Вступ
Джина, студентка геометрії, не спала минулої ночі надто пізно, роблячи домашнє завдання, дивлячись Великий британець випікає, тож коли вона нарешті лягла спати, її сонний розум усе ще був сповнений кексів і компасів. Це призвело до незвичайного сну.
Джина виявилася суддею Great Brownie Bake Off в Imaginary University, школі, де студенти вивчають багато геометрії, але дуже мало арифметики. Командам студентів із програми «Уявне U» було доручено приготувати найбільший брауні, а Джина мала визначити переможця.
Першою фінішувала команда «Альфа», яка з гордістю представила свій прямокутний брауні для суддівства. Джина витягла лінійку й виміряла тісто: воно було 16 дюймів завдовжки і 9 дюймів завширшки. Команда Beta швидко послідувала за ними зі своїм квадратним брауні, розміром 12 дюймів з кожного боку. Ось тоді і почалися біди.
«Наш брауні набагато довший за ваш», — сказав капітан команди «Альфа». «Наш явно більший, тому ми переможці!»
«Але коротка сторона вашого прямокутника набагато коротша за сторону нашого квадрата», — сказав представник Team Beta. «Наша площа явно більша. Ми перемогли!»
Джіні було дивно сперечатися про це. «Площа прямокутного тіста дорівнює 9 помножити на 16, що становить 144 квадратних дюйма», — сказала вона. «Площа квадратного брауні дорівнює 12 помножити на 12, що також дорівнює 144 квадратним дюймам. Брауні однакового розміру: це краватка».
Обидві команди виглядали спантеличеними. «Я не розумію, що ви маєте на увазі під «разами», — сказав один студент, якого ніколи не вчили множенню. «Я теж», — сказав інший. Третій сказав: «Я колись чув про студентів Complex College, які вимірювали площу за допомогою цифр, але що це взагалі означає?» Уявний університет був справді дивним місцем, навіть уві сні.
Що мала робити Джина? Як вона могла переконати команди, що їхні тістечка однакового розміру, якщо вони не розуміли, як вимірювати площу та множити числа? На щастя, у Джини була геніальна ідея. «Дай мені ніж», — сказала вона.
Джина відміряла 12 дюймів по довшій стороні прямокутного брауні та зробила розріз, паралельний короткій стороні. Це перетворило великий прямокутник на два менших: один розміром 9 на 12, а інший 9 на 4. Трьома швидкими розрізами вона перетворила шматок 9 на 4 на три менші частини 3 на 4. Невелике переставлення призвело до того, що натовп почув ох і ах: Джина перетворила прямокутник на точну копію квадрата.
Тепер обидві команди повинні були погодитися, що їхні брауні були однакового розміру. Розрізавши один і переставивши його, щоб утворити інший, Джина показала, що два брауні займають однакову загальну площу. Подібні розсічення використовувалися в геометрії протягом тисячоліть, щоб показати, що фігури мають однаковий розмір, і є багато чудових результатів щодо розчленувань та еквівалентності. Навіть сьогодні математики все ще використовують розчленування та перегрупування, щоб повністю зрозуміти, коли певні форми є еквівалентними, що призвело до деяких несподіваних останніх результатів.
Ви, мабуть, бачили геометричні розсічення на уроці математики, коли розробляли формули площ для основних фігур. Наприклад, ви можете пам’ятати, що площа паралелограма дорівнює довжині його основи, помноженій на його висоту: це тому, що паралелограм можна розрізати та перебудувати в прямокутник.
Цей розтин показує, що площа паралелограма дорівнює площі прямокутника з такою самою основою та висотою, яка, як знає кожен, хто не відвідував Уявний університет, є добутком цих двох чисел.
Говорячи про Imaginary U, Great Brownie Bake Off тільки нагрівався. Підійшла команда Гамма з великим трикутним брауні. «Ось переможець», — сміливо оголосили вони. «Обидві наші сторони набагато довші за інші».
Джина зміряла боки. «Це також така сама територія!» — вигукнула вона. «Це прямокутний трикутник, а катети мають розміри 18 і 16, тож площа дорівнює…» Джина на мить замовкла, помітивши збентежені вирази на обличчях усіх. «О, годі. Просто дай мені ніж».
Джина спритно розрізала від середини гіпотенузи до середини довшого катета, а потім повернула щойно утворений трикутник так, що він утворив ідеальний прямокутник, уклавшись у більший шматок.
«Це саме наш брауні!» — вигукнула Команда Альфа. Звичайно, отриманий прямокутник був 9 на 16: точно такого ж розміру, як їхній.
У команди Beta були сумніви. «Але як цей трикутник у порівнянні з нашим квадратом?» — спитав їх керівник групи.
Джина була до цього готова. «Ми вже знаємо, що прямокутник і квадрат мають однаковий розмір, тому, згідно транзитивності, трикутник і квадрат мають однаковий розмір». Транзитивність є однією з найважливіших властивостей рівності: вона говорить, що якщо a = b та b = c, То a = c. Джина продовжила: «Якщо площа першого тіста дорівнює площі другого, а площа другого брауні дорівнює площі третього, то перше та третє брауні також повинні мати однакові площі».
Але Джина надто розважалася розтином, щоб зупинитися на цьому. «Або ми могли б просто зробити ще кілька скорочень».
Спочатку Джина повернула прямокутник, який раніше був трикутником. Потім вона вирізала його, використовуючи той самий візерунок, який використовувала на прямокутнику Team Alpha.
Потім вона показала, як цей новий розтин трикутника команди Гамма можна перетворити на квадрат команди Бета, точно так само, як вона зробила з прямокутником команди Альфа.
У цій ситуації ми говоримо, що трикутник і квадрат «ножиці конгруентні»: Ви можете уявити, що за допомогою ножиць розрізаєте одну фігуру на кінцеву кількість частин, які потім можна переставити, щоб утворити іншу. У випадку з трикутником і квадратом брауні показують, як саме працює ця конгруентність ножиць.
Зверніть увагу, що шаблон працює в будь-якому напрямку: його можна використовувати для перетворення трикутника на квадрат або квадрата на трикутник. Іншими словами, конгруентність ножиць є симетричною: якщо форма A є ножицями, конгруентними з формою B, то форма B також є ножицями, конгруентними з формою A.
Насправді наведений вище аргумент щодо трикутника, прямокутника та квадрата показує, що конгруентність ножиць також є транзитивною. Оскільки трикутник рівний ножицями прямокутнику, а прямокутник рівний ножицям квадрату, то трикутник рівний ножицям квадрату. Підтвердженням є шаблони: просто накладіть їх на проміжну форму, як це було зроблено з прямокутником вище.
Якщо ви розріжете трикутник на частини, які утворюють прямокутник, а потім розріжете прямокутник на частини, які утворюють квадрат, отримані частини можна використовувати для формування будь-якої з трьох фігур.
Той факт, що конгруентність ножиць транзитивна, лежить в основі дивовижного результату: якщо два багатокутники мають однакову площу, то вони є конгруентними ножицями. Це означає, що, маючи будь-які два багатокутники з однаковою площею, ви завжди можете розрізати один на кінцеву кількість частин і переставити їх, щоб отримати інший.
Доказ цієї чудової теореми також надзвичайно простий. Спочатку розріжте кожен багатокутник на трикутники.
По-друге, перетворіть кожен трикутник на прямокутник, подібно до того, як Джина переставила трикутний брауні.
Тепер настає складна технічна частина: перетворіть кожен прямокутник на новий прямокутник шириною в одну одиницю.
Для цього почніть відрізати від прямокутника частини шириною в одну одиницю.
Якщо ви можете розділити прямокутник на цілу кількість частин шириною 1, ви готові: просто покладіть їх один на одного. В іншому випадку припиніть рубати, коли останній шматок стане від 1 до 2 одиниць завширшки, і покладіть решту один на одного.
Не хвилюйтеся, якщо ширина самого прямокутника менша за 1 одиницю: просто розріжте його навпіл і використайте дві частини, щоб створити новий прямокутник, удвічі довший і вдвічі товщий. За потреби повторюйте, поки не отримаєте прямокутник шириною від 1 до 2 одиниць.
Тепер уявіть, що цей останній прямокутник має висоту h і ширина w, з 1 w < 2. Ми розріжемо цей прямокутник і переставимо його в прямокутник із шириною 1 і висотою h × w. Для цього накладіть на h × w прямокутник з потрібним hw × 1 такий прямокутник.
Потім розріжте від кута до кута вздовж пунктирної лінії та відріжте маленький трикутник внизу праворуч за правим краєм hw × 1 прямокутник.
Це скорочує h × w прямокутник на три частини, які можна переставити в hw × 1 прямокутник. (Для обґрунтування цього останнього розтину потрібні деякі розумні аргументи, що стосуються подібних трикутників. Подробиці дивіться у вправах нижче.)
Нарешті, покладіть цей останній прямокутник на вершину стека, і ви успішно перетворили цей багатокутник — насправді будь-який багатокутник — на прямокутник шириною 1.
Тепер, якщо площа початкового багатокутника була A, то висота цього прямокутника повинна бути A, тому кожен многокутник має площу A є ножицями, конгруентними прямокутнику з шириною 1 і висотою A. Це означає, що якщо два багатокутники мають площу A, то обидва вони є ножицями, конгруентними до одного прямокутника, тому через транзитивність вони є ножицями, конгруентними один одному. Це показує, що кожен многокутник має площу A є ножицями, конгруентними кожному іншому многокутнику з площею A.
Але навіть цього потужного результату було недостатньо, щоб успішно завершити суддівство Brownie Bake Off від Imaginary University. Залишився ще один запис, і нікого не здивувало те, з чим з’явилася Team Pi.
У той момент, коли Джина побачила це коло, вона прокинулася від свого сну в холодному поту. Вона знала, що неможливо розрізати коло на скінченну кількість частин і переставити їх так, щоб утворився квадрат, чи прямокутник, чи будь-який багатокутник. У 1964 році математики Лестер Дубінс, Морріс Гірш і Джек Каруш довели, що коло не є ножицями, конгруентними жодному многокутнику. Сон Джини перетворився на геометричний кошмар.
Але, як завжди, математики перетворили цю перешкоду на нову математику. У 1990 році Міклош Лачковіч довів, що можна розрізати коло та перебудувати його в квадрат, якщо використовувати нескінченно малі, нескінченно роз’єднані, нескінченно зубчасті частини, які неможливо виготовити за допомогою пари ножиць.
Яким би дивовижним і захоплюючим не був результат Лачковича, він лише довів, що таке розкладання теоретично можливе. Він не пояснював, як побудувати частини, лише те, що вони можуть існувати. Ось де з’явилися Андраш Мате, Олег Піхурко та Джонатан Ноель: на початку 2022 року вони опублікував документ в якому вони відповідали досягненням Лачковича, але з частинами, які можна візуалізувати.
На жаль, ви не зможете використати їхній результат, щоб вирішити проблеми з випіканням брауні. Одні ножиці не можуть створити 10200 частин, необхідних для їх розкладання. Але це ще один крок уперед у відповіді на довгий ряд запитань, які почалися, коли Архімед вперше винайшов або відкрив $latex pi$. І це змушує нас рухатися до винайдення або відкриття нової математики, про яку попередні покоління не могли й мріяти.
Вправи
1. Поясніть, як ми знаємо, що при виведенні формули площі для паралелограма відрізаний нами трикутник ідеально вписується в простір з іншого боку паралелограма.
2. Поясніть, чому будь-який трикутник можна розбити на прямокутник.
Для вправ 3 і 4 розгляньте діаграму, яка використовується, щоб показати, що an h × w прямокутник — це ножиці, конгруентні an hw × 1 прямокутник із позначеними точками.
3. Поясніть, чому $латексний трикутник$ XYQ схожий на $latextriangle$ ABX. Що це робить довжиною QY?
4. Поясніть, чому $латексний трикутник$ PCX конгруентний $латексному трикутнику$ AZQ.
Натисніть, щоб отримати відповідь 1:
Є багато способів показати, що два трикутники рівні. Один із способів полягає в тому, щоб помітити, що відстань між паралельними прямими постійна, тому два прямокутних трикутника мають пару рівних катетів.
А в паралелограмі протилежні сторони конгруентні, що робить два трикутники конгруентними відповідно до теореми конгруентності трикутника гіпотенуза-катет. Ви також можете навести аргумент, використовуючи теорему конгруентності кут-сторона-кут трикутника.
Натисніть, щоб отримати відповідь 2:
Одним із чудових елементарних результатів у геометрії трикутника є теорема про середній відрізок трикутника: якщо з’єднати середини двох сторін трикутника, отриманий відрізок буде паралельним третій стороні та вдвічі менший від неї.
Оскільки відрізок паралельний третій стороні, то кути 1 і 3 рівні відповідним кутам. А кути 1 і 2 є внутрішніми кутами однієї сторони, тому вони є додатковими, що означає, що їх сума становить 180 градусів. Оскільки $latexangle$ 1 конгруентний $latexangle$ 3, це означає, що кути 3 і 2 також є додатковими.
Таким чином, коли ви повертаєте верхній трикутник навколо та вправо, конгруентні сторони ідеально збігаються, а кути 2 і 3 утворять пряму лінію.
Це перетворює трикутник на паралелограм, який, як ми вже знаємо, можна перетворити на прямокутник.
Натисніть, щоб отримати відповідь 3:
З BXYZ є прямокутником, обидва $latexangle$ ZBC і $latexangle$ ZYX є прямими кутами. А оскільки протилежні сторони прямокутника паралельні, це становить $latexangle$ YQX конгруентний $latexangle$ AXB, оскільки вони є альтернативними внутрішніми кутами. Таким чином $latextriangle$ XYQ схожий на $latextriangle$ ABX за подібністю кут-кут. У подібних трикутниках сторони пропорційні, тому $latex frac{XY}{AB} = frac{QY}{BX}$. Таким чином, $latex frac{h}{hw} = frac{QY}{w}$, і так QY = 1. Зауважте, що, оскільки $latexangle$ ADC це прямий кут і $латексний кут$ DAP і $латексний кут$ YQX є конгруентними відповідними кутами, це дає $латексний трикутник$ DAP конгруентний $latextriangle$ YQX. Це доводить, що ви можете ковзати $latextriangle$ YQX у місце, яке зараз займає $латексний трикутник$ DAP, як це необхідно в аргументі конгруентності ножиць.
Натисніть, щоб отримати відповідь 4:
Зверніть увагу, що $латексний кут$ AZQ і $latexangle$ PCX є прямими кутами, а отже, конгруентними. Використовуючи властивості паралельних прямих, як у вправі 3, ми також можемо побачити цей $латексний кут$ AQZ і $латексний кут$ PXC рівні відповідні кути. Також у вправі 3 ми це показали QY = 1. Це робить QZ = w − 1, що саме CX дорівнює. Отже, $латексний трикутник$ PCX конгруентний $латексному трикутнику$ AZQ за рівністю кута-сторони-кута трикутника. Це виправдовує іншу частину аргументу, що ан h × w прямокутник — це ножиці, конгруентні an hw × 1 прямокутник.
