تعارف
تصور کریں کہ مسدس کا ایک گرڈ، شہد کے چھتے کی طرح، آپ کے سامنے پھیلا ہوا ہے۔ کچھ مسدس خالی ہیں؛ دوسرے ٹھوس کنکریٹ کے 6 فٹ لمبے کالم سے بھرے ہوئے ہیں۔ نتیجہ ایک طرح کی بھولبلییا ہے۔ نصف صدی سے زیادہ عرصے سے، ریاضی دانوں نے اس طرح کے تصادفی طور پر تیار کردہ بھولبلییا کے بارے میں سوالات اٹھائے ہیں۔ صاف شدہ راستوں کا سب سے بڑا جال کتنا بڑا ہے؟ اس بات کے کیا امکانات ہیں کہ ایک کنارے سے گرڈ کے مرکز تک راستہ ہو اور دوبارہ واپس آ جائے؟ یہ امکانات کیسے بدلتے ہیں جب گرڈ سائز میں پھولتا ہے، اس کے کناروں میں زیادہ سے زیادہ مسدس کا اضافہ ہوتا ہے؟
ان سوالات کا جواب دینا آسان ہے اگر یا تو بہت خالی جگہ ہے یا بہت زیادہ کنکریٹ۔ کہتے ہیں کہ ہر مسدس کو اس کی حالت بے ترتیب طور پر تفویض کی گئی ہے، دوسرے تمام مسدس سے آزاد، اس امکان کے ساتھ جو پورے گرڈ میں مستقل ہے۔ ہو سکتا ہے کہ، 1% امکان ہو کہ ہر مسدس خالی ہو۔ کنکریٹ گرڈ پر ہجوم کرتا ہے، جس کے درمیان ہوا کی صرف چھوٹی جیبیں رہ جاتی ہیں، جس سے کنارے تک راستہ تلاش کرنے کا امکان صفر ہو جاتا ہے۔ دوسری طرف، اگر 99% امکان ہے کہ ہر مسدس خالی ہے، تو کنکریٹ کی دیواروں کا صرف ایک پتلا چھڑکاؤ ہے، کھلی جگہ کے وقفے وقفے سے جھاڑو - زیادہ بھولبلییا نہیں۔ اس معاملے میں مرکز سے کنارے تک راستہ تلاش کرنا قریب قریب یقینی ہے۔
بڑے گرڈز کے لیے، جب امکان 1/2 تک پہنچ جاتا ہے تو غیر معمولی طور پر اچانک تبدیلی آتی ہے۔ بالکل اسی طرح جیسے صفر ڈگری سینٹی گریڈ پر برف پگھل کر مائع پانی میں بدل جاتی ہے، بھولبلییا کا کردار اس منتقلی کے مقام پر بہت تیزی سے بدل جاتا ہے، جسے اہم امکان کہا جاتا ہے۔ اہم امکان کے نیچے، زیادہ تر گرڈ کنکریٹ کے نیچے پڑے گا، جب کہ خالی راستے ہمیشہ ختم ہو جاتے ہیں۔ اہم امکان کے اوپر، بڑے پیمانے پر راستے خالی رہ گئے ہیں، اور یہ کنکریٹ کی دیواریں ہیں جو یقینی طور پر باہر نکل سکتی ہیں۔ اگر آپ بالکل اہم امکان پر رک جاتے ہیں، تو ٹھوس اور خالی پن ایک دوسرے کو متوازن کر دیں گے، اور نہ ہی بھولبلییا پر غلبہ حاصل کر سکیں گے۔
"اہم موڑ پر، جو چیز ابھرتی ہے وہ ہم آہنگی کی اعلیٰ ڈگری ہے،" کہا مائیکل آئزن مین، پرنسٹن یونیورسٹی میں ریاضی کے ماہر طبیعیات۔ "یہ ریاضی کے ایک بہت بڑے جسم کا دروازہ کھولتا ہے۔" اس میں گیس ماسک کے ڈیزائن سے لے کر اس بات کے تجزیے تک کہ متعدی بیماریاں کیسے پھیلتی ہیں یا چٹانوں سے تیل کیسے نکلتا ہے، ہر چیز کے لیے عملی اطلاقات بھی ہیں۔
ایک پچھلے موسم خزاں میں پوسٹ کیا گیا کاغذ, چار محققین نے آخرکار 1/2 کے اہم امکان پر mazes کے لیے راستہ تلاش کرنے کے موقع کا حساب لگایا ہے۔
ہتھیاروں کی دوڑ
2000 کی دہائی کے وسط میں فرانس میں ڈاکٹریٹ کے طالب علم کے طور پر، پیئر نولن اہم امکانی منظر نامے کا بڑی تفصیل سے مطالعہ کیا۔ بے ترتیب بھولبلییا، اس کے خیال میں، "واقعی ایک خوبصورت ماڈل ہے، شاید ایک آسان ترین ماڈل جو آپ ایجاد کر سکتے ہیں۔" اپنی ڈاکٹریٹ کی تعلیم کے اختتام کے قریب، جو اس نے 2008 میں مکمل کیا، نولن ایک خاص طور پر چیلنج کرنے والے سوال کے سحر میں مبتلا ہو گئے کہ اہم امکان پر ہیکساگونل گرڈ کس طرح برتاؤ کرتا ہے۔ کہتے ہیں کہ آپ ایک مرکزی نقطہ کے ارد گرد ایک گرڈ بناتے ہیں، تاکہ یہ ایک دائرے کے قریب ہو، اور آپ وہاں سے تصادفی طور پر اپنی بھولبلییا بناتے ہیں۔ نولن اس موقع کو تلاش کرنا چاہتا تھا کہ آپ ایک کھلا راستہ تلاش کر سکیں گے جو کنارے سے مرکز تک پہنچ جائے اور پیچھے ہٹے، بغیر خود پیچھے ہٹے۔ ریاضی دان اسے یک رنگی دو بازو والا راستہ کہتے ہیں، کیونکہ باطنی اور ظاہری دونوں "بازو" کھلے راستوں پر ہوتے ہیں۔ (بعض اوقات اس طرح کے گرڈ کو یکساں طور پر دو مختلف رنگوں سے بنا سمجھا جاتا ہے، جیسے کہ ہلکے نیلے اور گہرے نیلے، نہ کہ کھلے اور بند سیلوں کے۔) اگر آپ بھولبلییا کا سائز بڑھاتے ہیں، تو مطلوبہ راستے کی لمبائی بھی بڑھ جائے گی۔ ، اور اس طرح کا راستہ تلاش کرنے کا موقع چھوٹا اور چھوٹا ہوتا جائے گا۔ لیکن جب بھولبلییا من مانی طور پر بڑا ہوتا ہے تو مشکلات کتنی جلدی کم ہوتی ہیں؟
آسان متعلقہ سوالات کا جواب دہائیوں پہلے دیا گیا تھا۔ 1979 کے حساب سے مارسل ڈین نجس اس موقع کا اندازہ لگایا کہ آپ کنارے سے مرکز تک ایک راستہ، یا بازو تلاش کر سکتے ہیں۔ (اس کا موازنہ نولن کی ضرورت سے کریں کہ ایک بازو اندر ہو اور ایک الگ الگ۔) ڈین نجس کے کام نے پیش گوئی کی ہے کہ ہیکساگونل گرڈ میں ایک بازو تلاش کرنے کا امکان $لیٹیکس 1/n^{5/48}$ کے متناسب ہے۔ ، کہاں n مرکز سے کنارے تک ٹائلوں کی تعداد، یا گرڈ کا رداس۔ 2002 میں، گریگوری لالر, Oded Schramm اور وینڈیلن ورنر آخر ثابت ہوا کہ ایک بازو کی پیشین گوئی درست تھی۔ گرڈ کے سائز کے بڑھنے کے ساتھ ساتھ کم ہونے والے امکان کو مختصر طور پر درست کرنے کے لیے، محققین 5/48، جو کہ ایک بازو کے ایکسپوننٹ کے نام سے جانا جاتا ہے، سے ایکسپوننٹ کا استعمال کرتے ہیں۔
نولن زیادہ مضحکہ خیز یک رنگی دو بازو کے ایکسپوننٹ کی گنتی کرنا چاہتا تھا۔ 1999 میں عددی نقالی ظاہر ہوا کہ یہ 0.3568 کے بہت قریب تھا، لیکن ریاضی دان اس کی صحیح قدر کو کم کرنے میں ناکام رہے۔
پولی کرومیٹک دو بازو کے ایکسپوننٹ کے نام سے جانا جانے والا حساب لگانا بہت آسان تھا، جو اس موقع کی خصوصیت رکھتا ہے کہ، مرکز میں شروع ہونے سے، آپ کو نہ صرف دائرے تک ایک "کھلا" راستہ مل سکتا ہے، بلکہ ایک علیحدہ "بند" راستہ بھی مل سکتا ہے۔ (بند راستے کے بارے میں سوچیں کہ بھولبلییا کی کنکریٹ کی دیواروں کی چوٹیوں کو عبور کرتا ہے۔) 2001 میں، اسٹینسلاو سمرنوف اور ورنر ثابت ہوا کہ یہ ایکسپوننٹ 1/4 تھا۔ (چونکہ 1/4 5/48 سے کافی بڑا ہے، $latex 1/n^{1/4}$ $latex 1/n^{5/48}$ سے زیادہ تیزی سے سکڑتا ہے n بڑھتا ہے اس کے بعد، پولی کرومیٹک دو بازو کے ڈھانچے کا موقع ایک بازو کے امکانات سے بہت کم ہے، جیسا کہ کوئی توقع کر سکتا ہے۔)
اس کمپیوٹیشن نے گراف میں کلسٹرز کی شکل کے بارے میں علم پر بہت زیادہ انحصار کیا تھا۔ تصور کریں کہ اہم امکان پر ایک بھولبلییا بہت بڑا ہے - لاکھوں اور لاکھوں مسدس پر مشتمل ہے۔ اب خالی مسدس کا ایک جھرمٹ تلاش کریں اور ایک موٹی سیاہ شارپی کے ساتھ کلسٹر کے کنارے کا پتہ لگائیں۔ اس کا نتیجہ شاید ایک سادہ، گول بلاب میں نہیں آئے گا۔ ہوا میں میلوں سے، آپ کو ایک گھماؤ گھماتا ہوا نظر آئے گا جو مسلسل دوگنا ہو جاتا ہے، اکثر ایسا لگتا ہے جیسے یہ خود کو عبور کرنے ہی والا ہے لیکن کبھی پورا نہیں کر رہا ہے۔
یہ وکر کی ایک قسم ہے جسے SLE منحنی کہا جاتا ہے، جسے Schramm نے a میں متعارف کرایا تھا۔ 2000 کاغذ جس نے فیلڈ کی نئی تعریف کی۔ ایک ریاضی دان جو ایک کھلا راستہ اور ایک بند راستہ تلاش کرنے کے امکانات کا مطالعہ کرتا ہے وہ جانتا ہے کہ ان راستوں کو کھلی اور بند سائٹس کے بڑے جھرمٹ کے اندر بیٹھنا چاہیے، جو آخر کار SLE وکر کے ساتھ ملتے ہیں۔ SLE منحنی خطوط کی ریاضیاتی خصوصیات پھر بھولبلییا کے اندر راستوں کے بارے میں انمول معلومات کا ترجمہ کرتی ہیں۔ لیکن اگر ریاضی دان ایک ہی قسم کے متعدد راستے تلاش کر رہے ہیں، تو SLE منحنی خطوط اپنی زیادہ تر تاثیر کھو دیتے ہیں۔
2007 تک، نولن اور اس کے ساتھی ونسنٹ بیفارا نے عددی نقالی بنائے تھے جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ یک رنگی دو بازو کا ایکسپوننٹ تقریباً 0.35 تھا۔ یہ مشتبہ طور پر 17/48 کے قریب تھا — ایک بازو کے ایکسپوننٹ کا مجموعہ، 5/48، اور پولی کرومیٹک دو بازو کا ایکسپوننٹ، 1/4 (یا 12/48)۔ "17/48 واقعی حیران کن ہے،" نولن نے کہا۔ اس نے شک کرنا شروع کر دیا کہ 17/48 ہی صحیح جواب تھا — یعنی مختلف قسم کے ایکسپوینٹس کے درمیان ایک سادہ سا ربط تھا۔ آپ انہیں صرف ایک ساتھ شامل کر سکتے ہیں۔ "ہم نے کہا، ٹھیک ہے، یہ جھوٹا ہونا بہت اچھا ہے۔ یہ سچ ہونا چاہئے."
تعارف
تھوڑی دیر کے لیے، نولن اور بیفارا کے قیاس سے کچھ نہیں نکلا، حالانکہ نولن نے اسے اپنی ویب سائٹ پر دوسروں سے کام کرنے کے لیے پوسٹ کیا۔ وہ ہانگ کانگ کی سٹی یونیورسٹی میں پروفیسر شپ لینے کے لیے 2017 میں ہانگ کانگ چلا گیا، اور اس مسئلے پر کام کرتا رہا۔ 2018 میں، اس نے اس کے ساتھ بات چیت میں ایکسپوننٹ کو اٹھایا وی کیانجو اس وقت انگلینڈ کی کیمبرج یونیورسٹی میں پوسٹ ڈاک تھے۔ کیان SLE منحنی خطوط پر خصوصی توجہ کے ساتھ، مجرد سیاق و سباق کے بجائے مسلسل بے ترتیب جیومیٹری کا مطالعہ کر رہا تھا۔ وہ ایک ایسے پروجیکٹ کے بیچ میں تھی جس نے SLE کا استعمال ایک مختلف قسم کے بے ترتیب ماڈل میں ایکسپونینٹس کا حساب لگانے کے لیے کیا تھا، اور نولن کو شک ہونے لگا کہ اس کی مہارت یک رنگی دو بازو کے ایکسپوننٹ سے بھی متعلقہ ہے۔ اس جوڑے کو جلد ہی ایک سادہ نظر آنے والی مساوات مل گئی جس کا حل ایکسپوننٹ دے گا، لیکن اس مساوات کا انحصار ایک درمیانی مقدار پر ہے جس کا تعلق گرڈ کے کنارے پر ایک SLE وکر سے بند جگہ کے ساتھ ہے۔ نولن اور کیان اس نمبر کو پن نہیں کر سکے۔
کیان نے کہا، "میں نے بہت سارے حسابات کیے، لیکن میں ابھی تک اس پراپرٹی کو شمار کرنے کے قابل نہیں تھا۔" "میں کامیاب نہیں ہوا، اس لیے میں کچھ دیر کے لیے رک گیا۔"
نولن نے مزید کہا، "ہم نے کبھی کسی سے اس کا تذکرہ نہیں کیا کیونکہ ہمیں یقین نہیں تھا کہ یہ کارآمد ہوگا یا نہیں۔"
بیک بون ایکسپونٹ
یک رنگی دو بازو کا ایکسپوننٹ خاص طور پر دلچسپ ہے کیونکہ یہ گرڈ کی "ریڑھ کی ہڈی" کو بھی بیان کرتا ہے: مسدس کا مجموعہ جو دو الگ بازوؤں سے جڑے ہوئے ہیں جو دو غیر متوازی بازوؤں تک پھیلے ہوئے ہیں: ایک بھولبلییا کے کنارے اور ایک اس کا مرکز. جب ان سائٹس کو رنگ دیا جاتا ہے، تو وہ ایک ویب بناتی ہیں جو پورے گرڈ تک پہنچ جاتی ہے اور اسے بیک بون کہا جاتا ہے۔ جب محققین بیماری کے پھیلاؤ یا غیر محفوظ چٹانوں کی تشکیل کا نمونہ بناتے ہیں، تو ریڑھ کی ہڈی ایک شاہراہ ہوتی ہے جس کے ساتھ جرثومے یا تیل بہہ سکتے ہیں۔ نولن اور کیان نے جس ایکسپویننٹ کی تلاش کی ہے وہ ریڑھ کی ہڈی کے سائز کو ظاہر کرتا ہے اور اسے ریڑھ کی ہڈی کا ایکسپوننٹ کہا جاتا ہے۔
ریڑھ کی ہڈی کے بعد نولن اور کیان ہی نہیں تھے۔ زین سن، اس کے بعد پنسلوانیا یونیورسٹی میں بھی ریڑھ کی ہڈی کے ایکسپونٹ کا حساب لگانے کی کوشش کر رہا تھا۔ پچھلے سالوں میں، نیو یارک یونیورسٹی کی نینا ہولڈن سمیت سورج اور ساتھیوں نے بے ترتیب فریکٹل سطحوں کا استعمال کرتے ہوئے SLE منحنی خطوط کا مطالعہ کرنے کا ایک طریقہ تلاش کیا تھا۔ یہ وسیع و عریض، خمیدہ سطحوں پر لمبے کناروں تک پھیلے ہوئے کنارے ہوتے ہیں۔ کچھ پوائنٹس ان کے پڑوسیوں کی طرف سے ایک مختصر ہاپ ہیں، جبکہ دیگر ایک مہینوں طویل سفر ہیں۔ بعض جگہوں پر، یہ اثرات بہت زیادہ ہیں جن کا تصور نہیں کیا جا سکتا۔ ہولڈن نے کہا کہ "اسے کھینچنا دراصل ممکن نہیں ہے"۔ "آپ کو سطح کو بہت زیادہ پھیلانا پڑے گا۔"
2022 کے موسم گرما میں، سن نے دوسرے سال کے گریجویٹ طالب علم Zijie Zhuang کو اہم امکان پر بے ترتیب بھولبلییا کے مطالعہ میں شامل ہونے کے لیے اندراج کیا۔ انہوں نے بے ترتیب بھولبلییا پر غور کیا جہاں مسدس فلیٹ ہوائی جہاز کی بجائے بے ترتیب فریکٹل سطح پر پڑے ہوتے ہیں۔ چونکہ موقع اس بات کا تعین کرتا ہے کہ سطح کہاں اور کتنی پھیلی ہوئی ہے اور سکیڑ دی گئی ہے، اس لیے سطح منفرد خصوصیات رکھتی ہے۔ (یہ خصوصیات ایسی سطحوں کو طبیعیات دانوں کے لیے بھی کارآمد بناتی ہیں جو دو جہتی کائنات میں کوانٹم کشش ثقل کے ماڈلز کا مطالعہ کرتے ہیں، ان کو اپنا نام دیتے ہیں: لیوویل کوانٹم گریویٹی سطحیں۔) مثال کے طور پر، اگر آپ ایسی سطح پر قینچی لے جاتے ہیں، تو اس کی شکلیں دو حصے ایک دوسرے پر منحصر نہیں ہیں۔ "اس قسم کی آزادی واقعی چیزوں کو بہت آسان بناتی ہے،" کہا سکاٹ شیفیلڈ میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی کے۔ جب چیزیں بے ترتیب ہوتی ہیں، تو آپ ان کے بارے میں کم جانتے ہیں، لیکن اس کا مطلب یہ ہو سکتا ہے کہ تھکاوٹ کے ساتھ حساب کرنے کے لیے کم معلومات ہوں۔
سورج اور ژوانگ نے سب سے پہلے اس امکان کا تعین کرنے کی کوشش کی کہ گرڈ کے مرکز کے گرد ایک چھوٹے سے دائرے کو ایک بڑے، ارد گرد کے دائرے سے جوڑنے والا ایک کھلا راستہ تھا۔ اس سوال کا جواب دینے کے بعد، سن نے عزائم میں ایک قدم بڑھنے کا مشورہ دیا: اس موقع کا حساب لگانا کہ گھونسلے کے دائروں کو آپس میں جوڑنے والے دو راستے ہیں، جس سے انہیں ریڑھ کی ہڈی کی کفایت کرنے کا ایک طریقہ مل جاتا۔ تاہم، جلد ہی وہ مشکلات کا شکار ہو گئے۔ ژوانگ نے ایک ای میل میں لکھا، "ہم نے کئی مہینوں تک یہ طریقہ آزمایا، لیکن ایسا لگتا ہے کہ حساب بہت قابل عمل نہیں ہے۔"
تعارف
دریں اثنا، اگرچہ نولن اور کیان ایکسپونٹ کی قدر تلاش کرنے میں کامیاب نہیں ہوئے تھے، لیکن انہوں نے دوسرے طریقوں سے ترقی کی۔ کیان نے فرانسیسی قومی مرکز برائے سائنسی تحقیق میں اپنے عہدے سے غیر حاضری کی چھٹی لی اور نولن کے ساتھ سٹی یونیورسٹی آف ہانگ کانگ میں بطور پروفیسر شامل ہو گئیں۔ (ان کی شادی بھی ہوگئی۔) 2021 کے موسم گرما میں، اسے سن اور اس کے ساتھیوں کے کچھ کاغذات ملے جنہوں نے اسے متاثر کیا، چنانچہ جیسے ہی وبائی سفری پابندیاں ختم ہوئیں، اس نے دسمبر 2022 میں پرنسٹن میں انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی کے دورے کا منصوبہ بنایا۔ ، نیو جرسی، جہاں سورج سال گزار رہا تھا۔
یہ ایک منافع بخش دورہ ثابت ہوا۔ جیسا کہ کیان نے اس مساوات کو بیان کیا جو اسے اور نولن نے پایا تھا، سن نے سوچنا شروع کیا کہ یہ لیوویل کوانٹم کشش ثقل کی سطحوں پر میزوں کو چڑھانے کی اس کی اور ژوانگ کی تکنیک کے لیے موزوں ہے۔ "یہ ایک اتفاق کی طرح ہے،" سن نے کہا۔ "ایک آدمی کے پاس تالا ہے، ایک آدمی کے پاس چابی ہے۔"
زوانگ تھوڑا سا شکی تھا۔ "ہمارے پاس کوئی پیشین گوئی نہیں ہے، اور ہم یہ بھی نہیں جانتے کہ فارمولے کا کوئی اچھا حل نکلے گا،" انہوں نے اس وقت کی صورتحال کو بیان کرتے ہوئے کہا۔ سورج اور ژوانگ نے اگلے کئی مہینے اپنی Liouville کوانٹم کشش ثقل کی تکنیکوں کا استعمال کرتے ہوئے گزارے - کلید - برسوں پہلے سے نولن اور کیان کی مساوات میں غیر مقفل مقدار کو کھولنے کے لیے۔
چار ماہ کی محنت کے بعد سن اور ژوانگ نے استعاراتی تالا کھول دیا تھا۔ سن نے ژوانگ، کیان اور نولن کو ایک ای میل بھیجا، جس میں اعلان کیا گیا: "زبردست خبر: بیک بون ایکسپونٹ کے لیے درست فارمولہ۔" اس کا جواب، اس نے پایا، مربع جڑوں اور ٹرگنومیٹرک سائن فنکشن کا ایک معتدل پیچیدہ اظہار تھا۔ یہ پہلے کے اندازوں کے مطابق تھا، ہندسوں کا ایک نہ ختم ہونے والا سلسلہ 0.3566668 سے شروع ہوتا ہے۔
ان چاروں نے اپنے کام کو ایک تحریری کاغذ میں بدل دیا، دلیل کو بہتر کیا یہاں تک کہ ایک طرف نولن اور کیان کے خیالات اور دوسری طرف سن اور ژوانگ نے مل کر یہ ثبوت بنایا کہ شیفیلڈ، جو سن کے ڈاکٹریٹ کے مشیر تھے، نے "ایک خوبصورت جواہر۔" ہولڈن نے کہا کہ "ثبوت کی حکمت عملی یقینی طور پر حیران کن اور بہت ہی اصل ہے، لیکن پھر جب آپ اسے دیکھتے ہیں، تو یہ ایک قدرتی چیز بھی ہے،" ہولڈن نے کہا۔
نولن نے اپنے 2011 کے شبہ پر افسوس کا اظہار کیا کہ ظاہر کرنے والا بالکل 17/48 تھا۔ "ہم نے کافی دیر تک میدان کو گمراہ کیا۔ مجھے اس پر زیادہ فخر نہیں ہے۔" ریڑھ کی ہڈی کا ایکسپوننٹ اس کے پولی کرومیٹک کزنز سے نمایاں طور پر مختلف ہے۔ یہ نہ صرف غیر معقول ہے، بلکہ یہ ماورائی بھی ہے، یعنی $latex pi$ اور e، اسے ایک سادہ کثیر الجہتی مساوات کے حل کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔
"ثبوت واقعی اس بات کی وضاحت نہیں کرتا ہے کہ یہ فارمولا کہاں سے آرہا ہے،" انہوں نے کہا۔ "ہم اسے طبیعیات دانوں کو دکھا رہے ہیں، اور ہم واقعی ان کی بصیرت کے منتظر ہیں۔"
ریڑھ کی ہڈی کے ماہر کی ماورائی فطرت نے میدان میں دوسروں کی توجہ حاصل کی۔ Chan Zuckerberg Biohub کے گریگوری ہبر، جنہوں نے ایک فالو اپ مضمون ریڑھ کی ہڈی کے ایکسپوننٹ کے بارے میں کہا کہ ان کے خیال میں شماریاتی میکانکس میں نتیجہ "نئے براعظم کی پہلی جھلک" ہے۔ اگرچہ SLE منحنی خطوط اور لیوویل کوانٹم کشش ثقل کا امتزاج انتہائی تکنیکی ہے، لیکن واضح اور سادہ عددی جواب جو سامنے آیا، اس نے لکھا، "حیرت انگیز حد تک سادہ اور خوبصورت" ہے۔
- SEO سے چلنے والا مواد اور PR کی تقسیم۔ آج ہی بڑھا دیں۔
- پلیٹو ڈیٹا ڈاٹ نیٹ ورک ورٹیکل جنریٹو اے آئی۔ اپنے آپ کو بااختیار بنائیں۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹوآئ اسٹریم۔ ویب 3 انٹیلی جنس۔ علم میں اضافہ۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ای ایس جی۔ کاربن، کلین ٹیک، توانائی ، ماحولیات، شمسی، ویسٹ مینجمنٹ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ہیلتھ۔ بائیوٹیک اینڈ کلینیکل ٹرائلز انٹیلی جنس۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- ماخذ: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- : ہے
- : ہے
- : نہیں
- :کہاں
- ][p
- $UP
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35٪
- a
- قابلیت
- ہمارے بارے میں
- اوپر
- AC
- معاہدے
- اکاؤنٹ
- درست طریقے سے
- کے پار
- اصل میں
- شامل کریں
- شامل کیا
- انہوں نے مزید کہا
- اعلی درجے کی
- معاملات
- کے بعد
- پھر
- پہلے
- AIR
- تمام
- ساتھ
- بھی
- مہتواکانکن
- تیار
- an
- تجزیہ
- اور
- ایک اور
- جواب
- کسی
- ایپلی کیشنز
- نقطہ نظر
- لگ بھگ
- کیا
- دلیل
- بازو
- ہتھیار
- ارد گرد
- AS
- تفویض
- At
- توجہ
- واپس
- ریڑھ کی ہڈی
- متوازن
- BE
- خوبصورت
- بن گیا
- کیونکہ
- رہا
- اس سے پہلے
- شروع ہوا
- شروع
- نیچے
- کے درمیان
- بگ
- بٹ
- سیاہ
- بلیو
- جسم
- دونوں
- لایا
- تعمیر
- لیکن
- by
- حساب
- حساب
- حساب
- حساب سے
- حساب
- کہا جاتا ہے
- کالز
- کیمبرج
- آیا
- کر سکتے ہیں
- نہیں کر سکتے ہیں
- کیس
- پکڑے
- خلیات
- سیلسیس
- سینٹر
- مرکزی
- صدی
- کچھ
- چیلنج
- چین
- موقع
- مشکلات
- تبدیل
- تبدیلیاں
- کردار
- خصوصیات
- سرکل
- حلقوں
- شہر
- ہانگ کانگ سٹی یونیورسٹی
- واضح
- کلوز
- بند
- کلسٹر
- اتفاق
- شراکت دار
- مجموعہ
- کالم
- مل کر
- امتزاج
- کس طرح
- آنے والے
- کام کرنا
- مکمل طور پر
- پیچیدہ
- حساب
- گنتی
- کمپیوٹنگ
- ٹھوس
- قیاس
- منسلک
- مربوط
- سمجھا
- مسلسل
- مسلسل
- سیاق و سباق
- مسلسل
- اس کے برعکس
- بات چیت
- درست
- سکتا ہے
- تخلیق
- بنائی
- اہم
- پار
- وکر
- گہرا
- مردہ
- دہائیوں
- دسمبر
- ضرور
- ڈگری
- انحصار
- بیان کیا
- بیان کرتا ہے
- بیان
- ڈیزائن
- تفصیل
- اس بات کا تعین
- یہ تعین
- DID
- مختلف
- مشکلات
- ہندسے
- کم
- بیماری
- بیماریوں
- مختلف
- do
- نہیں کرتا
- غلبہ
- نہیں
- دروازے
- شکست
- نیچے
- کافی
- اپنی طرف متوجہ
- ہر ایک
- اس سے قبل
- آسان
- آسان
- ایج
- مؤثر طریقے
- تاثیر
- اثرات
- یا تو
- ای میل
- ابھرتی ہوئی
- ابھرتا ہے
- آخر
- لامتناہی
- ختم ہو جاتا ہے
- انگلینڈ
- پوری
- قائم ہے
- اندازے کے مطابق
- اندازوں کے مطابق
- بھی
- آخر میں
- ہر کوئی
- سب کچھ
- بالکل
- توقع ہے
- مہارت
- وضاحت
- تلاش
- اظہار
- توسیع
- توسیع
- انتہائی
- انتہائی
- ناکام
- جھوٹی
- محسوس ہوتا ہے
- چند
- میدان
- سمجھا
- بھرے
- آخر
- مل
- تلاش
- پہلا
- فلیٹ
- بہاؤ
- توجہ مرکوز
- کے لئے
- فارم
- فارمولا
- آگے
- ملا
- چار
- فرانس
- فرانسیسی
- سے
- مکمل
- تقریب
- گیس
- منی
- پیدا
- حاصل
- دے دو
- دی
- دے
- جھلک
- اچھا
- ملا
- چلے
- گراف
- کشش ثقل
- عظیم
- گرڈ
- بڑھائیں
- بڑھتا ہے
- لڑکا
- تھا
- نصف
- ہاتھ
- ہے
- ہونے
- he
- بھاری
- اس کی
- اعلی
- ہائی وے
- ان
- مشاہدات
- ہانگ
- ہانگ کانگ
- کس طرح
- تاہم
- HTML
- HTTP
- HTTPS
- بھاری
- i
- ICE
- خیالات
- if
- تصور
- in
- دیگر میں
- سمیت
- اضافہ
- آزادی
- آزاد
- انفیکشن
- انفیکشن والی بیماری
- معلومات
- کے اندر
- بصیرت
- مثال کے طور پر
- کے بجائے
- انسٹی ٹیوٹ
- دلچسپ
- میں
- متعارف
- انمول
- بالکل
- غیر معقول
- IT
- میں
- خود
- جرسی
- میں شامل
- شامل ہو گئے
- سفر
- صرف
- رکھی
- کلیدی
- بچے
- قسم
- جان
- علم
- جانا جاتا ہے
- جانتا ہے
- کانگ
- بڑے
- بڑے
- سب سے بڑا
- آخری
- رکھو
- چھوڑ دو
- چھوڑ کر
- چھوڑ دیا
- لمبائی
- کم
- جھوٹ
- لیپت
- روشنی
- کی طرح
- LINK
- مائع
- بند ہو جانا
- لانگ
- تلاش
- کھو
- بہت
- کم
- بنا
- میگزین
- بنا
- بنانا
- ماسک
- میسا چوسٹس
- ماشسٹس انسٹیٹیوٹ آف ٹیکنالوجی
- بڑے پیمانے پر
- ریاضی
- ریاضیاتی
- ریاضی
- شاید
- مطلب
- مطلب
- میکینکس
- سے ملو
- ذکر کیا
- شاید
- لاکھوں
- ایم ائی ٹی
- ماڈل
- ماڈل
- اعتدال سے
- ماہ
- زیادہ
- سب سے زیادہ
- منتقل ہوگیا
- بہت
- ایک سے زیادہ
- ضروری
- نام
- قومی
- قدرتی
- فطرت، قدرت
- قریب
- ضرورت
- پڑوسیوں
- نہ ہی
- کبھی نہیں
- نئی
- نیو جرسی
- NY
- خبر
- اگلے
- اچھا
- نہیں
- کچھ بھی نہیں
- اب
- تعداد
- مشکلات
- of
- اکثر
- تیل
- on
- ایک
- والوں
- صرف
- کھول
- کھول دیا
- کھولتا ہے
- or
- اصل
- دیگر
- دیگر
- باہر
- پر
- جوڑی
- وبائی
- کاغذ.
- کاغذات
- خاص طور پر
- راستہ
- راستے
- پنسلوانیا
- پیٹر
- بوتیکشاستری
- مقامات
- ہوائی جہاز
- منصوبہ بنایا
- پلاٹا
- افلاطون ڈیٹا انٹیلی جنس
- پلیٹو ڈیٹا
- جیب
- پوائنٹ
- پوائنٹس
- درپیش
- پوزیشن
- ممکن
- پوسٹ کیا گیا
- عملی
- پہلے
- پیش گوئی
- کی پیشن گوئی
- پیشن گوئی
- پرنسٹن
- شاید
- مسئلہ
- ٹیچر
- منافع بخش
- پیش رفت
- منصوبے
- ثبوت
- خصوصیات
- جائیداد
- فخر
- ثابت ہوا
- کوانٹا میگزین
- مقدار
- کوانٹم
- سوال
- سوالات
- جلدی سے
- بہت
- بے ترتیب
- تصادفی پیدا
- بلکہ
- پہنچتا ہے
- واقعی
- نئی تعریف
- کہا جاتا ہے
- ادائیگی
- متعلقہ
- متعلقہ
- ضرورت
- تحقیق
- محققین
- پابندی
- نتیجہ
- پتہ چلتا
- پتھر
- جڑوں
- منہاج القرآن
- کہا
- اسی
- کا کہنا ہے کہ
- منظر نامے
- سائنسی
- تلاش
- دیکھنا
- لگتا ہے
- بھیجا
- علیحدہ
- کئی
- شکل
- سائز
- وہ
- مختصر
- سے ظاہر ہوا
- کی طرف
- سادہ
- آسان بناتا ہے۔
- نقوش
- بیٹھ
- سائٹس
- سائز
- شبہ
- چھوٹے
- چھوٹے
- So
- ٹھوس
- حل
- کچھ
- کچھ
- کبھی کبھی
- جلد ہی
- کوشش کی
- خلا
- خصوصی
- خرچ کرنا۔
- خرچ
- پھیلی ہوئی
- پھیلانے
- چوک میں
- شروع
- حالت
- شماریات
- مرحلہ
- ابھی تک
- بند کرو
- بند کر دیا
- حکمت عملی
- سٹریم
- ساخت
- طالب علم
- تعلیم حاصل کی
- مطالعہ
- مطالعہ
- مطالعہ
- کافی
- کامیاب ہوں
- اس طرح
- اچانک
- موسم گرما
- اتوار
- اس بات کا یقین
- سطح
- حیرت انگیز
- ارد گرد
- شکوہ سے
- لے لو
- ٹیکنیکل
- تکنیک
- تکنیک
- ٹیکنالوجی
- سے
- کہ
- ۔
- گراف
- ریاست
- ان
- ان
- تو
- وہاں.
- یہ
- وہ
- پتلی
- چیزیں
- لگتا ہے کہ
- سوچتا ہے
- اس
- ان
- اگرچہ؟
- سوچا
- کے ذریعے
- وقت
- کرنے کے لئے
- مل کر
- بھی
- لیا
- ٹاپس
- ٹریس
- منتقلی
- ترجمہ کریں
- سفر
- زبردست
- کوشش کی
- سچ
- کی کوشش کر رہے
- تبدیل کر دیا
- دو
- قسم
- نیچے
- منفرد
- کائنات
- یونیورسٹی
- کیمبرج یونیورسٹی
- انلاک
- جب تک
- استعمال کی شرائط
- استعمال کیا جاتا ہے
- مفید
- کا استعمال کرتے ہوئے
- قیمت
- بہت
- ونسنٹ
- دورہ
- چاہتے تھے
- تھا
- واشنگٹن
- پانی
- راستہ..
- طریقوں
- we
- ویب
- ویبپی
- ویب سائٹ
- اچھا ہے
- تھے
- کیا
- جب
- چاہے
- جس
- جبکہ
- ڈبلیو
- کس کی
- گے
- ساتھ
- کے اندر
- بغیر
- کام
- کام کر
- گا
- دوں گا
- لکھا
- لکھا ہے
- سال
- سال
- یارک
- تم
- اور
- زیفیرنیٹ
- صفر
- Zuckerberg کی