1950 کی دہائی کے اوائل میں، انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی کے محققین کے ایک گروپ نے ایک ہائی ٹیک پروجیکٹ کا آغاز کیا۔ میں اشارہ جان وان نیومن اور ہرمن گولڈسٹائن کے ماہر طبیعیات ہیڈویگ سیلبرگ نے متجسس ریاضیاتی رقوم کا حساب لگانے کے لیے IAS کے 1,700 ویکیوم ٹیوب کمپیوٹر کو پروگرام کیا جس کی ابتدا 18ویں صدی تک پھیلی ہوئی تھی۔
یہ رقمیں چوکور گاؤس رقوم سے متعلق تھیں، جن کا نام مشہور ریاضی دان کارل فریڈرک گاس نے رکھا تھا۔ گاس کچھ بنیادی نمبر کا انتخاب کرے گا۔ p، پھر فارم $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$ کے اعداد کو جمع کریں۔ اپنے آغاز کے بعد سے، چوکور گاؤس رقوم مخصوص قسم کی مساواتوں کے حل کی گنتی جیسے کاموں کے لیے انمول ثابت ہوئی ہیں۔ "یہ پتہ چلتا ہے کہ گاؤس کی رقم جادوئی ہے، وہ صرف حیرت انگیز چیزیں کرتی ہیں کیونکہ خدا جانتا ہے کہ کیا وجہ ہے،" کہا جیفری ہوفسٹائن، براؤن یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔
19ویں صدی کے وسط میں، جرمن ریاضی دان ارنسٹ ایڈورڈ کمر ان چوکور گاؤس رقوم کے ایک قریبی رشتہ دار کے ساتھ کھیل رہا تھا، جہاں n2 ایکسپوننٹ میں ایک سے بدل دیا جاتا ہے۔ n3. کمر نے دیکھا کہ وہ حیرت انگیز حد تک مخصوص قدروں کے قریب جمع کرنے کا رجحان رکھتے ہیں - ایک گہری مشاہدہ جو کہ نمبر تھیوری میں صدیوں کی تحقیقات کا باعث بنے گا۔
اگر کیوبک گاس رقوم کو ایک آسان فارمولے میں دوبارہ کام نہیں کیا جاتا ہے، تو ان کی قدروں کا اندازہ لگانا مشکل ہے۔ اس طرح کے فارمولے کی کمی کے باعث، کمر نے کیوبک گاؤس رقوم کا حساب لگانے کے بارے میں سوچا — اور حساب لگانا، اور حساب کرنا۔ "اس وقت ان کے لیے اس قسم کی بہادری کی گنتی ہاتھ سے کرنا بہت عام تھا،" کہا میتھیو ینگ، ٹیکساس A&M یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ پہلے 45 غیر معمولی بنیادی نمبروں کے مطابق 45 رقموں میں ہل چلانے کے بعد، کمر نے آخر کار ہار مان لی۔
اپنے نتائج کا سروے کرتے ہوئے، کمر نے کچھ دلچسپ دیکھا۔ نظریہ میں، رقم −1 اور 1 کے درمیان کچھ بھی ہو سکتی ہے ("نارملائزڈ" ہونے کے بعد — ایک مناسب مستقل سے تقسیم)۔ لیکن جب اس نے حساب کیا تو اسے معلوم ہوا کہ وہ ایک عجیب و غریب طریقے سے تقسیم کیے گئے تھے۔ نصف نتائج ½ اور 1 کے درمیان تھے، اور ان میں سے صرف چھٹا حصہ −1 اور −½ کے درمیان تھا۔ وہ 1 کے ارد گرد جھرمٹ میں نظر آئے۔
کمر نے اپنے مشاہدات کو ایک قیاس کے ساتھ پیش کیا: اگر آپ کسی طرح سے تمام لامحدود کیوبک گاؤس رقوم کی منصوبہ بندی کرنے میں کامیاب ہو گئے، تو آپ ان میں سے بیشتر کو ½ اور 1 کے درمیان دیکھیں گے۔ −½ اور ½ کے درمیان کم؛ اور اب بھی −1 اور −½ کے درمیان کم ہے۔
سیلبرگ، وون نیومن اور گولڈسٹائن اپنے ابتدائی کمپیوٹر پر اس کی جانچ کرنے کے لیے نکلے۔ سیلبرگ نے اسے 10,000 سے کم تمام غیر معمولی پرائمز کے لیے کیوبک گاس رقوم کا حساب لگانے کے لیے پروگرام بنایا - مجموعی طور پر تقریباً 600 رقوم۔ (گولڈ اسٹائن اور وون نیومن اس مقالے کے مصنف کے لیے آگے بڑھیں گے؛ ان کی شراکتیں آخر میں اعتراف کی ایک لائن میں شامل ہو جائیں گی۔) انھوں نے دریافت کیا کہ جیسے جیسے پرائمز بڑے ہوتے گئے، معمول کی رقمیں 1 کے قریب کلسٹر کی طرف کم مائل ہوتی گئیں۔ اس بات کا قائل ثبوت کہ کمر کا قیاس غلط تھا، ریاضی دانوں نے کیوبک گاؤس کی رقم کو گہرے طریقے سے سمجھنے کی کوشش شروع کی جو محض حساب سے آگے نکل گئی۔
وہ عمل اب مکمل ہو چکا ہے۔ 1978 میں ریاضی دان سیموئل پیٹرسن کمر کے ریاضیاتی اسرار کا حل نکالا، لیکن اسے ثابت نہیں کر سکا۔ پھر آخری موسم خزاں میں، کیلیفورنیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی کے دو ریاضی دانوں نے پیٹرسن کے قیاس کو ثابت کیا، آخر کار 1846 سے کمر کی موسیقی کو بند کر دیا۔
پیٹرسن پہلی بار 1970 کی دہائی میں کیمبرج یونیورسٹی میں گریجویٹ طالب علم کے طور پر اس مسئلے کا شکار ہوئے۔ اس کا قیاس اس بات سے محرک تھا کہ کیا ہوتا ہے جب اعداد کو −1 اور 1 کے درمیان تصادفی طور پر کہیں بھی رکھا جاتا ہے۔ اگر آپ اضافہ کرتے ہیں۔ N ان بے ترتیب نمبروں میں سے، رقم کا عام سائز $latexsqrt{N}$ ہوگا (یہ مثبت یا منفی ہوسکتا ہے)۔ اسی طرح، اگر کیوبک گاس کی رقم −1 سے 1 تک یکساں طور پر بکھری ہوئی تھی، تو آپ توقع کریں گے N ان میں سے تقریباً $latexsqrt{N}$ تک کا اضافہ کرنا۔
اس کو ذہن میں رکھتے ہوئے، پیٹرسن نے اضافہ کیا۔ N کیوبک گاس رقم، بنیادی نمبروں پر قائم رہنے کی ضرورت کو نظر انداز کرتے ہوئے (اس وقت کے لیے)۔ اس نے پایا کہ رقم کے ارد گرد تھا N5/6 — $latexsqrt{N}$ سے بڑا (جسے لکھا جا سکتا ہے۔ N1/2)، لیکن اس سے کم N. اس قدر کا مطلب یہ ہے کہ رقوم بے ترتیب اعداد کی طرح برتاؤ کرتی ہیں لیکن ایک کمزور قوت کے ساتھ ان پر مثبت اقدار کی طرف دباؤ ڈالتی ہے، جسے تعصب کہا جاتا ہے۔ جیسا کہ N بڑا اور بڑا ہوتا جائے گا، بے ترتیب پن تعصب کو مغلوب کرنا شروع کر دے گا، اور اس لیے اگر آپ کسی طرح سے تمام لامحدود کیوبک گاس رقوم کو ایک ساتھ دیکھیں تو وہ یکساں طور پر تقسیم نظر آئیں گے۔
اس نے بظاہر ہر چیز کی وضاحت کر دی: کمر کی کمپیوٹیشنز تعصب کو ظاہر کرتی ہیں، ساتھ ہی آئی اے ایس کمپیوٹیشنز ایک کی تردید کرتی ہیں۔
لیکن پیٹرسن پرائم نمبرز کے لیے وہی حساب کرنے کے قابل نہیں تھا، لہٰذا 1978 میں، اس نے اسے باضابطہ طور پر لکھا۔ قیاس: اگر آپ پرائم نمبرز کے لیے کیوبک گاس رقوم کا اضافہ کرتے ہیں، تو آپ کو وہی ملنا چاہیے۔ N5/6 رویے
کمر کے مسئلے پر اپنے کام کے بارے میں بات کرنے کے فورا بعد، پیٹرسن سے راجر ہیتھ براؤن نامی ایک گریجویٹ طالب علم نے رابطہ کیا، جس نے پرائم نمبر تھیوری سے تکنیکوں کو شامل کرنے کا مشورہ دیا۔ دونوں نے مل کر اور جلد ہی شائع مسئلہ پر ایک پیش قدمی، لیکن وہ پھر بھی یہ نہیں دکھا سکے کہ پیٹرسن کی پیشن گوئی N5/6 تعصب پرائمز کے لیے درست تھا۔
آنے والی دہائیوں میں، بہت کم پیش رفت ہوئی۔ آخر کار، ہزار سالہ موڑ پر، ہیتھ براؤن نے ایک اور بنایا پیش رفت، جس میں اس نے ایک ٹول تیار کیا تھا جسے کیوبک بڑی چھلنی کہتے ہیں نے ایک اہم کردار ادا کیا۔
کیوبک بڑی چھلنی کو استعمال کرنے کے لیے، Heath-Brown نے کیوبک Gauss کے مجموعے کو ایک مختلف رقم سے جوڑنے کے لیے حسابات کا ایک سلسلہ استعمال کیا۔ اس ٹول کی مدد سے، ہیتھ براؤن یہ ظاہر کرنے کے قابل تھا کہ اگر آپ پرائمز کے لیے کیوبک گاس رقوم کو اس سے کم جوڑتے ہیں۔ N، نتیجہ اس سے زیادہ بڑا نہیں ہو سکتا N5/6. لیکن اس نے سوچا کہ وہ بہتر کام کر سکتا ہے — کہ چھلنی کو ہی بہتر بنایا جا سکتا ہے۔ اگر یہ کر سکتا ہے، تو یہ باؤنڈ کو کم کر دے گا۔ N5/6 بالکل، اس طرح پیٹرسن کے قیاس کو ثابت کرنا۔ متن کی ایک مختصر سطر میں، اس نے خاکہ بنایا کہ اس کے خیال میں چھلنی کا بہترین ممکنہ فارمولا کیا ہوگا۔
اس نئے آلے کے ہاتھ میں ہونے کے باوجود بھی ریاضی دان آگے بڑھنے سے قاصر تھے۔ پھر دو دہائیوں بعد، کالٹیک پوسٹ ڈاک کے درمیان خوش قسمتی سے مقابلہ ہوا۔ الیگزینڈر ڈن اور اس کا نگران میکسم ریڈزیویل اختتام کے آغاز کو نشان زد کیا۔ ڈن نے ستمبر 2020 میں اپنی پوزیشن شروع کرنے سے پہلے، Radziwiłł نے تجویز پیش کی کہ وہ پیٹرسن کے قیاس پر مل کر کام کریں۔ لیکن CoVID-19 وبائی بیماری کے ساتھ اب بھی پھیل رہی ہے، تحقیق اور تدریس دور سے جاری ہے۔ آخر کار، جنوری 2021 میں، موقع — یا قسمت — نے مداخلت کی جب پاسادینا پارکنگ میں دو ریاضی دان غیر متوقع طور پر ایک دوسرے سے ٹکرا گئے۔ ڈن نے ایک ای میل میں لکھا، "ہم نے خوش دلی سے بات چیت کی، اور ہم نے اتفاق کیا کہ ہمیں ریاضی سے ملنا اور بات کرنا شروع کرنی چاہیے۔" مارچ تک، وہ پیٹرسن کے قیاس کے ثبوت پر تندہی سے کام کر رہے تھے۔
ڈن نے کہا، "اس پر کام کرنا دلچسپ تھا، لیکن انتہائی خطرہ تھا۔ "میرا مطلب ہے، مجھے یاد ہے کہ مجھے چار یا پانچ مہینے تک ہر صبح صبح 5 بجے اپنے دفتر میں آنا یاد ہے۔"
Dunn اور Radziwiłł، جیسا کہ ان سے پہلے ہیتھ براؤن، نے اپنے ثبوت کے لیے کیوبک بڑی چھلنی کو ناگزیر پایا۔ لیکن جیسا کہ انہوں نے وہ فارمولہ استعمال کیا جو ہیتھ براؤن نے اپنے 2000 کے مقالے میں لکھا تھا - جسے وہ بہترین ممکنہ چھلنی مانتے تھے، ایک قیاس جس پر نمبر تھیوری کمیونٹی نے یقین کیا تھا وہ درست تھا - انہیں احساس ہوا کہ کچھ غلط تھا۔ . Radziwiłł نے کہا، "ہم بہت پیچیدہ کام کے بعد یہ ثابت کرنے میں کامیاب ہو گئے کہ 1 = 2۔"
اس وقت، Radziwiłł کو یقین تھا کہ غلطی ان کی تھی۔ "مجھے ایک قسم کا یقین تھا کہ ہمارے پاس بنیادی طور پر اپنے ثبوت میں غلطی ہے۔" ڈن نے اسے دوسری صورت میں قائل کیا۔ کیوبک بڑی چھلنی، توقعات کے برعکس، پر بہتر نہیں کیا جا سکا.
کیوبک بڑی چھلنی کی درستگی سے لیس، ڈن اور ریڈزیویل نے پیٹرسن کے قیاس کے بارے میں اپنے نقطہ نظر کو دوبارہ ترتیب دیا۔ اس بار وہ کامیاب ہو گئے۔
Radziwiłł نے کہا، "میرے خیال میں یہ بنیادی وجہ تھی کہ کسی نے ایسا کیوں نہیں کیا، کیونکہ یہ [ہیتھ براؤن] کا اندازہ سب کو گمراہ کر رہا تھا۔" "مجھے لگتا ہے کہ اگر میں نے ہیتھ براؤن کو بتایا کہ اس کا قیاس غلط ہے، تو وہ شاید یہ جان لے گا کہ اسے کیسے کرنا ہے۔"
Dunn اور Radziwiłł نے 15 ستمبر 2021 کو اپنا مقالہ پوسٹ کیا۔ آخر میں، ان کے ثبوت نے ریاضی میں ایک مشہور طور پر غیر ثابت شدہ قیاس آرائیوں پر انحصار کیا۔ لیکن دوسرے ریاضی دان اسے صرف ایک معمولی خرابی کے طور پر دیکھتے ہیں۔ "ہم مفروضے سے چھٹکارا حاصل کرنا چاہتے ہیں۔ لیکن ہمیں ایک ایسا نتیجہ ملنے پر خوشی ہے جو بہرحال مشروط ہے،‘‘ کہا ہیتھ براؤنجو اب آکسفورڈ یونیورسٹی میں ایمریٹس پروفیسر ہیں۔
Heath-Brown، Dunn اور Radziwiłł کے لیے کام پیٹرسن کے قیاس کا ثبوت سے زیادہ ہے۔ کیوبک بڑی چھلنی میں اس کی غیر متوقع بصیرت کے ساتھ، ان کے کاغذ نے ایک ایسی کہانی کا حیرت انگیز خاتمہ کیا جس کا وہ کئی دہائیوں سے حصہ رہا ہے۔ "مجھے خوشی ہے کہ میں نے حقیقت میں اپنے کاغذ میں نہیں لکھا، 'مجھے یقین ہے کہ کوئی اس سے چھٹکارا پا سکتا ہے،'" اس نے ڈن اور ریڈزیویل کے دریافت کردہ چھلنی کے ٹکڑے کا حوالہ دیتے ہوئے کہا کہ یہ ضروری تھا۔ "میں نے صرف کہا، 'یہ اچھا ہوگا اگر کوئی اس سے چھٹکارا حاصل کر سکے۔ ایسا لگتا ہے کہ آپ کو قابل ہونا چاہئے۔' اور میں غلط تھا - پہلی بار نہیں۔
