Прихований зв'язок, який змінив теорію чисел | Журнал Quanta

Є три види простих чисел. Перший — одиночний викид: 2, єдине парне просте число. Після цього половина простих чисел залишає залишок 1 при діленні на 4. Інша половина залишає залишок 3. (5 і 13 потрапляють у перший табір, 7 і 11 — у другий). Немає очевидної причини, що залишок Прості числа -1 і прості числа з залишком-3 повинні поводитися принципово по-різному. Але вони роблять.

Одна ключова відмінність походить від властивості, яка називається квадратичною взаємністю, яку вперше довів Карл Гаус, мабуть, найвпливовіший математик 19 століття. «Це досить просте твердження, яке має застосування скрізь, у всіх видах математики, а не лише в теорії чисел», — сказав Джеймс Рікардс, математик в Університеті Колорадо, Боулдер. «Але це також достатньо неочевидно, щоб бути справді цікавим».

Теорія чисел — це розділ математики, який має справу з цілими числами (на відміну, скажімо, від фігур або безперервних величин). Прості числа — ті, що діляться лише на 1, і самі по собі — є основою, подібно до того, як ДНК є ядром біології. Квадратична взаємність змінила уявлення математиків про те, як багато можна довести про них. Якщо ви розглядаєте прості числа як гірський хребет, взаємність схожа на вузьку стежину, яка дозволяє математикам піднятися на раніше недосяжні вершини і з цих вершин побачити істини, які були приховані.

Хоча це стара теорема, вона продовжує мати нові застосування. Цього літа Рікардс і його колега Кетрін Штанге, разом із двома студентами, спростував загальноприйняту гіпотезу про те, як маленькі кружечки можна запакувати в більші. Результат шокував математиків. Петро Сарнак, теоретик чисел в Інституті передових досліджень і Прінстонському університеті, говорила зі Штанге на конференції незабаром після того, як її команда розміщені їхній папір. «Вона сказала мені, що має контрприклад», — згадує Сарнак. «Я відразу запитав її: «Ти десь використовуєш взаємність?» І це було справді те, що вона використовувала».

Шаблони в парах простих чисел

Щоб зрозуміти взаємність, вам спочатку потрібно зрозуміти модульну арифметику. Модульні операції ґрунтуються на обчисленні залишків під час ділення на число, яке називається модулем. Наприклад, 9 за модулем 7 дорівнює 2, тому що, якщо розділити 9 на 7, у вас залишиться залишок 2. У системі числення за модулем 7 є 7 чисел: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Ви можете додавати, віднімати, множити і ділити ці числа.

Подібно до цілих чисел, ці системи числення можуть мати ідеальні квадрати — числа, які є добутком іншого числа, помноженого на самого себе. Наприклад, 0, 1, 2 і 4 — це повні квадрати за модулем 7 (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 і 3 × 3 = 2 за модулем 7). Кожен звичайний квадрат дорівнюватиме 0, 1, 2 або 4 за модулем 7. (Наприклад, 6 × 6 = 36 = 1 за модулем 7.) Оскільки модульні системи числення скінченні, ідеальні квадрати є більш поширеними.

Квадратична взаємність випливає з відносно простого запитання. Дано два прості числа p та q, якщо ти це знаєш p є повним квадратом за модулем q, можете сказати чи ні q є повним квадратом за модулем p?

Виходить, що поки ні p or q залишає залишок 1 при діленні на 4, якщо p є повним квадратом за модулем q, То q також є повним квадратом за модулем p. Кажуть, що два простих числа відповідають взаємністю.

З іншого боку, якщо вони обидва залишають залишок 3 (наприклад, 7 і 11), то вони не відповідають взаємністю: якщо p є квадратом за модулем q, це означає, що q не буде квадратом за модулем p. У цьому прикладі 11 є квадратом за модулем 7, оскільки 11 = 4 за модулем 7, і ми вже знаємо, що 4 є одним із ідеальних квадратів за модулем 7. З цього випливає, що 7 не є квадратом за модулем 11. Якщо взяти список звичайних квадратів квадратів (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) і подивіться на їхні залишки по модулю 11, тоді 7 ніколи не з’явиться.

Це, кажучи технічним терміном, справді дивно!

Сила узагальнення

Як і багато інших математичних ідей, взаємність мала вплив, оскільки її можна узагальнити.

Незабаром після того, як Гаусс опублікував перший доказ квадратичної взаємності в 1801 році, математики спробували розширити ідею за межі квадратів. «Чому не третя чи четверта влада? Вони уявили, що, можливо, існує кубічний закон взаємності або квартичний закон взаємності», — сказав Кіт Конрад, теоретик чисел в Університеті Коннектикуту.

Але вони застрягли, сказав Конрад, «тому що немає легкої моделі». Ситуація змінилася, коли Гаусс привніс взаємність у сферу комплексних чисел, які додають квадратний корінь з мінус 1, представлений так: i, до звичайних чисел. Він представив ідею, що теоретики чисел можуть аналізувати не лише звичайні цілі числа, але й інші цілі математичні системи, як-от так звані цілі числа Гауса, які є комплексними числами, дійсна та уявна частини яких є цілими.

З цілими числами Гауса змінилося все уявлення про те, що вважається простим числом. Наприклад, 5 більше не є простим числом, оскільки 5 = (2 + i) × (2 − i). «Треба починати все спочатку, наче ти знову в початковій школі», — сказав Конрад. У 1832 році Гаусс довів закон взаємності четвертої частини для комплексних цілих чисел, які носять його ім'я.

Раптом математики навчилися застосовувати такі інструменти, як модульна арифметика та розкладання на множники, до цих нових систем числення. За словами Конрада, натхненням була квадратична взаємність.

Тепер почали з’являтися шаблони, які були невловимі без комплексних чисел. До середини 1840-х років Готхольд Ейзенштейн і Карл Якобі довели перші кубічні закони взаємності.

Потім, у 1920-х роках, Еміль Артін, один із засновників сучасної алгебри, відкрив те, що Конрад називає «основним законом взаємності». Усі інші закони взаємності можна розглядати як окремі випадки закону взаємності Артіна.

Століття потому математики все ще винаходять нові докази першого квадратичного закону взаємності Гаусса та узагальнюють його для нових математичних контекстів. Наявність багатьох чітких доказів може бути корисною. «Якщо ви хочете поширити результат на нове налаштування, можливо, один із аргументів легко перенесеться, а інші — ні», — сказав Конрад.

Чому взаємність така корисна

Квадратична взаємність використовується в таких різноманітних областях дослідження, як теорія графів, алгебраїчна топологія та криптографія. В останньому — впливовий алгоритм шифрування з відкритим ключем, розроблений у 1982 році Шафі Голдвассер та Сільвіо Мікалі залежить від множення двох великих простих чисел p та q разом і виведення результату, Nразом із номером x, що не є квадратом за модулем N. Алгоритм використовує N та x для шифрування цифрових повідомлень у рядки більших чисел. Єдиний спосіб розшифрувати цей рядок — вирішити, чи є кожне число в зашифрованому рядку квадратом за модулем N — практично неможливо без знання значень простих чисел p та q.

І, звичайно, квадратична взаємність неодноразово виникає в теорії чисел. Наприклад, його можна використати, щоб довести, що будь-яке просте число, що дорівнює 1 за модулем 4, можна записати як суму двох квадратів (наприклад, 13 дорівнює 1 за модулем 4, а 13 = 4 + 9 = 2² + 3²). Навпаки, прості числа, що дорівнюють 3 за модулем 4, ніколи не можна записати як суму двох квадратів.

Сарнак зауважив, що взаємність може бути використана для вирішення відкритих питань, як-от визначення того, які числа можна записати як суму трьох кубів. Відомо, що числа, які дорівнюють 4 або 5 за модулем 9, не дорівнюють сумі трьох кубів, але інші залишаються загадкою. (У 2019 році Ендрю Букер створені заголовки коли він виявив, що (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33.)

За словами Штанге, незважаючи на численні застосування та різноманітні докази, у взаємності є щось, що залишається загадкою.

«Що часто трапляється з математичним доказом, ви можете слідкувати за кожним кроком; Ви можете повірити, що це правда", - сказала вона. «І все ще можна вийти з іншого кінця, відчуваючи: «А чому?»»

Розуміння на внутрішньому рівні того, чим 7 і 11 відрізняються від 5 і 13, може бути назавжди недосяжним. «Ми можемо жонглювати лише багатьма рівнями абстракції», — сказала вона. «Це проявляється скрізь у теорії чисел… і все ж це лише крок за межі того, що здається, що ви могли б просто знати».

Quanta проводить серію опитувань, щоб краще обслуговувати нашу аудиторію. Візьміть наші опитування читачів з математики і ви будете введені, щоб виграти безкоштовно Quanta мерч.