الجبرا اور جیومیٹری کے درمیان رقص کرنے والا ایک ریاضی دان

بہت سے لوگوں کی طرح جو ریاضی دان بنیں گے، وی ہو ریاضی کے مقابلوں میں مقابلہ کرتے ہوئے پلا بڑھا۔ آٹھویں جماعت میں، اس نے وسکونسن میں Mathcounts کا ریاستی مقابلہ جیتا، اور اس کی ٹیم نے شہریوں میں تیسری پوزیشن حاصل کی۔

مستقبل کے بہت سے ریاضی دانوں کے برعکس، اسے یقین نہیں تھا کہ وہ کبھی ایک بننا چاہتی ہے۔

"میں ہر وقت سب کچھ کرنا چاہتا تھا،" ہو نے کہا۔ "میں نے ابتدائی ہائی اسکول تک بیلے کو بہت سنجیدگی سے لیا۔ میں نے ادبی رسالہ ایڈٹ کیا۔ میں نے بحث اور فرانزک کیا۔ میں نے ٹینس اور ساکر اور پیانو اور وائلن کھیلا۔ اس کے برعکس، بہت سے کامیاب ریاضی دان ہر چیز کو چھوڑ کر ریاضی کے جنون میں مبتلا نظر آئے۔ وہ، بے شمار جذبوں کے ساتھ ایک شخص، توجہ کی اس سطح کا کیسے مقابلہ کر سکتی ہے؟

بالآخر، ہو ریاضی کی سختی کی طرف راغب ہوا۔ وہ اب بھی بیلے سے لطف اندوز ہوتی ہے، ناول پڑھتی ہے اور خفیہ کراس ورڈ پہیلیاں کرتی ہے، یہاں تک کہ وہ ریاضیاتی مشینری کو نئے سرے سے ایجاد کرنے میں مدد کرتی ہے جو بنیادی ریاضیاتی اشیا، جیسے کثیر الجہتی مساوات، جن کے ساتھ دیرینہ اور پریشان کن کھلے سوالات وابستہ ہیں۔

ہو مانوس ہندسی اشیاء کا مطالعہ کرتی ہے، لیکن وہ سوالوں کو ریفارم کرتی ہے تاکہ انہیں عقلی اعداد کے دائرے میں رکھا جا سکے - ایسے اعداد جنہیں فریکشن کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ "پھر نمبر تھیوری ان سب میں گھل مل جانا شروع ہو جاتی ہے،" اس نے کہا۔

وہ خاص طور پر بیضوی منحنی خطوط میں دلچسپی رکھتی ہے، جن کی تعریف ایک خاص قسم کی کثیر الجہتی مساوات سے ہوتی ہے جس کا اطلاق ریاضی کی مختلف شاخوں میں ہوتا ہے۔ بیضوی منحنی خطوط تجزیہ میں ظاہر ہوتے ہیں - بڑے پیمانے پر بات کرتے ہوئے، حقیقی اعداد کی طرح مسلسل چیزوں کا مطالعہ - اور الجبرا میں، جو ریاضی کے عین مطابق ڈھانچے کو تلاش کرنے اور اس کی وضاحت کرنے کے بارے میں ہے۔ (اگرچہ ان کی توجہ مختلف ہے، تجزیہ اور الجبرا کو ایک سخت حد سے زیادہ حساسیت کے لحاظ سے تقسیم کیا گیا ہے، کیونکہ ان کے درمیان کافی حد تک اوورلیپ ہے۔)

2018 میں جاری کردہ رکاوٹوں کو توڑنے والے پری پرنٹ میں، ہو اور اس کا ساتھی Levent Alpöge ہارورڈ یونیورسٹی کے ایک نیا اوپری باؤنڈ دریافت کیا۔ کثیر الثانیات کے عددی حل کی تعداد کے لیے جو بیضوی منحنی خطوط کی وضاحت کرتے ہیں۔ ان کی تکنیک ایک امریکی ریاضی دان لوئس مورڈیل کے دہائیوں پرانے کام پر مبنی ہے جو 1906 میں برطانیہ ہجرت کر گئے تھے۔ اپنے مقالے میں ہو اور الپوج ان انٹیجر سلوشنز کی تقسیم کے بارے میں نئی ​​معلومات اکٹھا کرنے کے قابل تھے جنہوں نے اسی طرح کا مطالعہ کرنے والی دوسری ٹیموں کو روک دیا تھا۔ مسائل.

ہو انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی میں وزٹنگ پروفیسر کے طور پر (مشی گن یونیورسٹی میں اپنی فیکلٹی پوزیشن سے چھٹی پر) سال گزار رہی ہے، جہاں انہیں حال ہی میں IAS کے خواتین اور ریاضی کے پروگرام کی پہلی ڈائریکٹر نامزد کیا گیا ہے۔ وہ امریکن میتھمیٹیکل سوسائٹی کی 2023 فیلو اور پرنسٹن یونیورسٹی میں ریسرچ اسکالر بھی ہیں۔

وہ پرامید ہیں کہ خواتین اور ریاضی کے پروگرام کی ہدایت کاری سے "کم از کم کمیونٹی کو زیادہ مدد ملے گی، زیادہ سے زیادہ لوگوں کی مدد ہو گی، بجائے اس کے کہ میں اپنے دفتر میں رہ کر خود یا ساتھیوں کے ساتھ ریاضی کی تحقیق کروں،" اس نے کہا۔ "میں نظریات کو ثابت کر سکتا ہوں، اور ہو سکتا ہے کہ کسی دن میں ایک نظریہ ثابت کر سکوں کہ 100 سالوں میں فرق پڑے گا۔ شاید شاید نہیں. لیکن میں نے محسوس کیا کہ میں دنیا یا اپنے آس پاس کے لوگوں پر کافی اثر نہیں ڈال رہا ہوں۔"

Quanta ویڈیو کانفرنسز کی ایک سیریز میں ہو کے ساتھ بات کی۔ انٹرویوز کو کم کیا گیا ہے اور وضاحت کے لیے ان میں ترمیم کی گئی ہے۔

آپ ریاضی کے طریقے کو کیسے بیان کریں گے؟

بعض اوقات ریاضی دان خود کو الجبری اور تجزیاتی لوگوں میں تقسیم کرتے ہیں۔ میں جو ریاضی کرتا ہوں وہ دونوں اطراف کو چھوتا ہے، لیکن دل سے، میں الجبراسٹ ہوں، حالانکہ میں اپنے سوچنے کے انداز میں ہندسی ہوں۔ میں اکثر الجبرا اور جیومیٹری کو بنیادی طور پر ایک جیسا دیکھنے کا رجحان رکھتا ہوں۔

یہ بالکل درست نہیں ہے، لیکن بنیادی طور پر ڈیکارٹ کے کام کے بعد سے اور خاص طور پر پچھلی صدی میں، دونوں مضامین واقعی قریب ہو گئے ہیں۔ ایک بالکل درست لغت ہے جو کچھ حالات میں ہندسی تصویر کو الجبری نتائج میں ترجمہ کرنے میں مدد کر سکتی ہے۔

میرے اپنے معاملے میں، جیومیٹرک تصویر اکثر بیانات اور قیاس آرائیوں کو بنانے اور وجدان دینے میں مدد کرتی ہے، لیکن پھر ہم لکھتے وقت ان کا الجبرا میں ترجمہ کرتے ہیں۔ غلطیوں کا پتہ لگانا آسان ہے کیونکہ الجبرا عام طور پر زیادہ سخت ہوتا ہے۔ جب جیومیٹری کو تصور کرنا بہت مشکل ہو جاتا ہے تو الجبرا کا استعمال کرنا بھی آسان ہو سکتا ہے۔

آپ اپنے حالیہ کام میں کن خیالات پر توجہ مرکوز کر رہے ہیں؟

میرے کام کا کافی حد تک بیضوی منحنی خطوط کے ساتھ تعلق ہے، جو کہ نمبر تھیوری اور ریاضی جیومیٹری میں بہت قدرتی چیزیں ہیں۔

اس طرح کی مساوات کے عددی حل حاصل کرنا مشکل ہونا چاہیے۔ ہم توقع کرتے ہیں، بنیادی طور پر، تقریباً تمام منحنی خطوط میں کوئی عددی حل نہیں ہونا چاہیے۔ لیکن یہ ثابت کرنا بہت مشکل ہے۔

لیونٹ اور میں نے انٹیگرل پوائنٹس کی تعداد کی اس تقسیم کا مطالعہ کیا۔ ہم مورڈیل کی 1969 کی کتاب سے ایک کلاسیکی تعمیر کا استعمال کرتے ہیں۔ ڈائیوفینٹائن مساوات. ہم بیضوی منحنی خطوط پر انٹیگرل پوائنٹس کی تعداد پر اوپری حد دینے کے قابل ہیں۔ دوسرے لوگوں نے اوپر کی حدیں دی ہیں۔ ہمیں ایک مختلف پابند ملا جو بیان کرنا آسان ہے۔

آپ کے حالیہ نتائج میں مورڈیل کے پہلے کام نے کیا کردار ادا کیا؟

ہمارے سوال میں بیضوی منحنی خطوط پر اٹوٹ پوائنٹس شامل ہیں۔ مورڈیل کے پاس اسے کسی اور چیز سے جوڑنے کا ایک طریقہ ہے جس کا ہم مطالعہ کرنے کے قابل ہیں۔

یہ وہ چیز ہے جو ہم ہر وقت ریاضی میں کرتے ہیں: ہم کسی چیز کو سمجھنا چاہتے ہیں، لیکن ہمیں اسے سمجھنے کے لیے ایک پراکسی تلاش کرنا ہوگی۔ بعض اوقات وہ پراکسی بہت درست ہوتی ہے۔ کبھی کبھی یہ معلومات کھو دیتا ہے۔ لیکن یہ دراصل ایسی چیز ہے جس تک ہم رسائی حاصل کر سکتے ہیں۔

آپ نے ریاضی پر توجہ دینے کا فیصلہ کب کیا؟

مجھے نہیں لگتا کہ میرے لئے کوئی ٹپنگ پوائنٹ تھا۔ میں اب اپنی زندگی اور کیریئر سے خوش ہوں، لیکن مجھے لگتا ہے کہ اگر حالات کچھ مختلف ہوتے تو میں کئی کیریئر یا دیگر شعبوں میں خوش رہ سکتا تھا۔ شاید یہ وہ چیز ہے جو زیادہ تر ریاضی دان نہیں کہیں گے، کیونکہ وہ اس بارے میں بات کرنا پسند کرتے ہیں کہ وہ ریاضی کے بارے میں کتنے پرجوش ہیں اور کس طرح وہ کسی اور چیز کے بارے میں سوچ بھی نہیں سکتے۔ میرے لیے، مجھے نہیں لگتا کہ یہ سچ ہے۔

میں بہت سی مختلف چیزوں کے بارے میں متجسس ہوں۔ شاید میں نے ریاضی دان کے طور پر ختم کیا کیونکہ میں دوسرے شعبوں میں سختی کی کمی سے مایوس تھا۔ بچپن میں، مجھے کچھ طریقوں سے ریاضی دان کی طرح سوچنے کی تربیت دی گئی تھی، کیونکہ ہم گھر میں کام اسی طرح کرتے تھے۔ میرے والد میرے ساتھ ریاضی کے کھیل کھیلتے تھے، جس کا مطلب تھا کہ میں چھوٹی عمر سے ہی منطقی استدلال سیکھ رہا تھا۔ میں چاہتا تھا کہ چیزیں ثابت ہوں۔

لیکن مجھے یقین نہیں تھا کہ میں ایک اچھا ریاضی دان بنوں گا۔

کیوں؟

جب میں چھوٹا تھا، میں نہیں جانتا تھا کہ ریاضی کے بہت سے لوگ جو مختلف طریقوں سے میرے جیسے تھے۔ ہم رول ماڈل کے بارے میں ان الفاظ کو پھینک دیتے ہیں۔ یہ صرف اتنا نہیں ہے کہ میں نے کافی خواتین یا ایشیائی امریکی خواتین کو نہیں دیکھا۔

میرا مطلب یہ ہے کہ میں نے بہت سے ایسے لوگوں کو نہیں دیکھا جو ریاضی کے علاوہ چیزوں کے بارے میں پرجوش تھے۔ اس نے مجھے اپنے آپ پر بہت شک کیا۔ اگر میں اپنا 100% وقت ریاضی کے بارے میں سوچنے میں صرف نہیں کرتا ہوں تو میں ریاضی میں کیسے کامیاب ہو سکتا ہوں؟ میں نے اپنے اردگرد یہی دیکھا۔ مجھے یہ تاثر تھا کہ دوسرے لوگ ریاضی کو مجھ سے، میرے ہم عمر افراد اور مجھ سے بڑے لوگوں کے مقابلے میں مختلف طریقے سے پہنچ رہے ہیں۔ میں نے سوچا کہ ایسا کیریئر بنانا مشکل ہے جہاں میں ایسا نہیں بنوں گا۔ میری دوسری دلچسپیاں ہوں گی۔

انسانی پہلو ایک ایسی چیز ہے جس کا میں نے دوسرے لوگوں کو اتنا خیال نہیں دیکھا۔ مجھے ڈر تھا کہ میرا ایک حصہ مجھے ریاضی دان بننے پر برا بنا دے گا۔

آپ کو ابھی آئی اے ایس کے خواتین اور ریاضی پروگرام کی ڈائریکٹر نامزد کیا گیا تھا۔ وہ پروگرام خواتین ریاضی دانوں کو کیا پیش کرتا ہے؟

یہ کیریئر کے مختلف مراحل میں خواتین کے لیے ایک ہفتہ بھر کی ورکشاپ ہے، بشمول انڈرگریجویٹ خواتین، گریجویٹ طلبہ، پوسٹ ڈاکس، اور کچھ جونیئر اور سینئر فیکلٹی۔ یہ ایک معاون ماحول میں ریاضی سیکھ رہا ہے۔

انڈر گریجویٹ جو شاید یہ نہیں جانتے ہوں گے کہ وہ ریاضی کا پیچھا کرنا چاہتے ہیں وہ بہت سینئر ریاضی دانوں سے مل رہے ہیں اور ہر طرح سے رہنمائی حاصل کر رہے ہیں۔ وہ کیریئر کے مختلف مراحل میں بہت سے مختلف لوگوں کو دیکھ سکتے ہیں اور لوگوں سے ان کے تجربات کے بارے میں بات کر سکتے ہیں۔ مجھے نہیں لگتا کہ بہت سارے دوسرے پروگرام ہیں جن کی پوری حد ہے اور وہ کسی خاص ذیلی فیلڈ میں مرکوز ہیں۔

2023 پروگرام کو "Patterns in Integers" کہا جاتا ہے۔ اس میں اضافی امتزاج اور تجزیاتی نمبر تھیوری میں بہت سارے لوگ ہوں گے۔ ہم کیریئر کے مختلف راستوں سے لوگوں کو ان سے ملنے کے لیے لاتے ہیں۔

اس علاقے میں پہلے سے کام کرنے والے پرانے گریجویٹ طلباء کے لیے، وہ اپنے شعبے میں پوسٹ ڈاکس، جونیئر اور سینئر فیکلٹی سے مل رہے ہیں، اور ایک ہفتے تک ان کے ساتھ کام کرنے کا موقع حاصل کر رہے ہیں۔

آپ بھی اس میں شامل ہیں۔ اسٹیک پروجیکٹجو کہ ایک وسیع آن لائن وسیلہ ہے۔ اس کے بارے میں کیا منفرد ہے؟

اس کا سراسر حجم اور رسائی۔ یہ اتنا بڑا ہے - 7,500 سے زیادہ صفحات اگر آپ نے اسے پرنٹ کیا ہے - آن لائن تعاون پر مبنی پروجیکٹ۔ لیکن حقیقت پسندانہ طور پر، [کولمبیا یونیورسٹی کے ریاضی دان] Aise Johan de Jong یہ تقریبا تمام لکھتا ہے. یہ الجبری جیومیٹرز کے لیے ایک سخت، احتیاط سے لکھا گیا وسیلہ ہے۔ یہ ایک حیرت انگیز چیز ہے جو اس نے کمیونٹی کے لئے کیا ہے۔

ہر دو ہفتے، یہ بڑھتا ہے۔ یہ تقریبا کسی بھی چیز کے لئے ایک قابل اعتماد حوالہ ہے۔ یہ الجبری جیومیٹری کی ایک بڑی مقدار کا احاطہ کرتا ہے جس کے لیے آپ کو 20 نصابی کتب کی طرح دیکھنے کی ضرورت ہوگی۔

یہ اس معنی میں رہ رہا ہے کہ چیزوں کو شامل اور ترمیم کیا جاسکتا ہے۔ غلطیاں ہوں گی تو پکڑی جائیں گی۔

دوسری چیز جو اس کے بارے میں دلچسپ ہے وہ ہے ٹیگ سسٹم۔ اگرچہ یہ دستاویز مسلسل بڑھ رہی ہے، پھر بھی آپ ہمیشہ کے لیے مخصوص ٹیگ کا حوالہ دے سکتے ہیں۔ مخصوص نتائج کے لیے 21,000 سے زیادہ مستقل ٹیگز ہیں جن کا آپ حوالہ دینا چاہتے ہیں۔ Pieter Belmans نے پورا بیک اینڈ بنایا، جو دوسرے پروجیکٹس میں بھی استعمال ہوتا رہا ہے۔ دوسرے لوگوں نے اس کی ٹیکنالوجی کو اپنا لیا ہے۔

مسئلہ یہ ہے - اور جوہان یہ جانتا ہے - وہ آخر کار یہ لکھنا جاری نہیں رکھ سکے گا۔ کسی دن، اگر ہم چاہتے ہیں کہ یہ جاری رہے، تو اس میں دوسرے لوگوں کو مزید شامل ہونے کی ضرورت ہے۔

Stacks پروجیکٹ میں آپ کی ورکشاپس کیا کردار ادا کرتی ہیں؟

بات یہ ہے کہ نوجوان لوگوں کو شامل کرنا شروع کیا جائے۔ ہم ان سے بٹس اور ٹکڑے لکھ رہے ہیں جو آخر کار اس میں شامل ہو سکتے ہیں۔ یہاں کچھ تناؤ ہیں، کیونکہ ویب سائٹ کو بطور وسیلہ درست اور اعلیٰ معیار رکھنے کے لیے، اسے احتیاط سے اعتدال میں لانے کی ضرورت ہے۔ اس لیے جوہن کو ابھی بھی اس میں چیزیں ڈالنے کے لیے بہت زیادہ کام کرنے کی ضرورت ہے۔ یہ ویکیپیڈیا کی طرح نہیں ہو سکتا جہاں کوئی اسے چھو سکے۔ یہ ایک چھوٹی سی بدقسمتی ہے لیکن اگر آپ چاہتے ہیں کہ یہ کام کرے۔

ہم اسٹیکس پروجیکٹ میں آہستہ آہستہ مزید لوگوں کو شامل کرنے کے طریقے تلاش کرنے کی کوشش کر رہے ہیں۔ ہم گریجویٹ طلباء اور پوسٹ ڈاکس کے ساتھ پروجیکٹس پر کام کرنے کے لیے سرپرستوں کو لا رہے ہیں۔ وہ کچھ الجبری جیومیٹری سیکھتے ہیں۔ پھر وہ کچھ لکھتے ہیں۔

We صرف شائع ایکسپوزیٹری آرٹیکلز کے ایک مجموعے کے ساتھ ایک حجم جس کی ہمیں امید ہے کہ آخر کار Stacks پروجیکٹ میں جائیں گے۔

اگر کافی لوگ اس میں شامل ہو جائیں اور اسے جاری رکھیں تو Stacks پروجیکٹ سینکڑوں سالوں تک انتہائی مؤثر ثابت ہو سکتا ہے۔