ایک ٹرپلٹ ٹری ریاضی میں سب سے خوبصورت ڈھانچے میں سے ایک بناتا ہے | کوانٹا میگزین

زیادہ تر لوگ صرف مٹھی بھر اعداد سے واقف ہیں جنہیں کسر کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا، جیسے $latex sqrt{2}$ یا $latex pi$۔ لیکن ایسے اعداد، جنہیں غیر معقول نمبر کہا جاتا ہے، فریکشن یا ناطق نمبروں سے کہیں زیادہ بھر پور ہوتے ہیں۔

کسر کے ساتھ ان کا تخمینہ لگانا کتنا آسان ہے؟ اگر آپ من مانی طور پر بڑے ڈینومینیٹر کے ساتھ کسی حصے کا استعمال کرتے ہیں، تو آپ من مانی طور پر قریب ہو سکتے ہیں۔ (جیسا کہ مشہور ہے، 22/7 $latex pi$ کا معقول تخمینہ دیتا ہے؛ 355/113 اور بھی بہتر ہے۔) لیکن کچھ غیر معقول نمبروں کا اندازہ لگانا دوسروں کے مقابلے میں مشکل ہوتا ہے، مطلب یہ ہے کہ آپ کو حاصل کرنے کے لیے ایک بہت بڑا ڈینومینیٹر استعمال کرنے کی ضرورت ہے۔ قریب قریب۔ سب سے مشکل سنہری تناسب، $latex phi$، یا $latex (1+ sqrt{5})/2$ نکلا۔ یہ، ایک مخصوص ریاضیاتی معنوں میں، وہ عدد ہے جو عقلی ہونے سے "سب سے دور" ہے۔

اگلا سب سے دور کیا ہے؟ اور اگلا؟ مشکل سے تقریباً غیر معقول اعداد کی ترتیب ایک فریب آمیز سادہ مساوات کے عدد کے حل کے ذریعے دی گئی ہے جس کا غیر معقول اعداد کے تخمینے سے کوئی واضح تعلق نہیں ہے۔ اس تعلق کو 1879 میں ایک ماہر روسی ریاضی دان آندرے مارکوف نے ثابت کیا۔

مارکوف امکانی تھیوری میں ایک تصور کے ساتھ آنے کے لیے مشہور ہے جسے مارکوف چینز کہتے ہیں، جو گوگل کے پیج رینک الگورتھم سے لے کر ڈی این اے ارتقاء کے ماڈلز تک ہر چیز میں استعمال ہوتے ہیں۔ لیکن اگرچہ مارکوف نمبرز کہلانے والی اس کی مساوات کے حل تقریباً اتنے معروف نہیں ہیں، لیکن وہ ریاضیاتی مضامین کی ایک وسیع رینج میں پیدا ہوتے ہیں، جن میں امتزاج، نمبر تھیوری، جیومیٹری اور گراف تھیوری شامل ہیں۔

"یہ صرف ایک مساوات نہیں ہے، یہ ایک قسم کا طریقہ ہے،" نے کہا اولیگ کارپینکوفلیورپول یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "یہ اعداد مرکزی ہیں، ریاضی کے اندر گہرے ہیں … اس طرح کے ڈھانچے ایسے خیالات ہیں جو نایاب ہیں۔"

اس کی مساوات، $latex x^2+y^2+z^2=3xyz$، ایک واضح عددی حل رکھتا ہے جب x, y اور z تمام 1 ہیں (1 + 1 + 1 = 3 × 1 سے)۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ مساوات کے تمام انٹیجر حل ایک سادہ اصول کے ذریعہ جڑے ہوئے ہیں۔ حل کے ساتھ شروع کریں (a, b, c)۔ پھر متعلقہ ٹرپلٹ (a, b، 3ab - c) بھی ایک حل ہے۔ پہلے دو نمبر ایک جیسے رہتے ہیں، جبکہ c، تیسرا، 3 سے بدل دیا گیا ہے۔ab - c. اس اصول کو (1، 1، 1) پر لاگو کریں اور آپ کو (1، 1، 2) ملے گا۔ (یہ چیک کرنا آسان ہے کہ ان اقدار کو داخل کرنے سے مساوات کے دونوں اطراف 6 کے برابر ہو جاتے ہیں۔) اصول کو دوبارہ لاگو کریں، اور آپ 3 − 2 = 1 کے بعد سے جہاں سے شروع کیا تھا وہاں واپس آجائیں گے۔ لیکن اگر آپ ترتیب کو پلٹائیں قاعدہ کو لاگو کرنے سے پہلے ٹرپل میں نمبر، یہ حل کی ایک پوری کائنات تخلیق کرتا ہے۔ ان پٹ (1، 2، 1) اور آپ کو (1، 2، 5) ملے گا۔

اب تک، یکساں 1s کی وجہ سے، درخت (اس کہانی کے آغاز میں مثال میں دکھایا گیا ہے) شاخ نہیں بنتا — پہلے چند قدم درخت کے تنے کو بڑھاتے ہیں، تو بات کرنے کے لیے۔ لیکن اگر آپ تین مختلف نمبروں کے حل کے ساتھ شروع کرتے ہیں، جیسے (1، 2، 5)، تو شاخیں پھیلنا شروع ہو جاتی ہیں۔ ان پٹ (5، 1، 2) اور آپ کو (2، 5، 29) ملے گا۔ لیکن (2، 5، 1) کے نتیجے میں (1، 5، 13)۔ (اگر آپ (1,2,5) ڈالتے ہیں تو اصول آپ کو درخت کی نچلی شاخ پر لے جاتا ہے۔) اس مقام سے، ہر محلول میں تین مختلف نمبر ہوتے ہیں، لہذا درخت کی ہر شاخ دو نئی شاخوں کی طرف لے جاتی ہے۔ .

درخت کی سب سے بائیں شاخ واقف نظر آسکتی ہے - اس میں فبونیکی ترتیب میں ہر دوسرے نمبر پر مشتمل ہے، جو کہ ریاضی میں سب سے زیادہ جانا جاتا ہے (اس ترتیب میں ہر نمبر دو پچھلی اصطلاحات کا مجموعہ ہے: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، …)۔ اسی طرح سب سے دائیں شاخ Pell ترتیب میں ہر دوسری اصطلاح پر مشتمل ہے، ایک متعلقہ، اگر قدرے کم مشہور ہے، ترتیب۔ حل کے درخت میں جس طرح سے یہ ترتیبیں ظاہر ہوتی ہیں وہ "ریاضی کی سب سے خوبصورت چیزوں میں سے ایک ہے جسے میں جانتا ہوں،" کہا۔ الیگزینڈر گیمبرڈنیو یارک کی سٹی یونیورسٹی میں ایک پروفیسر۔

مارکوف کا 1879 کا نظریہ، ہر ٹرپلٹ کو مشکل سے تقریباً غیر معقول تعداد سے جوڑتا ہے، یہ پہلا اشارہ تھا کہ یہ مساوات پوری ریاضی میں گہرائی سے گونج سکتی ہے۔ ایک ___ میں اس موضوع پر 2013 کی کتاب، مارٹن ایگنر، ایک آسٹریا کے ریاضی دان جو اکتوبر میں فوت ہو گئے تھے، نے تھیوریم کو "بغیر کسی شک کے نمبر تھیوری میں ہمہ وقتی کلاسک میں سے ایک" کہا۔

1913 میں، Georg Frobenius، ایک جرمن ریاضی دان جس نے بنایا وسیع پیمانے پر شراکتیں الجبرا، نمبر تھیوری، اور تفریق مساوات کے مطالعہ میں، مارکوف ٹرپلز کے بارے میں کچھ دلچسپ محسوس کیا۔ ایسا لگتا تھا کہ ہر ایک بڑی تعداد ان دو چھوٹیوں کا انفرادی طور پر تعین کرتی ہے۔ ایک عدد - مثال کے طور پر 5 لے لو - بہت سے ٹرپلٹس میں ظاہر ہوسکتا ہے، جیسے (1، 2، 5)، (1، 5، 13)، (2، 5، 29) وغیرہ۔ لیکن، اس نے مشاہدہ کیا، اگر آپ ہر ٹرپلٹ میں صرف سب سے بڑی تعداد کو دیکھیں، تو یہ چھوٹے نمبروں کے صرف ایک جوڑے کے ساتھ منسلک ہوگا۔

چونکہ تعداد اتنی تیزی سے بڑھتی ہے، اس لیے یہ واضح نہیں ہے کہ یہ سچ ہونا چاہیے۔ مثال کے طور پر، ٹرپلٹ (5، 433، 6,466،XNUMX) لیں۔ یہ آسانی سے ظاہر نہیں ہوتا ہے کہ اگر آپ سیٹ کرتے ہیں۔ z 6,466 تک، صرف ممکن ہے۔ x اور y جو کہ 5 اور 433 کی مساوات کو حل کرے گا۔ اس کے بعد کے 110 سالوں میں، مارکوف نمبروں کو دیگر مسائل سے جوڑنے والی ایک بہت بڑی تحقیق کے باوجود، کوئی بھی اس بات کو ثابت نہیں کرسکا کہ جسے انفرادیت قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔

قیاس کی نسبتا سادگی ایک عام ریاضیاتی تضاد کو واضح کرتی ہے۔ مارکوف مساوات جیسے ٹولز کو ٹھیک ٹھیک اور پیچیدہ نتائج ثابت کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے یہاں تک کہ ان کی خصوصیات کے بارے میں بنیادی سوالات حل نہ ہوں۔

تاہم، پچھلے چند سالوں میں، انفرادیت کے قیاس کو ثابت کرنے کی طرف کچھ قابل ذکر پیش رفت ہوئی ہے۔ یہ طویل عرصے سے معلوم ہے کہ ہر مارکوف ٹرپل اور صفر اور 1 کے درمیان کے تمام حصوں کے درمیان خط و کتابت پیدا کرنا ممکن ہے۔ p/q، جسے انڈیکس کہا جاتا ہے، آپ مارکوف نمبر تفویض کر سکتے ہیں۔ m_p/q ایک خاص ریاضیاتی طریقہ کار پر عمل کرتے ہوئے مثال کے طور پر، m_2/3 29 ہے ، اور m_3/5 433 ہے.

2013 میں، Aigner نے تین قیاس آرائیاں کیں کہ اس خط و کتابت کا استعمال کرتے ہوئے ٹرپلز کا آرڈر کیسے دیا جا سکتا ہے۔ یہ قیاس آرائیاں انفرادیت قیاس کو ثابت کرنے کے راستے پر قدم رکھتی ہیں۔ اس نے قیاس کیا کہ اگر آپ انڈیکس کے عدد کو مستقل رکھیں اور ڈینومینیٹر میں اضافہ کریں (جیسا کہ 1/2، 1/3، 1/4، 1/5، …)، تو متعلقہ مارکوف نمبرز بڑھتے جائیں گے۔ اسی طرح، اس نے سوچا کہ اگر آپ ہندسوں کو بڑھاتے ہیں لیکن ایک ہی ڈینومینیٹر رکھتے ہیں (جیسا کہ 1/17، 2/17، 3/17، 4/17، …)، آپ کو مارکوف نمبروں کی ہمیشہ سے بڑی تار بھی ملنی چاہیے۔ اس نے سوچا کہ اعداد و شمار کے بڑھنے کا ایک ہی نمونہ برقرار رہنا چاہئے اگر ہندسوں اور ڈینومینیٹر کا مجموعہ مستقل رکھا جائے (جیسا کہ 1/100، 2/99، 3/98، …)۔

میں مستقل عددی قیاس ثابت ہوا۔ ایک 2020 کاغذ in ریاضی میں پیشرفت by مشیل رابیڈیو ہارٹ فورڈ یونیورسٹی کے اور رالف شیفلر کنیکٹیکٹ یونیورسٹی کے. فروری 2023 میں، دو دیگر ساتھیوں کے ساتھ، Rabideau اور Schiffler نے ایک ثبوت شائع کیا۔ دیگر دو قیاس آرائیاں ساتھ ہی.

ان اور دیگر پیشرفتوں کی وجہ سے، کارپینکوف پر امید ہے کہ فروبینیس کی انفرادیت کے قیاس کا ثبوت بالآخر کام میں آ سکتا ہے۔ "میں ایسے لوگوں کو جانتا ہوں جو کہتے ہیں کہ وہ اسے ثابت کرنے کے قریب ہیں،" انہوں نے کہا۔ "مجھے لگتا ہے کہ ہم بہت قریب ہیں - شاید اگلے پانچ سالوں میں۔"

Quanta ہمارے سامعین کی بہتر خدمت کے لیے سروے کا ایک سلسلہ کر رہا ہے۔ ہماری لے لو ریاضی کے ریڈر سروے اور آپ کو مفت جیتنے کے لیے داخل کیا جائے گا۔ Quanta مرچ۔