ریاضی دان ایک عام قسم کی خلا میں پوشیدہ ڈھانچہ تلاش کرتے ہیں۔

2017 کے موسم خزاں میں، مہتاب ساہنی، پھر میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں ایک انڈرگریجویٹ، ایک گریجویٹ پڑھنے والے گروپ میں شامل ہوا جو ایک سمسٹر میں ایک ہی پیپر کا مطالعہ کرنے نکلا۔ لیکن سمسٹر کے اختتام تک، ساہنی یاد کرتے ہیں، انہوں نے ثبوت کی پیچیدگی سے پریشان ہوکر آگے بڑھنے کا فیصلہ کیا۔ "یہ واقعی حیرت انگیز تھا،" انہوں نے کہا. "یہ بالکل وہاں سے باہر لگ رہا تھا۔"

کاغذ کی طرف سے تھا پیٹر کیواش آکسفورڈ یونیورسٹی کے. اس کا موضوع: ریاضیاتی اشیاء جنہیں ڈیزائن کہتے ہیں۔

ڈیزائنوں کے مطالعہ کا پتہ 1850 میں لگایا جا سکتا ہے، جب انگلینڈ کے شمال میں ایک پیرش میں رہنے والے تھامس کرک مین نے ریاضی میں مہارت حاصل کرنے والے ایک میگزین میں بظاہر سیدھا سا مسئلہ پیش کیا۔ لیڈیز اینڈ جنٹل مین کی ڈائری. یوں کہیے کہ 15 لڑکیاں ایک ہفتے تک ہر روز تین کی قطار میں چل کر سکول جاتی ہیں۔ کیا آپ ان کا بندوبست کر سکتے ہیں۔ تاکہ ان سات دنوں کے دوران کوئی دو لڑکیاں ایک سے زیادہ بار ایک ہی صف میں نہ آئیں؟

جلد ہی، ریاضی دان کرک مین کے سوال کا ایک عام ورژن پوچھ رہے تھے: اگر آپ کے پاس ہے۔ n ایک سیٹ میں عناصر (ہماری 15 اسکول کی لڑکیاں)، کیا آپ انہیں ہمیشہ سائز کے گروپس میں ترتیب دے سکتے ہیں۔ k (تین کی قطاریں) تاکہ سائز کا ہر چھوٹا سیٹ t (لڑکیوں کا ہر جوڑا) بالکل ان گروپوں میں سے ایک میں ظاہر ہوتا ہے؟

اس طرح کی تشکیلات، کے طور پر جانا جاتا ہے (n, k, t) ڈیزائن، اس کے بعد سے غلطی کو درست کرنے والے کوڈز، ڈیزائن کے تجربات، ٹیسٹ سافٹ ویئر، اور اسپورٹس بریکٹ اور لاٹری جیتنے میں مدد کے لیے استعمال کیے گئے ہیں۔

لیکن ان کی تعمیر کرنا بھی بہت مشکل ہو جاتا ہے۔ k اور t بڑے ہو جاؤ. درحقیقت، ریاضی دانوں نے ابھی تک کوئی ایسا ڈیزائن تلاش کرنا ہے جس کی قدر ہو۔ t 5 سے زیادہ۔ اور یوں یہ ایک بہت بڑا تعجب ہوا جب، 2014 میں، Keevash سے ظاہر ہوا یہاں تک کہ اگر آپ نہیں جانتے کہ اس طرح کے ڈیزائن کیسے بنانا ہے، وہ ہمیشہ موجود ہیں، اس، کی طرح طویل n کافی بڑا ہے اور کچھ آسان شرائط کو پورا کرتا ہے۔

اب کیوش، ساہنی اور اشون ساہایم آئی ٹی کے ایک گریجویٹ طالب علم نے دکھایا ہے کہ اس سے بھی زیادہ پرہیزگار اشیاء، جسے سب اسپیس ڈیزائن کہتے ہیں، ہمیشہ کے ساتھ ساتھ موجود ہے. "انہوں نے ان چیزوں کے وجود کو ثابت کیا ہے جن کا وجود بالکل بھی واضح نہیں ہے،" کہا ڈیوڈ کونلنکیلیفورنیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں ریاضی دان۔

ایسا کرنے کے لیے، انہیں کیواش کے اصل نقطہ نظر کو از سر نو تبدیل کرنا پڑا - جس میں بے ترتیب پن اور محتاط تعمیر کا تقریباً جادوئی امتزاج شامل تھا - تاکہ اسے زیادہ پابندی والی ترتیب میں کام کرنے کے لیے تیار کیا جا سکے۔ اور یوں ساہنی، جو اب ایم آئی ٹی میں ڈاکٹریٹ بھی کر رہے ہیں، خود کو اس مقالے سے روبرو پایا جس نے اسے چند سال پہلے ہی سٹمپ کر دیا تھا۔ انہوں نے کہا، "تکنیکوں کو مکمل طور پر سمجھنا، اور واقعی تکلیف اٹھانا اور ان کے ذریعے کام کرنا اور ان کی نشوونما کرنا واقعی، واقعی خوشگوار تھا۔"

'ہمارے تخیل سے پرے کیا ہے'

کئی دہائیوں سے، ریاضی دانوں نے سیٹوں اور ذیلی سیٹوں کے بارے میں مسائل کا ترجمہ کیا ہے - جیسے ڈیزائن کا سوال - نام نہاد ویکٹر اسپیس اور ذیلی جگہوں کے مسائل میں۔

ایک ویکٹر اسپیس ایک خاص قسم کا مجموعہ ہے جس کے عناصر — ویکٹر — ایک دوسرے سے بہت زیادہ سخت طریقے سے جڑے ہوئے ہیں جتنا کہ پوائنٹس کا ایک سادہ مجموعہ ہو سکتا ہے۔ ایک نقطہ آپ کو بتاتا ہے کہ آپ کہاں ہیں۔ ایک ویکٹر آپ کو بتاتا ہے کہ آپ کتنی دور، اور کس سمت گئے ہیں۔ انہیں جوڑا اور گھٹایا جا سکتا ہے، بڑا یا چھوٹا بنایا جا سکتا ہے۔

آپ جس کمرے میں ہیں اس پر غور کریں۔ اس میں پوائنٹس کی لامحدود تعداد، اور ویکٹرز کی لامحدود تعداد ہوتی ہے - وہ جہاں سے آپ کمرے کے ہر مقام تک پھیلے ہوئے ہیں۔ ان تمام ویکٹرز کو تین بنیادی چیزوں میں سے بنایا جا سکتا ہے: ایک ویکٹر آپ کے سامنے افقی طور پر اشارہ کرتا ہے، دوسرا آپ کے دائیں طرف، اور دوسرا اوپر کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ ان ویکٹرز کو جوڑ کر، ان کو حقیقی نمبروں سے ضرب دے کر، یا دونوں کا کچھ ملاپ کر کے، آپ تین جہتی ویکٹر کی جگہ بنا سکتے ہیں جس میں آپ رہتے ہیں۔ (پوری جگہ پیدا کرنے کے لیے درکار ویکٹر کی تعداد ویکٹر کی جگہ کا طول و عرض ہے۔)

ہر ویکٹر اسپیس کے اندر مختلف ذیلی جگہیں موجود ہیں۔ صرف اپنے دائیں طرف اور اپنے سامنے کی طرف اشارہ کرنے والے ویکٹر لیں۔ یہ دو جہتی ذیلی جگہ کی وضاحت کرتے ہیں - فرش کے متوازی ایک فلیٹ طیارہ۔

ریاضی دان اکثر ویکٹر کی محدود جگہوں اور ذیلی جگہوں کے ساتھ کام کرتے ہیں، جہاں ویکٹر ہر ممکنہ سمت کی طرف اشارہ نہیں کر سکتے (اور لمبائی کا ایک جیسا تصور نہیں رکھتے)۔ اس دنیا میں، ہر ویکٹر اسپیس میں صرف ایک محدود تعداد میں ویکٹر ہوتے ہیں۔

ذیلی جگہ ڈیزائن کا مسئلہ اس سے نمٹتا ہے۔ nجہتی ویکٹر کی جگہیں اور ان کی ذیلی جگہیں۔ اس طرح کے ویکٹر خالی جگہوں میں - دوبارہ، اتنی دیر تک n کافی بڑا ہے اور سادہ شرائط کو پورا کرتا ہے — کیا آپ کو ایک مجموعہ مل سکتا ہے۔ kجہتی ذیلی جگہیں جیسے کہ کوئی بھی tجہتی ذیلی جگہ بالکل ان میں سے ایک میں موجود ہے؟ ایسی چیز کو کہا جاتا ہے (n, k, t) ذیلی جگہ ڈیزائن۔ یہ تصوراتی طور پر عام ڈیزائن کے مسئلے سے ملتا جلتا ہے، لیکن اس میں ایسے انتظامات شامل ہیں جو بہت زیادہ سختی سے محدود ہیں۔

"یہ ایک اہم مسئلہ ہے کیونکہ یہ ایک طرف سیٹوں اور ذیلی سیٹوں کے درمیان بہت گہری مشابہت کا ایک کونا ہے، اور دوسری طرف ویکٹر اسپیس اور سب اسپیسز،" کہا۔ پیٹر کیمرون سکاٹ لینڈ میں سینٹ اینڈریوز یونیورسٹی کے۔

50 سالوں میں جب سے ریاضی دانوں نے اس مسئلے کے بارے میں سوچنا شروع کیا، انہوں نے یہ پایا صرف ایک غیر معمولی مثال (حالانکہ وہ جانتے ہیں کہ ذیلی جگہوں کے مزید عمومی قسم کے ڈیزائن موجود ہیں): 13 جہتی ویکٹر اسپیس میں، یہ ممکن ہے کہ دو جہتی ذیلی جگہوں کو تین جہتی کے ساتھ بالکل ایک بار احاطہ کیا جائے۔ نتیجہ کے لیے کمپیوٹر پر مبنی ایک بڑے ثبوت کی ضرورت تھی، کیوں کہ اتنی چھوٹی اقدار کے لیے بھی n, k اور t، آپ لاکھوں ذیلی جگہوں کے ساتھ کام کرتے ہیں۔ اس طرح کے نظام کی پیچیدگی "صرف ہمارے تخیل سے باہر نہیں ہے؛ یہ ہمارے تصور سے باہر ہے،" کہا تووی ایٹزیون اسرائیل میں ٹیکنین کا، جس نے مثال کو دریافت کرنے میں مدد کی۔

لیکن کیا سب اسپیس ڈیزائن ہمیشہ موجود ہیں، کسی کے لیے؟ k اور t? کچھ ریاضی دانوں نے قیاس کیا کہ، بڑے پیمانے پر، ایسی اشیاء ناممکن ہیں۔ کیوش نے کہا کہ دوسروں نے، ڈیزائنوں پر سالوں کے دوران کیے گئے کام سے خوش ہو کر سوچا کہ "یہ ثابت کرنا مشکل ہو سکتا ہے، لیکن اگر ان کے نہ ہونے کی کوئی واضح وجہ نہیں ہے، تو ان کا وجود ہونا چاہیے،" کیوش نے کہا۔

ساہ نے کہا کہ ڈیزائن کے دائرے کے مقابلے میں، "اس مسئلے کے لیے، کچھ بھی نہیں تھا۔ "میرا اندازہ ہے کہ جب بھی ایسا ہوتا ہے تو تھوڑا سا تجسس پیدا کرتا ہے۔"

غلطیوں کے لیے ایک سپنج

ساہ اور ساہنی 2017 میں انڈرگریجویٹس کے طور پر ملاقات کی۔ ایم آئی ٹی میں (اور اسی پڑھنے والے گروپ میں شامل ہوا)۔ چند ماہ بعد، "انہوں نے مل کر کام کرنا شروع کیا اور بس کبھی نہیں رکے،" کونلن نے کہا۔ "وہ اس شرح پر اعلیٰ معیار کی تحقیق کر رہے ہیں جہاں میں پلکیں بھی نہیں جھپک سکتا۔"

دو نوجوان ریاضی دان اس بات پر متوجہ ہوئے کہ ذیلی جگہ کے ڈیزائن کی صرف ایک واضح مثال کو لکھنا بہت مشکل تھا، اور انہوں نے اس مسئلے کو امتزاج میں اہم تکنیکوں کی حدود کو تلاش کرنے کے ایک بہترین طریقہ کے طور پر دیکھا۔

اس دوران کیوش نے اپنے 2014 کے نتائج کے بعد سے اس سوال کو اپنے ذہن میں رکھا تھا۔ جب ساہ اور ساہنی نے پچھلے سال ایک کانفرنس میں ان سے رابطہ کیا تو تینوں نے اس کے لیے جانے کا فیصلہ کیا۔

انہوں نے اسی مجموعی حکمت عملی کی پیروی کی جو کیوش نے اپنے ڈیزائن کے کام میں رکھی تھی — لیکن سخت رکاوٹوں کی وجہ سے، "عملی طور پر، تمام اقدامات ان کے نفاذ میں بہت مختلف تھے،" کیوش نے کہا۔ سب سے پہلے، انہوں نے ذیلی جگہوں کا احتیاط سے منتخب کردہ سیٹ ایک طرف رکھا، جسے ٹیمپلیٹ کہتے ہیں۔ ٹیمپلیٹ بعد میں بے ترتیبی کے سمندر میں ساخت کے جزیرے کے طور پر کام کرے گا۔

اس کے بعد انہوں نے بنیادی طور پر بے ترتیب عمل کا ایک ترمیم شدہ ورژن لاگو کیا جسے Rödl Nibble کہا جاتا ہے تاکہ زیادہ تر باقی ذیلی جگہوں کا احاطہ کیا جاسکے۔ اس نے ذیلی جگہوں کا ایک ویرل ہوج پاج چھوڑ دیا جس سے انہیں ابھی بھی نمٹنا تھا۔ سطح پر، وہ ذیلی جگہیں مکمل طور پر غیر ساختہ لگ رہی تھیں۔ ایسا لگتا تھا کہ انہیں ایسے جھرمٹوں میں ترتیب دینا ناممکن ہے جن کا مناسب طریقے سے احاطہ کیا جا سکے۔

یہیں سے ٹیمپلیٹ آیا۔ انہوں نے ٹیمپلیٹ کو ٹکڑے ٹکڑے کر دیا اور اس کی کچھ ذیلی جگہوں کو ہوج پاج میں موجود ذیلی جگہوں کے ساتھ جوڑ دیا - انہیں آسانی سے بڑے انتظامات میں جوڑ کر جو مناسب طریقے سے ڈھانپ سکتے تھے۔ انہیں احتیاط سے ٹریک کرنا تھا کہ وہ یہ کیسے کر رہے ہیں تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ ان کی ہر حرکت اس عالمی ڈھانچے کی طرف لے جاتی ہے۔ لیکن بالآخر، وہ ٹیمپلیٹ کو ان تمام سوراخوں کو بھرنے کے لیے استعمال کرنے میں کامیاب ہو گئے جنہیں Rödl نبل ڈھکنے کے قابل نہیں تھا۔ ایک سپنج کی طرح، ٹیمپلیٹ نے ڈیزائن میں موجود تمام خرابیوں کو بھگا دیا۔ (نتیجے کے طور پر، اس عمومی تکنیک کو "جذب" کہا جاتا ہے۔) "یہ تقریباً ایسا ہی ہے جیسے آپ کونے میں قالین بچھانے کی کوشش کر رہے ہوں،" ساہنی نے کہا۔ "یہ کہیں اور پاپ اپ ہوتا ہے، اور آپ اسے دھکا دیتے ہیں، اور کسی نہ کسی طرح، 20 دھکے لگانے کے بعد، قالین بالکل چپٹا ہے۔"

اس سے ثبوت مکمل ہو گیا۔ یہ نوٹ کرنا ضروری ہے کہ، جیسا کہ ڈیزائن کے کام کے ساتھ، یہ نتیجہ، کم از کم نظریاتی طور پر، ان اشیاء کو بنانے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے - لیکن صرف بہت بڑے کے لیے n. ٹھوس، عملی مثالیں تلاش کرنا مستقبل کے لیے ایک کام ہے۔

آخر میں، کام کی مثال دی گئی ایک اور متضاد طریقہ کہ ریاضی دان چھپی ہوئی ساخت کو تلاش کرنے کے لیے بے ترتیب قوتوں کا استعمال کر سکتے ہیں۔ "ہر طرح کی غیر متوقع ساخت ممکن ہے،" کہا چیرل پریگر، یونیورسٹی آف ویسٹرن آسٹریلیا میں ایک ریاضی دان۔

کیمرون نے کہا کہ "ثبوت یہ ظاہر کرتا ہے کہ کیواش کی تکنیک اس سے کہیں زیادہ وسیع سیاق و سباق میں کام کرتی ہے جس کے لیے وہ ڈیزائن کیے گئے تھے،" کیمرون نے کہا۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ ہوشیار طریقوں سے بے ترتیب پن اور جذب کو یکجا کرکے دیگر مشکل مسائل سے نمٹا جاسکتا ہے۔

یہ تکنیک ساہنی کو جادوئی محسوس ہوئی جب اس نے پہلی بار ان کے بارے میں انڈرگریجویٹ کے طور پر کیوش کے پیپر میں پڑھا۔ یہاں تک کہ اب جب کہ اس نے ان کے بارے میں بہت گہری سمجھ حاصل کر لی ہے، "یہ تاثر دور نہیں ہوتا ہے۔"