ریاضی کی 'A-ٹیم' اضافہ اور سیٹ کے درمیان ایک اہم ربط ثابت کرتی ہے | کوانٹا میگزین

نمبروں کے تصادفی طور پر منتخب کردہ سیٹ میں، اضافہ جنگلی ہوسکتا ہے۔

اس طرح کے سیٹ سے ہر جوڑے کو ایک ساتھ شامل کریں، اور آپ کو ایک نئی فہرست ملے گی جس میں آپ کے شروع کردہ نمبروں سے کہیں زیادہ تعداد ہونے کا امکان ہے۔ 10 بے ترتیب نمبروں سے شروع کریں، اور اس نئی فہرست (جسے سمیٹ کہا جاتا ہے) میں تقریباً 50 عناصر ہوں گے۔ 100 سے شروع کریں اور سمیٹ میں شاید 5,000 کے قریب ہوں گے۔ 1,000 بے ترتیب ابتدائی نمبرز ایک مجموعہ 500,000 نمبروں کو لمبا بنائیں گے۔

لیکن اگر آپ کے ابتدائی سیٹ کی ساخت ہے تو سم سیٹ اس سے کم نمبروں کے ساتھ ختم ہو سکتا ہے۔ ایک اور 10 نمبروں کے سیٹ پر غور کریں: 2 سے 20 تک کے تمام جوڑے۔ کیونکہ مختلف جوڑے ایک ہی نمبر میں شامل ہوں گے — 10 + 12 8 + 14 اور 6 + 16 کے برابر ہے — سم سیٹ میں صرف 19 نمبر ہیں، نہیں 50. یہ فرق زیادہ سے زیادہ گہرا ہوتا جاتا ہے جیسے جیسے سیٹ بڑے ہوتے جاتے ہیں۔ 1,000 نمبروں کی ایک منظم فہرست میں صرف 2,000 نمبروں کے ساتھ ایک مجموعہ ہوسکتا ہے۔

1960 کی دہائی میں ایک ریاضی دان کا نام گریگوری فریمین اضافے اور سیٹ ڈھانچے کے درمیان تعلق کی چھان بین کرنے کی کوشش میں چھوٹے مجموعوں کے ساتھ سیٹوں کی چھان بین شروع کی - ایک اہم کنکشن جو اضافی combinatorics کے ریاضیاتی میدان کی وضاحت کرتا ہے۔ فریمین نے متاثر کن پیشرفت کرتے ہوئے یہ ثابت کیا کہ چھوٹے سمیٹ والے سیٹ میں ایک بڑے سیٹ پر مشتمل ہونا ضروری ہے جس کے عناصر کو انتہائی باقاعدہ پیٹرن میں فاصلہ دیا گیا ہو۔ لیکن پھر میدان جم گیا۔ "فری مین کے اصل ثبوت کو سمجھنا غیر معمولی طور پر مشکل تھا، یہاں تک کہ کسی کو بھی اس بات کا یقین نہیں تھا کہ یہ درست ہے۔ لہذا اس کا واقعی وہ اثر نہیں ہوا جو اس کا پڑ سکتا ہے، "کہا۔ ٹموتھی گوورز، کالج ڈی فرانس اور کیمبرج یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان اور فیلڈز میڈلسٹ۔ "لیکن اس کے بعد امرے روزا جائے وقوعہ پر پھٹ پڑے۔"

ایک سلسلہ میں دو کاغذات 1990 کی دہائی میں، روزا نے ایک خوبصورت نئی دلیل کے ساتھ فریمین کے تھیوریم کو دوبارہ ثابت کیا۔ چند سال بعد، کیٹالن مارٹنہنگری کے ایک بااثر ریاضی دان جس کا انتقال 2019 میں ہوا، نے اس سوال کو ٹویٹ کیا کہ ایک چھوٹا سا مجموعہ اصل سیٹ کی ساخت کے بارے میں کیا معنی رکھتا ہے۔ اس نے سیٹ میں ظاہر ہونے والے عناصر کی اقسام اور اس ساخت کی قسم کو تبدیل کر دیا جسے ریاضی دانوں کو تلاش کرنا چاہیے، یہ سوچ کر کہ اس سے ریاضی دانوں کو مزید معلومات حاصل کرنے کا موقع ملے گا۔ مارٹن کا قیاس پروف سسٹمز، کوڈنگ تھیوری اور کرپٹوگرافی سے تعلق رکھتا ہے، اور اضافی امتزاجات میں ایک اعلیٰ مقام رکھتا ہے۔

اس کا اندازہ "واقعی سب سے بنیادی چیزوں میں سے ایک کی طرح محسوس ہوتا ہے جسے ہم نہیں سمجھتے تھے،" نے کہا بین گرین، آکسفورڈ یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ یہ "صرف بہت سی چیزوں کو زیر کرتا ہے جن کی مجھے پرواہ ہے۔"

گرین نے گاورز کے ساتھ افواج میں شمولیت اختیار کی، فریڈی آداب یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، سان ڈیاگو، اور Terence تاؤ، یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، لاس اینجلس میں فیلڈز میڈلسٹ جو اسرائیلی ریاضی دان اور بلاگر ہیں گل کلائی کہا جاتا ہے "ایک جماعت"ریاضی دانوں کا۔ انہوں نے ایک مقالے میں قیاس کا ایک ورژن ثابت کیا۔ 9 نومبر کو شیئر کیا گیا۔.

نیٹ کٹز، رائس یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان جو اس کام میں شامل نہیں تھے، ثبوت کو "خوبصورت طور پر سیدھا" — اور "کم و بیش مکمل طور پر نیلے رنگ سے باہر" کے طور پر بیان کرتے ہیں۔

تاؤ نے پھر ثبوت کو باقاعدہ بنانے کی کوشش شروع کی۔ جاؤ، ایک پروگرامنگ زبان جو ریاضی دانوں کو نظریات کی تصدیق میں مدد کرتی ہے۔ صرف چند ہفتوں میں یہ کوشش کامیاب ہو گئی۔ منگل 5 دسمبر کی صبح سویرے، تاؤ نے اعلان کیا۔ کہ Lean نے بغیر کسی "معذرت" کے قیاس کو ثابت کیا تھا - معیاری بیان جو ظاہر ہوتا ہے جب کمپیوٹر کسی خاص مرحلے کی تصدیق نہیں کر سکتا۔ یہ اس طرح کا سب سے زیادہ پروفائل استعمال ہے۔ 2021 سے تصدیقی ٹولز، اور ریاضی دان ان شرائط میں ثبوت لکھنے کے طریقوں میں ایک انفلیکشن پوائنٹ کو نشان زد کرتا ہے جس کو کمپیوٹر سمجھ سکتا ہے۔ گوورز نے کہا کہ اگر یہ ٹولز ریاضی دانوں کے لیے استعمال کرنے کے لیے کافی آسان ہو جاتے ہیں، تو وہ اکثر طویل اور مشکل ہم مرتبہ جائزہ لینے کے عمل کا متبادل بن سکتے ہیں۔

ثبوت کے اجزاء کئی دہائیوں سے ابل رہے تھے۔ گاؤرز نے 2000 کی دہائی کے اوائل میں اپنے پہلے اقدامات کا تصور کیا۔ لیکن اس بات کو ثابت کرنے میں 20 سال لگ گئے جسے کلائی نے کھیت کا "مقدس پتھر" کہا تھا۔

گروپ میں

مارٹن کے قیاس کو سمجھنے کے لیے، یہ ایک گروپ کے تصور سے واقف ہونے میں مدد کرتا ہے، ایک ریاضیاتی چیز جو ایک سیٹ اور ایک آپریشن پر مشتمل ہوتی ہے۔ انٹیجرز کے بارے میں سوچو - اعداد کا ایک لامحدود سیٹ - اور اضافے کا عمل۔ جب بھی آپ دو عدد عدد کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں تو آپ کو دوسرا عدد حاصل ہوتا ہے۔ اضافہ گروپ آپریشنز کے کچھ دوسرے اصولوں کی بھی پابندی کرتا ہے، جیسے کہ ایسوسی ایٹیٹی، جو آپ کو آپریشنز کی ترتیب کو تبدیل کرنے دیتا ہے: 3 + (5 + 2) = (3 + 5) + 2۔

ایک گروپ کے اندر، آپ کو بعض اوقات چھوٹے سیٹ مل سکتے ہیں جو گروپ کی تمام خصوصیات کو پورا کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر آپ کوئی بھی دو عدد جوڑتے ہیں، تو آپ کو ایک اور جفت نمبر ملے گا۔ جفت اعداد اپنے لیے ایک گروپ ہیں، ان کو عدد کا ذیلی گروپ بناتے ہیں۔ طاق اعداد، اس کے برعکس، ذیلی گروپ نہیں ہیں۔ اگر آپ دو طاق نمبروں کو جوڑتے ہیں، تو آپ کو ایک یکساں نمبر ملتا ہے - اصل سیٹ میں نہیں۔ لیکن آپ تمام طاق اعداد حاصل کر سکتے ہیں صرف 1 کو ہر ایک عدد میں جوڑ کر۔ اس طرح کے ایک شفٹ شدہ ذیلی گروپ کو کوسیٹ کہا جاتا ہے۔ اس میں ذیلی گروپ کی تمام خصوصیات نہیں ہیں، لیکن یہ اپنے ذیلی گروپ کی ساخت کو کئی طریقوں سے برقرار رکھتا ہے۔ مثال کے طور پر، جفت نمبروں کی طرح، طاق اعداد بھی تمام یکساں فاصلہ پر ہیں۔

مارٹن نے سوچا کہ اگر آپ کے پاس کوئی سیٹ ہے جسے ہم کال کریں گے۔ A گروپ عناصر سے بنا ہے جن کا مجموعہ اس سے زیادہ بڑا نہیں ہے۔ A خود، پھر کچھ ذیلی گروپ موجود ہے - اسے کال کریں۔ G - ایک خاص خاصیت کے ساتھ۔ شفٹ G cosets بنانے کے لیے چند بار، اور وہ cosets، ایک ساتھ لیے جائیں گے، اصل سیٹ پر مشتمل ہوں گے۔ A. مزید یہ کہ، اس کا خیال تھا کہ کوسیٹس کی تعداد سم سیٹ کے سائز سے زیادہ تیزی سے نہیں بڑھتی ہے - اس کا خیال تھا کہ اس کا تعلق ایک کثیر الثانی عنصر سے ہونا چاہیے، جیسا کہ بہت زیادہ تیز رفتار نمو کے برخلاف ہے۔

یہ ایک انتہائی تکنیکی تجسس کی طرح لگ سکتا ہے۔ لیکن کیونکہ یہ ایک سادہ ٹیسٹ سے متعلق ہے - جب آپ سیٹ میں صرف دو عناصر شامل کرتے ہیں تو کیا ہوتا ہے؟ - ایک ذیلی گروپ کی بنیادی ساخت کے لیے، یہ ریاضی دانوں اور کمپیوٹر سائنس دانوں کے لیے بہت اہم ہے۔ یہی عام خیال اس وقت ظاہر ہوتا ہے جب کمپیوٹر سائنس دان پیغامات کو خفیہ کرنے کی کوشش کرتے ہیں تاکہ آپ وقت پر پیغام کا تھوڑا سا ڈی کوڈ کر سکیں۔ یہ ممکنہ طور پر جانچنے کے قابل ثبوتوں میں بھی ظاہر ہوتا ہے، یہ ثبوت کی ایک شکل ہے جس کی تصدیق کمپیوٹر سائنس دان معلومات کے صرف چند الگ تھلگ بٹس کو چیک کر کے کر سکتے ہیں۔ ان میں سے ہر ایک صورت میں، آپ ڈھانچے میں صرف چند پوائنٹس کے ساتھ کام کرتے ہیں — ایک طویل پیغام سے صرف چند بٹس کو ڈی کوڈ کرتے ہوئے، یا کسی پیچیدہ ثبوت کے ایک چھوٹے سے حصے کی تصدیق کرتے ہوئے — اور کسی بڑے، اعلیٰ سطحی ڈھانچے کے بارے میں کچھ نتیجہ اخذ کرتے ہیں۔

"آپ یا تو دکھاوا کر سکتے ہیں کہ سب کچھ ایک گروپ کا ایک بڑا ذیلی سیٹ ہے،" کہا ٹام سینڈرز, Gowers کے ایک سابق طالب علم جو کہ اب آکسفورڈ میں Green's کے ساتھی ہیں، یا آپ کر سکتے ہیں، "بہت سے اضافی اتفاقات کے وجود سے وہ سب کچھ حاصل کر سکتے ہیں جو آپ چاہتے تھے۔ یہ دونوں نقطہ نظر مفید ہیں۔"

روضہ مارٹن کا قیاس 1999 میں شائع ہوا۔، اسے پورا کریڈٹ دینا۔ انہوں نے کہا، "وہ مجھ سے اور فریمین سے آزادانہ طور پر اور شاید ہم سے پہلے اس قیاس پر آئی تھیں۔" "اسی لیے، جب میں نے اس سے بات کی تو میں نے اسے اس کا قیاس قرار دینے کا فیصلہ کیا۔" پھر بھی، ریاضی دان اب اسے کثیر الجہتی فریمین-روزا قیاس، یا PFR کہتے ہیں۔

زیرو اور اونس

گروپس، بہت سی ریاضیاتی اشیاء کی طرح، بہت سی مختلف شکلیں لیتے ہیں۔ مارٹن کا خیال تھا کہ اس کا قیاس تمام گروہوں کے لیے درست ہے۔ یہ دکھایا جانا ابھی باقی ہے۔ نیا کاغذ اسے ایک خاص قسم کے گروپ کے لیے ثابت کرتا ہے، جو اس کے عناصر کے طور پر بائنری نمبروں کی فہرست لیتا ہے جیسے (0، 1، 1، 1، 0)۔ چونکہ کمپیوٹر بائنری میں کام کرتے ہیں، اس لیے یہ گروپ کمپیوٹر سائنس میں اہم ہے۔ لیکن یہ additive combinatorics میں بھی کارآمد رہا ہے۔ "یہ اس کھلونا کی ترتیب کی طرح ہے جس میں آپ ایک طرح سے کھیل سکتے ہیں اور چیزوں کو آزما سکتے ہیں،" سینڈرز نے کہا۔ انہوں نے مزید کہا کہ مکمل نمبروں کے ساتھ کام کرنے کے مقابلے میں الجبرا بہت زیادہ، بہت اچھا ہے۔

فہرستوں کی مقررہ طوالت ہوتی ہے، اور ہر بٹ یا تو 0 یا 1 ہو سکتا ہے۔ آپ ہر اندراج کو دوسری فہرست میں اس کے ہم منصب میں شامل کر کے ایک ساتھ شامل کرتے ہیں، اس اصول کے ساتھ کہ 1 + 1 = 0۔ تو (0, 1, 1, 1) ، 0) + (1، 1، 1، 1، 1) = (1، 0، 0، 0، 1)۔ PFR یہ جاننے کی کوشش ہے کہ سیٹ کیسا لگ سکتا ہے اگر یہ کافی ذیلی گروپ نہیں ہے لیکن اس میں کچھ گروپ جیسی خصوصیات ہیں۔

PFR کو درست بنانے کے لیے، تصور کریں کہ آپ کے پاس بائنری فہرستوں کا ایک سیٹ ہے جسے کہا جاتا ہے۔ A. اب عناصر کے ہر جوڑے سے لیں۔ A اور ان کو شامل کریں. نتیجے میں ملنے والی رقم کا مجموعہ بنتا ہے۔ A، سے ملاقات کی A + A. اگر کے عناصر A تصادفی طور پر منتخب کیا جاتا ہے، پھر زیادہ تر رقوم ایک دوسرے سے مختلف ہوتی ہیں۔ اگر موجود ہیں۔ k میں عناصر A، اس کا مطلب ہے کہ آس پاس ہوگا۔ k²/2 عناصر سمیٹ میں۔ کب k بڑا ہے - کہو، 1,000 - k²/2 سے بہت بڑا ہے۔ k. لیکن اگر A ایک ذیلی گروپ ہے، کا ہر عنصر A + A میں ہے A، مطلب یہ ہے کہ A + A جیسا ہی سائز ہے۔ A خود.

PFR ایسے سیٹوں پر غور کرتا ہے جو بے ترتیب نہیں ہیں، لیکن ذیلی گروپ بھی نہیں ہیں۔ ان سیٹوں میں، عناصر کی تعداد A + A کچھ چھوٹا ہے - کہو، 10k، یا 100k. "یہ واقعی مفید ہے جب ساخت کے بارے میں آپ کا تصور صرف ایک عین الجبری ڈھانچہ ہونے سے کہیں زیادہ امیر ہو،" کہا۔ شاچر لیوٹ، یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، سان ڈیاگو میں کمپیوٹر سائنسدان۔

تاؤ نے کہا کہ تمام ریاضی دان جانتے تھے کہ وہ اس خاصیت کی اطاعت کرتے ہیں "حقیقی ذیلی گروپوں کے بہت قریب ہیں۔" "یہ وجدان تھا، کہ ارد گرد کوئی اور قسم کے جعلی گروپ نہیں تھے۔" فریمین نے اپنے اصل کام میں اس بیان کا ایک ورژن ثابت کیا تھا۔ 1999 میں، روزا نے فریمین کے تھیوریم کو انٹیجرز سے بائنری لسٹوں کی ترتیب تک بڑھا دیا۔ اس نے ثابت کیا۔ کہ جب عناصر کی تعداد A + A کے سائز کا ایک مستقل ضرب ہے۔ A, A ذیلی گروپ میں شامل ہے۔

لیکن روزسا کے نظریہ کے لیے ذیلی گروپ کو بہت بڑا ہونا ضروری تھا۔ مارٹن کی بصیرت یہ تھی کہ ایک بڑے ذیلی گروپ میں شامل ہونے کے بجائے، A ایک ذیلی گروپ کے cosets کی کثیر تعداد میں شامل کیا جا سکتا ہے جو اصل سیٹ سے بڑا نہیں ہے A.

'جب میں ایک حقیقی آئیڈیا دیکھتا ہوں تو مجھے ایک حقیقی خیال معلوم ہوتا ہے'

ہزار سال کی باری کے آس پاس، گوورز نے یکساں فاصلہ والے نمبروں کے تاروں پر مشتمل سیٹوں کے بارے میں ایک مختلف مسئلہ کا مطالعہ کرتے ہوئے فریمین کے تھیوریم کے روزسا کے ثبوتوں کو دیکھا۔ "مجھے کچھ اس طرح کی ضرورت تھی، ایک مخصوص سیٹ کے بارے میں بہت کم معلومات سے ساختی معلومات حاصل کرنا،" گاورز نے کہا۔ "میں بہت خوش قسمت تھا کہ اتنا عرصہ پہلے، روزا نے یہ بالکل خوبصورت ثبوت پیش کیا۔"

گوورز نے قیاس کے کثیر الثانی ورژن کے ممکنہ ثبوت پر کام کرنا شروع کیا۔ اس کا خیال ایک سیٹ سے شروع کرنا تھا۔ A جس کا مجموعہ نسبتاً چھوٹا تھا، پھر آہستہ آہستہ جوڑ توڑ A ایک ذیلی گروپ میں اگر وہ ثابت کر سکتا ہے کہ نتیجے میں آنے والا ذیلی گروپ اصل سیٹ سے ملتا جلتا تھا۔ A، وہ آسانی سے یہ نتیجہ اخذ کر سکتا تھا کہ قیاس درست تھا۔ گوورز نے اپنے خیالات کو ساتھیوں کے ساتھ شیئر کیا، لیکن کوئی بھی انہیں مکمل ثبوت میں ڈھال نہیں سکا۔ اگرچہ گوورز کی حکمت عملی کچھ معاملات میں کامیاب رہی، دوسروں میں ہیرا پھیری ہوئی۔ A کثیر الجہتی فریمین-روزا قیاس کے مطلوبہ اختتام سے مزید دور۔

آخر کار میدان آگے بڑھا۔ 2012 میں، سینڈرز تقریبا PFR ثابت ہوا. لیکن شفٹ شدہ ذیلی گروپوں کی تعداد جس کی اسے ضرورت تھی وہ کثیر الثانی سطح سے اوپر تھی، اگرچہ صرف تھوڑا سا۔ "ایک بار جب اس نے ایسا کیا، تو اس کا مطلب یہ تھا کہ یہ ایک کم ضروری چیز بن گئی ہے، لیکن پھر بھی ایک بہت اچھا مسئلہ ہے جس کے لیے مجھے بہت شوق ہے،" گاورز نے کہا۔

لیکن گاؤرز کے خیالات ان کے ساتھیوں کی یادوں اور ہارڈ ڈرائیوز میں زندہ رہے۔ "وہاں ایک حقیقی خیال ہے،" گرین نے کہا، جو گاؤرز کا طالب علم بھی رہا ہے۔ "جب میں ایک حقیقی خیال دیکھتا ہوں تو مجھے ایک حقیقی خیال معلوم ہوتا ہے۔" اس موسم گرما میں، گرین، مینرز اور تاؤ نے آخر کار گاؤرز کے خیالات کو ان کی صفائی سے آزاد کر دیا۔

گرین، تاؤ اور آداب 37 صفحات پر گہرے تعاون میں تھے اس سے پہلے کہ وہ گاورز کے 20 سال پرانے آئیڈیاز پر واپس جائیں گے۔ 23 جون میں کاغذ، انہوں نے کامیابی کے ساتھ امکانی تھیوری سے ایک تصور استعمال کیا تھا جسے random variables کہا جاتا ہے تاکہ چھوٹے sumsets کے ساتھ سیٹوں کی ساخت کی جانچ کی جا سکے۔ اس سوئچ کو بنانے سے، گروپ اپنے سیٹوں کو زیادہ نفاست سے جوڑ سکتا ہے۔ "بے ترتیب متغیرات سے نمٹنا سیٹوں سے نمٹنے کے مقابلے میں کسی حد تک کم سخت ہے،" آداب نے کہا۔ ایک بے ترتیب متغیر کے ساتھ، "میں امکان میں سے کسی ایک کو تھوڑی مقدار میں موافقت کر سکتا ہوں، اور یہ مجھے ایک بہتر بے ترتیب متغیر دے سکتا ہے۔"

اس امکانی نقطہ نظر کو استعمال کرتے ہوئے، گرین، مینرز اور تاؤ سیٹ میں عناصر کی تعداد کے ساتھ کام کرنے سے ایک بے ترتیب متغیر میں موجود معلومات کی پیمائش کی طرف بڑھ سکتے ہیں، ایک مقدار جسے اینٹروپی کہتے ہیں۔ Entropy additive combinatorics کے لیے نیا نہیں تھا۔ اصل میں، تاؤ کوشش کی تھی 2000 کی دہائی کے آخر میں اس تصور کو مقبول بنانے کے لیے۔ لیکن ابھی تک کسی نے اسے کثیر الجہتی فریمین-روزا قیاس پر استعمال کرنے کی کوشش نہیں کی۔ گرین، مینرز اور تاؤ نے دریافت کیا کہ یہ طاقتور تھا۔ لیکن وہ پھر بھی قیاس کو ثابت نہیں کر سکے۔

جیسے ہی گروپ نے اپنے نئے نتائج کو چبایا، انہیں احساس ہوا کہ آخر کار انہوں نے ایک ایسا ماحول بنایا ہے جس میں گاؤرز کے غیر فعال خیالات پنپ سکتے ہیں۔ اگر انہوں نے کسی سیٹ کے عناصر کی تعداد کے بجائے اس کی اینٹروپی کا استعمال کرتے ہوئے اس کے سائز کی پیمائش کی تو تکنیکی تفصیلات بہت بہتر ہو سکتی ہیں۔ تاؤ نے کہا، "کچھ وقت پر ہمیں احساس ہوا کہ 20 سال پہلے کے ٹم کے یہ پرانے خیالات درحقیقت ان سے زیادہ کام کرنے کے امکانات تھے جن کی ہم کوشش کر رہے تھے۔" "اور اس طرح ہم ٹم کو پروجیکٹ میں واپس لے آئے۔ اور پھر تمام ٹکڑے حیرت انگیز طور پر اچھی طرح سے ایک ساتھ فٹ ہوجاتے ہیں۔

پھر بھی، ثبوت کے اکٹھے ہونے سے پہلے پتہ لگانے کے لیے بہت سی تفصیلات تھیں۔ آداب نے کہا ، "یہ بے وقوفی کی بات تھی کہ ہم چاروں دیگر چیزوں میں ناقابل یقین حد تک مصروف تھے۔" "آپ اس شاندار نتیجہ کو شائع کرنا چاہتے ہیں اور دنیا کو بتانا چاہتے ہیں، لیکن آپ کو درحقیقت اب بھی اپنے مڈٹرمز لکھنے ہوں گے۔" بالآخر، گروپ آگے بڑھا، اور 9 نومبر کو، انہوں نے اپنا مقالہ پوسٹ کیا۔ انہوں نے ثابت کیا کہ اگر A + A سے بڑا نہیں ہے k کے سائز کے اوقات A، تو A کے بارے میں سے زیادہ کی طرف سے احاطہ نہیں کیا جا سکتا k¹² ایک ذیلی گروپ کی تبدیلیاں جو اس سے بڑا نہیں ہے۔ A. یہ شفٹوں کی ممکنہ طور پر بہت بڑی تعداد ہے۔ لیکن یہ ایک کثیر الثانی ہے، اس لیے یہ تیزی سے نہیں بڑھتا k بڑا ہو جاتا ہے، جیسا کہ یہ ہو گا k ایکسپونٹ میں تھے۔

کچھ دنوں بعد تاؤ کرنے لگے ثبوت کو باقاعدہ بنائیں. اس نے باضابطہ منصوبے کو باہمی تعاون سے چلایا، ورژن کنٹرول پیکج GitHub کا استعمال کرتے ہوئے تعاون کو مربوط کرنے کے لیے دنیا بھر میں 25 رضاکار. انہوں نے ایک ٹول استعمال کیا جسے کہا جاتا ہے۔ بلیو پرنٹ کی طرف سے تیار پیٹرک میسوٹپیرس سیکلے یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان، تاؤ سے ترجمہ کرنے کی کوششوں کو منظم کرنے کے لیے کہا جاتا ہے کمپیوٹر کوڈ میں "ریاضی انگریزی"۔ بلیو پرنٹ، دوسری چیزوں کے علاوہ، ایک بنا سکتا ہے۔ چارٹ ثبوت میں شامل مختلف منطقی مراحل کی عکاسی کرنا۔ ایک بار جب تمام بلبلوں کو اس میں ڈھانپ لیا گیا جسے تاؤ نے "سبز کا خوبصورت سایہ" کہا، ٹیم مکمل ہو گئی۔ انہوں نے کاغذ میں کچھ بہت ہی معمولی ٹائپ کی غلطیاں دریافت کیں — ایک آن لائن میں پیغام، تاؤ نے نوٹ کیا کہ "منصوبے کے سب سے زیادہ ریاضیاتی طور پر دلچسپ حصے رسمی شکل دینے کے لیے نسبتاً سیدھے تھے، لیکن یہ تکنیکی 'واضح' اقدامات تھے جنہوں نے سب سے طویل وقت لیا۔"

مارٹن کا انتقال اس کے مشہور قیاس کے ثابت ہونے سے چند سال قبل ہوا، لیکن ثبوت اس کی بازگشت سنتا ہے۔ زندگی کا کام اینٹروپی اور انفارمیشن تھیوری پر۔ گوورز نے کہا، "جب آپ اس اینٹروپی فریم ورک میں اس فریم ورک کے مقابلے میں ہر چیز کو بہت بہتر طریقے سے کام کرتی ہے، جس میں میں اسے کرنے کی کوشش کر رہا تھا،" گاورز نے کہا۔ "میرے نزدیک، یہ اب بھی کچھ جادوئی لگتا ہے۔"

Quanta ہمارے سامعین کی بہتر خدمت کے لیے سروے کا ایک سلسلہ کر رہا ہے۔ ہماری لے لو ریاضی کے ریڈر سروے اور آپ کو مفت جیتنے کے لیے داخل کیا جائے گا۔ Quanta مرچ۔