نیا ثبوت پراسرار اور طاقتور 'ماڈیولر شکلوں' کو ممتاز کرتا ہے

ایک نئے ثبوت میں، ایک طویل عرصے سے نظر انداز کیے جانے والے ریاضیاتی شے نے آخر کار اپنی توجہ کا مرکز بنا لیا ہے۔

پہلی نظر میں، ماڈیولر شکلیں - وہ افعال جن کی کثرت سے ہم آہنگی نے صدیوں سے ریاضی دانوں کو متوجہ کیا ہے - ایسا لگتا ہے کہ اس نے کافی توجہ حاصل کی ہے۔ وہ ہر طرح کے مسائل میں پیدا ہوتے ہیں: وہ اینڈریو وائلز کے 1994 میں فرمیٹ کے آخری تھیوریم کے ثبوت میں ایک اہم جزو تھے، جس نے نمبر تھیوری کے سب سے بڑے کھلے سوالوں میں سے ایک کو حل کیا۔ میں مرکزی کردار ادا کرتے ہیں۔ لینگ لینڈز پروگرام، "ریاضی کا ایک عظیم متحد نظریہ" تیار کرنے کی ایک جاری کوشش۔ یہاں تک کہ وہ سٹرنگ تھیوری اور کوانٹم فزکس میں ماڈلز کا مطالعہ کرنے کے لیے بھی استعمال ہوتے رہے ہیں۔

لیکن ان سیاق و سباق میں پیدا ہونے والی ماڈیولر شکلیں ایک خاص قسم کی ہوتی ہیں۔ نام نہاد "مطابقت" ماڈیولر فارم اضافی ڈھانچے پر فخر کرتے ہیں جو ان کا مطالعہ کرنا آسان بناتا ہے۔ لیکن زیادہ عام "غیر موافقت" ماڈیولر شکلیں ان کے دوستانہ ہم آہنگی کے ہم منصبوں سے بہت زیادہ ہیں۔ "اگر آپ ایک بے ترتیب ماڈیولر شکل لیتے ہیں، احتمال 1 کے ساتھ یہ غیر موافق ہے،" کہا کیمرون فرانک، کینیڈا میں میک ماسٹر یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "جب تک کہ آپ کے پاس مطابقت پذیر ماڈیولر شکل کا سامنا کرنے کی کوئی اچھی وجہ نہیں ہے، آپ اس کی توقع نہیں کریں گے۔ وہ بہت نایاب ہیں۔"

اور پھر بھی ریاضی دان اپنی ہر جگہ ہونے کے باوجود غیر متفق ماڈیولر شکلوں کے بارے میں بہت کم جانتے ہیں۔ "وہ مکمل طور پر پراسرار ہیں،" کہا انتھونی سکول، کیمبرج یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ نہ صرف اس طرح کے افعال کے عمومی طبقے کے بارے میں ہمہ جہت بیانات دینا مشکل ہے، بلکہ ماڈیولر شکلوں کا مطالعہ کرنے کے لیے تیار کردہ ٹولز غیر موافقت کے معاملے میں ٹوٹ جاتے ہیں۔ اس نے ریاضی دانوں کو اس بارے میں غیر یقینی بنا دیا ہے کہ انہیں کیا ثابت کرنے کی کوشش کرنی چاہئے۔

غیر مطابقت پذیر ماڈیولر شکلوں کے بارے میں ایک بڑا قیاس طویل عرصے سے کھڑا ہے، تاہم: صحرا میں ایک تنہا، غیر مستحکم نشانی۔

1968 میں، ریاضی دانوں اولیور اٹکن اور پیٹر سوئنرٹن-ڈائر نے دیکھا کہ غیر مطابقت پذیر ماڈیولر شکلوں میں خاص طور پر نمایاں خاصیت ہوتی ہے جو انہیں مطابقت پذیر ماڈیولر شکلوں سے ممتاز کرتی ہے۔ کہ دونوں کو الگ بتانے کا ایک ایسا واضح طریقہ ہونا چاہئے کہ "واقعی بہت حیران کن ہے،" نے کہا جیفری میسن، کیلیفورنیا یونیورسٹی، سانتا کروز میں ایک ریاضی دان۔ ہم آہنگی اور غیر موافقت ماڈیولر شکلیں بہت مختلف ہیں، کیونکہ غیر موافقت ماڈیولر شکلوں میں ہم آہنگی کی کمی ہوتی ہے جو ہم آہنگی ماڈیولر شکلوں میں ہوتی ہے۔ لیکن یہ اختلافات، اگرچہ اہم ہیں، ٹھیک ٹھیک اور ان کا پتہ لگانا مشکل ہو سکتا ہے۔

یہاں، اچانک، ان اختلافات کا واضح ثبوت تھا، ظاہر ہو گیا۔

ایٹکن اور سوئنرٹن-ڈائر کا مشاہدہ بعد میں "غیر محدود فرقوں" کے قیاس کے طور پر جانا گیا۔ اگر درست ہے تو، یہ ریاضی دانوں کو غیر متفق اشیاء کے بڑے پیمانے پر غیر دریافت شدہ دائرے میں اپنا پہلا قدم محفوظ کرنے کی اجازت دے گا۔ اور یہ پہچاننے کا ایک آسان طریقہ فراہم کرکے کہ دی گئی ماڈیولر شکل کس طبقے سے تعلق رکھتی ہے، قیاس نظریاتی طبیعیات میں ایک بڑا پروگرام بھی رکھ سکتا ہے - جس کا مقصد ذرہ کے تعامل کے ماڈلز کو سمجھنا ہے جسے کنفارمل فیلڈ تھیوری کہتے ہیں - مضبوط ریاضیاتی بنیاد پر۔

لیکن 50 سال سے زیادہ عرصہ تک کوئی بھی اسے ثابت نہیں کر سکا۔ آخر کار، 2021 کے آخر میں، ریاضی دانوں کی ایک تینوں نے کامیابی حاصل کی۔. ایسا لگتا تھا کہ ان کا ثبوت کہیں سے نہیں نکلا، ایسی تکنیکوں کو استعمال کرنا جس کی کسی کو بھی مطالعہ کے اس شعبے میں دیکھنے کی توقع نہیں تھی۔ ریاضی دان اور طبیعیات دان اب اس کام کے نتائج کو تلاش کرنا شروع کر رہے ہیں۔

ہم آہنگی اور ساخت

غیر موافقت ماڈیولر فارمز کو ہمیشہ مارجن پر نہیں چھوڑا جاتا تھا۔

19ویں صدی میں، ریاضی دان صرف ماڈیولر شکلوں کا نظریہ تیار کرنا شروع کر رہے تھے۔ یہ ایک خاص قسم کے انتہائی ہم آہنگ فنکشن کو دیا گیا نام تھا - جو ایک ایسے ڈومین میں رہتا ہے جسے پیچیدہ جہاز کے اوپری نصف کے نام سے جانا جاتا ہے۔

پیچیدہ طیارہ پیچیدہ نمبروں کو گراف کرنے کا ایک طریقہ ہے، جس کے دو حصے ہوتے ہیں: حقیقی اور خیالی۔ ایک ماڈیولر شکل اپنے ان پٹ کمپلیکس نمبرز کے طور پر لیتی ہے جن کا خیالی حصہ مثبت ہوتا ہے، ہوائی جہاز کے اوپری نصف کے مساوی ہوتا ہے۔ (اوپری آدھے جہاز کو یونٹ ڈسک کے اندرونی حصے میں آسانی سے نقشہ بنایا جا سکتا ہے؛ اس نقشہ سازی کا استعمال کرتے ہوئے اکثر ماڈیولر شکلوں کو دکھایا جاتا ہے۔)

ماڈیولر شکلوں کی بہت سی ہم آہنگیوں کی وضاحت خصوصی مجموعوں، یا 2-2-1 میٹرکس کے "گروپوں" کے لحاظ سے کی گئی ہے - چار نمبروں کی مربع صفیں۔ ماڈیولر شکلوں میں، وہ چار نمبر ہمیشہ عددی ہوتے ہیں۔ اہم طور پر، میٹرکس سے وابستہ ایک عدد جو اس کی کچھ خصوصیات کا تعین کرتا ہے — جسے تعین کنندہ کہا جاتا ہے — XNUMX ہونا چاہیے۔

میٹرکس کے اس طرح کے لامحدود بہت سے سیٹ ہیں۔ کچھ گروپوں میں، میٹرکس کو نسبتاً سیدھے اصولوں کے ذریعے بیان کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، تمام میٹرکس میں، اوپری دائیں اور نیچے بائیں اندراجات برابر ہو سکتے ہیں، جبکہ دیگر دو اندراجات طاق ہیں۔ یا شاید اوپری دائیں اور نیچے بائیں اندراجات کو 11 سے تقسیم کیا جا سکتا ہے، جبکہ دیگر دو اندراجات 1 کے ضرب سے 11 زیادہ ہیں۔

اس قسم کے تعلقات سے جن گروہوں کی تعریف کی جا سکتی ہے — اور اس طرح کے گروہوں سے وابستہ ماڈیولر شکلیں — بہت زیادہ مطالعہ شدہ ہم آہنگی ہیں۔

لیکن وہ گھاس کے ڈھیر میں سوئیوں کی طرح ہیں: 2-by-2 میٹرکس کے زیادہ تر مجموعوں کو اس طرح اچھے اصولوں سے نہیں بنایا جا سکتا، جس سے وہ اور ان سے منسلک ماڈیولر شکلیں غیر متفق ہیں۔

یہ 1930 کی دہائی کے آخر تک نہیں تھا - دوسری جنگ عظیم کے آغاز کے آس پاس - کہ ہم آہنگی ماڈیولر شکلوں کے مطالعہ نے غیر متفقہ شکلوں کے مطالعہ کو گرہن لگانا شروع کردیا۔ اسی وقت جرمن ریاضی دان ایرک ہیکے نے ایک ٹول باکس تیار کیا جو اسے ماڈیولر شکلوں کی بہت سی خصوصیات کو پن کرنے اور انہیں دیگر اہم ریاضیاتی اشیاء کے ساتھ منسلک کرنے کی اجازت دے گا۔

Hecke کے طریقوں نے صرف ہم آہنگی گروپوں اور ان کی ماڈیولر شکلوں کے لیے کام کیا۔ غیر متفق گروپوں میں اضافی ڈھانچے کی کمی تھی جس نے ہیک کے ٹول باکس کو موثر بنایا۔ "یہ چیز جو آپ کے پاس متفقہ دنیا میں ہے جب آپ غیر متفقہ دنیا میں جاتے ہیں تو دروازے سے باہر ہو جاتے ہیں،" فرانک نے کہا۔

اور اس طرح ایسا لگتا تھا کہ غیر متفقہ ماڈیولر شکلوں کو ہمیشہ نظر انداز کیا جانا مقصود تھا۔ اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ ان کی اپنی کوئی خاص ساخت نہیں تھی، صرف سطح کے نیچے چھپی ہوئی تھی۔ جیسا کہ Swinnerton-Dyer کے ساتھی برائن برچ نے ایک بار لکھا تھا، "اگرچہ ساخت زیادہ پراسرار ہے یہ تقریباً اتنا ہی امیر لگتا ہے۔" لیکن جب اس ڈھانچے تک رسائی کی بات آئی تو ریاضی دان خسارے میں تھے۔ وہ یہ بھی نہیں جانتے تھے کہ کہاں سے شروع کریں۔

Atkin اور Swinnerton-Dyer درج کریں۔

ایک صاف معیار

دونوں ریاضی دان غیر متفق ماڈیولر شکلوں کے بارے میں مزید جاننا چاہتے تھے، اور جو بھی راز وہ چھپا رہے ہوں گے۔

"ہمیشہ اسی طرح ریاضی کی ترقی ہوتی ہے،" کہا ونی لی۔، پنسلوانیا اسٹیٹ یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "آپ بہت خاص خصوصیات اور زیادہ ساخت کے ساتھ چیزوں کا مطالعہ کرتے ہیں۔ پھر آپ اسے عام کرنے کے لیے جاتے ہیں، یہ سمجھنے کی کوشش کرتے ہیں کہ کون سی خصوصیات اپنے اندر ہوتی ہیں اور کون سی نہیں۔

دی گئی ماڈیولر شکل کا مطالعہ کرنے کے لیے، ریاضی دان اکثر اسے ایک لامحدود رقم کے طور پر پیش کرتے ہیں جسے q-توسیع (ایک خاص قسم کی پاور سیریز) کہا جاتا ہے، پھر اس توسیع کے قابلیت کا تجزیہ کرتے ہیں۔ یہ پہلے ہی معلوم تھا کہ اگر ایک دی گئی ماڈیولر شکل ہم آہنگی ہے، تو کوفیینٹ میں ڈینومینیٹر ہوتے ہیں جو کبھی بھی کسی مقررہ قدر سے بڑے نہیں ہوتے۔

1960 کی دہائی میں، اٹکن اور سوئنرٹن-ڈائر نے ماڈیولر شکلوں کے اسکور اور اسکور کے لیے q-توسیع کی گنتی کی۔ جیسا کہ انہوں نے ایسا کیا، انہوں نے دیکھا کہ اگر ایک ماڈیولر شکل غیر متفق ہے، تو اس سے منسلک ترتیب میں ڈینومینیٹر بغیر کسی پابندی کے بڑھتے رہتے ہیں۔ "وہ دراصل ان پراسرار غیر متفق شکلوں کے بارے میں کچھ کہہ سکتے ہیں،" کہا یونکنگ تانگکیلیفورنیا یونیورسٹی، برکلے میں ایک ریاضی دان۔

کیا دو قسم کی ماڈیولر شکلوں کو الگ بتانا واقعی اتنا آسان ہو سکتا ہے؟

ریاضی دانوں نے 1968 میں کیلیفورنیا میں ہونے والی ایک کانفرنس میں اپنے مشاہدے کا تذکرہ کیا، جس میں یہ تجویز کیا گیا تھا کہ غیر متضاد ڈینومینیٹر غیر موافقت ماڈیولر شکلوں کی عالمگیر پہچان ہو سکتے ہیں۔ یہ قیاس "بہت حیران کن تھا" نے کہا جان ووئٹ، ڈارٹ ماؤتھ کالج میں ایک ریاضی دان۔ "یہ ہمیں یہ فیصلہ کرنے کے لیے ایک صاف معیار فراہم کرتا ہے کہ آیا ماڈیولر فارم ایک کنگروئنس گروپ سے تعلق رکھتا ہے یا نہیں" - نمبر تھیوریسٹ کے لیے ایک بہت ہی آسان لٹمس ٹیسٹ، اور ایسی چیز جس کا دوسرے سیاق و سباق میں پتہ لگانا مشکل ہو سکتا ہے۔

"یہ سچ ہونا تقریبا بہت اچھا ہے،" انہوں نے مزید کہا۔ "کوئی واقعی اس قسم کے معجزے کی توقع نہیں کرتا ہے۔"

درحقیقت، کوئی بھی غیر محدود فرقوں کے قیاس کو ثابت نہیں کر سکا۔ لی اور مٹھی بھر دوسرے تھے۔ دکھانے کے قابل یہ سچ تھا مخصوص خاندانوں غیر مطابقت پذیر ماڈیولر شکلوں کی، لیکن ریاضی دانوں کو اندازہ نہیں تھا کہ عام بیان سے کیسے نمٹا جائے۔

پھر ستمبر 2021 میں تانگ کے ساتھ فرینک کیلیگری شکاگو یونیورسٹی کے اور ویسلن دیمتروف انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی کے، 50 صفحات پر مشتمل ثبوت شائع کیا گیا۔ "یہ حیرت انگیز اور واقعی غیر متوقع تھا،" فرانک نے کہا۔ "ایسا محسوس ہوا کہ کمیونٹی کے پاس اس مسئلے سے نمٹنے کے بارے میں کوئی خیال نہیں تھا۔"

مصنفین کو امید ہے کہ ان کا کاغذ صحرا میں اس سائن پوسٹ کو ایک مکمل روڈ نیٹ ورک میں ترقی دینے کی طرف پہلا قدم ہے۔ "ہم اس کے آسان ترین سوال کا جواب فراہم کر کے نمبر تھیوری کے اس حصے میں اپنا معمولی حصہ ڈالتے ہیں،" دمتروف نے کہا۔

پرانے طریقوں پر واپس جائیں۔

Calegari، Dimitrov اور Tang نے غیر محدود ڈینومینیٹروں کے قیاس کو حل کرنے کا ارادہ نہیں کیا۔ 2019 کے آخر میں، وہ یہ ظاہر کرنے کی امید کر رہے تھے کہ ایک مخصوص نمبر (Rieman zeta فنکشن کے مطابق ایک قدر) غیر معقول ہے - کہ، 2 کے مربع جڑ کی طرح، اسے کسی جز کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ (ان کا حتمی مقصد یہ ثابت کرنا ہے کہ یہ نمبر اور اس جیسے دوسرے لوگ ماورائی ہیں، مطلب یہ ہے کہ نمبروں کی طرح π اور e، ان کو عددی عدد کے ساتھ کثیر الثانی مساوات کے حل کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔)

اس کے چہرے پر، یہ مسئلہ مکمل طور پر غیر متعلق ہے. لیکن 1 جنوری 2021 کو، دیمیتروف نے نئے سال میں دوسروں کو ایک ای میل کے ساتھ گھنٹی بجائی جس میں اس نے "ایک خواہش مند سوچ" کو بیان کیا: شاید وہ تکنیک جو وہ پچھلے سال کے دوران تیار کر رہے تھے ان کو دوبارہ تیار کیا جا سکتا ہے تاکہ غیر محدود فرقوں کے قیاس کو ثابت کیا جا سکے۔

انہوں نے اسے ایک شاٹ دیا۔ سات ماہ کے اندر ان کے پاس ان کا ثبوت تھا۔

سب سے پہلے، انہوں نے دو خالی جگہوں پر غور کیا: تمام ماڈیولر شکلوں کی جگہ جس میں باؤنڈڈ ڈینومینیٹر ہیں، اور تمام ہم آہنگی ماڈیولر شکلوں کی جگہ۔ غیر محدود ڈینومینیٹروں کے قیاس کے مطابق، وہ دونوں جگہیں ایک جیسی ہونی چاہئیں۔ چونکہ خالی جگہوں نے مخصوص خصوصیات کو پورا کیا، ریاضی دانوں کو صرف یہ ظاہر کرنا تھا کہ وہ ایک ہی سائز کے تھے۔ ایسا کرنے سے خود بخود ان کی مساوییت ظاہر ہو جائے گی۔

Calegari، Dimitrov اور Tang دوسری جگہ کے سائز کا نسبتاً آسانی سے حساب لگا سکتے ہیں، ایک طرح سے مطابقت پذیر ماڈیولر شکلوں کی کھردری تعداد حاصل کر سکتے ہیں۔ لیکن پہلی جگہ کے سائز کا اندازہ لگانا بہت مشکل تھا۔ انہیں بہت سی مختلف تکنیکوں کو یکجا کرنا پڑا - بشمول ماورائی نمبر تھیوری سے۔

ان طریقوں کو استعمال کرتے ہوئے، انہوں نے ظاہر کیا کہ باؤنڈڈ ڈینومینیٹر کے ساتھ ماڈیولر شکلوں کی جگہ زیادہ سے زیادہ ایک خاص سائز کی ہو سکتی ہے۔ وہ زیادہ سے زیادہ سائز مطابقت پذیر ماڈیولر شکلوں کی جگہ کے سائز سے تھوڑا بڑا تھا۔ پھر بھی، یہ قدم "واقعی ثبوت کا دل" نکلا۔ جین بینوئٹ بوسٹ، پیرس سیکلے یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "آپ کو ایسا کرنے کے لیے بہت ہمت کی ضرورت ہے۔" (Calegari، Dimitrov اور Tang نے مٹھی بھر مختلف طریقوں سے خلا کی جسامت پر یہ پابند ثابت کیا، ممکنہ طور پر ان کی تکنیکوں کو بہت وسیع تر ایپلی کیشنز فراہم کیں۔)

"یہ بہت، بہت کلاسیکی، خوبصورت ریاضی ہے، جس میں 19ویں صدی کا ذائقہ ہے،" کہا جیویر فریسن، فرانس میں ایکول پولی ٹیکنک میں ایک ریاضی دان۔

اس کے بعد تینوں کو دو جگہوں کے درمیان خلا کو ختم کرنے کی ضرورت تھی۔ ایسا کرنے سے یہ ثابت ہو جائے گا کہ کسی بھی ماڈیولر فارم کو باؤنڈڈ ڈینومینیٹر کے ساتھ ہم آہنگ ہونا چاہیے۔

تو انہوں نے اس کے برعکس فرض کیا: کہ پابند ڈینومینیٹرس کے ساتھ ایک غیر موافق ماڈیولر شکل موجود ہے۔ تعریف کے مطابق، یہ اس خلا میں رہے گا جسے Calegari، Dimitrov اور Tang بند کرنے کی کوشش کر رہے تھے۔ پھر تینوں نے یہ ظاہر کیا کہ اس غیر مطابقت پذیر ماڈیولر شکل کا وجود خود بخود دیگر متعدد غیر مطابقت پذیر ماڈیولر شکلوں کے باؤنڈڈ ڈینومینیٹرس کے وجود پر دلالت کرتا ہے۔ گویا اس ایک بیج سے پورا جنگل اگ گیا تھا۔

لیکن انہوں نے پہلے ہی خلا کا زیادہ سے زیادہ سائز قائم کر لیا تھا - اور یہ بہت چھوٹا تھا کہ بہت سے غیر موافق شکلوں کو فٹ کر سکتے تھے۔

جس کا مطلب تھا کہ ایسی ایک شکل بھی موجود نہیں ہو سکتی۔ انہوں نے اٹکن اور سوئنرٹن ڈائر کے دہائیوں پرانے قیاس کو ثابت کیا۔

ریاضی دانوں کو کام میں استعمال ہونے والی تکنیکوں کو نتائج سے بھی زیادہ دلچسپ لگتا ہے۔ "یہ خیالات ماڈیولر شکلوں کے ریاضی کے مطالعہ میں پہلے کبھی استعمال نہیں ہوئے تھے،" سکول نے کہا۔

جیسا کہ Voight وضاحت کرتا ہے، اگرچہ ماڈیولر شکلوں کا مطالعہ پیچیدہ تجزیہ کے شعبے کے حصے کے طور پر شروع ہوا، موجودہ کام نمبر تھیوری اور الجبری جیومیٹری کا دائرہ کار رہا ہے۔ انہوں نے کہا کہ نیا مقالہ پیچیدہ تجزیے کی طرف واپسی کی نشاندہی کرتا ہے: "یہ ایک تازگی سے پرانا نقطہ نظر ہے۔"

نئے نظریات کی تلاش

ریاضی دان صرف وہی نہیں ہیں جو غیر محدود قیاس کے بارے میں پرجوش ہیں۔ یہ نظریاتی طبیعیات میں بھی ظاہر ہوتا ہے۔

1970 کی دہائی میں، اٹکن اور سوئنرٹن ڈائر کی شروع کردہ کہانی کے متوازی ایک اور کہانی سامنے آ رہی تھی۔ ریاضی دانوں کے پاس تھا۔ ایک عجیب تعلق محسوس کیا مونسٹر گروپ کہلانے والی چیز اور ماڈیولر شکل کے درمیان j- فنکشن کے گتانک j-فنکشن نے مونسٹر گروپ کی کچھ خاص خصوصیات کو واضح طور پر ظاہر کیا۔

بعد میں ہونے والی تحقیق نے انکشاف کیا کہ یہ تعلق اس حقیقت کی وجہ سے تھا کہ گروپ اور ماڈیولر فارم دونوں کا تعلق ذرہ کے تعامل کے ایک اہم ماڈل سے تھا جسے دو جہتی کنفارمل فیلڈ تھیوری کہا جاتا ہے۔

لیکن کنفارمل فیلڈ تھیوری جس نے مونسٹر گروپ کو اس سے منسلک کیا۔ j-فنکشن کنفارمل فیلڈ تھیوریز کی لامحدود تعداد کی صرف ایک مثال تھی۔ اور جب کہ یہ نظریات اس کائنات کی وضاحت نہیں کرتے جس میں ہم رہتے ہیں، ان کو سمجھنے سے نئی بصیرت حاصل ہو سکتی ہے کہ زیادہ حقیقت پسندانہ کوانٹم فیلڈ تھیوریز کیسے برتاؤ کر سکتی ہیں۔

اور اس لیے طبیعیات دانوں نے اپنی متعلقہ ماڈیولر شکلوں کو دیکھ کر کنفارمل فیلڈ تھیوریز کا مطالعہ جاری رکھا ہے۔ (اس تناظر میں، طبیعیات دان ماڈیولر شکل کا زیادہ عام تصور استعمال کرتے ہیں، جسے ویکٹر کی قدر والی ماڈیولر شکل کہا جاتا ہے۔)

ایک مخصوص کنفارمل فیلڈ تھیوری کے ساتھ کیا ہو رہا ہے اس پر قابو پانے کے لیے، آپ کو یہ ظاہر کرنا ہوگا کہ اس کی ماڈیولر شکل ہم آہنگی ہے، کہا۔ مائیکل ٹیوٹ، آئرلینڈ کی یونیورسٹی آف گالوے میں ایک ریاضی دان اور نظریاتی طبیعیات دان۔ اس کے بعد آپ کنفارمل فیلڈ تھیوریز کو بیان کرنا شروع کر سکتے ہیں، اور یہاں تک کہ نئی چیزیں بھی دریافت کر سکتے ہیں جنہیں آپ تلاش کرنا نہیں جانتے تھے۔ یہ تمام کنفارمل فیلڈ تھیوریز کی درجہ بندی کرنے کی جاری کوشش کے لیے خاص طور پر اہم ہے - ایک ایسا پروجیکٹ جسے طبیعیات دانوں نے ماڈیولر بوٹسٹریپ کا نام دیا ہے۔

میسن نے کہا، "ایک بار جب آپ جان لیں کہ یہ ایک ہم آہنگی ماڈیولر شکل ہے، جو آپ کو اس پروگرام میں بہت زیادہ ترقی کرنے کے قابل بناتا ہے۔"

طبیعیات دانوں نے ایک ایسا فریم ورک تیار کیا جس کی مدد سے وہ ان ماڈیولر شکلوں کے لیے اس ہم آہنگی کی خاصیت کو سنبھال سکتے ہیں جن کا وہ مطالعہ کر رہے ہیں۔ لیکن یہ ایک سخت ریاضیاتی ثبوت کے برابر نہیں ہے - اور جب کہ دوسرے ریاضی دان بعد میں اس قابل ہوئے کہ اس طرح کا ثبوت فراہم کریں، ان کی دلیل صرف کچھ ترتیبات میں کام کرتی ہے۔ میسن کے مطابق، اس میں ہم آہنگی کی طرف "بہت مشکل، پیچیدہ راستہ" بھی شامل تھا، حالانکہ اس نے یہ بھی بتایا کہ اس پیچیدہ راستے سے اہم بصیرتیں حاصل ہوتی ہیں۔

کیلیگری، دیمیتروف اور تانگ کا غیر محدود فرقوں کے قیاس کا ثبوت ان سب کو ختم کرتا ہے۔ اس کی وجہ یہ ہے کہ جیسا کہ یہ پتہ چلتا ہے، کنفارمل فیلڈ تھیوریز سے وابستہ ماڈیولر شکلوں میں ہمیشہ عددی عدد ہوتے ہیں۔ تعریف کے مطابق، انٹیجرز کا ڈینومینیٹر 1 ہوتا ہے، یعنی ان کے ڈینومینیٹر ہمیشہ پابند ہوتے ہیں۔ اور چونکہ غیر باؤنڈ ڈینومینیٹروں کا قیاس یہ بتاتا ہے کہ باؤنڈڈ ڈینومینیٹر صرف کنگروئنس ماڈیولر شکلوں سے وابستہ ہیں، اس لیے اب قیاس کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ تانگ نے کہا، "آپ کو [کونفارمل فیلڈ تھیوریز] کے بارے میں کچھ جاننے کی بھی ضرورت نہیں ہے۔ نیا ثبوت خود بخود ان تمام معاملات کے لیے مطابقت فراہم کرتا ہے — مفت میں۔

"یہ ایک ایسی چیز ہے جو کئی دہائیوں سے ہوا میں ہے،" بوسٹ نے کہا۔ اب یہ بالآخر حل ہو گیا ہے۔

"یہ واقعی ایک معجزہ ہے،" میسن نے کہا۔ "یہ صرف اس حقیقت سے معجزانہ طور پر پیروی کرتا ہے کہ یہ ترتیب عددی ہیں۔"

اس نے پہلے ہی نتیجہ کو اپنے کام میں لاگو کرنا شروع کر دیا ہے۔ انہوں نے کہا کہ جس دن سے یہ کاغذ سامنے آیا ہے، میں اسے استعمال کر رہا ہوں۔ "یہ ان نتائج کے لیے ایک خوش آئند شارٹ کٹ فراہم کرتا ہے جسے میں حل کرنا چاہتا ہوں۔ …یہ ممکنہ کام کی ایک بڑی مقدار کو ختم کر رہا ہے جس کے ذریعے میں اپنا راستہ نہیں دیکھ سکتا تھا۔

یہ ماڈیولر بوٹسٹریپ پروگرام اور دیگر نتائج کو مضبوط ریاضیاتی بنیادوں پر بھی رکھتا ہے۔ "یہ ریاضی دانوں کو [پچھلے] نتائج کو دوبارہ ثابت کرنے، یا ان پر یقین کرنے کی اجازت دے گا،" میسن نے کہا۔

"میرے خیال میں واقعی اس کا اثر پڑے گا، خاص طور پر ریاضی کی طرف، صرف واقعی، واقعی چیزوں کو جوڑنے کے لیے، یہ سمجھنے کے لیے کہ کیا ہو رہا ہے،" Tuite نے کہا۔

ریاضیاتی ماورا

سال میں جب سے انہوں نے اپنا ثبوت پوسٹ کیا، کیلیگری، دیمتروف اور تانگ نے اپنا تعاون جاری رکھا۔ وہ اب ماورائی نمبر تھیوری میں مسائل کی ان اقسام کی طرف لوٹ آئے ہیں جنہوں نے اصل میں قیاس میں ان کی دلچسپی کو جنم دیا۔ تانگ نے کہا کہ "ہم نے جو شروع کیا اسے ختم کرنے کی کوشش کر رہے ہیں۔" درحقیقت، وہ پہلے ہی اپنی تکنیکوں کو یہ ثابت کرنے کے لیے استعمال کر چکے ہیں کہ دلچسپی کی متعدد تعداد غیر معقول ہے۔

"وہ واقعی [طریقہ] کو حد تک بڑھا رہے ہیں،" فریسن نے کہا۔ "میں واقعی اس کے بارے میں بہت پرجوش ہوں۔"

یہ طریقے نمبر تھیوری کے دیگر مسائل پر بھی لاگو ہو سکتے ہیں۔

تکنیکوں کو ایک طرف رکھتے ہوئے، غیر متضاد ڈینومینیٹروں کے قیاس کی قرارداد غیر موافقت ماڈیولر شکلوں کی بہتر تفہیم حاصل کرنے کی کوشش میں پہلے بڑے سنگ میل میں سے ایک ہے۔ فرانک نے کہا، "یہ ایک حیرت انگیز کامیابی ہے، کہ ہم اس طرح غیر متفقہ شکلوں پر کچھ پیش رفت کر سکتے ہیں۔" "میں اگلے 10، 20 سالوں کے لیے پرجوش ہوں، یہ دیکھنے کے لیے کہ کیا ہوتا ہے۔"

لی، ووائٹ اور دیگر پہلے سے ہی ان پراسرار ماڈیولر شکلوں کے فرقوں میں ظاہر ہونے والے نمبروں کے نمونوں کی تلاش شروع کر رہے ہیں۔ وہ امید کرتے ہیں کہ ایسا کرنے سے، وہ گہری ساخت کے اشارے تلاش کر سکتے ہیں۔

لی نے کہا کہ "یہ غیر محدود فرقوں کا قیاس صرف آغاز تھا۔