Матричні концентраційні нерівності та ефективність випадкових універсальних наборів квантових вентилів

Матричні концентраційні нерівності та ефективність випадкових універсальних наборів квантових вентилів

Мітка часу: 20 квітня 2023 р., 7:57
Матричні концентраційні нерівності та ефективність випадкових універсальних наборів квантових вентилів PlatoBlockchain Data Intelligence. Вертикальний пошук. Ai.

Пьотр Дулян1,2 і Адам Савицький1

1Центр теоретичної фізики Польської академії наук, Ал. Lotników 32/46, 02-668 Варшава, Польща
2Факультет фізики, Варшавський університет, Pasteura 5, 02-093 Варшава, Польща

Вам цей документ цікавий чи ви хочете обговорити? Скайте або залиште коментар на SciRate.

абстрактний

Для випадкового набору $mathcal{S} підмножини U(d)$ квантових вентилів ми надаємо обмеження ймовірності того, що $mathcal{S}$ утворює $delta$-наближений $t$-дизайн. Зокрема, ми виявили, що для $mathcal{S}$, отриманого з точного $t$-проекту, ймовірність того, що він утворює $delta$-апроксимований $t$-план, задовольняє нерівність $mathbb{P}left(delta geq x right)leq 2D_t , frac{e^{-|mathcal{S}| x , mathrm{arctanh}(x)}}{(1-x^2)^{|mathcal{S}|/2}} = Oleft( 2D_t left( frac{e^{-x^2}}{sqrt {1-x^2}} right)^{|mathcal{S}|} right)$, де $D_t$ є сумою за розмірами унікальних незвідних представлень, що з’являються в розкладі відображень $U на U^{otimes t} otimes bar{U}^{otimes t}$. Ми використовуємо наші результати, щоб показати, що для отримання $delta$-наближеного $t$-плану з імовірністю $P$ потрібно $O( delta^{-2}(tlog(d)-log(1-P))) $ багато випадкових воріт. Ми також аналізуємо, як $delta$ концентрується навколо свого очікуваного значення $mathbb{E}delta$ для випадкового $mathcal{S}$. Наші результати справедливі як для симетричних, так і для несиметричних наборів воріт.

► Дані BibTeX

► Список літератури

[1] А. Г. Фаулер, М. Маріантоні, Дж. М. Мартініс та А. Н. Клеланд, «Поверхневі коди: на шляху до практичного великомасштабного квантового обчислення» Фіз. Rev. A 86, 032324 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.86.032324

[2] Дж. Прескілл «Квантові обчислення в епоху NISQ і за її межами» Квант 2, 79 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2018-08-06-79

[3] S. Boixo, SV Isakov, VN Smelyanskiy, R. Babbush, N. Ding, Z. Jiang, MJ Bremner, JM Martinis, and H. Neven, “Characterizing Quantum Supremacy in Near-Term Devices” Nature Physics 14, 595–600 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41567-018-0124-x

[4] AW Harrowand A. Montanaro “Quantum Computational Supremacy” Nature 549, 203–209 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature23458

[5] К. Дж. Балланс, Т. П. Харті, Н. М. Лінке, М. А. Сепіол і Д. М. Лукас, «Високоточні квантові логічні ворота з використанням надтонких кубітів захоплених іонів» Phys. Преподобний Летт. 117, 060504 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.117.060504

[6] Р. Барендс, Дж. Келлі, А. Мегрант, А. Вейтіа, Д. Санк, Е. Джеффрі, Т. С. Уайт, Дж. Мутус, А. Г. Фаулер, Б. Кемпбелл, Ю. Чен, З. Чен, Б. Чіаро, A. Dunsworth, C. Neill, P. O`Malley, P. Roushan, A. Vainsencher, J. Wenner, AN Korotkov, AN Cleland, and John M. Martinis, “Logic gates at the surface code threshold: Superconducting qubits poised для відмовостійких квантових обчислень” Nature 508, 500–503 (2014).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature13171

[7] Л. Саскінд «Три лекції про складність і чорні діри» Спрінгер Чам (2020).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-030-45109-7
https://​/​arxiv.org/​abs/​1810.11563

[8] А. Савікі та К. Карнас «Критерії універсальності квантових воріт» Physical Review A 95, 062303 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1103/​physreva.95.062303

[9] A. Sawickiand K. Karnas “Universality of Single-Qudit Gates” Annales Henri Poincaré 18, 3515–3552 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s00023-017-0604-z

[10] A. Sawicki, L. Mattioli та Z. Zimborás, “Перевірка універсальності для набору квантових вентилів” Phys. Rev. A 105, 052602 (2022).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052602
arXiv: 2111.03862

[11] MA Nielsenand IL Chuang “Квантові обчислення та квантова інформація: 10-те ювілейне видання” Cambridge University Press (2010).
https://​/​doi.org/​10.1017/​CBO9780511976667

[12] PP Varju “Випадкові блукання в компактних групах” Док. математика 18, 1137–1175 (2013).
https://​/​doi.org/​10.4171/​DM/​423

[13] M. Oszmaniec, A. Sawicki, and M. Horodecki, “Epsilon-Nets, Unitary Designs, and Random Quantum Circuits” IEEE Transactions on Information Theory 68, 989–1015 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1109/​TIT.2021.3128110

[14] A. Boulandand T. Giurgica-Tiron “Efficient Universal Quantum Compilation: An Inverse-free Solovay-Kitaev Algorithm” arXiv e-prints (2021).
https://​/​doi.org/​10.48550/​ARXIV.2112.02040
arXiv: 2112.02040

[15] AW Harrow, B. Recht і Isaac L. Chuang, «Ефективні дискретні наближення квантових воріт» J. Math. фіз. 43, 4445 (2002).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1495899

[16] JM Epstein, AW Cross, E. Magesan та JM Gambetta, «Дослідження меж протоколів рандомізованого порівняльного аналізу» Physical Review A 89, 062321 (2014).
https://​/​doi.org/​10.1103/​physreva.89.062321
arXiv: 1308.2928

[17] AM Dalzell, N. Hunter-Jones і FGSL Brandó, «Випадкові квантові схеми перетворюють локальний шум у глобальний білий шум» arXiv e-prints (2021).
https://​/​doi.org/​10.48550/​ARXIV.2111.14907
arXiv: 2111.14907

[18] A. Abeyesinghe, I. Devetak, P. Hayden та A. Winter, «Мати всіх протоколів: реструктуризація генеалогічного дерева квантової інформації» Праці Лондонського королівського товариства, серія A 465, 2537–2563 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1098 / rspa.2009.0202

[19] Дж. Радхакрішнан, М. Реттелер і П. Сен, «Бази випадкових вимірювань, розрізнення квантових станів і застосування до проблеми прихованої підгрупи» Algorithmica 55, 490–516 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s00453-008-9231-x

[20] DA Robertsand B. Yoshida “Chaos and complexity by design” Journal of High Energy Physics 2017, 121 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1007/​JHEP04(2017)121
arXiv: 1610.04903

[21] M. Oszmaniec, M. Horodecki та N. Hunter-Jones, «Насиченість і повторюваність квантової складності у випадкових квантових схемах» arXiv e-prints (2022).
https://​/​doi.org/​10.48550/​ARXIV.2205.09734
arXiv: 2205.09734

[22] J. Haferkamp, ​​P. Faist, NBT Kothakonda, J. Eisert і N. Yunger Halpern, «Лінійне зростання складності квантової схеми» Nature Physics 18, 528–532 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-022-01539-6
arXiv: 2106.05305

[23] J. Bourgainand A. Gamburd “A spectral gap theorem in SU(d)” J. Eur. математика Соц. 14, 1455–1511 (2012).
https://​/​doi.org/​10.4171/​JEMS/​337

[24] Дж. Бурген і Алекс Гамбурд “Про спектральну щілину для скінченно породжених підгруп SU(2)”. Винаходити. математика. 171, 83–121 (2008).
https: / / doi.org/ 10.1007 / s00222-007-0072-z

[25] А. Бочаров, Ю. Гуревич та К. М. Своре, “Ефективна декомпозиція однокубітових вентилів у базисні схеми V” Phys. Rev. A 88, 012313 (2013).
https://​/​doi.org/​10.1103/​physreva.88.012313

[26] В. Ключніков, А. Бочаров, М. Роттлер і Дж. Ярд, «Рамка для наближення унітарних систем кубіту» arXiv e-prints (2015).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1510.03888
arXiv: 1510.03888

[27] В. Ключніков, Д. Маслов і М. Моска, «Швидкий і ефективний точний синтез однокубітних унітарних елементів, створених вентилями Кліффорда і Т» Квантова інформація та обчислення 13, 607–630 (2013).
https://​/​doi.org/​10.26421/​QIC13.7-8-4

[28] П. Селінгер «Ефективна апроксимація однокубітових операторів Кліффорд+Т» Квантова інформація та обчислення 15, 159–180 (2015).
https://​/​doi.org/​10.26421/​QIC15.1-2-10

[29] П. Сарнак «Лист до Скотта Ааронсона та Енді Поллінгтона про теорему Соловая-Китаєва» (2015).

[30] А. Любоцький, Р. Філліпс і П. Сарнак, “Оператори Гекке та точки розподілу на S2. II” Повідомлення з чистої та прикладної математики 40, 401–420 (1987).
https://​/​doi.org/​10.1002/​cpa.3160400402

[31] JA Tropp «Вступ до нерівностей концентрації матриці» Now Publishers Inc (2015).
https: / / doi.org/ 10.1561 / 2200000048
https://​/​arxiv.org/​abs/​1501.01571

[32] М. Абу-Хамед і С. Гелакі «Індикатори Фробеніуса-Шура для напівпростих алгебр Лі» Journal of Algebra 315, 178–191 (2007).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.jalgebra.2007.06.003

[33] J. Emerson, R. Alicki, and K. Å»yczkowski, “Scalable noise estimation with random unitary operators” Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics 7, S347 (2005).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1464-4266/​7/​10/​021

[34] C. Dankert, R. Cleve, J. Emerson та E. Livine, “Точний і наближений унітарний 2-схеми та їх застосування до оцінки точності” Phys. Rev. A 80, 012304 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.80.012304

[35] Y. Nakata, D. Zhao, T. Okuda, E. Bannai, Y. Suzuki, S. Tamiya, K. Heya, Z. Yan, K. Zuo, S. Tamate, Y. Tabuchi та Y. Nakamura, “ Квантові схеми для точних унітарних $t$-проектів і застосування для рандомізованого порівняльного аналізу вищого порядку” PRX Quantum 2, 030339 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.030339
arXiv: 2102.12617

[36] ES Meckes “The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups” Cambridge University Press (2019).
https: / / doi.org/ 10.1017 / 9781108303453

[37] M. Reck, A. Zeilinger, HJ Bernstein і P. Bertani, “Експериментальна реалізація будь-якого дискретного унітарного оператора” Phys. Преподобний Летт. 73, 58–61 (1994).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.73.58

[38] А. Савицький «Універсальність світлорозділювачів» Квантова інформація та обчислення 16, 291–312 (2016).
https://​/​doi.org/​10.26421/​QIC16.3-4-6

[39] EH Lieb “Опуклі функції сліду та гіпотеза Вігнера-Янасе-Дайсона” Досягнення математики 11, 267–288 (1973).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​0001-8708(73)90011-X

[40] S. Golden “Нижні межі для функції Гельмгольца” Phys. Rev. 137, B1127–B1128 (1965).
https://​/​doi.org/​10.1103/​PhysRev.137.B1127

[41] CJ Thompson «Нерівність із застосуваннями в статистичній механіці» J. Math. фіз. 6, 1812–1813 (1965).
https: / / doi.org/ 10.1063 / 1.1704727

[42] BC Hall “Групи Лі, алгебри Лі та представлення, елементарний вступ” Springer-Verlag New York (2004).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-319-13467-3

[43] G. Benkart, M. Chakrabarti, T. Halverson, R. Leduc, C. Lee, and J. Stroomer, “Тензорний добуток загальних лінійних груп та їхні зв’язки з алгебрами Брауера” J. Algebra 166, 529–567 ( 1994).
https://​/​doi.org/​10.1006/​jabr.1994.1166

[44] T. Bröckerand T. Dieck “Representations of Compact Lie Groups” Springer Berlin Heidelberg (2003).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-662-12918-0
https://​/​books.google.pl/​books?id=AfBzWL5bIIQC

[45] D. Ruiz-Antolinand J. Segura “Новий тип точних меж для відношень модифікованих функцій Бесселя” J. Math. анальний апл. 443, 1232–1246 (2016).
https://​/​doi.org/​10.1016/​j.jmaa.2016.06.011

Цитується

[1] Дмитро Гринько та Маріс Озолс, «Лінійне програмування з унітарно-еквіваріантними обмеженнями», arXiv: 2207.05713, (2022).

[2] Пьотр Дуліан і Адам Савіцкі, «Випадкова матрична модель для випадкових наближених $t$-проектів», arXiv: 2210.07872, (2022).

Вищезазначені цитати від SAO / NASA ADS (останнє оновлення успішно 2023-04-21 00:06:24). Список може бути неповним, оскільки не всі видавці надають відповідні та повні дані про цитування.

On Служба, на яку посилається Crossref даних про цитування робіт не знайдено (остання спроба 2023-04-21 00:06:22).

Ця стаття опублікована в Quantum під Creative Commons Attribution 4.0 International (CC на 4.0) ліцензія. Авторське право залишається за оригінальними власниками авторських прав, такими як автори або їх установи.

Часова мітка:

Більше від Квантовий журнал