.2022.3170846
[40] Марк М Уайльд. Квантова теорія інформації. Cambridge University Press, 2013.
[41] Паоло Занарді та Маріо Разетті. Безшумні квантові коди. фіз. Rev. Lett., 79(17):3306, 1997. doi:10.1103/PhysRevLett.79.3306.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.79.3306
[42] Бей Цзен, Се Чень та Ісаак Л. Чуан. Операції Semi-Clifford, структура ієрархії $mathcal{C}_k$ і складність воріт для відмовостійких квантових обчислень. фіз. Rev. A, 77(4):042313, 2008. doi:10.1103/physreva.77.042313.
https:///doi.org/10.1103/physreva.77.042313
[43] Бей Цзен, Ендрю Кросс та Ісаак Л. Чуанг. Трансверсальність проти універсальності для адитивних квантових кодів. IEEE Trans. Інф. Теорія, 57(9):6272–6284, 2011. doi:10.1109/tit.2011.2161917.
https:///doi.org/10.1109/tit.2011.2161917
Цитується
[1] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang, Narayanan Rengaswamy та Robert Calderbank, «Пом’якшення когерентного шуму шляхом балансування $Z$-стабілізаторів Weight-2», arXiv: 2011.00197.
[2] Цзінчжень Ху, Цинчжун Лян і Роберт Калдербенк, «Сходження по діагональній ієрархії Кліффорда», arXiv: 2110.11923.
[3] Цзінчжень Ху, Цінчжун Лян і Роберт Калдербенк, «Подільні коди для квантових обчислень», arXiv: 2204.13176.
Вищезазначені цитати від SAO / NASA ADS (останнє оновлення успішно 2022-09-08 15:11:47). Список може бути неповним, оскільки не всі видавці надають відповідні та повні дані про цитування.
Не вдалося отримати Перехресне посилання, наведене за даними під час останньої спроби 2022-09-08 15:11:45: Не вдалося отримати цитовані дані для 10.22331/q-2022-09-08-802 з Crossref. Це нормально, якщо DOI був зареєстрований нещодавно.
Ця стаття опублікована в Quantum під Creative Commons Attribution 4.0 International (CC на 4.0) ліцензія. Авторське право залишається за оригінальними власниками авторських прав, такими як автори або їх установи.
