Наприкінці блокбастера Marvel Месники: Фінал, попередньо записана голограма Тоні Старка прощається зі своєю маленькою дочкою, кажучи: «Я кохаю тебе на 3,000». Цей зворушливий момент перегукується з попередньою сценою, в якій двоє беруть участь у грайливому ритуалі перед сном, коли кількісно оцінюють свою любов одне до одного. За словами Роберта Дауні-молодшого, актора, який грає Старка, репліку надихнув подібний обмін з його власними дітьми.
Гра може бути цікавим способом дослідження великих чисел:
«Я люблю тебе 10».
«Але я кохаю тебе на 100».
«Ну, я кохаю тебе на 101!»
Саме так слово «googolplex» стало популярним у моєму домі. Але всі ми знаємо, до чого в кінцевому підсумку приводить цей аргумент:
«Я люблю тебе нескінченно!»
"О так? Я люблю тебе нескінченність плюс 1!»
Чи то на ігровому майданчику, чи то перед сном, діти стикаються з поняттям нескінченності задовго до уроку математики, і, зрозуміло, вони захоплюються цим таємничим, складним і важливим поняттям. Деякі з цих дітей виростають математиками, зачарованими нескінченністю, а деякі з цих математиків відкривають нові та дивовижні речі про нескінченність.
Можливо, ви знаєте, що деякі набори чисел нескінченно великі, але чи знаєте ви, що деякі нескінченності більші за інші? І що ми не впевнені, чи існують інші нескінченності, затиснуті між двома, які ми знаємо найкраще? Математики розмірковували над цим другим питанням принаймні століття, і деякі останні роботи змінили уявлення людей про це питання.
Щоб відповісти на запитання про розмір нескінченних множин, почнемо з множин, які легше порахувати. Набір — це набір об’єктів або елементів, а скінченний набір — це просто набір, який містить скінченну кількість об’єктів.
Визначити розмір кінцевої множини легко: просто підрахуйте кількість елементів, які вона містить. Оскільки набір скінченний, ви знаєте, що з часом перестанете рахувати, а коли закінчите, ви знаєте розмір свого набору.
Ця стратегія не працює з нескінченними наборами. Ось множина натуральних чисел, яка позначається ℕ. (Дехто може заперечити, що нуль не є натуральним числом, але ця суперечка не впливає на наші дослідження нескінченності.)
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$
Який розмір цього набору? Оскільки не існує найбільшого натурального числа, спроба порахувати кількість елементів не спрацює. Одним із рішень є просто оголосити розмір цієї нескінченної множини «нескінченністю», що не є неправильним, але коли ви починаєте досліджувати інші нескінченні множини, ви розумієте, що це також не зовсім правильно.
Розглянемо набір дійсних чисел, які є всіма числами, які можна виразити в десятковому розкладі, як-от 7, 3.2, −8.015, або нескінченному розкладі, як-от $latexsqrt{2} = 1.414213…$. Оскільки кожне натуральне число також є дійсним числом, множина дійсних чисел принаймні така ж велика, як і множина натуральних чисел, а отже, також має бути нескінченною.
Але є щось незадовільне в оголошенні розміру набору дійсних чисел такою ж «нескінченністю», яка використовується для опису розміру натуральних чисел. Щоб зрозуміти чому, виберіть будь-які два числа, наприклад 3 і 7. Між цими двома числами завжди буде скінченна кількість натуральних чисел: це числа 4, 5 і 6. Але між ними завжди буде нескінченно багато дійсних чисел, чисел. наприклад 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… і так далі.
Досить дивно, що незалежно від того, наскільки близько розташовані будь-які два різних дійсних числа одне до одного, між ними завжди буде нескінченно багато дійсних чисел. Само по собі це не означає, що набори дійсних і натуральних чисел мають різні розміри, але це означає, що в цих двох нескінченних наборах є щось принципово відмінне, що вимагає подальшого дослідження.
Математик Георг Кантор досліджував це наприкінці 19 століття. Він показав, що ці дві нескінченні множини дійсно мають різні розміри. Щоб зрозуміти й оцінити, як він це зробив, спочатку ми повинні зрозуміти, як порівнювати нескінченні множини. Секрет полягає в тому, що є основним елементом уроків математики: функції.
Є багато різних способів думати про функції — позначення функції, наприклад $latex f(x) = x^2 +1$, графіки парабол у декартовій площині, правила на кшталт «взяти вхідні дані та додати до них 3» — але тут ми розглядатимемо функцію як спосіб зіставлення елементів однієї множини з елементами іншої.
Візьмемо один із цих наборів як ℕ, набір натуральних чисел. Для іншого набору, який ми назвемо S, ми візьмемо всі парні натуральні числа. Ось наші два набори:
$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$ $latex S= {0,2,4,6,8,…}$
Є проста функція, яка перетворює елементи ℕ на елементи S: $latex f(x) = 2x$. Ця функція просто подвоює свої входи, тож якщо ми розглядаємо елементи ℕ як входи $latex f(x)$ (ми називаємо набір входів функції «доменом»), виходи завжди будуть елементами S. Наприклад, $latex f(0)=0$, $latex f(1) = 2$, $latex f(2) = 4$, $latex f(3) = 6$ і так далі.
Ви можете візуалізувати це, вишикувавши елементи двох наборів поруч і використовуючи стрілки, щоб вказати, як функція $latex f$ перетворює входи з ℕ на виходи в S.
Зверніть увагу, як $latex f(x)$ призначає рівно один елемент S до кожного елемента ℕ. Це те, що роблять функції, але $latex f(x)$ робить це особливим чином. По-перше, $latex f$ призначає все S до чогось у ℕ. Використовуючи функціональну термінологію, ми говоримо, що кожен елемент S є «образом» елемента ℕ під функцією $latex f$. Наприклад, є парне число 3,472 S, і ми можемо знайти x в ℕ так, що $latex f(x) = 3,472$ (а саме 1,736). У цій ситуації ми говоримо, що функція $latex f(x)$ відображає ℕ на S. Вигадливіший спосіб сказати, що функція $latex f(x)$ є «сюр’єктивною». Як би ви це не описували, важливо ось що: оскільки функція $latex f(x)$ перетворює входи з ℕ на виходи в S, нічого в S пропускається в процесі.
Друга особливість того, як $latex f(x)$ призначає виходи входам, полягає в тому, що жодні два елементи в ℕ не перетворюються на той самий елемент у S. Якщо два числа різні, то їх двійники різні; 5 і 11 є різними натуральними числами в ℕ, а їхні виходи в S також різні: 10 і 22. У цьому випадку ми говоримо, що $latex f(x)$ є «1-до-1» (також пишеться «1-1»), і ми описуємо $latex f(x)$ як «ін'єктивний». Головне, щоб нічого не було S використовується двічі: кожен елемент у S поєднується лише з одним елементом у ℕ.
Ці дві особливості $latex f(x)$ поєднуються в потужний спосіб. Функція $latex f(x)$ створює ідеальну відповідність між елементами ℕ та елементами S. Той факт, що $latex f(x)$ є «onto», означає, що все в S має партнера в ℕ, і той факт, що $latex f(x)$ є 1-до-1, означає, що нічого в S має двох партнерів у ℕ. Коротше кажучи, функція $latex f(x)$ поєднує кожен елемент ℕ рівно з одним елементом S.
Функція, яка одночасно є ін’єктивною та сюр’єктивною, називається бієкцією, а бієкція створює відповідність 1 до 1 між двома наборами. Це означає, що кожен елемент в одній множині має точно одного партнера в іншій множині, і це один із способів показати, що дві нескінченні множини мають однаковий розмір.
Оскільки наша функція $latex f(x)$ є біекцією, це показує, що дві нескінченні множини ℕ і S однакові за розміром. Це може здатися дивним: зрештою, кожне парне натуральне число саме по собі є натуральним числом, тому ℕ містить усе, що S і більше. Хіба це не повинно зробити ℕ більше ніж S? Якби ми мали справу зі скінченними множинами, відповідь була б так. Але один нескінченний набір може повністю містити інший, і вони все ще можуть бути однакового розміру, таким чином, «нескінченність плюс 1» насправді не є більшою кількістю любові, ніж звичайна «нескінченність». Це лише одна з багатьох дивовижних властивостей нескінченних множин.
Ще більшим сюрпризом може бути те, що існують нескінченні набори різних розмірів. Раніше ми досліджували різну природу нескінченних множин дійсних і натуральних чисел, і Кантор довів, що ці дві нескінченні множини мають різні розміри. Він зробив це за допомогою свого блискучого та відомого діагонального аргументу.
Оскільки існує нескінченна кількість дійсних чисел між будь-якими двома різними дійсними числами, давайте просто зосередимося на мить на нескінченній кількості дійсних чисел від нуля до 1. Кожне з цих чисел можна розглядати як (можливо, нескінченне) десяткове розкладання, як це.
Тут $latex a_1, a_2, a_3$ і так далі — це лише цифри числа, але ми вимагатимемо, щоб не всі цифри були нульовими, тому ми не включаємо саме число нуль у наш набір.
Діагональний аргумент по суті починається із запитання: що сталося б, якби існувала бієкція між натуральними числами та цими дійсними числами? Якби така функція існувала, два набори мали б однаковий розмір, і ви могли б використовувати цю функцію, щоб зіставити кожне дійсне число від нуля до 1 з натуральним числом. Ви можете уявити собі такий упорядкований список відповідностей.
Геніальність діагонального аргументу полягає в тому, що ви можете використовувати цей список для побудови дійсного числа, яке не може бути в списку. Почніть будувати дійсне число цифра за цифрою таким чином: першу цифру після коми зробіть чимось іншим, ніж $latex a_1$, другу цифру зробіть чимось іншим, ніж $latex b_2$, зробіть третю цифру чимось відмінним від $latex c_3 $ тощо.
Це дійсне число визначається його співвідношенням з діагоналлю списку. Це в списку? Це не може бути перше число в списку, оскільки воно має іншу першу цифру. Він також не може бути другим номером у списку, оскільки він має іншу другу цифру. Насправді це не може бути nномер у цьому списку, оскільки має інше nй цифра. І це справедливо для всіх n, тому це нове число, яке знаходиться між нулем і 1, не може бути в списку.
Але всі справжні числа від нуля до 1 повинні були бути в списку! Це протиріччя виникає через припущення, що існує бієкція між натуральними числами та дійсними числами між нулем і 1, і тому така бієкція не може існувати. Це означає, що ці нескінченні набори мають різні розміри. Трохи більше роботи з функціями (див. вправи) може показати, що набір усіх дійсних чисел має такий самий розмір, як і набір усіх дійсних чисел від нуля до 1, тому дійсні числа, які містять натуральні числа, мають бути більший нескінченний набір.
Технічний термін для розміру нескінченної множини — це її «мощність». Діагональний аргумент показує, що потужність дійсних чисел більша, ніж потужність натуральних чисел. Мощність натуральних чисел записується $latex aleph_0$, вимовляється як «алеф нуль». У стандартному розумінні математики це найменший нескінченний кардинал.
Наступний нескінченний кардинал — $latex aleph_1$ («алеф один»), і просте запитання бентежило математиків більше століття: чи є $latex aleph_1$ потужністю дійсних чисел? Іншими словами, чи існують інші нескінченності між натуральними числами та дійсними числами? Кантор вважав, що відповідь ні — твердження, яке стало відомим як гіпотеза континууму — але він не зміг цього довести. На початку 1900-х це питання вважалося настільки важливим, що коли Девід Гільберт склав свій знаменитий список із 23 важливих відкритих проблем у математиці, гіпотеза континууму була номером один.
Через сто років було досягнуто значного прогресу, але цей прогрес призвів до нових таємниць. У 1940 р. відомий логік Курт Гедель довів що за загальноприйнятими правилами теорії множин неможливо довести, що між натуральними числами та дійсними числами існує нескінченність. Це може здатися великим кроком до доказу істинності гіпотези континууму, але через два десятиліття математик Пол Коен доведений що неможливо довести, що такої нескінченності не існує! Виявляється, гіпотезу континууму не можна довести так чи інакше.
Разом ці результати встановили «незалежність» гіпотези континууму. Це означає, що загальноприйняті правила множин просто не говорять достатньо, щоб сказати нам, чи існує нескінченність між натуральними і дійсними числами. Але замість того, щоб збентежити математиків у їхньому прагненні зрозуміти нескінченність, це привело їх у нові напрямки. Зараз математики шукають нові фундаментальні правила для нескінченних множин, які могли б пояснити те, що вже відомо про нескінченність, і допомогти заповнити прогалини.
Сказати «Моя любов до тебе не залежить від аксіом» може бути не так весело, як сказати «Я люблю тебе нескінченність плюс 1», але, можливо, це допоможе наступному поколінню математиків, які люблять нескінченність, добре виспатися.
Вправи
1. Нехай $latex T = {1,3,5,7,…}$, набір позитивних непарних натуральних чисел. Є T більше, менше або такого ж розміру, як ℕ, набір натуральних чисел?
2. Знайти однозначну відповідність між набором натуральних чисел, ℕ, і набором цілих чисел $latexmathbb{Z}={…,-1,-1,-3, …}$.
3. Знайти функцію $latex f(x)$, яка є біекцією між набором дійсних чисел від нуля до 1 і набором дійсних чисел, більших за нуль.
4. Знайдіть функцію, яка є біекцією між множиною дійсних чисел від нуля до 1 і множиною всіх дійсних чисел.
Натисніть, щоб отримати відповідь 1:
Натисніть, щоб отримати відповідь 2:
Ви також можете спробувати визначити функцію, яка відповідає елементам. Ця функція,
$latexf(n) =begin{cases}
frac{n+1}{2} &text{якщо $n$ непарне}
-frac{n}{2} &text{якщо $n$ парне}
end{cases}$
відображає ℕ на $latexmathbb{Z}$ і дорівнює 1-1. Отже, існує стільки ж цілих чисел, скільки і натуральних чисел, ще одна дивна особливість нескінченності.
Натисніть, щоб отримати відповідь 3:
Існує багато можливостей, але найпростішою є $latex f(x) = frac{x}{1-x}$. Кожне позитивне дійсне число є зображенням під $latex f(x)$ дійсного числа від нуля до 1. Наприклад, щоб визначити, яке число поєднується, скажімо, з 102, просто встановіть $latex 102 = frac{x}{ 1-x}$ і розв’язати для x:
$latex 102 = frac{x}{1-x}$
$latex 102(1-x) = x$
$латекс 102=103x$
$latex x=frac{102}{103}$
Зауважте, що x, який ми знайшли, знаходиться між нулем і 1, відповідно до вимог. Отже, для будь-якого числа, як-от 102, ми можемо знайти вхідні дані, які відображаються на нього, що свідчить про те, що $latex f(x)$ є сюр’єктивним. Один із способів побачити, що $latex f(x)$ також є ін’єктивним (1-1), це побудувати його графік і спостерігати, що він проходить перевірку горизонтальної лінії: кожна горизонтальна лінія в декартовій площині проходить через графік $latex f( x)$ щонайбільше один раз, що означає, що вихідні дані не використовуються двічі.
Натисніть, щоб отримати відповідь 4:
Як і у вправі 3, існує кілька функцій, які можуть працювати, але стандартним підходом є використання перетворення функції дотичної. Для домену $latex -frac{π}{2}
Ви можете змінити домен цієї функції за допомогою перетворення. Наприклад, ми можемо скоротити домен із $latex -frac{π}{2} < x
