ریاضی جو ہمیشہ جاری رہتی ہے لیکن کبھی نہیں دہراتی | کوانٹا میگزین

کیا آپ نے کبھی اس بات کی تعریف کی ہے کہ کس طرح سخت لکڑی کے فرش کے سلیٹ اتنے صاف ستھرے ایک ساتھ فٹ ہوتے ہیں، یا آپ کے باتھ روم کے قالین کے نیچے موجود مسدس بالکل کیسے ملتے ہیں؟ یہ جیومیٹرک ٹائلنگ کی مثالیں ہیں، ان اشکال کے انتظامات جو جگہ بھرتے وقت ایک دوسرے کے ساتھ آسانی سے فٹ ہوجاتے ہیں۔ دو جہتی ٹائلنگ کو پوری دنیا میں سراہا جاتا ہے، دونوں ہی ان کی خوبصورتی کے لیے — جیسا کہ دنیا بھر کے کیتھیڈرلز اور مساجد میں موزیک کی فنکاری میں دیکھا جاتا ہے — اور ان کی افادیت کے لیے، دیواروں اور فرشوں میں ہر جگہ۔

ریاضی میں، ٹائلنگ کو اکثر ان کے باقاعدہ نمونوں کے لیے سراہا جاتا ہے۔ لیکن ریاضی دان بے قاعدگی میں بھی خوبصورتی تلاش کرتے ہیں۔ یہ اس قسم کی خوبصورتی ہے جو ایک ریٹائرڈ پرنٹ ٹیکنیشن اس وقت ڈھونڈ رہا تھا جب وہ حال ہی میں دریافت پہلا "ایپیریوڈک مونوٹائل" - ایک واحد ٹائل جو ہوائی جہاز کو غیر دہرائے جانے والے پیٹرن میں بھرتی ہے۔ اس بڑی دریافت کو سنبھالنے کے لیے، آئیے ایک آسان مسئلے کے بارے میں سوچ کر شروع کریں: لائن کو کیسے ٹائل کیا جائے۔

آئیے تصور کریں کہ ہماری لائن فلنگ ٹائلیں ایسے حروف ہیں جو ترتیب بنانے کے لیے ایک ساتھ چپک جاتی ہیں۔ اگر ٹائلیں اور جو اصول ہم ان کو لگانے کے لیے اپناتے ہیں وہ ہمیں خطوط کی ایک تار بنانے کی اجازت دیتے ہیں جو دونوں سمتوں میں لامحدود طور پر چلتا ہے، تو ہم "لائن کو ٹائل کر سکتے ہیں۔" مثال کے طور پر، ہم کہتے ہیں کہ ہمارے پاس دو ٹائلیں ہیں، A اور B، اور انہیں ایک ساتھ رکھنے کے دو اصول:

1. A کے آگے، دونوں طرف آپ صرف B رکھ سکتے ہیں۔
2. B کے آگے، دونوں طرف آپ صرف A رکھ سکتے ہیں۔

کیا ہم ان ٹائلوں اور ان اصولوں کے ساتھ لائن کو ٹائل کر سکتے ہیں؟ بالکل۔ فرض کریں کہ ہم پہلے A کو نیچے رکھیں۔

A

قواعد کے مطابق، ہمیں B's کو دونوں طرف رکھنا چاہیے۔

بی اے بی

اب، ان B کے دونوں طرف، ہمیں A ڈالنا چاہیے، وغیرہ۔

… ابابابابابا…

ان ٹائلوں اور قواعد کے ساتھ، ہم دونوں سمتوں میں ہمیشہ کے لیے جاری رکھ سکتے ہیں، لہذا ہم لائن کو ٹائل کر سکتے ہیں۔ درحقیقت، ہم ایک مضبوط نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں: بنیادی طور پر یہ واحد طریقہ ہے جس سے ہم ان اصولوں کے ساتھ لائن کو ٹائل کر سکتے ہیں۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ اس کا کیا مطلب ہے۔

فرض کریں اس کے بجائے ہم نے B کے ساتھ آغاز کیا۔

B

قواعد کا تقاضا ہے کہ ہم A کو دونوں طرف رکھیں۔

ABA

اور پھر A کے دونوں طرف B ہے، اور اسی طرح۔

…باباباباباباب…

یہ لائن کی دوسری درست ٹائلنگ کی طرح لگتا ہے۔ لیکن آئیے اس کا موازنہ پہلے کے ساتھ ساتھ کرتے ہیں۔

…باباباباباباب…

… ابابابابابا…

اگر ہم یا تو ٹائلنگ کو ایک ٹائل سے سلائیڈ کرتے ہیں، تو دونوں بالکل مل جاتے ہیں - ہمیشہ کے لیے۔

  …باباباباباباب…

… ابابابابابا…

دوسرے الفاظ میں، ترجمے کے بعد، ٹائلیں برابر ہیں۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ دونوں ٹائلنگ ایک ہی طرز پر چلتی ہیں۔

قریب سے دیکھنے سے کچھ اور بھی دلچسپ معلوم ہوتا ہے۔ اصل ٹائلنگ کی دو کاپیوں کے ساتھ شروع کریں:

… ابابابابابا…

… ابابابابابا…

اب دیکھیں کہ جب آپ اوپر والی کو دو ٹائلوں پر سلائیڈ کرتے ہیں تو کیا ہوتا ہے:

     … ابابابابابا…

… ابابابابابا…

اصل ٹائلنگ خود سے ملتی ہے۔ جب ترجمے کے بعد ٹائلنگ خود کے برابر ہوتی ہے، تو اس میں "ترجمی کی ہم آہنگی" ہوتی ہے۔ (یہ ایک ایسی چیز کی طرح ہے جس میں "عکاسی ہم آہنگی" ہو اگر اس کے آئینے کے دو حصوں کو ایک دوسرے پر منعکس کیا جاسکے۔)

ترجمہی ہم آہنگی ظاہر کرتی ہے کہ کس طرح ٹائلنگ واقعی صرف ایک پیٹرن ہے جسے بار بار دہرایا جاتا ہے۔ اس صورت میں، لائن کی ٹائلنگ …ABABABABABABA… کو دو ٹائل پیٹرن AB کی لاتعداد ترجمہ شدہ کاپیاں سمجھا جا سکتا ہے۔

AB

ABAB

ای بی اے بیAB

یہ لائن کی ٹائلنگ کی ایک سادہ مثال ہے جس میں ترجمہی ہم آہنگی ہے۔ دو جہتوں میں، ہوائی جہاز کی ٹائلنگ کی بہت سی مانوس مثالیں ہیں جن میں یہ خاصیت بھی ہے۔

مندرجہ بالا ہر صورت میں، پوری ٹائلنگ کا کچھ مقدار میں ترجمہ کرنا ممکن ہے تاکہ یہ اصل کے ساتھ بالکل مماثل ہو۔

ہماری لائن کی ٹائلنگ کی طرح، ترجمہی ہم آہنگی کے ساتھ ان دو جہتی ٹائلنگ کو ایک پیٹرن کے طور پر سوچا جا سکتا ہے جو بار بار دہرایا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، واحد مسدس ہر سمت پھیلا ہوا ہے۔

اسے متواتر مثلث ٹائلنگ میں دیکھنے کے لیے، تصور کریں کہ مثلث ایک ساتھ مل کر مسدس بناتے ہیں، اور وہ مسدس ترجمے کے ذریعے بار بار دہراتے ہیں۔

ہوائی جہاز کے مثلث، مسدس اور مربع ٹائلنگس سب "مونہیڈرل" ہیں، کیونکہ یہ سب ایک ہی ٹائل کی لامحدود بہت سی کاپیوں پر مشتمل ہیں۔ ایک سے زیادہ ٹائلوں کا استعمال کرتے ہوئے ہوائی جہاز کو ٹائل کرنے کے بھی بہت سے طریقے ہیں، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے (اور باتھ روم کے بہت سے فرشوں پر)۔

لیکن آئیے لائن کو ٹائل کرنے پر واپس جائیں۔ ایک اہم امتیاز ہے جو ہمیں کرنے کی ضرورت ہے۔

ہماری ٹائلز A اور B کے لیے درج ذیل نئے اصولوں پر غور کریں۔

1. A کے آگے، دونوں طرف آپ A یا B رکھ سکتے ہیں۔
2. B کے آگے، دونوں طرف آپ صرف A رکھ سکتے ہیں۔

کیا ہم اب بھی ان اصولوں کے ساتھ لائن کو ٹائل کر سکتے ہیں؟ یہ دیکھنے کا ایک آسان طریقہ کہ جواب ہاں میں ہے یہ دیکھنا ہے کہ پچھلی ٹائلنگ بھی نئے اصول کے سیٹ کو مطمئن کرتی ہے۔

… ابابابابابا…

لیکن نئے قواعد زیادہ لچک کی اجازت دیتے ہیں، اور اس سے لائن کی مزید ٹائلنگ ہوتی ہے۔

مثال کے طور پر، یہ دونوں نئے قواعد کے تحت درست کنفیگریشنز ہیں:

AABABA

اباااااااب

اور ان کو کسی بھی سمت میں لامحدود طور پر کئی طریقوں سے بڑھایا جا سکتا ہے۔

ہمیں لائن کی بہت سی نئی ٹائلنگ دینے کے علاوہ، نئے اصول ہمیں ٹائلنگ بنانے کی اجازت دیتے ہیں جو کہ ہماری پہلی مثال کے برعکس، دہرائی نہیں جاتی ہیں۔ مثال کے طور پر، مندرجہ ذیل ٹائلنگ پر غور کریں:

… اباابابابا…

یہاں پیٹرن کیا ہے؟ A سے شروع کریں، پھر B کو دائیں طرف رکھیں، پھر دو A کو دائیں طرف، پھر A B، پھر تین A، پھر A B، پھر چار A، وغیرہ۔ بائیں طرف، صرف A کا اضافہ کرتے رہیں:

…AAAAAAAAAAAAAAAAAA

ایسا کریں، اور آپ ایک ٹائلنگ کے ساتھ ختم ہوجائیں گے جس کا خود ترجمہ نہیں کیا جاسکتا ہے تاکہ سب کچھ مماثل ہوجائے۔

اسے دیکھنے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ اس ٹائلنگ میں بائیں طرف ایک منفرد B ہے، تو ترجمہ کے بعد یہ کہاں جائے گا؟ اگر آپ بائیں طرف ترجمہ کرتے ہیں، تو اس کے ساتھ ملنے کے لیے کوئی B نہیں ہے۔ لیکن اگر آپ دائیں طرف ترجمہ کرتے ہیں، تو اس کے ساتھ ملنے کے لیے بائیں سے کوئی B نہیں آتا ہے۔

اس لیے نئے اصول دونوں ٹائلنگ کی اجازت دیتے ہیں جن میں ترجمے کی ہم آہنگی ہوتی ہے اور ٹائلنگ نہیں ہوتی۔ ہوائی جہاز کی ٹائلیں بھی ہیں جو اس طرح کام کرتی ہیں۔

مثال کے طور پر، ہم نے پہلے ہی مربعوں کے ساتھ ایک ٹائلنگ دیکھی ہے جس میں ترجمے کی ہم آہنگی ہوتی ہے، لیکن ہم مربع کو ایسی ٹائلنگ بنانے کے لیے بھی استعمال کر سکتے ہیں جن میں یہ خاصیت نہیں ہے۔

یہ مونوہیڈرل ٹائلنگ سے بہت مختلف صورتحال ہے جو باقاعدہ مسدس استعمال کرتی ہیں۔ ان ٹائلنگ میں، دہرائی جانے والی ساخت ناگزیر ہے۔ ٹائلوں کی جیومیٹری خود ٹائلنگ کو ترجمے کی ہم آہنگی پر مجبور کرتی ہے۔ ہم ایسی ٹائلنگ کو "متواتر" کہتے ہیں۔

اس کے برعکس، مربع ایسے نمونوں کی اجازت دیتا ہے جو دہرائے جاتے ہیں اور ایسے نمونے جو نہیں کرتے۔ اس سے ریاضی دانوں کے لیے ایک فطری، ناقابل تردید سوال پیدا ہوتا ہے: اگر ہوائی جہاز کی ٹائلنگز ہیں جو اس بار بار چلنے والی ساخت رکھنے پر مجبور ہیں، تو کیا ایسی ٹائلیں ہیں جو اس سے بچنے کے لیے مجبور ہیں؟ اس سوال کے ساتھ، جو 1960 کی دہائی میں وضع کیا گیا تھا، "ایپیریوڈک ٹائلنگ" کی تلاش جاری تھی۔

ہماری تلاش کے لیے، ہم لائن پر واپس ایک اور سفر کریں گے۔ ہماری ایک جہتی جگہ کی آخری ٹائلنگ ٹائلوں کے ایک غیر معمولی نظر آنے والے سیٹ کا استعمال کرے گی:

A-ٹائلیں: A، AA، AAA، AAAA، …

بی ٹائلز: بی، بی بی، بی بی بی، بی بی بی، …

نوٹ کریں کہ یہ ٹائل سیٹ لامحدود ہے۔ اگر یہ دھوکہ دہی کی طرح لگتا ہے، تو آپ ایک ریاضی دان کی طرح سوچ رہے ہیں۔ ہم اس پر بعد میں واپس آئیں گے، لیکن ابھی کے لیے، ہمارے لامحدود ٹائلوں کو ایک ساتھ رکھنے کے دو اصول یہ ہیں:

1. لمبائی کی A-ٹائل کے آگے n، آپ صرف لمبائی کی B ٹائل لگا سکتے ہیں۔ n دونوں اطراف.
2. لمبائی کی B-ٹائل کے آگے n، آپ صرف لمبائی کی A-ٹائل لگا سکتے ہیں۔ n دونوں طرف + 1۔

ہمیشہ کی طرح، ہمارا سوال یہ ہے کہ: کیا ہم ان ٹائلوں اور قواعد کے ساتھ لائن کو ٹائل کر سکتے ہیں؟ ٹھیک ہے، فرض کریں کہ ہم لمبائی 1 کے A-ٹائل سے شروع کرتے ہیں۔

A

اصول یہ بتاتے ہیں کہ دونوں طرف ہم صرف 1 لمبائی کی B ٹائلیں لگا سکتے ہیں۔

بی اے بی

اب، ہر B کے آگے ہمیں 2 لمبائی کی A-ٹائلیں لگانی چاہئیں۔

AABABAA

پھر ہم لمبائی 2 کی B-ٹائلیں شامل کرتے ہیں۔

بی بی اے بی اے بی اے بی

اور اسی طرح. یہ دیکھنا آسان ہے کہ ہم دونوں سمتوں میں ہمیشہ کے لیے جا سکتے ہیں، جس کا مطلب ہے کہ ہم واقعی ان نئی ٹائلوں اور قواعد کے ساتھ لائن کو ٹائل کر سکتے ہیں۔ اور ہماری تلاش سے متعلقہ، اس ٹائلنگ میں ترجمہی ہم آہنگی نہیں ہے۔ دھیان دیں کہ ہم نے شروع میں جو واحد A رکھا ہے وہ فوراً B کے دونوں طرف سے گھیر جاتا ہے، اور نتیجے میں آنے والا پیٹرن — BAB — دوبارہ کبھی ظاہر نہیں ہوگا۔ لامحدود لمبی تار میں جو ہماری ٹائلنگ کی نمائندگی کرتی ہے، ظاہر ہونے والا ہر دوسرا A کم از کم ایک دوسرے A کے ساتھ ہوگا۔ اس کا مطلب ہے کہ BAB اسٹرنگ کے جانے کے لیے کہیں نہیں ہے، اس لیے اس ٹائلنگ کو خود میں ترجمہ کرنے کا کوئی طریقہ نہیں ہے۔

یہ درست ہوگا قطع نظر اس کے کہ ہم کس ٹائل سے شروع کرتے ہیں۔ اگر یہ B ہے، تو اصول فوری طور پر سٹرنگ کی طرف لے جاتے ہیں۔

…BBAABABB…

اور، پہلے کی طرح، پیٹرن ABA کبھی نہیں دہرائے گا۔ یہاں تک کہ اگر آپ AAA جیسی چیز سے شروع کرتے ہیں تو بھی وہی چیز ہوگی۔

…AAAABBBAAABBBAAAAA…

آپ جس کے ساتھ بھی شروع کریں، ابتدائی ٹائل ہمیشہ اس مخصوص لمبائی کا واحد A- یا B- ٹائل ہوگا، جو کسی بھی ترجمہی توازن کو ابھرنے سے روکے گا۔ یہ بالکل وہی ہوتا ہے جس کی ہم تلاش کر رہے تھے: ٹائلوں اور قواعد کا ایک مجموعہ جو ہمیں لائن کو ٹائل کرنے کی اجازت دیتا ہے لیکن کبھی بھی ترجمہی توازن کی اجازت نہیں دیتا ہے۔

آپ اپیریوڈک ٹائلنگ سے غیر مطمئن ہوسکتے ہیں جس کے لیے لامحدود ٹائلوں کی ضرورت ہوتی ہے، اور آپ اکیلے نہیں ہوں گے۔ جب ریاضی دانوں نے ہوائی جہاز کے aperiodic ٹائلنگ کو سنجیدگی سے تلاش کرنا شروع کیا، تو وہ ٹائلوں کا ایک محدود سیٹ تلاش کرنا چاہتے تھے جو ہوائی جہاز کو ٹائل کر سکے لیکن اس میں ترجمہی ہم آہنگی نہیں ہو سکتی تھی۔ ابتدائی حل میں 20,426 ٹائلیں استعمال کی گئیں، لیکن چند ہی سالوں میں ریاضی دانوں نے اس تعداد کو چھ تک پہنچا دیا۔

1970 کی دہائی میں ایک پیش رفت اس وقت ہوئی جب برطانوی ریاضی دان اور طبیعیات دان راجر پینروز نے مشہور دو ٹائل والے سیٹ کو دریافت کیا جو اب اس کا نام رکھتا ہے۔ پینروز ٹائلیں سادہ چوکوروں کا ایک جوڑا ہے جو، قواعد کے محتاط سیٹ کے ساتھ، ترجمے کی ہم آہنگی کی اجازت کے بغیر ہوائی جہاز کو ٹائل کرتا ہے۔

دو ٹائلوں والی ایپیریوڈک ٹائلنگ میں بہتری لانے کا صرف ایک ہی طریقہ ہے، اس لیے ریاضی دانوں، شوقین اور فنکاروں نے ایک ایپیریوڈک "مونوٹائل" کی تلاش شروع کردی جو یہ کام خود ہی انجام دے گا۔

پچھلے نومبر میں، ڈیوڈ اسمتھ نے اسے پایا۔ یہ "ہیٹ" ہے، جو پہلا معروف ایپیریوڈک مونوٹائل ہے۔

اسمتھ، ایک تفریحی ریاضی دان، فنکار اور ٹائلنگ کے شوقین، نے ٹوپی کو اس طرح دریافت کیا جس طرح ریاضی کو دریافت کیا جاتا ہے: ارد گرد کھیل کر اور یہ دیکھ کر کہ کیا ہوا۔ اسمتھ بعد میں محققین کریگ کپلن، چیم گڈمین اسٹراس اور جوزف سیموئل مائرز سے رابطہ کریں گے، جنہوں نے مل کر تصدیق کی کہ یہ واقعی طویل عرصے سے متلاشی ایپیریوڈک مونوٹائل تھا۔

کسی چیز کو ثابت کرنا ہوائی جہاز کو ٹائل کر سکتا ہے لیکن ترجمے کی ہم آہنگی نہیں ہو سکتی کوئی آسان کام نہیں ہے، لیکن کچھ تکنیک جو انہوں نے استعمال کی ہیں ان کا اشارہ ہماری سادہ مثالوں میں دیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، یہ ظاہر کرنے کا ایک طریقہ کہ مسدود مثلث ہوائی جہاز کو ٹائل کر سکتے ہیں یہ دیکھنا ہے کہ وہ ایک ساتھ مل کر بڑے ڈھانچے بناتے ہیں، اس صورت میں مسدس، جو ہوائی جہاز کو ٹائل کرنے کے لیے جانا جاتا ہے۔ ہیٹ ٹائل بھی ایک ساتھ مل کر بڑے، باقاعدہ ڈھانچے بناتی ہے، جس کا استعمال یہ سمجھنے کے لیے کیا جا سکتا ہے کہ یہ جہاز کو کیسے ٹائل کرتا ہے۔

اگرچہ لائن کی ہماری اپیریوڈک ٹائلنگ میں کوئی دہرانے والا پیٹرن نہیں ہوسکتا ہے، لیکن ایک پیٹرن ہے جو آپ کے دائیں جانب بڑھتے ہی پھیلتا ہے۔ پہلے آپ AB، پھر AABB، پھر AAABBB، پھر AAAABBBB، اور اسی طرح دیکھتے ہیں۔ یہ خود مماثلت کی ایک قسم ہے — ایک ایسا نمونہ جو بدلتے ہوئے پیمانے پر دہرایا جاتا ہے — جسے بعض اوقات یہ ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے کہ کوئی خاص ٹائلنگ خود میں ترجمہ نہیں کر سکتی، کیونکہ ایسا کرنے سے لمبائی بگڑ جاتی ہے۔

ایک ساتھ کام کرتے ہوئے، گروپ نے ثابت کیا کہ صرف ہیٹ ٹائل اور اس کے آئینے کی تصویر کا استعمال کرتے ہوئے، آپ ہوائی جہاز کو ٹائل کر سکتے ہیں، لیکن ترجمہی توازن کے ساتھ نہیں۔ اور مختلف ٹائل سیٹوں کے ساتھ دیگر کوششوں کے برعکس، اس کے لیے کسی خاص اصول کی ضرورت نہیں تھی۔ ٹائل خود aperiodicity مجبور. جیسے جیسے وہ جیومیٹری میں گہرائی میں گئے، انہوں نے اور بھی حل تلاش کیے۔ ٹوپی اصل میں aperiodic ٹائلوں کے ایک لامحدود خاندان میں سے ایک ہے!

ایسا لگتا ہے کہ اپیریوڈک مونوٹائل کی تلاش ختم ہو گئی ہے۔ یا اس کے پاس ہے؟ ہوائی جہاز کو وقفے وقفے سے ہیٹ کے ساتھ ٹائل کرتے وقت، آپ کو اس کی عکاسی کی بھی ضرورت ہوتی ہے (اگر آپ ٹائل کو پلٹائیں تو آپ کو کیا ملے گا)۔ ہو سکتا ہے کہ وہاں ابھی تک دریافت نہ ہونے والا ایپیریوڈک مونوٹائل موجود ہو جس کے لیے اس کے عکس کی تصویر کی ضرورت نہیں ہے۔ اسے تلاش کریں اور آپ مشہور ہو جائیں گے۔ الہام آپ کے پیروں کے نیچے ہوسکتا ہے۔

تصحیح: 23 مئی 2023

اس کالم میں اس حقیقت کی عکاسی کرنے کے لیے نظر ثانی کی گئی ہے کہ متواتر مثلثوں کی مونہیڈرل ٹائلنگ میں ایک بار بار ڈھانچہ قابل گریز ہے۔