Як проста математика рухає голку | Журнал Quanta

Уявіть, що ви катаєтеся вулицею в автомобілі без водія, коли бачите проблему. Водій служби доставки Amazon пройшов свій фургон на півдорозі повз припарковану вантажівку UPS, перш ніж зрозумів, що не може проїхати. Тепер вони застрягли. І ти також.

Вулиця надто вузька, щоб з’їхати з U-ey, тож ваш автомобіль зі штучним інтелектом ініціює поворот на три точки. Спочатку автомобіль повертається до одного бордюру. Опинившись там, він повертає в інший бік і повертається назад до протилежного бордюру. Потім він повертає кермо назад у напрямку першого повороту, рухаючись вперед і від перешкоди.

Цей простий геометричний алгоритм виконання проміжних поворотів може допомогти вам об’їхати у складних ситуаціях. (Якщо ви коли-небудь паркувались паралельно, ви знаєте, що це ворушіння вперед-назад може зробити для вас.)

Тут є весела математична задача про те, скільки місця вам потрібно, щоб розвернути машину, і математики працювали над її ідеалізованою версією понад 100 років. Це почалося в 1917 році, коли японський математик Соічі Какея поставив задачу, яка схожа на нашу пробку. Припустимо, у вас є нескінченно тонка голка довжиною 1. Яка площа найменшої області, в якій ви можете повернути голку на 180 градусів і повернути її у вихідне положення? Це відоме як проблема голки Какеї, і математики все ще вивчають її варіанти. Давайте поглянемо на просту геометрію, яка робить задачу Какеї з голкою такою цікавою та дивовижною.

Як і багато інших математичних задач, ця передбачає деякі спрощені припущення, які роблять її менш реалістичною, але більш керованою. Наприклад, довжина і ширина автомобіля мають значення, коли ви їдете, але ми припустимо, що наша голка має довжину 1 і ширину нуль. (Це означає, що сама голка має нульову площу, що відіграє важливу роль у вирішенні проблеми.) Крім того, ми припустимо, що голка, на відміну від автомобіля, може обертатися навколо свого переднього кінця, заднього кінця , або будь-яка точка між ними.

Мета полягає в тому, щоб знайти найменшу область, яка дозволяє стрілці повертатися на 180 градусів. Знайти найменшу річ, яка задовольняє певний набір умов, може бути складно, але хороший спосіб почати — пошукати все, що задовольняє ці умови, і подивитися, чому ви можете навчитися на цьому шляху. Наприклад, проста відповідь полягає в тому, щоб просто повернути голку на 180 градусів навколо кінцевої точки, а потім посунути її назад. Це повертає голку у вихідне положення, але тепер вона вказує в протилежному напрямку, як того вимагає проблема з голкою у Какеї.

Область, необхідна для повороту, — це півколо з радіусом 1, яке має площу $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Тож ми знайшли один регіон, який працює.

Ми можемо зробити краще, скориставшись можливістю нашої чарівної математичної стрілки обертатися навколо будь-якої точки. Замість того, щоб обертати його навколо кінцевої точки, давайте обертатимемо його навколо середини.

Ви можете назвати це компасом Какеї: наша стрілка починає вказувати на північ, але після обертання вона знаходиться в тому самому місці, але вказує на південь. Ця область є колом радіуса $latex frac{1}{2}$, тому його площа $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Це половина площі нашої першої області, тому ми прогресуємо.

Куди далі? Ми могли б надихнутися нашою дилемою безпілотного автомобіля та розглянути можливість використання чогось на кшталт триточкового повороту для стрілки. Це насправді працює досить добре.

Ділянка, викреслена голкою за допомогою цієї техніки, називається дельтовидною, і вона також відповідає вимогам Какеї. Обчислення його площі вимагає не тільки елементарної геометрії, яку ми тут обговорюємо (знання параметричних кривих допомагає), але виявляється, що площа цього конкретного дельтоїда — того, що викреслюється відрізком лінії довжиною 1 — дорівнює саме $latex frac{pi}{8}$. Тепер у нас є ще менший регіон, у якому ми можемо повернути голку Какеї, і вам можна пробачити, якщо ви думаєте, що це найкраще, що ми можемо зробити. Сам Какея думав, що це може бути.

Але ця проблема з голкою набула великого оберту, коли російський математик Абрам Безикович виявив, що ви можете зробити нескінченно краще. Він придумав процедуру, щоб зменшити непотрібні фрагменти регіону, поки він не стане таким маленьким, як він хотів.

Процес технічний і складний, але одна стратегія, заснована на ідеї Безіковіча, спирається на дві прості ідеї. Спочатку розглянемо прямокутний трикутник з висотою 1 і основою 2.

На даний момент ми забудемо про повне обертання голки і просто зосередимося на одному простому факті: якщо ми помістимо голку довжиною 1 у верхню вершину, трикутник достатньо великий, щоб дозволити голці обертатися на повні 90 градусів з одного боку в інший.

Оскільки площа трикутника $latex A=frac{1}{2}bh$, цей трикутник має площу $latex A=frac{1}{2}, помножену на 2, помножену на 1 = 1$.

Тепер ось перша важлива ідея: ми можемо зменшити площу області, зберігаючи поворот на 90 градусів. Стратегія проста: ми розрізаємо трикутник посередині, а потім зіштовхуємо дві половини разом.

Площа цієї нової фігури має бути меншою за початкову, оскільки частини трикутника тепер перекриваються. Насправді обчислити площу фігури легко: вона становить лише три чверті квадрата сторони 1, тому площа дорівнює $latex A = frac{3}{4}$, що менше площі фігури трикутник, з якого ми почали.

І ми все ще можемо направляти голку в тих самих напрямках, що й раніше. Є лише одна проблема: початковий кут було розділено на дві частини, тому ці напрямки тепер розділені на дві окремі області.

Якщо стрілка знаходиться зліва від нової області, ми можемо повернути її на 45 градусів між півднем і південним сходом, а якщо вона справа, ми можемо повернути її на 45 градусів між півднем і південним заходом, але оскільки дві частини розділені, , не здається, що ми можемо повернути його на всі 90 градусів, як це було раніше.

Ось тут і з’являється друга важлива ідея. Існує хитрий спосіб перевести голку з одного боку на інший, який не вимагає великої площі. У шахах ви можете знати, що конь рухається у формі L. Ну, наша голка буде рухатися у формі N.

Ось як це робиться. Спочатку голка ковзає вгору з однієї сторони букви N. Потім вона повертається до точки вздовж діагоналі та ковзає вниз. Потім він повертається знову і завершує свою подорож, ковзаючи вгору з іншої сторони N.

Спочатку цей N-подібний хід може здатися незначним, але він робить щось дуже корисне. Це дозволяє голці «перестрибувати» з однієї паралельної лінії на іншу, що допоможе нам перевести нашу голку з однієї області в іншу. Що ще важливіше, це робиться, не вимагаючи великої площі. Насправді ви можете зробити так, щоб вона займала якомога менше площі. Ось чому.

Нагадаємо, що наша голка має нульову ширину. Таким чином, будь-яка лінія, уздовж якої рухається голка, вперед чи назад, матиме нульову площу. Це означає, що область, необхідна для переміщення голки вгору, вниз або по діагоналі вздовж фігури N, складатиметься з частин із нульовою площею.

Це просто залишає повороти в кутах фігури N.

Для цих рухів потрібна площа. На кожному куті можна побачити невеликий сектор кола. Але ось хитра частина: ви можете зробити ці регіони меншими, подовживши N.

Формула для вимірювання площі сектора кола така: $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$, де $latex theta$ — це міра кута сектора в градусах. Незалежно від того, наскільки висока N, радіус сектора завжди буде 1: це довжина голки. Але коли N стає вищим, кут зменшується, що зменшить площу сектора. Таким чином, ви можете зробити додаткову область настільки малою, наскільки вам потрібно, розтягнувши N настільки, наскільки вам потрібно.

Пам’ятайте, що ми змогли зменшити площу нашої трикутної області, розділивши її на дві частини та зробивши так, щоб частини перекривали один одного. Проблема полягала в тому, що це розбивало кут 90 градусів на дві окремі частини, не даючи нам можливості повернути голку на всі 90 градусів. Тепер ми можемо вирішити цю проблему, наклавши відповідну форму N, щоб голка проходила з одного боку на інший.

У цій оновленій області стрілка все ще може повертатися на повні 90 градусів, як і раніше, але тепер це відбувається в два етапи. Спочатку голка повертається на 45 градусів і збігається з вертикальним краєм ліворуч. Далі він рухається вздовж фігури N, щоб дістатися до іншого боку. Коли він там, можна вільно повертати інші 45 градусів.

Це переміщує голку на 90 градусів, і щоб вона продовжувала обертатися, ви просто додаєте повернуті копії області.

З додаванням відповідних форм N стрілка може перестрибувати з одного трикутного півострова на наступний, повертаючись потроху, доки не розвернеться повністю, як автомобіль, який виконує поворот на три точки.

У деталях є ще диявольська математика, але ці дві ідеї — про те, що ми можемо постійно зменшувати площу початкової області, розрізаючи її та пересуваючи, забезпечуючи при цьому можливість переходу від шматка до шматка за допомогою довільно малих форм N — допомагають нам переміщуйте голку в області, яка постійно зменшується, і яка зрештою може бути настільки маленькою, як вам заманеться.

Більш стандартний підхід до побудови такого роду регіонів починається з рівносторонніх трикутників і використовує «дерева Перрона», які є розумними способами розрізати трикутники, розтягнути та зсунути шматки разом. Результат досить приголомшливий.

Останнім часом у математиків є досяг прогресу на нові варіації цієї старої проблеми, встановлені у вищих вимірах і з іншими поняттями розміру. Ймовірно, ми ніколи не побачимо машину на штучному інтелекті, яка б простежувала поворот Kakeya, але ми все одно можемо оцінити красу та простоту його майже нікчемності.

Вправи

1. Яка площа найменшого рівностороннього трикутника, який працює як набір голок Kakeya?

2. Ви можете зробити трохи краще, ніж рівносторонній трикутник у вправі 1, використовуючи «трикутник Рело», область, утворену трьома круговими секторами, що перекриваються. Яка площа найменшого трикутника Рело, який працює?