تعارف
حال ہی میں اکتوبر کی ایک صبح، راب کربی ریاضی دانوں کے ایک کمرے کے سامنے کھڑا ہوا اور ان سے کہا کہ وہ ماضی میں جس طرح سے کام کرتا تھا اس کے پابند محسوس نہ کریں۔
پچھلی نصف صدی سے کربی, 85، کم جہتی ٹوپولوجی میں ایک مرکزی شخصیت رہا ہے، ناقابل شکل شکلوں کا مطالعہ۔ اہم تحقیقی شراکت کے علاوہ، انہوں نے 1978 میں شائع کیا۔ پہلا ورژن جس کو "کربی کی فہرست" کے نام سے جانا جاتا ہے - 80 کھلے مسائل کا مجموعہ جس نے اگلی چند دہائیوں کے دوران فیلڈ کے لیے تحقیقی ایجنڈا طے کرنے میں مدد کی۔ دو دہائیوں کے بعد، 1997 میں، اس نے دوسرا، اتنا ہی بااثر شائع کیا۔ فہرست کا ورژن.
کربی جن چند درجن ریاضی دانوں سے خطاب کر رہے تھے، ان کا اجلاس منعقد ہوا۔ امریکن انسٹی ٹیوٹ آف میتھمیٹکس (AIM) پاسادینا میں فہرست کا تیسرا ورژن بنانے کے لیے۔ ایسا نہیں ہے کہ پچھلی فہرستوں میں موجود تمام مسائل حل ہوچکے تھے - زیادہ تر حل نہیں ہوئے تھے - لیکن بہت سے اسٹائل سے باہر ہو چکے تھے۔ جب کہ ریاضی ابدی ہے، اس میدان کو انسانوں کے ذریعہ مشق کیا جاتا ہے جو فیڈز کی پیروی کرتے ہیں، اور بہت سے پرانے سوالات کو مزید دلچسپ نہیں سمجھا جاتا تھا۔
"ہمارا خیال ہے کہ کچھ ذیلی فیلڈز معزز ہیں اور دوسرے ایسے ہیں، کسی کو اس کی پرواہ نہیں ہے۔" کہا میگی ملر یونیورسٹی آف ٹیکساس، آسٹن، فہرست کے 14 ایڈیٹرز میں سے ایک۔
کانفرنس کی طرف سے تصور کیا گیا تھا ڈینیئل روبرمین برینڈیس یونیورسٹی کے، جو 1980 کی دہائی کے اوائل میں کربی کے طالب علم تھے، اور Inanç Baykur یونیورسٹی آف میساچوسٹس کے، جو روبرمین کے ماتحت پوسٹ ڈاکٹریٹ فیلو تھے۔ وہ چاہتے تھے کہ فہرست مشکل اور اہم مسائل پر مشتمل ہو۔
ملر نے کہا کہ "یہ ایک مسئلہ ہونا چاہئے جو کافی دلچسپ ہے کہ اگر کوئی حل نکل آئے تو اس میں میدان کو تبدیل کرنے کی صلاحیت ہوگی۔" Baykur نے مزید کہا: "شاید اگلے دو سے تین سالوں میں ایک چھوٹا سا فیصد حل ہوسکتا ہے۔"
تعارف
کربی کے اپنی پہلی فہرست شائع کرنے کے بعد سے نصف صدی میں ریاضی دانوں کا فیصلہ کرنے کے طریقے خود بدل گئے ہیں۔ یہاں تک کہ اگر انفرادی قیاس آرائیوں کی سچائی یا جھوٹ معروضی سچائی کا معاملہ ہے، ان کی اہمیت کو درجہ بندی کرنا ایک موضوعی، سماجی عمل ہے۔ اور یہ عمل آج کی عالمی سطح پر ایک دوسرے سے جڑی ہوئی دنیا میں 1970 کی دہائی کے مقابلے میں بہت مختلف نظر آتا ہے۔ نئی فہرست کی کہانی ان تبدیلیوں کی کہانی ہے۔
فہرست کا آغاز
کربی کے اپنے کیریئر کا آغاز مسائل کی فہرست سے ہوا۔ 1963 میں، شکاگو یونیورسٹی میں گریجویٹ طالب علم کے طور پر، انہوں نے سیئٹل میں ایک کانفرنس میں شرکت کی جہاں ریاضی دان جان ملنور ٹوپولوجی میں سات اہم کھلے مسائل کی فہرست پیش کی۔ آخری مسئلہ annulus قیاس کا تھا، جو کہتا ہے کہ دو مناسب طور پر متعین کرہوں کے درمیان خالی جگہیں ہمیشہ ایک annulus کی شکل اختیار کرتی ہیں، جو کہ دو مرتکز دائروں کے درمیان کا خطہ ہے۔
یہ دائروں اور عام، تین جہتی گیندوں کے لیے درست ہے، لیکن اعلیٰ جہتوں میں - جس میں پانچ یا چھ کے دائروں کے جوڑے یا کسی بھی تعداد کے طول و عرض شامل ہوتے ہیں - حیرت انگیز چیزیں ہوتی ہیں۔ 1969 میں، جب یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، لاس اینجلس میں ایک اسسٹنٹ پروفیسر، کربی نے ثابت کیا کہ یہ پانچ اور اس سے زیادہ کے طول و عرض کے لیے درست ہے کیونکہ کچھ پابندیاں ہیں (ایک خاص ریاضیاتی معنوں میں دائروں کو ہموار ہونا چاہیے)۔
اس نتیجے کی بنیاد پر، UCLA نے اسے براہ راست مکمل پروفیسر کے عہدے پر ترقی دے دی اور اس کی تنخواہ دگنی کر دی۔ دو سال بعد اس نے یہ اعزاز جیت لیا۔ اوسوالڈ ویبلن پرائز جیومیٹری میں کربی اس ابتدائی کیریئر کی کامیابی کو جزوی طور پر ملنور کی فہرست کے وجود سے منسوب کرتا ہے، جس نے اسے گریجویٹ اسکول میں اپنے آس پاس کے لوگوں سے ملنے والے منصوبوں سے کہیں زیادہ مختلف قسم کے پراجیکٹس فراہم کیے تھے۔
انہوں نے کہا، "ان لوگوں کے لیے جو مسائل پر کام کرنا پسند کرتے ہیں اور ضروری نہیں کہ وہ وہی کریں جو ان کا مشیر انہیں کرنے کو کہتا ہے، مسائل کی فہرست قیمتی ہے۔"
کربی نے اگست 1976 میں اسٹینفورڈ یونیورسٹی میں امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کی کانفرنس میں اپنی پہلی مسئلہ کی فہرست کو جمع کرنا شروع کیا۔ اس نے اگلے دو سالوں میں یہ فہرست بنائی، فون کالز، خطوط اور ریاضی دانوں کے ساتھ غیر رسمی گفتگو کے ذریعے ان کانفرنسوں میں جس میں اس نے شرکت کی، اور اس نے اسے 1978 میں ایک توسیعی جریدے کے مضمون کے طور پر شائع کیا۔
تعارف
جیسا کہ ملر کہتے ہیں، "اس نے ابھی فون پر ہر ایک کو فون کیا جسے وہ جانتا تھا۔"
اس فہرست میں تقریباً 80 مسائل کو پانچ ابواب میں ترتیب دیا گیا ہے۔ پہلے چار ابواب ایک جہتی گرہوں، دو جہتی سطحوں، اور تین اور چار جہتی کئی گنا (ایک کرہ کی سطح جیسی خالی جگہوں پر تھے جو مقامی طور پر فلیٹ دکھائی دیتے ہیں لیکن زیادہ پیچیدہ عالمی ڈھانچہ ہو سکتے ہیں)۔ پانچواں باب متفرق مسائل کے لیے تھا۔ اگرچہ کربی نے فہرست کو اکٹھا کرنے کے لیے بڑے پیمانے پر مشورہ کیا، لیکن حتمی مصنوع بلا شبہ اس کی تھی۔
"میں خصوصی سے زیادہ جامع تھا،" کربی نے کہا، لیکن مزید کہا، "میں کافی حد تک حتمی ثالث تھا۔"
دوسری فہرست
1970 کی دہائی کے آخر میں ٹوپولوجی میں مسائل کی فہرست بنانے کا ایک اچھا وقت تھا۔ دہائی کے آغاز میں میدان چھوٹا تھا، اور اگلے 10 سالوں میں یہ پھٹ گیا۔ 1981 میں مائیکل فریڈمین A میں Poincaré قیاس کے چار جہتی ورژن کو حل کیا۔ یادگار ثبوت جسے ہضم ہونے میں برسوں لگیں گے۔ (قیاس یہ پوچھتا ہے کہ کیا ریاضیاتی اشیاء جو کرہوں سے مشابہت رکھتی ہیں درحقیقت کرہ ہی ہونی چاہئیں۔ فریڈمین نے ثابت کیا کہ جواب ہاں میں ہے۔) ایک سال بعد ولیم تھرسٹن نے جیومیٹرائزیشن قیاس شائع کیا، جو کچھ ٹاپولوجیکل ڈھانچے کو ہندسی زمروں میں درجہ بندی کرتا ہے۔ قیاس نے تجزیہ (کیلکولس کی ایک جدید شکل) سے ٹوپولوجی میں ٹوپلوجی کو مکمل طور پر لایا۔ اسی سال سائمن ڈونلڈسن نے چار جہتی کئی گنا پر اپنے کام کے ساتھ میدان میں تفریق جیومیٹری (جو کیلکولس اور جیومیٹری کو یکجا کرتی ہے) متعارف کرائی۔
"یہ بیان کرنا مشکل ہے کہ ترقی کتنی تیز تھی۔ یہ ریاضی کے ان عظیم ادوار میں سے ایک تھا، جس میں ایک کے بعد ایک انقلاب آیا، "روبرمین نے کہا۔
اس تمام سرگرمی کے نتیجے میں، کربی کی فہرست چند سالوں میں تقریباً پرانی ہو گئی۔ لیکن مسائل کی فہرستیں بنانا کربی کا بنیادی پیشہ نہیں تھا۔ یہ 1993 کے موسم گرما میں جارجیا یونیورسٹی میں ہونے والی ایک کانفرنس تک نہیں تھا کہ اس نے اس فہرست کو تبدیل کرنے کا فیصلہ کیا۔
کربی نے کانفرنس میں مسائل کو جمع کرنا شروع کیا اور ای میل کے ذریعے کام جاری رکھا، جو اس وقت عام استعمال میں نہیں تھا جب اس نے پہلی فہرست اکٹھی کی تھی۔ نتیجے کے طور پر، فہرست پھیل گئی. حتمی فہرست میں 415 مسائل شامل تھے اور اسے 1997 میں ایک کتاب کے طور پر شائع کیا گیا تھا۔ ایک بار جب تیسری فہرست شروع ہوئی، دوسری کوشش کو پیچھے ہٹ کر K2 کے نام سے جانا جانے لگا، جیسا کہ کربی کی فہرست کے دوسرے ورژن میں ہے، اور دوسرے کی منظوری کے طور پر بھی۔ - دنیا کا سب سے اونچا پہاڑ۔ توسیع شدہ فارمیٹ نے فہرست کے دوسرے ورژن کو ٹچ اسٹون اور سکور کارڈ کے طور پر سیمنٹ کرنے میں مدد کی۔ کربی کے مسئلے کو حل کرنے سے نوجوان ریاضی دانوں کی توجہ حاصل ہو جاتی ہے۔
"اگر آپ کسی کے لیے سفارش کا خط لکھ رہے ہیں اور اس نے کربی کا مسئلہ حل کر دیا ہے، تو آپ اپنے خط میں اس کا ذکر کرتے ہیں،" کہا۔ جان بالڈون، بوسٹن کالج میں ایک ریاضی دان جس نے ورکشاپ میں حصہ لیا اور فہرست میں ترمیم کرنے میں مدد کر رہا ہے۔
ارونیما رے، جرمنی کے بون میں میکس پلانک انسٹی ٹیوٹ فار میتھمیٹکس کے ایک گروپ لیڈر جس نے ورکشاپ میں شرکت کی، نے کہا کہ 2011 میں اپنے کوالیفائنگ امتحانات پاس کرنے کے بعد اس کے ڈاکٹریٹ ایڈوائزر نے سب سے پہلے جو کام کیا وہ اسے K2 فہرست کی ایک کاپی دینا تھا۔ ان بڑے مسائل کا احساس حاصل کرنے کے لیے جن میں لوگوں کی دلچسپی ہے۔
بلاشبہ، اہم چیزوں کے بارے میں فیصلے اس بات سے متاثر ہوتے ہیں کہ کمرے میں کون ہے جو یہ فیصلے کر رہا ہے۔ کربی کی فہرستیں ایک تدریسی فلسفہ کی عکاسی کرتی ہیں جو کربی کے سماجی سیاسی عالمی نظریہ سے پروان چڑھا ہے۔ وہ اپنے آپ کو ایک کلاسیکی لبرل کے طور پر بیان کرتے ہیں اور 19ویں صدی کے برطانوی فلسفی جان اسٹورٹ مل کو اپنی سوچ پر ایک اہم اثر کے طور پر بیان کرتے ہیں۔
"کلاسیکی لبرل واقعی آزادی، آزادی اظہار، اور حکومت کی طرف سے ہلکے ہاتھ پر یقین رکھتے تھے، اس لیے یہ میرا نقطہ نظر ہے،" انہوں نے کہا۔ "تھوڑے سے انداز میں جو میرے طلباء کو یہ نہ بتانے کے ساتھ جاتا ہے کہ کیا کرنا ہے۔ یہ انہیں مفت لگام دینے میں تھوڑا سا ہے۔"
کربی ان اعتقادات کو اس انداز میں داخل کرتا ہے جس طرح وہ ریاضی کی برادری کے بارے میں سوچتا ہے اور بات کرتا ہے۔ 2021 میں، کیلیفورنیا میں مقیم 1,000 سے زیادہ دیگر ریاضی اور سائنسی پیشہ ور افراد کے ساتھ، اس نے ایک معاہدے پر دستخط کیے کھلا خط ریاست کی جانب سے K-12 ریاضی کے نئے نصاب کو اپنانے کی تجویز پر تنقید کرتے ہوئے جس سے سماجی انصاف کے تحفظات کو ریاست کی جانب سے اس مضمون کو پڑھانے کے طریقے سے زیادہ مرکزی بنایا جائے گا۔ کیلیفورنیا کی تجویز زیربحث آئی ہے۔ ریاضی کی کمیونٹی میں کافی تنقید دیگر چیزوں کے علاوہ، اعلی درجے کے کورسز کی دستیابی کو محدود کرنے کے لیے، اور "ڈیٹا سائنس" کے حق میں پری کیلکولس کورسز پر زور دینے کے لیے۔
تعارف
کربی تاریخی طور پر ریاضی میں ساختی تعصبات کے وجود کا شکی رہا ہے، بشمول فیلڈ کے صنفی عدم توازن کے حوالے سے۔ 1970 کی دہائی میں، تقریباً 10% ریاضی دان خواتین تھیں۔ آج تقریباً 30% ہیں، ایک کے مطابق 2020 رپورٹ بین الاقوامی سائنس کونسل کی طرف سے.
In ایک مضمون جو اس نے 1990 کی دہائی میں لکھا تھا۔، اور جو میں اشاعت کے لیے پیش کیا گیا تھا۔ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کے نوٹس لیکن کبھی شائع نہیں ہوا، کربی نے یہ معاملہ پیش کیا کہ یہ مایوس کن تعداد میدان میں کسی تعصب کا نتیجہ نہیں تھی۔ کربی نے لکھا، "میرے خیال میں، ریاضی میں خواتین کی کم تعداد مردوں کی طرف سے امتیازی سلوک کی وجہ سے نہیں ہے اور نہ ہی خواتین میں کسی موروثی کمتری کی وجہ سے ہے، بلکہ اس سادہ حقیقت کی وجہ سے ہے کہ خواتین سے زیادہ مرد ریاضی میں داخل ہونے کا انتخاب کرتے ہیں،" کربی نے لکھا۔
بہت سے ریاضی دانوں کے نزدیک یہ حقیقت کہ چند خواتین میدان میں آتی ہیں یہ ایک سادہ حقیقت کے سوا کچھ بھی نہیں ہے۔ "ثبوت سے پتہ چلتا ہے کہ یہاں تاثرات کا اثر ہے: چونکہ خواتین پروفیسرز کی تعداد بہت کم ہے، خواتین طالبات ریاضی کے ذریعے کیریئر کا واضح راستہ نہیں دیکھ سکتی ہیں، اس لیے وہ پی ایچ ڈی نہ کرنے کا فیصلہ کرتی ہیں۔" چار ممتاز خواتین ریاضی دانوں نے لکھا 2022 میں ٹائمز ہائر ایجوکیشن سپلیمنٹ۔ جیسا کہ بین الاقوامی سائنس کونسل کی رپورٹ میں کہا گیا ہے، لاکھوں شائع شدہ ریاضی کے مقالوں کے ڈیٹاسیٹ کا تجزیہ کرنے کے بعد، "مختلف ساختی اور نظامی عوامل نے خواتین ریاضی دانوں کے کیریئر کو مردوں سے مختلف طریقوں سے متاثر کیا ہوگا۔"
کربی کے خیالات کم جہتی ٹوپولوجی کمیونٹی کے اندر مشہور ہیں۔ میں نے کربی سے پوچھا کہ کیا وہ سوچتے ہیں کہ خواتین کے لیے حالیہ کانفرنس جیسی ترتیبات میں شرکت کرنا مشکل ہو گیا ہے جہاں ان کا نمایاں کردار تھا۔ اس نے کہا کہ وہ نہیں جانتا کیونکہ، ایک ریاضی دان کے علاوہ، کسی نے بھی اسے اپنے ساتھ نہیں لایا تھا۔
رے، جو میکس پلانک انسٹی ٹیوٹ میں صنفی مساوات کے افسر کے طور پر خدمات انجام دے رہے ہیں، نے کہا کہ "مجھے نہیں لگتا کہ اس نے کانفرنس کے محسوس ہونے کے انداز کو تشکیل دیا۔ مجھے لگتا ہے کہ یہ اس کی تشکیل کرتا ہے کہ اسے ریاضی کے میدان میں کس طرح دیکھا جاتا ہے، لیکن مجھے لگتا ہے کہ عام طور پر ہم ریاضی کو ریاضی دان سے الگ کرتے ہیں۔
ایک فرقہ وارانہ کوشش
جیسا کہ K1 کے بعد تھا، کم جہتی ٹوپولوجی K2 کی رہائی کے بعد تیزی سے آگے بڑھی۔ ایک اہم پیشرفت Seiberg-Witten تھیوری کی توسیع تھی، جس نے چار جہتی کئی گنا کے درمیان فرق کرنے کے لیے طبیعیات کے آئیڈیاز کا استعمال کیا۔ 2000 کی دہائی کے آخر تک، کربی کی فہرست دوبارہ اپ ڈیٹ کرنے کے لیے تیار تھی۔
"بات یہ ہے کہ میدان 1990 کی دہائی سے بہت بڑا ہو گیا ہے، یہ بہت بڑا ہو گیا ہے،" بایکور نے کہا۔
اس بار نئی فہرست بنانے کا محرک روبرمین اور بایکور سے آیا۔ انہوں نے 2013 کے آس پاس مسائل کو جمع کرنا شروع کیا۔ لیکن ان کی دیگر ذمہ داریوں اور وبائی بیماری کے درمیان، اکتوبر 2023 تک وہ ذاتی طور پر ملنے کے لیے ٹاپولوجسٹ کے ایک گروپ کو جمع کرنے میں کامیاب ہو گئے۔ وہ چاہتے تھے کہ فہرست کا تیسرا ورژن فرقہ وارانہ کوششوں سے زیادہ ہو۔
رے نے کہا، "ابتدائی فہرست شاندار تھی، مجھے بہت خوشی ہے کہ یہ وہاں تھا، لیکن یہ نیا فارمیٹ اس کو مزید کھلا بنانے میں قابل تعریف ہے۔"
2022 کے آخر میں، کربی نے Baykur اور Ruberman کے ساتھ کانفرنس کے شریک منتظم کے طور پر شمولیت اختیار کی۔ انہوں نے کم جہتی ٹوپولوجی کے بڑے شعبوں کے ماہرین کو مدعو کیا - اسی پانچ باب کے ڈھانچے کے مطابق جو کربی نے فہرست کے پہلے ورژن میں استعمال کیا تھا - لیکن انہوں نے اتنے ماہرین کو مدعو کرنے سے بچنے کی کوشش کی کہ کسی کے ساتھ کوئی چیز مشترک نہیں تھی۔
Baykur اور Ruberman نے زیادہ تر آرگنائزنگ کی جبکہ کربی نے زیادہ تر ٹائٹلر کردار ادا کیا۔
"یہ روب کے بچے کی طرح ہے، آپ جانتے ہیں، جیسے وہ جذباتی طور پر انچارج ہے۔ لیکن ڈینی اور انان نے تمام لاجسٹکس کو سنبھالا، "ملر نے کہا۔
پیر، 30 اکتوبر کو، گروپ نے K3 فہرست پر کام شروع کیا (جیسا کہ اسے واضح وجوہات کی بناء پر بلایا گیا تھا اور K3 سطحوں کے حوالے سے، جو کہ ٹوپولوجی میں اہم چیزیں ہیں)۔
فہرست ان طریقوں کی عکاسی کرتی ہے جن میں K2 کے بعد سے کم جہتی ٹوپولوجی میں اضافہ ہوا تھا۔ 1990 کی دہائی کے اوائل میں اینڈریاس فلور کے کام نے تین جہتی کئی گنا چھانٹنے کے نئے طریقوں کو جنم دیا۔ اس دہائی کے آخر تک یہ طریقے مطالعہ کے ایک پورے شعبے میں کھل چکے تھے، ہیگارڈ فلور ہومولوجی، اور اس علاقے کے اندر اب کئی گنا کو الگ کرنے کے لیے بہت سے مختلف طریقے موجود ہیں۔ ان تمام طریقوں کو ایک دوسرے سے ہم آہنگ ہونا چاہیے، لیکن یہ یقینی طور پر معلوم نہیں ہے کہ وہ ہیں، اور K3 میں ایسے سوالات شامل ہوں گے جن کا مقصد معاملہ کو حل کرنا ہے۔
تعارف
کربی نے مرکزی لیکچر ہال میں کیمپ لگایا جہاں ہر صبح ریاضی دان جمع ہوتے تھے، زیادہ تر دماغی طوفان کے سیشنوں سے گریز کرتے تھے۔ منگل کی صبح ڈیو گابائی پرنسٹن یونیورسٹی کے نے پورے گروپ کو Schoenflies conjecture اور Poincare conjecture کے درمیان تعلق پر ایک لیکچر دیا، جو کہ ہموار چار جہتی ٹوپولوجی میں دو سب سے اہم کھلے مسائل ہیں۔
Schoenflies قیاس کا ذائقہ 1960 کی دہائی میں کربی کے annulus قیاس سے ملتا جلتا ہے۔ یہ پیش گوئی کرتا ہے کہ اگر دو دائرے ایک جہت سے مختلف ہوں (جیسے ایک دائرہ بمقابلہ گیند کی سطح)، اور آپ نچلے جہتی والے (دائرے) کو اعلی جہتی والے (ایک گیند کی سطح) میں سرایت کرتے ہیں، سابقہ۔ ہمیشہ مؤخر الذکر کو دو گیندوں کے برابر کاٹتا ہے۔ یہ واضح طور پر سچ ہے جب آپ کسی دائرے کو کسی گلوب پر کھینچتے ہیں (گویا خط استوا کی شکل اختیار کرتا ہے)، لیکن جیسا کہ annulus قیاس کے ساتھ، یہ اعلی جہتوں میں کم واضح طور پر سچ ہے۔
کربی نے بعد میں گابائی کو پایا، اور دونوں نے گابائی کی بات کے مضمرات کے بارے میں گھنٹوں بات کی۔ ہفتے کے دوران دوسرے مقامات پر کربی نے فہرست میں شراکت کے لیے ریاضی کی کمیونٹی میں اپنے وسیع نیٹ ورک کو ای میل کرنے میں وقت گزارا۔
"کچھ طریقوں سے یہ اس سے ملتا جلتا تھا جو اس نے پچھلی فہرستوں میں کیا تھا،" روبرمین نے کہا۔ "اس کا کمروں میں آنے کا زیادہ رجحان نہیں تھا۔ [وہ] لوگوں کو یہ کہتے ہوئے ای میل کر رہا ہوگا، 'ورکشاپ میں کسی نے یہ کہا، آپ کا اس کے بارے میں کیا خیال ہے؟'
وار روم
کانفرنس کے آخری دو دنوں میں Baykur اور Ruberman نے شرکاء سے کہا کہ وہ اپنے مرتب کردہ مسائل کو لکھیں۔ یہ ایک جنگی کمرے کی طرح محسوس ہوا، کیونکہ ریاضی دان ان مسائل کے خلاصے لکھنے کے لیے دوڑتے ہیں جن پر وہ اپنی پروازوں کے گھر جانے سے پہلے طے پاتے تھے۔
ملر نے کہا، "واقعی ایسا محسوس ہوتا تھا کہ جب آپ کالج میں ہوتے ہیں، اور اگلے دن آپ کے پاس ہوم ورک ہے، اور کلاس میں ہر کوئی ایک کمرے میں ہوتا ہے، اور صبح کے 2 بجے ہوتے ہیں،" ملر نے کہا۔
ایک مشترکہ دستاویز جس میں ریاضی دان فہرست مرتب کر رہے تھے جمعرات کی صبح تقریباً خالی تھی، لیکن درجنوں ریاضی دانوں کے ایک ساتھ ترمیم کے ساتھ تیزی سے بڑھ گئی۔ جمعہ تک مسائل کی فہرست 250 صفحات سے زیادہ لمبی تھی۔ کربی کی دو سابقہ کوششوں کے مقابلے میں طوفان کا تجربہ تقریباً ناقابل شناخت تھا۔
"اس نے مجھے اس لحاظ سے بوڑھا محسوس کیا کہ جب میں نے K2 کیا تھا، میں نے اسے دو سے تین سال کے عرصے میں کیا تھا۔ میں ایک شخص کے ساتھ بیٹھوں گا اور ہم مل کر مسئلہ لکھیں گے،‘‘ کربی نے کہا۔ "K3 کے ساتھ، میں صرف ایک معمولی تعداد میں مسائل میں ملوث تھا۔"
Baykur اور Ruberman امید کرتے ہیں کہ سال کے آخر تک تقریباً 400 مسائل کی ایک فہرست شائع کریں گے، ٹاپولوجسٹ کی طرف سے نظر ثانی اور اضافے کے بعد جو پاسادینا میٹنگ میں نہیں تھے۔ Baykur، Ruberman اور دیگر ایڈیٹرز ابھی بھی بحث کر رہے ہیں کہ فہرست کو کتنی بار اپ ڈیٹ کیا جائے۔ وہ آن لائن ورژن کو موجودہ رکھ کر K3 کی شیلف لائف بڑھا سکتے ہیں، لیکن انہیں ایسا کرنے میں خامیاں نظر آتی ہیں۔ بائکور نے کہا، پہلی دو فہرستیں تاریخی دستاویزات تھیں اور یہ دیکھنا انتہائی معلوماتی تھا کہ وہ 1970 اور 1990 کی دہائیوں میں چیزوں کو کس طرح دیکھ رہے تھے، اور وہ ریاضی کے بارے میں کیسے سوچتے تھے۔ میں ایک ایسی ہی عصری دستاویز حاصل کرنا چاہتا تھا۔
- SEO سے چلنے والا مواد اور PR کی تقسیم۔ آج ہی بڑھا دیں۔
- پلیٹو ڈیٹا ڈاٹ نیٹ ورک ورٹیکل جنریٹو اے آئی۔ اپنے آپ کو بااختیار بنائیں۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹوآئ اسٹریم۔ ویب 3 انٹیلی جنس۔ علم میں اضافہ۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ای ایس جی۔ کاربن، کلین ٹیک، توانائی ، ماحولیات، شمسی، ویسٹ مینجمنٹ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ہیلتھ۔ بائیوٹیک اینڈ کلینیکل ٹرائلز انٹیلی جنس۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- ماخذ: https://www.quantamagazine.org/a-new-agenda-for-low-dimensional-topology-20240222/
- : ہے
- : ہے
- : نہیں
- :کہاں
- ][p
- $UP
- 000
- 1
- 10
- 14
- 1981
- 2011
- 2013
- 2021
- 2022
- 2023
- 250
- 30
- 400
- 80
- a
- ہوں
- ہمارے بارے میں
- اس کے بارے میں
- AC
- کے مطابق
- سرگرمی
- شامل کیا
- اس کے علاوہ
- اضافے
- خطاب کرتے ہوئے
- اپنانے
- اعلی درجے کی
- متاثر
- کے بعد
- پھر
- ایجنڈا
- مقصد
- تمام
- تقریبا
- ساتھ
- بھی
- ہمیشہ
- امریکی
- کے درمیان
- an
- تجزیہ
- تجزیہ
- اور
- اینجلس
- ایک اور
- جواب
- کوئی بھی
- اب
- کسی
- کچھ
- ظاہر
- نقطہ نظر
- مناسب طریقے سے
- کیا
- رقبہ
- علاقوں
- دلیل سے
- ارد گرد
- مضمون
- AS
- اسسٹنٹ
- At
- حاضرین
- اوصاف
- اگست
- آسٹن، ٹیکساس
- دستیابی
- سے اجتناب
- گریز
- بچے
- واپس
- گیند
- BE
- بن گیا
- کیونکہ
- رہا
- اس سے پہلے
- شروع ہوا
- شروع
- عقائد
- یقین ہے کہ
- برکلے
- کے درمیان
- تعصب
- باضابطہ
- بگ
- بڑا
- بٹ
- کتاب
- بوسٹن
- بنقی
- برطانوی
- لایا
- عمارت
- تعمیر
- لیکن
- by
- کیلی فورنیا
- کہا جاتا ہے
- کالز
- آیا
- کیمپ
- کر سکتے ہیں
- کیریئر کے
- کیریئرز
- کیس
- اقسام
- سیمنٹ
- مرکزی
- تبدیل
- تبدیل کر دیا گیا
- تبدیلیاں
- باب
- ابواب
- چارج
- شکاگو
- میں سے انتخاب کریں
- سرکل
- حلقوں
- طبقے
- واضح
- واضح طور پر
- جمع
- مجموعہ
- کالج
- یکجا
- کس طرح
- قابل تعریف
- کامن
- سامراجی
- کمیونٹی
- مقابلے میں
- مرتب
- پیچیدہ
- حاملہ
- کانفرنس
- کانفرنسوں
- قیاس
- کنکشن
- خیالات
- سمجھا
- متواتر
- پر مشتمل ہے
- معاصر
- جاری رہی
- شراکت دار
- طلب کیا
- مکالمات
- اسی کے مطابق
- سکتا ہے
- کونسل
- کورس
- کورسز
- تخلیق
- تخلیق
- تنقید
- موجودہ
- نصاب
- کمی
- دن
- دن
- بحث کرنا
- دہائی
- دہائیوں
- فیصلہ کرنا
- فیصلہ کیا
- فیصلے
- کی وضاحت
- بیان
- بیان کرتا ہے
- ترقی
- DID
- مختلف
- مختلف
- ڈائجسٹ
- طول و عرض
- طول و عرض
- براہ راست
- مایوس کن
- ممتاز
- do
- دستاویز
- دستاویزات
- کر
- کیا
- نہیں
- دگنی
- نیچے
- درجن سے
- درجنوں
- خرابیاں
- دو
- کے دوران
- ہر ایک
- اس سے قبل
- ابتدائی
- ایڈیٹرز
- تعلیم
- اثر
- کوشش
- کوششوں
- اور
- ای میل
- یمبیڈ
- آخر
- درج
- پوری
- مساوات
- یکساں طور پر
- مساوی
- بھی
- کبھی نہیں
- سب
- رعایت
- خصوصی
- وجود
- توسیع
- تجربہ
- ماہرین
- توسیع
- توسیع
- وسیع
- انتہائی
- حقیقت یہ ہے
- عوامل
- فاسٹ
- کی حمایت
- آراء
- محسوس
- ساتھی
- خرابی
- خواتین
- چند
- میدان
- اعداد و شمار
- فائنل
- پہلا
- پانچ
- فلیٹ
- ذائقہ
- پروازیں
- پر عمل کریں
- کے بعد
- کے لئے
- فارم
- فارمیٹ
- سابق
- ملا
- چار
- مفت
- مفت تقریر
- آزاد کرنے والا
- اکثر
- جمعہ
- سے
- سامنے
- مکمل
- جمع
- جمع
- دی
- جنس
- صنفی مساوات
- جنرل
- جارجیا
- جرمنی
- حاصل
- ملتا
- دے دو
- دی
- دے
- گلوبل
- عالمی سطح پر
- دنیا
- جاتا ہے
- گئے
- گوگل
- ملا
- حکومت
- چلے
- عظیم
- زیادہ سے زیادہ
- بڑھی
- گروپ
- اضافہ ہوا
- تھا
- ہال
- ہاتھ
- ہو
- ہارڈ
- مشکل
- ہے
- he
- مدد
- مدد
- اس کی
- یہاں
- اعلی
- اعلی تعلیم
- اسے
- خود
- ان
- تاریخی
- تاریخی
- ہوم پیج (-)
- امید ہے کہ
- HOURS
- کس طرح
- HTML
- HTTPS
- بھاری
- انسان
- سینکڑوں
- i
- خیالات
- if
- عدم توازن
- فوری طور پر
- اثرات
- اہمیت
- اہم
- in
- شامل
- سمیت
- شامل
- آزاد
- انفرادی
- اثر و رسوخ
- بااثر
- غیر رسمی
- معلوماتی
- ذاتی، پیدائشی
- ابتدائی
- انسٹی ٹیوٹ
- باہم منسلک
- دلچسپی
- دلچسپ
- بین الاقوامی سطح پر
- میں
- متعارف
- مدعو کیا
- مدعو کرنا
- ملوث
- شامل
- IT
- جان
- شامل ہو گئے
- جرنل
- صرف
- جسٹس
- رکھتے ہوئے
- بچے
- کربی
- جان
- جانا جاتا ہے
- آخری
- مرحوم
- بعد
- رہنما
- لیکچر
- کم
- خط
- لبرٹی
- زندگی
- روشنی
- کی طرح
- محدود
- لسٹ
- فہرستیں
- تھوڑا
- مقامی طور پر
- لاجسٹکس
- لانگ
- تلاش
- دیکھنا
- ان
- لاس اینجلس
- بنا
- میگزین
- مین
- اہم
- بنانا
- میں کامیاب
- بہت سے
- میسا چوسٹس
- ریاضی
- ریاضیاتی
- ریاضی
- معاملہ
- میکس
- me
- سے ملو
- اجلاس
- مرد
- ذکر
- طریقوں
- ملر
- معمولی
- پیر
- زیادہ
- صبح
- سب سے زیادہ
- زیادہ تر
- ماؤنٹین
- بہت
- ضروری
- my
- تقریبا
- ضروری ہے
- نیٹ ورک
- کبھی نہیں
- نئی
- اگلے
- نہیں
- عام
- اب
- تعداد
- تعداد
- مقصد
- اشیاء
- فرائض
- واضح
- قبضے
- اکتوبر
- of
- افسر
- پرانا
- on
- ایک بار
- ایک
- آن لائن
- آن لائن ورژن
- صرف
- پر
- کھول
- or
- منظم
- منظم کرنا
- دیگر
- دیگر
- باہر
- فرسودہ
- پر
- اضافی
- خود
- صفحات
- جوڑے
- وبائی
- کاغذات
- حصہ
- شرکت
- حصہ لیا
- خاص طور پر
- منظور
- گزشتہ
- راستہ
- لوگ
- فیصد
- مدت
- ادوار
- انسان
- فلسفہ
- فون
- فون کالز
- طبعیات
- پلاٹا
- افلاطون ڈیٹا انٹیلی جنس
- پلیٹو ڈیٹا
- پوائنٹس
- ممکنہ
- پیش گوئیاں
- پیش
- اعلی
- خوبصورت
- پچھلا
- پرنسٹن
- پہلے
- مسئلہ
- مسائل
- عمل
- مصنوعات
- پیشہ ور ماہرین
- ٹیچر
- پیش رفت
- منصوبوں
- ممتاز
- فروغ یافتہ
- تجویز
- ثابت ہوا
- فراہم
- اشاعت
- شائع
- شائع
- پیچھا کرنا
- ڈال
- رکھتا ہے
- کوالیفائنگ
- کوانٹا میگزین
- سوالات
- جلدی سے
- رینکنگ
- بلکہ
- رے
- تیار
- حقیقت
- واقعی
- وجوہات
- موصول
- حال ہی میں
- سفارش
- حوالہ
- کی عکاسی
- جھلکتی ہے
- کے بارے میں
- خطے
- جاری
- رپورٹ
- تحقیق
- پابندی
- نتیجہ
- تجزیہ
- انقلاب
- اضافہ
- روب
- کردار
- کمرہ
- کمروں
- کہا
- تنخواہ
- اسی
- یہ کہہ
- سکول
- سائنس
- سائنسی
- سکور کارڈ
- سیٹل
- دوسری
- دیکھنا
- احساس
- علیحدہ
- کام کرتا ہے
- سیشن
- مقرر
- ترتیبات
- حل کرو
- آباد
- سات
- شکل
- سائز
- سائز
- مشترکہ
- وہ
- شیلف
- ہونا چاہئے
- اسی طرح
- سادہ
- بعد
- بیٹھ
- چھ
- چھوٹے
- چھوٹے
- ہموار
- So
- سماجی
- سماجی انصاف
- سوسائٹی
- حل
- حل کرنا۔
- کچھ
- کسی
- خالی جگہیں
- ماہرین
- تقریر
- خرچ
- دائرہ
- اسٹینفورڈ
- اسٹینفورڈ یونیورسٹی
- شروع کریں
- شروع
- حالت
- امریکہ
- ابھی تک
- کھڑا
- کہانی
- ساختی
- ساخت
- ڈھانچوں
- طالب علم
- طلباء
- مطالعہ
- سٹائل
- موضوع
- مضامین
- جمع کرائی
- کامیابی
- پتہ چلتا ہے
- موسم گرما
- کو بڑھانے کے
- اس بات کا یقین
- سطح
- حیرت انگیز
- نظام پسند
- لے لو
- لیتا ہے
- بات
- مذاکرات
- کہہ
- بتاتا ہے
- کیا کرتے ہیں
- ٹیکساس
- سے
- کہ
- ۔
- ریاست
- دنیا
- ان
- ان
- خود
- نظریہ
- وہاں.
- یہ
- وہ
- بات
- چیزیں
- لگتا ہے کہ
- سوچنا
- سوچتا ہے
- تھرڈ
- اس
- ان
- اگرچہ؟
- سوچا
- ہزاروں
- تین
- تین جہتی
- کے ذریعے
- جمعرات
- وقت
- کرنے کے لئے
- آج
- آج کا
- مل کر
- بتایا
- لیا
- اوزار
- کوشش کی
- سچ
- حقیقت
- منگل
- دو
- ucla
- کے تحت
- زیر راست
- یونیورسٹی
- یونیورسٹی آف کیلی فورنیا
- شکاگو یونیورسٹی
- جب تک
- اپ ڈیٹ کریں
- اپ ڈیٹ
- استعمال کی شرائط
- استعمال کیا جاتا ہے
- قیمتی
- مختلف اقسام کے
- ورژن
- ورژن
- بنام
- بہت
- لنک
- خیالات
- چاہتے ہیں
- چاہتے تھے
- جنگ
- تھا
- راستہ..
- طریقوں
- we
- ویبپی
- ہفتے
- اچھا ہے
- تھے
- کیا
- کیا ہے
- جب
- جس
- جبکہ
- بھوک لگی
- ڈبلیو
- پوری
- بڑے پیمانے پر
- گے
- ولیم
- ساتھ
- کے اندر
- خواتین
- وون
- بہت اچھا
- کام
- کام کیا
- ورکشاپ
- دنیا
- گا
- لکھنا
- تحریری طور پر
- لکھا ہے
- سال
- سال
- جی ہاں
- تم
- نوجوان
- اور
- زیفیرنیٹ