تعارف
ریاضی کی تاریخ کا ایک عظیم واقعہ 23 اکتوبر 1852 کو شروع ہوا۔ سر ولیم روون ہیملٹن کو لکھے گئے خط میں آگسٹس ڈی مورگن نے لکھا، "میرے ایک طالب علم نے آج مجھ سے اس حقیقت کی وجہ بتانے کو کہا جو میں نے کیا تھا۔ نہیں معلوم ایک حقیقت تھی - اور ابھی تک نہیں۔" آج تک، وہ "حقیقت" علماء کو مسحور اور چیلنج کرتی ہے۔
طالب علم فریڈرک گوتھری تھا، اور سوال میں "حقیقت" اصل میں اس کے بھائی فرانسس کی طرف سے آئی تھی۔ برطانوی کاؤنٹیوں کے نقشے کو دیکھنے کے بعد، اس نے سوچا کہ کیا یہ ہمیشہ ممکن ہے کہ نقشے کو چار یا اس سے کم رنگوں کا استعمال کرتے ہوئے رنگین کیا جائے، جب کہ اس بات کو یقینی بناتے ہوئے کہ سرحدیں بانٹنے والے خطے (ایک کونے کے مقام سے زیادہ) مختلف رنگوں کے ہوں۔
ایسا لگتا تھا جیسے یہ ہمیشہ ممکن ہونا چاہئے۔ ڈی مورگن نے لکھا ، "میں جتنا زیادہ اس کے بارے میں سوچتا ہوں ، اتنا ہی واضح لگتا ہے۔ پھر بھی، مسئلہ نے ہیملٹن کو پرجوش نہیں کیا۔ اس نے جواب دیا، "میں آپ کی کوشش کرنے کا امکان نہیں رکھتا ہوں۔quaternion بہت جلد رنگوں کا۔" اور ڈی مورگن کی دوسروں کی دلچسپی لینے کی کوششیں بھی ناکام ہو گئیں۔
یہ مسئلہ 1878 تک کافی حد تک غیر فعال رہا، جب آرتھر کیلی نے لندن میتھمیٹیکل سوسائٹی کے اراکین سے پوچھا کہ کیا کسی کو کوئی ثبوت ملا ہے۔ اس کے فوراً بعد ثبوت آنا شروع ہو گئے۔ یہ 1879 میں بیرسٹر الفریڈ کیمپے کی طرف سے پہلا پہلا تھا، جو سب سے اہم نکلا۔ ثبوت قائل تھا، اور اسے ایک دہائی سے زیادہ عرصے تک درست تسلیم کیا گیا۔ بدقسمتی سے، کیمپے کا ثبوت - دوسرے تمام لوگوں کی طرح جو اگلی صدی کے لیے ظاہر ہوں گے - ناقص تھا۔ اس کے باوجود یہ ہوشیار تھا، اور اس میں کلیدی خیالات تھے جو حتمی ثبوت میں ظاہر ہوں گے۔
یہ سمجھنے کے لیے کہ کیمپے اور زیادہ تر ریاضی دانوں نے اس مسئلے کو کس طرح دیکھا ہے، اس سے یہ پہچاننے میں مدد ملتی ہے کہ نقشے میں بہت ساری معلومات رنگنے کے مسئلے سے غیر متعلق ہیں، جیسے کہ ہر علاقے کی شکل، سائز اور صحیح مقام۔ سب سے اہم بات یہ ہے کہ کون سے خطوں کی سرحدیں مشترک ہیں، حالانکہ ہمیں تمام خطوں کو منسلک کرنے کی ضرورت ہے۔ مشی گن، اپنے علیحدہ اوپری جزیرہ نما کے ساتھ، حقیقت میں امریکی نقشے کو چار رنگین ہونے سے نہیں روکتا، لیکن یہ ریاضی کے لحاظ سے ہوسکتا ہے۔
اہم معلومات پر توجہ مرکوز کرنے کے لیے، ہم ان رشتوں کو گراف کا استعمال کرتے ہوئے انکوڈ کر سکتے ہیں، جسے نیٹ ورک بھی کہا جاتا ہے، جہاں نقطے (عمودی) لکیروں (کناروں) کے ذریعے جڑے ہوتے ہیں۔ نقشے کے ہر علاقے کو ایک چوٹی سے بدلیں اور پڑوسی علاقوں کے عمودی کو ایک کنارے سے جوڑیں۔ اگر اس سے مدد ملتی ہے، تو ہم تصور کر سکتے ہیں کہ عمودی حصے دارالحکومت کے شہر ہیں اور کنارے ان میں شامل ہونے والی سڑکیں ہیں۔
اس طرح، نقشہ رنگنے کا مسئلہ گراف کو رنگنے کا مسئلہ بن جاتا ہے: چوٹیوں کو رنگ دیں تاکہ پڑوسی مختلف رنگ کے ہوں۔ رنگوں کی کم از کم تعداد کو گراف کا رنگین نمبر کہا جاتا ہے۔ ہم کسی بھی گراف کے رنگین نمبر کے بارے میں پوچھ سکتے ہیں، لیکن نقشے سے آنے والے گراف میں خاص خصوصیات ہوتی ہیں۔ یہ گراف سادہ ہیں، یعنی ایک ہی چوٹی پر شروع اور ختم ہونے والے کوئی کنارے نہیں ہیں (جسے لوپس کہتے ہیں)، اور دو عمودی صرف ایک کنارے سے جوڑے جا سکتے ہیں۔ گراف پلانر بھی ہے، یعنی اسے کھینچا جا سکتا ہے تاکہ کوئی کنارہ کراس نہ ہو۔
اب ہم فرانسس گتھری کے مسئلے کو دوبارہ بیان کر سکتے ہیں: ثابت کریں کہ ہر سادہ پلانر گراف کا رنگین نمبر زیادہ سے زیادہ چار ہے۔
یہاں کیمپے کے استدلال کا ایک خاکہ ہے، جو نقشوں کے بجائے گراف کا استعمال کرتے ہوئے جدید اصطلاحات میں بیان کیا گیا ہے۔ اس نے یہ مشاہدہ کرتے ہوئے شروع کیا کہ ایک خط کے ساتھ ایک گراف - شاید نقشہ ایک تنہا جزیرہ ہے - صرف ایک رنگ کی ضرورت ہے۔ اس کے بعد اس نے وہاں سے اوپر کی طرف تعمیر کرنے کے لیے ایک ہوشیار دلیل کا استعمال کیا، یہ دلیل دی کہ گراف کو دو عمودی، پھر تین عمودی اور اسی طرح رنگنے کے لیے زیادہ سے زیادہ چار رنگوں کا استعمال کرنا ممکن ہے۔ یہ ہے کیسے۔
فرض کریں کہ ہم تمام سادہ پلانر گراف کو رنگین کر سکتے ہیں۔ n زیادہ سے زیادہ چار رنگوں والے عمودی - یہ اس کے لیے معمولی ہے۔ n 5 سے کم - اور پھر ہمیں ایک کے ساتھ دیا جاتا ہے۔ n + 1 چوٹی۔ ہم کیسے دکھا سکتے ہیں کہ یہ بھی زیادہ سے زیادہ چار رنگوں کے ساتھ رنگین ہو گا؟
سب سے پہلے، کیمپے نے گنتی کی محتاط دلیل کا استعمال کرتے ہوئے دکھایا، کہ ہر سادہ پلانر گراف میں کچھ مشترک ہے: اس میں کم از کم ایک چوٹی ہونی چاہیے جس میں زیادہ سے زیادہ پانچ پڑوسی ہوں۔ تمام اختیارات کو مدنظر رکھتے ہوئے، اس کا مطلب یہ ہے کہ نقشے پر مبنی ہر ممکنہ گراف عمودی کی چھ خصوصی ترتیبوں میں سے ایک پر مشتمل ہوتا ہے۔
اگر ہم اس چوٹی کو، اور اس سے جڑنے والے تمام کناروں کو ہٹا دیتے ہیں، تو ہم پیچھے ایک گراف چھوڑ دیتے ہیں۔ n vertices - جسے ہم پہلے ہی جانتے ہیں چار رنگوں کا استعمال کرتے ہوئے رنگین کیا جا سکتا ہے۔ ہم دراصل اگلے قدم کے طور پر ایسا کرتے ہیں۔ اب، ہٹائے گئے عمودی سے ملحقہ عمودی کو دیکھیں۔ اگر وہ تین یا اس سے کم رنگوں کی نمائش کرتے ہیں، تو ہم باقی رنگوں میں سے کسی ایک کو ہٹائے گئے سرے کو رنگین کر سکتے ہیں، اور ہم کر چکے ہیں: ہم نے ابھی دکھایا ہے کہ گراف کے ساتھ n + 1 عمودی چار رنگوں سے رنگین ہوسکتے ہیں۔ اور اگر ملحقہ چوٹیوں میں چاروں رنگ شامل ہیں، تو کیمپے نے ہٹائے ہوئے عمودی حصے کے لیے رنگ خالی کرنے کے لیے مخصوص چوٹیوں کو دوبارہ رنگنے کا ایک ہوشیار طریقہ وضع کیا، جس سے یہ ظاہر ہوتا ہے کہ گراف کے ساتھ n + 1 چوٹیوں کو صرف چار رنگوں کی ضرورت ہے۔
1890 میں، ریاضی دان Percy Heawood نے Kempe کی غلطی کی نشاندہی کی۔ ایک خاص معاملہ تھا جس میں کیمپے کا ہوشیار طریقہ ناکام ہوگیا۔ ہیووڈ نے تبصرہ کیا کہ اگرچہ اس کا اپنا کام "تعمیری کے بجائے تباہ کن" دکھائی دیتا ہے، اس نے دکھایا کہ کیمپے کی تکنیک یہ ثابت کر سکتی ہے کہ ہر نقشے کو پانچ یا اس سے کم رنگوں سے رنگین کیا جا سکتا ہے - بالکل اصل مقصد نہیں، لیکن پھر بھی متاثر کن ہے۔
Heawood نے مزید پیچیدہ سطحوں پر تیار کردہ نقشوں کی بھی چھان بین کی۔ اس نے ثابت کیا کہ ڈونٹ پر ایک نقشہ کے ساتھ g سوراخ کے لیے زیادہ سے زیادہ $latex frac{mathrm 1}{mathrm 2} left( 7+sqrt{ 1+48g} right) $ رنگوں کی ضرورت ہو سکتی ہے (جہاں اس قدر کو قریب ترین عدد تک گول کیا جاتا ہے)۔ لہذا ایک عام ڈونٹ کو سجانے کے لیے زیادہ سے زیادہ سات رنگوں کی فراسٹنگ کی ضرورت پڑ سکتی ہے۔ پھر بھی، جو نمونہ بنتا جا رہا تھا، عام سطحوں کے لیے اس کا ثبوت نامکمل تھا، اور ہمارے پاس 1968 تک مکمل ثبوت نہیں تھا۔
لیکن یہاں تک کہ جب عام سطحوں کے لیے ہیووڈ کا نظریہ ثابت ہو گیا، چار رنگوں کا مسئلہ حل طلب ہی رہا۔ کئی دہائیوں کی محنت کی بدولت، اگرچہ، ایک ثبوت نظر میں تھا۔
1976 میں ایک کانفرنس میں، گوتھری کی طرف سے مسئلہ پیش کرنے کے 124 سال بعد، وولف گینگ ہیکن نے کینتھ ایپل کے ساتھ اور گریجویٹ طالب علم جان کوچ کی مدد سے ایک ثبوت کا اعلان کیا۔ ردعمل ملے جلے تھے۔ "مجھے توقع تھی کہ سامعین زبردست داد کے ساتھ پھوٹ پڑیں گے،" ڈان البرز نے لکھاجو بات چیت میں موجود تھے۔ "اس کے بجائے، انہوں نے شائستہ تالیوں کے ساتھ جواب دیا!" اس کی وجہ یہ تھی کہ پنسل اور کاغذ پر بحث کرنے کے بجائے، ٹیم کمپیوٹر پر بہت زیادہ انحصار کرتی تھی۔
ان کے پاس سوال کا براہ راست جواب دینے والی مشین نہیں تھی، کیونکہ لاتعداد پلانر گراف ممکن ہیں، اور کمپیوٹر ان سب کو چیک نہیں کر سکتا۔ تاہم، جیسا کہ کیمپے نے ثابت کیا کہ ہر گراف میں عمودی کی چھ خاص ترتیبوں میں سے ایک ہوتی ہے، ایپل اور ہیکن نے ظاہر کیا کہ ہر گراف میں 1,936 خصوصی کنفیگریشنز میں سے ایک ہونا ضروری ہے۔ تھیوری کو ثابت کرنا یہ ظاہر کرنے کے مترادف ہے کہ ہمیں ان ذیلی گرافوں پر مشتمل کسی بھی گراف کو رنگنے کے لیے صرف چار رنگوں کی ضرورت ہے۔ کیمپے کے چھ خصوصی کیسز کو 1,936 ذیلی کیسز میں تقسیم کرنے سے انہیں مزید باریک کنٹرول حاصل ہوا اور ہر کیس کو چیک کرنا آسان ہو گیا — حالانکہ کل تعداد اب اتنی زیادہ تھی کہ کسی انسان کی مدد کے بغیر تصدیق نہیں کی جا سکتی۔ درحقیقت، حسابات کو مکمل کرنے کے لیے 1,000 گھنٹے سے زیادہ کمپیوٹر وقت درکار ہوتا ہے۔
ریاضی کی کمیونٹی نے نتائج کو صرف دکھ سے قبول کیا، یہ مانتے ہوئے کہ ایک ثبوت کو انسانوں کے لیے مکمل طور پر قابل فہم اور قابل تصدیق ہونا چاہیے۔ اگرچہ کمپیوٹرز کے لیے معمول کی ریاضی کو انجام دینا قابل قبول تھا، لیکن ریاضی دان منطقی استدلال کو کمپیوٹنگ ڈیوائس کے حوالے کرنے کے لیے تیار نہیں تھے۔ یہ قدامت پسندی اور وقت بچانے والی پیشرفت کو قبول کرنے میں ہچکچاہٹ کوئی نئی بات نہیں تھی۔ 17ویں صدی میں، اسی طرح کی چیخ و پکار تھی جب کچھ ریاضی دانوں نے جیومیٹری کے مسائل کو حل کرنے کے لیے نئی الجبری تکنیکوں کا استعمال کیا۔ اسی طرح کا ڈرامہ دوبارہ چل سکتا ہے۔ مشین لرننگ کا عروج: کیا ریاضی دان ایک مبہم الگورتھم کے ذریعہ دریافت اور ثابت شدہ تھیوریم کو قبول کریں گے؟
چار رنگوں کے مسئلے کا ثبوت، بلاشبہ، ریاضی میں کمپیوٹر انقلاب کا صرف آغاز تھا۔ 1998 میں تھامس ہیلز نے مشہور ثابت کرنے کے لیے کمپیوٹر کا استعمال کیا۔ جوہانس کیپلر کا قیاس کہ دائروں کو اسٹیک کرنے کا سب سے موثر طریقہ وہ ہے جو معمول کے مطابق کسی گروسری اسٹور میں سنتری کو اسٹیک کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ اور حال ہی میں کمپیوٹرز نے "خدا کا نمبر" تلاش کرنے میں مدد کی ہے - ایک روبک کیوب کو حل کرنے کے لیے زیادہ سے زیادہ موڑ درکار ہوتے ہیں (20 چہرہ موڑتا ہے یا 26 اگر آدھا موڑ دو شمار ہوتا ہے۔)
اگرچہ نقشوں کے لیے چار رنگوں کا مسئلہ حل ہو گیا ہے، لیکن گراف رنگنے کے بارے میں بہت سے بنیادی سوالات کا جواب نہیں دیا گیا یا ابھی حل ہو رہا ہے۔.
سطحوں کے ساتھ ہیووڈ کے کام نے ظاہر کیا کہ ہم نان پلانر گرافس کے بارے میں رنگینیت کے سوالات پوچھ سکتے ہیں۔ اور درحقیقت، کسی خاص گراف کا رنگین نمبر اس سطح پر منحصر نہیں ہے جس پر مساوی نقشہ کھینچا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک گراف جس میں ہر چوٹی ہر دوسرے سرے سے جڑی ہوتی ہے اسے مکمل گراف کہا جاتا ہے، اور ایک مکمل گراف کا رنگین نمبر جس کے ساتھ n عمودی ہے n. لہذا اگر ایک بڑے گراف کے ساتھ ایک مکمل گراف پر مشتمل ہے n عمودی، پھر ہم جانتے ہیں کہ بڑے گراف کا رنگین نمبر کم از کم ہے۔ n.
اس مشاہدے کا مطلب یہ نہیں ہے کہ اگر گراف کا رنگین نمبر ہے۔ n, پھر اس کے ساتھ ایک مکمل گراف ہوتا ہے۔ n چوٹی لیکن 1943 میں، ہیوگو ہیڈویگر نے کچھ اسی طرح کا اندازہ لگایا. اس کا خیال تھا کہ اگر ایک گراف جس میں کوئی لوپ نہیں ہے اس میں رنگین نمبر ہے۔ n, پھر اس میں عمودی خطوط کا ایک انتظام ہے جسے $latex K_n$ مائنر کہا جاتا ہے، جہاں کچھ عمودی اور کناروں کو حذف کرنے اور دوسروں کو آپس میں گروپ کرنے کے نتیجے میں ایک مکمل گراف ہوتا ہے۔ n چوٹی دوبارہ بیان کیا گیا، یہ قیاس یہ بتاتا ہے کہ اگر گراف میں $latex K_n$ معمولی نہیں ہے، تو اس سے کم کے ساتھ رنگین کیا جا سکتا ہے۔ n رنگ Hadwiger کا قیاس، گراف تھیوری میں سب سے اہم کھلے مسائل میں سے ایک، چار رنگوں والے تھیوریم کو عام کرتا ہے، کیونکہ ایک پلانر گراف میں $latex K_5$ معمولی نہیں ہو سکتا۔
اگرچہ گراف کلرنگ کارٹوگرافی میں ایک سوال کے ساتھ شروع ہوئی، لیکن نقشوں یا رنگوں سے کوئی تعلق نہ رکھنے والے مسائل بھی گراف کو رنگنے والے فریم ورک میں فٹ کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، سوڈوکو بھیس میں گراف کو رنگنے کا مسئلہ ہے۔ ہر سیل کو ایک عمودی کے طور پر اور نو ہندسوں کو رنگوں کے طور پر دیکھیں۔ ہر چوٹی کے 20 کنارے ہوتے ہیں جو اس سے نکلتے ہیں — ایک ایک اس کی قطار میں، اس کے کالم میں اور اس کے 3-by-3 ذیلی مربع میں۔ 81 عمودی اور 810 کناروں کا یہ گراف جزوی رنگ (دئے گئے اشارے) سے شروع ہوتا ہے۔ کھیل کا مقصد باقی چوٹیوں کو رنگ دینا ہے۔
تمام تر توجہ کے باوجود رنگ سازی کے ان مسائل کو حاصل کیا گیا ہے، ہمارے پاس اب بھی اصل چار رنگوں کے نظریے کا کوئی ثبوت نہیں ہے جسے انسان پڑھ سکتا ہے۔ یہ کوشش کی کمی کی وجہ سے نہیں ہے۔ آج بھی، نئے ثبوت ظاہر ہوتے ہیں، کچھ جوش و خروش پیدا کرتے ہیں اور کیمپے کے ثبوت کی طرح، ان میں بھی غلطیاں دکھائی جاتی ہیں۔
ریاضی دان پال ایرڈس "دی کتاب" کے بارے میں بات کرتے تھے - ایک خیالی ٹوم جس میں ہر نظریہ کے سب سے خوبصورت ثبوت ہوتے ہیں۔ کوئی سوچتا ہے کہ کیا کتاب میں چار رنگوں کے نظریہ کا انسان کے پڑھنے کے قابل ثبوت ہے، اور اگر ایسا ہے، تو کیا ہم اسے کبھی دیکھ پائیں گے۔
- SEO سے چلنے والا مواد اور PR کی تقسیم۔ آج ہی بڑھا دیں۔
- پلیٹو بلاک چین۔ Web3 Metaverse Intelligence. علم میں اضافہ۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- ماخذ: https://www.quantamagazine.org/only-computers-can-solve-this-map-coloring-problem-from-the-1800s-20230329/
- : ہے
- ][p
- $UP
- 000
- 1
- 1998
- a
- ہمارے بارے میں
- قبول کریں
- قابل قبول
- اکاؤنٹ
- اصل میں
- ترقی
- کے بعد
- یلگورتم
- تمام
- پہلے ہی
- اگرچہ
- ہمیشہ
- اور
- کا اعلان کیا ہے
- جواب
- کسی
- ظاہر
- شائع ہوا
- کیا
- دلیل
- انتظام
- آرتھر
- AS
- اسسٹنس
- At
- توجہ
- سامعین
- کی بنیاد پر
- بنیادی
- BE
- کیونکہ
- ہو جاتا ہے
- بننے
- شروع ہوا
- شروع
- پیچھے
- کیا جا رہا ہے
- خیال کیا
- مومن
- کتاب
- سرحد
- حدود
- توڑ
- برطانوی
- تعمیر
- by
- حساب
- کہا جاتا ہے
- کر سکتے ہیں
- نہیں کر سکتے ہیں
- دارالحکومت
- ہوشیار
- کیس
- مقدمات
- صدی
- کچھ
- چیلنج
- چیک کریں
- شہر
- تعاون
- رنگ
- رنگا رنگ
- کالم
- کس طرح
- آنے والے
- کامن
- کمیونٹی
- مکمل
- مکمل کرنا
- پیچیدہ
- کمپیوٹر
- کمپیوٹر
- کمپیوٹنگ
- کانفرنس
- قیاس
- رابطہ قائم کریں
- منسلک
- تعمیری
- پر مشتمل ہے
- پر مشتمل ہے
- جاری ہے
- کنٹرول
- کونے
- سکتا ہے
- کورس
- پار
- دن
- دہائی
- دہائیوں
- بیان کیا
- آلہ
- DID
- مختلف
- ہندسے
- براہ راست
- دریافت
- نہیں کرتا
- نیچے
- ڈرامہ
- ہر ایک
- آسان
- ایج
- ہنر
- کوششوں
- گلے
- کو یقینی بنانے ہے
- حوصلہ افزائی
- مکمل
- مساوی
- خرابی
- نقائص
- بھی
- حتمی
- کبھی نہیں
- ہر کوئی
- مثال کے طور پر
- نمائش
- توقع
- چہرہ
- ناکام
- مشہور
- مل
- پہلا
- فٹ
- ناقص
- توجہ مرکوز
- کے لئے
- ملا
- فریم ورک
- فرانسس
- فریڈرک
- مفت
- سے
- مایوس
- مکمل
- کھیل ہی کھیل میں
- جنرل
- پیدا
- حاصل
- دے دو
- دی
- مقصد
- چلے
- گراف
- گرافکس
- عظیم
- نصف
- ہیملٹن
- ہارڈ
- مشکل کام
- ہے
- ہونے
- بھاری
- مدد
- مدد کرتا ہے
- تاریخ
- سوراخ
- HOURS
- کس طرح
- تاہم
- HTTPS
- ہیوگو
- انسانی
- انسانی پڑھنے کے قابل
- انسان
- i
- خیالات
- کی نشاندہی
- خیالی
- اہم
- متاثر کن
- in
- شامل
- معلومات
- مثال کے طور پر
- دلچسپی
- جزائر
- IT
- میں
- جان
- شامل ہو گئے
- شمولیت
- کلیدی
- جان
- جانا جاتا ہے
- کوچ
- نہیں
- بڑے
- بڑے پیمانے پر
- چھوڑ دو
- خط
- کی طرح
- امکان
- لائنوں
- محل وقوع
- منطقی
- لندن
- لانگ
- دیکھو
- دیکھا
- تلاش
- بہت
- مشین
- بنا
- بہت سے
- نقشہ
- نقشہ جات
- ریاضیاتی
- ریاضی طور پر
- ریاضی
- معاملات
- زیادہ سے زیادہ
- مطلب
- کا مطلب ہے کہ
- اراکین
- طریقہ
- مشی گن
- کم سے کم
- معمولی
- مخلوط
- جدید
- زیادہ
- مورگن
- سب سے زیادہ
- ضرورت ہے
- ضروریات
- پڑوسیوں
- نیٹ ورک
- نئی
- اگلے
- تعداد
- اعتراض
- اکتوبر
- of
- on
- ایک
- کھول
- آپشنز کے بھی
- عام
- اصل
- اصل میں
- دیگر
- دیگر
- خود
- خاص طور پر
- پاٹرن
- پال
- انجام دیں
- شاید
- پلاٹا
- افلاطون ڈیٹا انٹیلی جنس
- پلیٹو ڈیٹا
- کھیلیں
- پوائنٹ
- ممکن
- تیار
- حال (-)
- کی روک تھام
- مسئلہ
- مسائل
- ثبوت
- ثبوت
- خصوصیات
- ثابت کریں
- ثابت ہوا
- کوانٹا میگزین
- سوال
- سوالات
- بلکہ
- رد عمل
- پڑھیں
- وجہ
- موصول
- حال ہی میں
- تسلیم
- خطے
- خطوں
- تعلقات
- رہے
- رہے
- باقی
- ہٹا
- ہٹا دیا گیا
- کی جگہ
- کی ضرورت
- ضرورت
- کی ضرورت ہے
- باقی
- نتائج کی نمائش
- انقلاب
- اضافہ
- معمول سے
- ROW
- s
- اسی
- علماء
- لگ رہا تھا
- لگتا ہے
- علیحدہ
- آباد
- سات
- شکل
- سیکنڈ اور
- اشتراک
- ہونا چاہئے
- دکھائیں
- دکھایا گیا
- نگاہ
- اسی طرح
- سادہ
- بعد
- سر
- چھ
- سائز
- So
- سوسائٹی
- حل
- کچھ
- کچھ
- بات
- خصوصی
- ڈھیر لگانا
- شروع
- شروع
- شروع ہوتا ہے
- امریکہ
- مرحلہ
- ابھی تک
- ذخیرہ
- طالب علم
- ذیلی
- اس طرح
- سطح
- لینے
- بات
- ٹیم
- تکنیک
- شرائط
- شکریہ
- کہ
- ۔
- دارالحکومت
- گراف
- کے بارے میں معلومات
- ان
- یہ
- تین
- وقت
- کرنے کے لئے
- آج
- مل کر
- بھی
- کل
- تبدیل کر دیا
- موڑ
- ہمیں
- سمجھ
- فہم
- اضافہ
- استعمال کی شرائط
- قیمت
- اس بات کی تصدیق
- لنک
- راستہ..
- ویبپی
- اچھا ہے
- کیا
- چاہے
- جس
- جبکہ
- ڈبلیو
- گے
- ساتھ
- بغیر
- کام
- گا
- سال
- اور
- زیفیرنیٹ