Вступ
Теорія вузлів почалася як спроба зрозуміти фундаментальний устрій Всесвіту. У 1867 році, коли вчені з нетерпінням намагалися з’ясувати, що могло б пояснити всі різні види матерії, шотландський математик і фізик Пітер Гатрі Тейт показав своєму другові та співвітчизнику серу Вільяму Томсону свій пристрій для генерування димових кілець. Томсон — пізніше став лордом Кельвіном (тезка температурної шкали) — був зачарований чарівними формами кілець, їхньою стабільністю та взаємодією. Його натхнення привело його в дивовижному напрямку: можливо, подумав він, подібно до того, як кільця диму були вихорами в повітрі, атоми були зв’язаними вихровими кільцями в світлоносному ефірі, невидимому середовищі, через яке, як вважали фізики, поширюється світло.
Хоча ця ідея вікторіанської епохи зараз може здатися смішною, це не було легковажним розслідуванням. Ця теорія вихору мала багато чого рекомендувати: величезне розмаїття вузлів, кожен з яких трохи відрізнявся, здавалося, відображало різні властивості багатьох хімічних елементів. Стабільність вихрових кілець може також забезпечити постійність, яка потрібна атомам.
Теорія вихорів набула популярності в науковому співтоваристві й надихнула Тейта почати таблицю всіх вузлів, створивши те, що, як він сподівався, буде еквівалентним таблиці елементів. Звичайно, атоми не вузли, і ефіру немає. До кінця 1880-х років Томсон поступово відмовлявся від своєї теорії вихорів, але на той час Тейт був захоплений математичною елегантністю своїх вузлів і продовжив свій проект таблиць. У процесі він створив математичну область теорії вузлів.
Ми всі знайомі з вузлами — вони тримають взуття на наших ногах, човни прикріплені до доків, а альпіністи — від скель. Але ці вузли не зовсім те, що математики (включаючи Тейта) назвали б вузлом. Незважаючи на те, що заплутаний подовжувач може здаватися вузлом, його завжди можна розплутати. Щоб отримати математичний вузол, необхідно з’єднати вільні кінці шнура, щоб утворилася замкнута петля.
Оскільки нитки вузла гнучкі, як струна, математики розглядають теорію вузлів як підсферу топологія, вивчення пластичних форм. Іноді вдається розплутати вузол, щоб він став простим колом, який ми називаємо «невузлом». Але частіше розплутати вузол неможливо.
Вузли також можуть об’єднуватися, утворюючи нові вузли. Наприклад, поєднання простого вузла, відомого як трилисник, із його дзеркальним відображенням дає квадратний вузол. (І якщо ви з’єднаєте два однакових трилисника, ви отримаєте бабусиний вузол.)
Використовуючи термінологію зі світу чисел, математики кажуть, що трилисник — це простий вузол, квадратний вузол — складений, а невузол, як і число 1, — ні те, ні інше. Ця аналогія була додатково підтверджена в 1949 році, коли Горст Шуберт довів, що кожен вузол є простим або може бути однозначно розкладений на прості вузли.
Іншим способом створення нових вузлів є переплетення двох або більше вузлів, утворюючи ланку. Простим прикладом є персні Борромео, названі так тому, що вони зображені на гербі італійського дому Борромео.
Томсон і Тейт не були першими, хто розглядав вузли з математичної точки зору. Ще в 1794 році Карл Фрідріх Гаусс писав і намалював приклади вузлів у своєму особистому блокноті. А учень Гаусса Йоган Лістінг писав про вузли у своїй монографії 1847 року Vorstudien zur Topologie («Попередні дослідження топології») — це також походження терміну топологія.
Але Тейт був першим вченим, який працював над тим, що стало фундаментальною проблемою в теорії вузлів: класифікацією та таблицею всіх можливих вузлів. Упродовж років кропіткої роботи, використовуючи лише свою геометричну інтуїцію, він знайшов і класифікував усі прості вузли, які при проектуванні на площину мають не більше семи перетинів.
Наприкінці 19 століття Тейт дізнався, що двоє інших людей — преподобний Томас Кіркман і американський математик Чарльз Літтл — також вивчали цю проблему. Спільними зусиллями вони класифікували всі проміжні вузли з 10 перетинами, а багато з них – з 11 перетинами. Дивовижно, але їхні таблиці до 10 були повними: вони не пропустили жодного вузла.
Чудово, що Тейт, Кіркман і Літтл досягли так багато без теорем і методів, які будуть відкриті в наступні роки. Але одна річ, яка працювала на їхню користь, — це те, що більшість дрібних вузликів «чергуються», тобто вони мають проекцію, в якій перетин демонструє послідовний візерунок «над-під-над-низ».
Вузли, що чергуються, мають властивості, за якими їх легше класифікувати, ніж вузли, що чергуються. Наприклад, важко знайти мінімальну кількість перетинів для будь-якої проекції вузла. Але Тейт, який протягом багатьох років помилково вважав, що всі вузли чергуються, припустив спосіб визначити, чи знайшли ви цю мінімальну кількість: якщо змінна проекція не має перетинів, які можна видалити, перевернувши частину вузла, тоді це має бути проекція з мінімальною кількістю перетинів.
Ця та ще дві гіпотези Тейта про чергування вузлів виявилися правдивими. Проте ці відомі припущення не було доведено до кінця 1980-х і початку 90-х років за допомогою математичного інструменту, розробленого в 1984 році Воганом Джонсом, який отримав медаль Філдса за свою роботу в теорії вузлів.
На жаль, чергування вузлів лише заведе вас. Коли ми потрапляємо у вузли з вісьмома або більше перетинаннями, кількість незмінних вузлів швидко зростає, що робить техніку Тейта менш корисною.
Оригінальна таблиця всіх 10 вузлів перетину була повною, але Тейт, Кіркман і Літтл врахували двічі. Лише в 1970-х роках Кеннет Перко, юрист, який вивчав теорію вузлів у Прінстоні, помітив, що два вузли є дзеркальним відображенням один одного. Зараз вони відомі як пара Перко на його честь.
За останнє століття математики знайшли багато розумних способів визначити, чи справді вузли відрізняються. По суті, ідея полягає в тому, щоб визначити інваріант — властивість, кількість або алгебраїчна сутність, яка пов’язана з вузлом і часто може бути просто обчислена. (Ці властивості мають такі назви, як кольоровість, номер моста або звивистість.) Озброївшись цими мітками, математики тепер можуть легко порівнювати два вузли: якщо вони відрізняються будь-яким заданим атрибутом, то це не той самий вузол. Однак жодна з цих властивостей не є тим, що математики називають повним інваріантом, тобто два різні вузли можуть мати однакову властивість.
Через всю цю складність не дивно, що таблиця вузлів все ще триває. Зовсім недавно, у 2020 році, Бенджамін Бертон класифікував усі прості вузли до 19 переходів (з них майже 300 мільйонів).
Традиційна теорія вузлів має сенс лише в трьох вимірах: у двох вимірах можливий лише розв’язаний вузол, а в чотирьох вимірах додаткова кімната дозволяє вузлам розв’язуватися, тому кожен вузол є таким самим, як розв’язаний.
Однак у чотиривимірному просторі ми можемо зв’язувати сфери. Щоб зрозуміти, що це означає, уявіть, що нарізаєте звичайну сферу через однакові проміжки часу. Це дає кола, як лінії широти. Однак, якби у нас був додатковий вимір, ми могли б зав’язати сферу, щоб шматочки, тепер тривимірні, а не два, могли бути вузлами.
Ця ідея лежала в основі одного з найбільших останніх результатів у теорії вузлів. У 2018 році тодішня аспірантка Ліза Пічірілло вирішив питання 50-річної давності про вузол з 11 перетинів, вперше відкритий Джоном Конвеєм. Питання стосувалося властивості, яка називається розрізненістю. Як ми бачили, коли ми розрізаємо вузлувату сферу в чотирьох вимірах, ми отримуємо вузол або ланку в трьох вимірах. Іноді ми можемо отримати заданий вузол з гарної гладко зав’язаної кулі, але для інших вузлів кулю потрібно зв’язати і зморщити, як шматок макулатури. Пічірілло довів, по суті, що вузол Конвея належав до останнього типу. На технічному жаргоні вона довела, що це не «гладкий шматочок».
Теорія вузлів перетинала математичний ландшафт протягом століть. Це почалося як прикладна область математики, коли Томсон намагався використовувати вузли, щоб зрозуміти склад матерії. Коли ця ідея зникла, вона стала областю чистої математики, галуззю інтригуючої та все ще непрактичної області топології. Але в останні роки теорія вузлів знову стала прикладною областю математики, оскільки вчені використовують ідеї теорії вузлів для дослідження динаміка рідини, електродинаміка, зв'язані молекули, такі як ДНК і так далі. На щастя, поки вчені були зайняті вивченням інших речей, математики створювали каталоги вузлів та інструменти, щоб розплутати їхні таємниці.
