«Бублики ентропії» та інші складні структури виникають із простих правил | Журнал Quanta

Повторення не завжди має бути банальним. У математиці це потужна сила, здатна створювати неймовірну складність.

Навіть після десятиліть досліджень математики виявляються неспроможними відповісти на питання про повторне виконання дуже простих правил — найпростіших «динамічних систем». Але намагаючись зробити це, вони виявили глибокі зв’язки між цими правилами та іншими, здавалося б, далекими сферами математики.

Наприклад, множина Мандельброта, яку І писав про минулого місяця, є картою того, як функціонує сімейство, описане рівнянням f(x) = x² + c — поводиться як значення c коливається на так званій комплексній площині. (На відміну від дійсних чисел, які можна розмістити на лінії, комплексні числа мають дві складові, які можна нанести на графік x- та y- осі двовимірної площини.)

Незалежно від того, наскільки ви наближаєте набір Мандельброта, нові візерунки завжди виникають без обмежень. «Навіть зараз я вражаюча, що ця дуже складна структура виникає з таких простих правил», – сказав Метью Бейкер Технологічного інституту Джорджії. «Це одне з дійсно дивовижних відкриттів 20 століття».

Складність множини Мандельброта виникає частково тому, що вона визначається в термінах чисел, які самі по собі є складними. Але, як це не дивно, це ще не вся історія. Навіть тоді, коли c є простим дійсним числом, як-от, скажімо, –3/2, можуть відбуватися різноманітні дивні явища. Ніхто не знає, що станеться, коли ви повторно застосовуєте рівняння f(x) = x² – 3/2, використовуючи кожен вихід як наступний вхід у процесі, відомому як ітерація. Якщо ви починаєте ітерацію з x = 0 («критична точка» квадратного рівняння), незрозуміло, чи ви створите послідовність, яка зрештою сходиться до повторюваного циклу значень, чи таку, яка продовжує нескінченно стрибати навколо в хаотичному шаблоні.

Для значень c менше ніж –2 або більше ніж 1/4, ітерація швидко зростає до нескінченності. Але в цьому інтервалі існує нескінченна кількість значень c які, як відомо, створюють хаотичну поведінку, і нескінченно багато випадків, таких як –3/2, де «ми не знаємо, що відбувається, навіть якщо це суперконкретно», сказав Джуліо Тіоццо Університету Торонто.

Але в 1990-х роках математик Університету Стоуні Брук Міша Любич, який займав важливе місце в моєму звіті про набір Мандельброта, доведений що в інтервалі між –2 і 1/4 переважна більшість значень c створити приємну «гіперболічну» поведінку. (Математики Яцек Грачик і Гжегож Святек незалежно доведено результат приблизно в той самий час.) Це означає, що відповідні рівняння при повторенні збігаються до одного значення або до повторюваного циклу чисел.

Через десять років тріо математиків показало, що більшість значень c є гіперболічними не тільки для квадратних рівнянь, а й для будь-яке сімейство дійсних поліномів (більш загальні функції, які об’єднують змінні, зведені до степенів, наприклад x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). І тепер один із них, Себастьян ван Стрієн Імперського коледжу Лондона, вважає, що він має доказ цієї властивості для ще ширшого класу рівнянь, які називаються дійсними аналітичними функціями, які включають синус, косинус і експоненціальні функції. Ван Стрієн сподівається оголосити результати в травні. Якщо він витримає після експертної оцінки, це стане великим прогресом у характеристиці того, як поводяться реальні одновимірні системи.

Малоймовірні перетини та ентропійні бублики

Існує нескінченна кількість справжніх квадратних рівнянь, які, як відомо, при ітерації з нуля в кінцевому підсумку створюють повторюваний цикл чисел. Але якщо обмежити c до раціональних значень — тих, які можна записати у вигляді дробів — лише три значення зрештою генерують періодичні послідовності: 0, –1 і –2. «Ці динамічні системи дуже, дуже особливі», — сказав Клейтон Петше Університету штату Орегон.

In папір опублікований минулого року, Petsche і Чатчай Нойтаптім Університету Ватерлоо довів, що вони навіть більш особливі, ніж здаються на перший погляд. Математики розглядали «абсолютно реальні» числа, які є більш обмежувальними, ніж реальні числа, але менш обмежувальними, ніж раціональні.

Якщо ви вставляєте число в поліном і отримуєте на виході нуль, це число є розв’язком або коренем полінома. Наприклад, 2 є коренем з f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30 і нескінченно багато інших рівнянь. Такі поліноми можуть мати дійсні корені або комплексні корені. (Наприклад, коріння x² + 1 – квадратний корінь з –1, записується як i, і -i — обидва комплексні числа.)

Число є цілком дійсним, якщо воно задовольняє поліноміальне рівняння з цілими коефіцієнтами, яке має лише дійсні корені. Усі раціональні числа цілком дійсні, але також і деякі ірраціональні числа. Наприклад, $latex sqrt{2}$ є цілком реальним, тому що це рішення для f(x) = x² – 2, який має лише реальні корені ($latex sqrt{2}$ та його «сестринський» корінь $latex -sqrt{2}$). Але кубічний корінь із 2, $latex sqrt[3]{2}$, не є цілком реальним. Це рішення для f(x) = x³ – 2, який має два додаткові сестринські корені, також відомі як спряжені Галуа, які є комплексними.

Петше та Нойтаптім довели, що не існує жодних ірраціональних цілком дійсних чисел, які врешті-решт створюють періодичні цикли. Швидше, 0, –1 і –2 є єдиними цілком реальними числами, які це роблять. Вони являють собою малоймовірний перетин властивостей з двох, здавалося б, різних світів — теорії чисел (дослідження цілих чисел) і динамічних систем. Петше та Нойтаптім використовували важливі результати теорії чисел у своєму доказі, підкреслюючи зв’язок між двома областями.

Математики Ксав'єр Бафф та Сара Кох знайдений ще одне малоймовірне перехрестя. Вони показали, що лише чотири цілком реальні значення c — 1/4, –3/4, –5/4 і –7/4 — генерують послідовності певного, добре зрозумілого типу, який називається параболічним циклом.

Кон’югати Галуа також проклали шлях до відкриття таємничого об’єкта, який отримав назву «бублик ентропії», тобто сяючого фрактального кільця в комплексній площині. Ентропія є мірою випадковості; у цьому контексті він вимірює, наскільки важко передбачити послідовність чисел, згенерованих ітерацією x² + c, в остання робота, яку він написав перед своєю смертю в 2012 році відомий тополог Вільям Терстон склав графік набору значень ентропії, що відповідає майже мільярду різних дійсних значень c — разом із спряженими Галуа тих значень ентропії, які можуть бути комплексними. Поняття ентропії «просто відповідає дійсності, але якимось чином ви все ще можете побачити цю тінь складного світу», — сказав Тіоццо.

«Ви бачите, що це організовується в цю неймовірну мереживну фрактальну структуру», — сказав Кох. "Це так круто." Ентропійний бублик — це лише один дуже складний шаблон, який виникає в результаті ітерації справжніх квадратних рівнянь. «Ми все ще вивчаємо всі ці чарівні твердження — маленькі перлини — про реальні квадратичні поліноми», — додала вона. «Ви завжди можете повернутися назад і бути здивованими тією річчю, яку, на вашу думку, ви дуже добре знаєте».