کس طرح سادہ ریاضی سوئی کو حرکت دیتا ہے | کوانٹا میگزین

تصور کریں کہ جب آپ کو آگے کوئی مسئلہ نظر آتا ہے تو آپ بغیر ڈرائیور والی کار میں سڑک پر گھوم رہے ہیں۔ ایک ایمیزون ڈیلیوری ڈرائیور نے اپنی وین کو ایک ڈبل پارک شدہ UPS ٹرک کے آدھے راستے پر پہنچا دیا اس سے پہلے کہ وہ یہ محسوس کر سکے کہ وہ اس سے گزر نہیں سکتا۔ اب وہ پھنس گئے ہیں۔ اور آپ بھی ہیں۔

U-ey کو کھینچنے کے لیے گلی اتنی تنگ ہے، اس لیے آپ کی AI سے بہتر آٹوموبائل تین نکاتی موڑ کا آغاز کرتی ہے۔ سب سے پہلے، کار ایک کرب کی طرف مڑے ہوئے راستہ لیتی ہے۔ ایک بار وہاں پہنچنے کے بعد، یہ دوسرے راستے سے چلتا ہے اور مخالف کرب تک واپس آتا ہے۔ پھر یہ اسٹیئرنگ وہیل کو پہلے گھماؤ والے راستے کی سمت میں موڑتا ہے، آگے اور رکاوٹ سے دور چلاتا ہے۔

درمیانی موڑ بنانے کا یہ سادہ جیومیٹرک الگورتھم آپ کو سخت حالات میں گھومنے میں مدد کر سکتا ہے۔ (اگر آپ نے کبھی متوازی پارک کیا ہے، تو آپ کو معلوم ہوگا کہ یہ آگے پیچھے ہلنا آپ کے لیے کیا کر سکتا ہے۔)

یہاں ریاضی کا ایک دلچسپ مسئلہ ہے کہ آپ کو اپنی کار کو گھمانے کے لیے کتنی جگہ کی ضرورت ہے، اور ریاضی دان 100 سال سے زیادہ عرصے سے اس کے مثالی ورژن پر کام کر رہے ہیں۔ یہ 1917 میں شروع ہوا جب جاپانی ریاضی دان Sōichi Kakeya نے ایک مسئلہ پیش کیا جو ہمارے ٹریفک جام کی طرح لگتا ہے۔ فرض کریں کہ آپ کے پاس لمبائی 1 کی ایک لامحدود پتلی سوئی ہے۔ سب سے چھوٹے خطے کا کون سا رقبہ ہے جس میں آپ سوئی کو 180 ڈگری موڑ سکتے ہیں اور اسے اس کی اصل پوزیشن پر واپس کر سکتے ہیں؟ اسے کاکیہ کی سوئی کا مسئلہ کہا جاتا ہے، اور ریاضی دان اب بھی اس کی مختلف حالتوں کا مطالعہ کر رہے ہیں۔ آئیے اس سادہ جیومیٹری پر ایک نظر ڈالتے ہیں جو کاکیہ کی سوئی کے مسئلے کو اتنا دلچسپ اور حیران کن بنا دیتی ہے۔

ریاضی کے بہت سے مسائل کی طرح، اس میں کچھ آسان بنانے والے مفروضے شامل ہیں جو اسے کم حقیقت پسندانہ لیکن زیادہ قابل انتظام بناتے ہیں۔ مثال کے طور پر، جب آپ گاڑی چلا رہے ہوں تو کار کی لمبائی اور چوڑائی اہم ہے، لیکن ہم فرض کریں گے کہ ہماری سوئی کی لمبائی 1 اور چوڑائی صفر ہے۔ (اس کا مطلب ہے کہ سوئی کا خود ایک رقبہ صفر ہے، جو ہمیں مسئلہ حل کرنے میں اہم کردار ادا کرتا ہے۔) اس کے علاوہ، ہم یہ فرض کریں گے کہ سوئی، کار کے برعکس، اپنے اگلے سرے، اس کے پچھلے سرے کے گرد گھوم سکتی ہے۔ ، یا درمیان میں کوئی نقطہ۔

مقصد یہ ہے کہ وہ سب سے چھوٹا خطہ تلاش کیا جائے جو سوئی کو 180 ڈگری موڑنے دیتا ہے۔ شرائط کے ایک مخصوص سیٹ کو پورا کرنے والی سب سے چھوٹی چیز کو تلاش کرنا مشکل ہوسکتا ہے، لیکن شروع کرنے کا ایک اچھا طریقہ یہ ہے کہ ان شرائط کو پورا کرنے والی کسی بھی چیز کو تلاش کریں اور دیکھیں کہ آپ راستے میں کیا سیکھ سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایک آسان جواب یہ ہے کہ سوئی کو اس کے اختتامی نقطہ کے گرد صرف 180 ڈگری گھمائیں، اور پھر اسے پیچھے کی طرف سلائیڈ کریں۔ یہ سوئی کو اس کی اصل پوزیشن پر لوٹا دیتا ہے، لیکن اب یہ مخالف سمت کی طرف اشارہ کر رہا ہے، جیسا کہ کاکیا کی سوئی کے مسئلے کی ضرورت ہے۔

موڑ کے لیے مطلوبہ خطہ رداس 1 کے ساتھ ایک نیم دائرہ ہے، جس کا رقبہ $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} pi = frac{pi}{2}$۔ تو ہمیں ایک ایسا علاقہ مل گیا ہے جو کام کرتا ہے۔

ہم اپنی جادوئی ریاضی کی سوئی کی کسی بھی نقطہ کے گرد گھومنے کی صلاحیت سے فائدہ اٹھا کر بہتر کر سکتے ہیں۔ اسے اس کے اختتامی نقطہ کے بارے میں گھمانے کے بجائے، آئیے اسے اس کے وسط نقطہ کے بارے میں گھمائیں۔

آپ اسے کاکیا کا کمپاس کہہ سکتے ہیں: ہماری سوئی شمال کی طرف اشارہ کرتے ہوئے شروع ہوتی ہے، لیکن گردش کے بعد یہ اسی جگہ پر ہے لیکن جنوب کی طرف اشارہ کرتی ہے۔ یہ خطہ رداس $latex frac{1}{2}$ کا ایک دائرہ ہے، لہذا اس کا رقبہ $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{4}{4} XNUMX} = frac{pi}{XNUMX}$۔ یہ ہمارے پہلے علاقے کا نصف حصہ ہے، اس لیے ہم ترقی کر رہے ہیں۔

اگلا کہاں؟ ہم اپنے ڈرائیور کے بغیر کار کے مخمصے سے متاثر ہو سکتے ہیں اور سوئی کے لیے تین نکاتی موڑ جیسی کوئی چیز استعمال کرنے پر غور کر سکتے ہیں۔ یہ اصل میں بہت اچھا کام کرتا ہے.

اس تکنیک کا استعمال کرتے ہوئے سوئی سے باہر نکلنے والے علاقے کو ڈیلٹائڈ کہا جاتا ہے، اور یہ بھی کاکیہ کی ضروریات کو پورا کرتا ہے۔ اس کے رقبے کی گنتی کرنے کے لیے ابتدائی جیومیٹری سے زیادہ کی ضرورت ہوتی ہے جس پر ہم یہاں بحث کر رہے ہیں (پیرامیٹرک منحنی خطوط کا علم مدد کرتا ہے)، لیکن یہ پتہ چلتا ہے کہ اس مخصوص ڈیلٹائڈ کا رقبہ - جس کی لمبائی 1 کے لائن سیگمنٹ سے نکلا ہے - بالکل $لیٹیکس ہے۔ frac{pi}{8}$. اب ہمارے پاس اس سے بھی چھوٹا خطہ ہے جس میں ہم کاکیہ کی سوئی گھما سکتے ہیں، اور آپ کو یہ سوچنے کے لیے معاف کیا جا سکتا ہے کہ یہ سب سے بہتر ہے جو ہم کر سکتے ہیں۔ کاکیہ نے خود سوچا کہ ایسا ہو سکتا ہے۔

لیکن سوئی کے اس مسئلے نے بڑا رخ اختیار کیا جب روسی ریاضی دان ابرام بیسکووچ نے دریافت کیا کہ آپ لامحدود بہتر کام کر سکتے ہیں۔ اس نے اس علاقے کے غیر ضروری ٹکڑوں کو دور کرنے کے لیے ایک طریقہ کار وضع کیا جب تک کہ یہ اتنا چھوٹا نہ ہو جتنا وہ چاہتا تھا۔

یہ عمل تکنیکی اور پیچیدہ ہے، لیکن بیسکووچ کے خیال پر مبنی ایک حکمت عملی دو سادہ خیالات پر منحصر ہے۔ سب سے پہلے، 1 کی اونچائی اور 2 کی بنیاد کے ساتھ، نیچے دائیں مثلث پر غور کریں۔

اس لمحے کے لیے ہم سوئی کو مکمل طور پر گھمانے کے بارے میں بھول جائیں گے اور صرف ایک سادہ سی حقیقت پر توجہ مرکوز کریں گے: اگر ہم لمبائی 1 کی سوئی کو اوپری حصے پر رکھتے ہیں، تو مثلث اتنا بڑا ہوتا ہے کہ سوئی کو پورے 90 کو گھوم سکے۔ ڈگری ایک طرف سے دوسری طرف۔

چونکہ مثلث کا رقبہ $latex A=frac{1}{2}bh$ ہے، اس مثلث کا رقبہ $latex A=frac{1}{2} گنا 2 گنا 1 = 1$ ہے۔

اب، یہاں پہلا اہم خیال ہے: ہم 90 ڈگری گردش کو محفوظ رکھتے ہوئے خطے کے رقبے کو کم کر سکتے ہیں۔ حکمت عملی آسان ہے: ہم مثلث کو درمیان سے کاٹتے ہیں، اور پھر دونوں حصوں کو ایک ساتھ دھکیل دیتے ہیں۔

اس نئی شکل کا رقبہ اصل سے کم ہونا چاہیے کیونکہ مثلث کے حصے اب اوورلیپ ہو رہے ہیں۔ درحقیقت، اعداد و شمار کے رقبے کا حساب لگانا آسان ہے: یہ سائیڈ 1 کے مربع کا صرف تین چوتھائی حصہ ہے، اس لیے رقبہ $latex A = frac{3}{4}$ ہے، جو کہ اس کے رقبے سے کم ہے۔ مثلث جس کے ساتھ ہم نے آغاز کیا۔

اور ہم اب بھی سوئی کو پہلے کی طرح تمام سمتوں میں اشارہ کر سکتے ہیں۔ صرف ایک مسئلہ ہے: اصل زاویہ کو دو ٹکڑوں میں تقسیم کر دیا گیا ہے، اس لیے وہ سمتیں اب دو الگ الگ علاقوں میں تقسیم ہو گئی ہیں۔

اگر سوئی نئے علاقے کے بائیں جانب ہے تو ہم اسے جنوب اور جنوب مشرق کے درمیان 45 ڈگری پر گھما سکتے ہیں اور اگر یہ دائیں طرف ہے تو ہم اسے جنوب اور جنوب مغرب کے درمیان 45 ڈگری گھما سکتے ہیں، لیکن چونکہ دونوں حصے الگ ہیں۔ ایسا نہیں لگتا کہ ہم اسے مکمل 90 ڈگری گھما سکتے ہیں جیسا کہ ہم پہلے کر سکتے تھے۔

یہ وہ جگہ ہے جہاں دوسرا اہم خیال آتا ہے۔ سوئی کو ایک طرف سے دوسری طرف لے جانے کا ایک ڈرپوک طریقہ ہے جس کے لیے زیادہ رقبے کی ضرورت نہیں ہے۔ شطرنج میں آپ کو معلوم ہوگا کہ نائٹ ایل شکل میں حرکت کرتا ہے۔ ٹھیک ہے، ہماری سوئی N شکل میں حرکت کرنے والی ہے۔

یہاں یہ ہے کہ یہ کیسے کیا گیا ہے۔ سب سے پہلے، سوئی N کے ایک طرف اوپر کی طرف کھسکتی ہے۔ پھر یہ اخترن کے ساتھ اشارہ کرنے کے لیے گھومتی ہے اور نیچے کی طرف کھسکتی ہے۔ اس کے بعد یہ دوبارہ گھومتا ہے اور N کے دوسری طرف اوپر پھسل کر اپنا سفر ختم کرتا ہے۔

شروع میں یہ N کی شکل کی حرکت بہت زیادہ نہیں لگ سکتی ہے، لیکن یہ کچھ بہت مفید کام کرتی ہے۔ یہ سوئی کو ایک متوازی لائن سے دوسری طرف "چھلانگ لگانے" کی اجازت دیتا ہے، جس سے ہمیں اپنی سوئی کو ایک علاقے سے دوسرے علاقے تک لے جانے میں مدد ملے گی۔ زیادہ اہم بات یہ ہے کہ یہ زیادہ علاقے کی ضرورت کے بغیر ایسا کرتا ہے۔ درحقیقت، آپ اسے اپنی مرضی کے مطابق کم رقبہ کی ضرورت بنا سکتے ہیں۔ یہاں کیوں ہے.

یاد رہے کہ ہماری سوئی کی چوڑائی صفر ہے۔ لہٰذا کسی بھی لکیر میں سوئی آگے یا پیچھے چلتی ہے، اس کا رقبہ صفر ہوگا۔ اس کا مطلب ہے کہ N شکل کے ساتھ سوئی کو اوپر، نیچے یا ترچھی منتقل کرنے کے لیے ضروری خطہ صفر کے رقبے والے ٹکڑوں پر مشتمل ہوگا۔

یہ صرف N شکل کے کونوں پر گردشوں کو چھوڑ دیتا ہے۔

ان حرکتوں کو علاقے کی ضرورت ہوتی ہے۔ آپ ہر کونے پر دائرے کا ایک چھوٹا سا سیکٹر دیکھ سکتے ہیں۔ لیکن یہاں ڈرپوک حصہ ہے: آپ N کو لمبا کرکے ان خطوں کو چھوٹا بنا سکتے ہیں۔

دائرے کے سیکٹر کے رقبے کا فارمولا $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$ ہے، جہاں $latex theta$ ڈگری میں سیکٹر کے زاویہ کی پیمائش ہے۔ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ N کتنا لمبا ہے، سیکٹر کا رداس ہمیشہ 1 ہوگا: یہ سوئی کی لمبائی ہے۔ لیکن جیسے جیسے N لمبا ہوتا جاتا ہے، زاویہ سکڑتا جاتا ہے، جس سے سیکٹر کا رقبہ کم ہو جاتا ہے۔ اس طرح، آپ اپنی ضرورت کے مطابق N کو پھیلا کر اضافی رقبہ کو جتنا چاہیں چھوٹا بنا سکتے ہیں۔

یاد رکھیں کہ ہم اپنے تکونی خطے کے رقبے کو دو حصوں میں تقسیم کرکے اور ٹکڑوں کو اوورلیپ کرکے کم کرنے کے قابل تھے۔ مسئلہ یہ تھا کہ اس نے 90 ڈگری کے زاویے کو دو الگ الگ ٹکڑوں میں تقسیم کر دیا، جو ہمیں سوئی کو مکمل 90 ڈگری پر گھمانے سے روکتا ہے۔ اب ہم اس مسئلے کو ایک مناسب N شکل پر ٹیک لگا کر حل کر سکتے ہیں تاکہ یہ یقینی بنایا جا سکے کہ سوئی کا ایک طرف سے دوسری طرف راستہ ہے۔

اس اپ ڈیٹ شدہ علاقے میں، سوئی اب بھی پہلے کی طرح پورے 90 ڈگری کو گھما سکتی ہے، یہ ابھی دو مراحل میں ہوتا ہے۔ سب سے پہلے، سوئی 45 ڈگری مڑتی ہے اور بائیں طرف عمودی کنارے کے ساتھ لائنیں اوپر کرتی ہے۔ اگلا، یہ دوسری طرف جانے کے لیے N شکل کے ساتھ چلتا ہے۔ ایک بار وہاں پہنچ جانے کے بعد، یہ دوسرے 45 ڈگری کو موڑنے کے لیے آزاد ہے۔

یہ سوئی کو 90 ڈگری پر لے جاتا ہے، اور اسے موڑتے رہنے کے لیے، آپ صرف علاقے کی گھمائی ہوئی کاپیاں شامل کریں۔

مناسب N شکلوں کے اضافے کے ساتھ، سوئی ایک مثلثی جزیرہ نما سے اگلی طرف چھلانگ لگا سکتی ہے، اپنے آپ کو تھوڑا تھوڑا کر کے اس وقت تک گھما سکتی ہے جب تک کہ یہ چاروں طرف نہ ہو جائے، بالکل اسی طرح جیسے کوئی کار تین نکاتی موڑ پر عمل کرتی ہے۔

تفصیلات میں مزید شیطانی ریاضی ہے، لیکن یہ دو خیالات — کہ ہم اصل علاقے کے رقبے کو مسلسل کم کر سکتے ہیں اور اسے کاٹ کر اس کے ارد گرد منتقل کر سکتے ہیں جبکہ اس بات کو یقینی بناتے ہوئے کہ ہم من مانی طور پر چھوٹی N شکلوں کا استعمال کرتے ہوئے ٹکڑے ٹکڑے کر سکتے ہیں — ہماری مدد کریں۔ سوئی کو ہمیشہ سکڑتے ہوئے علاقے میں منتقل کریں جو بالآخر آپ جتنا چھوٹا ہو اتنا ہی چھوٹا ہو سکتا ہے۔

اس قسم کے خطے کی تعمیر کے لیے ایک زیادہ معیاری نقطہ نظر متواتر مثلث سے شروع ہوتا ہے اور "پیرون درختوں" کا استعمال کرتا ہے، جو تکون کو ٹکڑے ٹکڑے کرنے اور ٹکڑوں کو ایک ساتھ کھینچنے اور سلائیڈ کرنے کے ہوشیار طریقے ہیں۔ نتیجہ کافی شاندار ہے۔

حال ہی میں، ریاضی دانوں نے ترقی کی اس پرانے مسئلے کے نئے تغیرات پر، اعلیٰ جہتوں میں اور سائز کے مختلف تصورات کے ساتھ۔ ہم شاید کبھی بھی AI سے چلنے والی کار کو کاکیا سوئی کے موڑ کا پتہ لگاتے ہوئے نہیں دیکھیں گے، لیکن ہم پھر بھی اس کی خوبصورتی اور سادگی کی تعریف کر سکتے ہیں۔

مشقیں

1. سب سے چھوٹی مساوی مثلث کا رقبہ کیا ہے جو کاکیہ سوئی کے سیٹ کے طور پر کام کرتا ہے؟

2. آپ "Reuleaux triangle" کا استعمال کرتے ہوئے مشق 1 میں مساوی مثلث سے تھوڑا بہتر کر سکتے ہیں، ایک خطہ جو تین اوور لیپنگ سرکلر سیکٹرز سے تشکیل پاتا ہے۔ سب سے چھوٹے Reuleaux مثلث کا رقبہ کیا ہے جو کام کرتا ہے؟