خلا میں پوائنٹس کے مجموعے کو دیکھتے ہوئے، کیا آپ کو ایک مخصوص قسم کا وکر مل سکتا ہے جو ان سب سے گزرتا ہے؟ یہ سوال - جس کو انٹرپولیشن مسئلہ کہا جاتا ہے اس کا ایک ورژن - قدیم زمانے سے ریاضی دانوں کو دلچسپی رکھتا ہے۔ اس سال کے شروع میں ریاضی دانوں نے ایرک لارسن اور ازابیل ووگٹ اسے مکمل طور پر حل کیا.
لیکن جب کہ کام نے خالص ریاضی دانوں میں کافی جوش و خروش پیدا کیا ہے، انٹرپولیشن کے عملی نتائج ہیں جو جیومیٹری کے دائرے سے بہت آگے ہیں۔ انٹرپولیشن الیکٹرانک ڈیٹا کو ذخیرہ کرنے اور بات چیت کرنے، کرپٹوگرافک اسکیموں کی تعمیر، اور بہت کچھ میں مرکزی حیثیت رکھتا ہے۔ یہی وجہ ہے کہ آپ سی ڈی کو سکریچ کر سکتے ہیں اور پھر بھی موسیقی سن سکتے ہیں، یا QR کوڈ کو گندا کر سکتے ہیں اور پھر بھی اسے سکین کر سکتے ہیں۔ یہی وجہ ہے کہ وائجر پروگرام جیسے خلائی مشن واضح ڈیجیٹل تصاویر کو زمین پر واپس بھیج سکتے ہیں۔ یہی وجہ ہے کہ کمپیوٹرز کا ایک جھرمٹ ایک پیچیدہ کمپیوٹیشن انجام دے سکتا ہے یہاں تک کہ اگر ان میں سے ایک کمپیوٹر خراب ہو جائے۔
یہ تمام ایپلی کیشنز انٹرپولیشن کے حیرت انگیز طور پر خوبصورت اور تصوراتی طور پر سیدھے استعمال پر انحصار کرتی ہیں: نام نہاد ریڈ سلیمان کوڈز، اور ان کوڈز جو ان پر بنتے ہیں۔
پوائنٹ بہ پوائنٹ
کہیں کہ آپ دو نمبروں پر مشتمل ایک پیغام بھیجنا چاہتے ہیں: 2 اور 7۔ یہ ممکن ہے کہ آپ جو ڈیٹا منتقل کر رہے ہیں ان میں سے کچھ ضائع ہو جائے یا خراب ہو جائے — مثال کے طور پر 2 ایک −2 پر پلٹ سکتا ہے۔ اس لیے محض ڈیٹا بھیجنے کے بجائے، آپ وصول کنندہ کو پیدا ہونے والی غلطیوں کی شناخت اور ان کو ٹھیک کرنے میں مدد کے لیے اضافی معلومات شامل کر سکتے ہیں۔ یہ وہی ہے جسے غلطی کو درست کرنے والا کوڈ کہا جاتا ہے۔
اس طرح کے کوڈ کی سب سے آسان مثال میں ایک ہی پیغام کو متعدد بار منتقل کرنا شامل ہے۔ وصول کنندہ کو یہ شناخت کرنے کی اجازت دینے کے لیے کہ آیا کوئی خرابی واقع ہوئی ہے، ایک ہی پیغام کو دو بار بھیجیں: 2, 7, 2, 7۔ اگر متعلقہ پوزیشنز میں نمبرز مماثل نہیں ہیں (کہیں، اگر ٹرانسمیشن اس کی بجائے 2، 7، −2 پڑھتا ہے، 7)، وصول کنندہ کو معلوم ہوگا کہ ان میں سے ایک غلط ہے - لیکن کون سا نہیں۔ انہیں اس کا پتہ لگانے اور غلطی کو درست کرنے کے لیے، ایک ہی پیغام کو تین بار بھیجیں: 2، 7، 2، 7، 2، 7۔ وصول کنندہ کو آپ کے مطلوبہ پیغام کا پتہ لگانے کے لیے صرف اکثریتی ووٹ لینے کی ضرورت ہے۔
لیکن غلطیوں کو درست کرنے کا یہ طریقہ انتہائی ناکارہ ہے۔ یہاں ایک بہتر نقطہ نظر ہے: پیغام کو منحنی خطوط کے طور پر انکوڈ کریں، اور وصول کنندہ کو اس وکر کو دوبارہ تشکیل دینے کی اجازت دینے کے لیے صرف اتنی معلومات بھیجیں۔
2 اور 7 کو منتقل کرنے کے ہمارے سادہ معاملے میں، وکر لائن ہوگی۔ y 2 =x + 7. اس منحنی خطوط کا اندازہ دو پہلے سے طے شدہ اقدار پر کریں۔ x، اور نتیجے کو منتقل کریں۔ y-اقدار وصول کنندہ کے پاس اب دو پوائنٹس ہیں، اور چونکہ انٹرپولیشن کا مسئلہ ہمیں بتاتا ہے کہ دو پوائنٹس ایک انوکھی لکیر کا تعین کرتے ہیں، وصول کنندہ کو صرف اس لائن کو تلاش کرنا ہوتا ہے جو اسے موصول ہونے والے پوائنٹس سے گزرتی ہے۔ لائن کے گتانک مطلوبہ پیغام کو ظاہر کرتے ہیں۔
غلطیوں سے بچنے کے لیے، آپ ایک بار پھر اضافی معلومات شامل کریں۔ یہاں، آپ بھیجیں y- وہ قدر جو کسی اور پہلے سے متعین سے مماثل ہو۔ xکوآرڈینیٹ اگر تین پوائنٹس ایک ہی لائن پر نہیں آتے ہیں تو ایک خرابی ہے۔ اور یہ معلوم کرنے کے لیے کہ غلطی کہاں ہے، آپ صرف ایک اور ویلیو بھیجیں - یعنی آپ نے کل چار نمبر بھیجے ہیں، بجائے اس کے کہ پچھلے طریقے سے مطلوبہ چھ۔
فائدہ پیغام کے سائز کے ساتھ بڑھتا ہے۔ فرض کریں کہ آپ ایک طویل پیغام بھیجنا چاہتے ہیں — 1,000 نمبر۔ کم موثر کوڈ میں غلطی کی نشاندہی کرنے کے لیے 2,000 نمبر اور اسے درست کرنے کے لیے 3,000 نمبر بھیجنے کی ضرورت ہوگی۔ لیکن اگر آپ اس کوڈ کا استعمال کرتے ہیں جس میں دیے گئے پوائنٹس کے ذریعے ایک کثیر الثانی کو جوڑنا شامل ہوتا ہے، تو آپ کو غلطی کو تلاش کرنے کے لیے صرف 1,001، اور اسے درست کرنے کے لیے 1,002 کی ضرورت ہے۔ (آپ مزید ممکنہ غلطیوں کی نشاندہی کرنے اور درست کرنے کے لیے مزید پوائنٹس شامل کر سکتے ہیں۔) جیسے جیسے آپ کے پیغام کی لمبائی بڑھتی جاتی ہے، دونوں کوڈز کے درمیان کارکردگی میں فرق مزید بڑھتا جاتا ہے۔
زیادہ موثر کوڈ کو ریڈ سلیمان کوڈ کہا جاتا ہے۔ 1960 میں اس کے متعارف ہونے کے بعد سے، ریاضی دانوں نے مزید کامیابیاں حاصل کی ہیں، الگورتھم تیار کیے ہیں جو زیادہ کارکردگی کے ساتھ مزید غلطیوں کو درست کر سکتے ہیں۔ "یہ بہت خوبصورت، صاف، کنکریٹ ہے،" نے کہا سواستیک کوپارٹیٹورنٹو یونیورسٹی میں ریاضی دان اور کمپیوٹر سائنس دان۔ "یہ دوسرے سال کے انڈرگریجویٹ کو آدھے گھنٹے میں پڑھایا جا سکتا ہے۔"
Reed-Solomon کوڈز خاص طور پر معلومات کو الیکٹرانک طور پر ذخیرہ کرنے اور منتقل کرنے کے لیے مفید رہے ہیں۔ لیکن یہی تصور خفیہ نگاری اور تقسیم شدہ کمپیوٹنگ میں بھی ضروری رہا ہے۔
سیکرٹ شیئرنگ لیں: فرض کریں کہ آپ ایک راز کو کئی فریقوں میں تقسیم کرنا چاہتے ہیں تاکہ کوئی بھی شخص اس راز تک رسائی حاصل نہ کر سکے، لیکن وہ مل کر کر سکتے ہیں۔ (مثال کے طور پر ایک انکرپشن کلید کا تصور کریں، یا میزائل لانچ کوڈ کا۔) آپ نمبرز کو ایک کثیر نام میں انکوڈ کرتے ہیں، اس کثیر الثانی کو پوائنٹس کے پہلے سے طے شدہ سیٹ پر جانچتے ہیں، اور ہر ایک کے نتائج کو ایک مختلف شخص میں تقسیم کرتے ہیں۔
ابھی حال ہی میں، Reed-Solomon کوڈز کو کلاؤڈ کمپیوٹنگ اور blockchain ٹیکنالوجی جیسے شعبوں میں استعمال کیا گیا ہے۔ کہتے ہیں کہ آپ کو ایک کمپیوٹیشن چلانے کی ضرورت ہے جو آپ کے لیپ ٹاپ کے لیے بہت پیچیدہ ہے، لہذا آپ کے پاس ایک بڑا کمپیوٹیشنل کلسٹر ہے جو اسے چلاتا ہے — لیکن اب آپ کو اس بات کی تصدیق کرنے کی ضرورت ہے کہ آپ جو کمپیوٹیشن واپس کر رہے ہیں وہ درست ہے۔ Reed-Solomon کوڈز آپ کو اضافی معلومات طلب کرنے دیتے ہیں جو کہ کلسٹر ممکنہ طور پر پیدا نہیں کر سکے گا اگر اس نے صحیح طریقے سے گنتی نہیں کی ہے۔ "یہ جادوئی کام کرتا ہے،" کہا جیڈ ناردی، فرانس میں میتھمیٹکس انسٹی ٹیوٹ آف رینس میں ایک ریسرچ فیلو۔ "یہ عمل واقعی شاندار ہے، اور جس طرح سے یہ [ان کوڈز] پر انحصار کرتا ہے وہ میرے دماغ کو اڑا دیتا ہے۔"
لیکن Reed-Solomon کوڈز میں بھی ایک اہم رکاوٹ ہے۔ وہ اس طرح سے بنائے گئے ہیں کہ آپ صرف ایک مقررہ (اور عام طور پر نسبتاً چھوٹے) قدروں کے سیٹ پر اپنے کثیر القومی کا جائزہ لے سکتے ہیں۔ یعنی، آپ اپنے پیغام کو انکوڈ کرنے کے لیے نمبروں کا ایک مخصوص سیٹ استعمال کرنے تک محدود ہیں۔ اس سیٹ کا سائز، یا حروف تہجی، بدلے میں ان پیغامات کی لمبائی کو محدود کرتا ہے جو آپ بھیج سکتے ہیں - اور آپ جتنا بڑا حروف تہجی بنانے کی کوشش کریں گے، آپ کو ان پیغامات کو ڈی کوڈ کرنے کے لیے اتنی ہی زیادہ کمپیوٹیشنل طاقت کی ضرورت ہوگی۔
اور اس طرح ریاضی دانوں نے ایک اور بھی بہترین کوڈ تلاش کیا۔
مستقبل کے کوڈز
ایک زیادہ عام، زیادہ طاقتور کوڈ آپ کو اپنے حروف تہجی کا سائز بڑھانے کی ضرورت کے بغیر طویل پیغامات کو ذخیرہ کرنے یا بھیجنے کی اجازت دے گا۔ ایسا کرنے کے لیے، ریاضی دانوں نے ایسے کوڈ وضع کیے جن میں ایک فنکشن کو انٹرپول کرنا شامل ہے - جو کہ زیادہ پیچیدہ منحنی خطوط سے منسلک ایک خاص جگہ میں رہتا ہے - اس منحنی خطوط کے ذریعے۔ کوپارٹی نے کہا کہ یہ نام نہاد الجبری جیومیٹری کوڈز "کہیں سے نہیں نکلے، اور یہ کسی بھی دوسرے کوڈ سے بہتر ہیں جسے ہم جانتے ہیں کہ [چھوٹے حروف تہجی کے ساتھ] کیسے بنانا ہے،" کوپارٹی نے کہا۔ "یہ ہر چیز کو شکست دیتا ہے۔ یہ ایک حقیقی جھٹکا تھا۔"
بس ایک مسئلہ ہے۔ عملی طور پر، Reed-Solomon کوڈ کو نافذ کرنا الجبری جیومیٹری کوڈ کو لاگو کرنے سے کہیں زیادہ آسان ہے۔ کرپٹولوجسٹ نے کہا کہ "یہ جدید ترین ہے، لیکن حقیقت میں کسی عملی چیز میں تبدیل ہونے کے لیے یہ ابھی بھی زیرِ تفتیش ہے۔" سائمن ایبلارڈ. "اس میں کافی خلاصہ ریاضی شامل ہے، اور کمپیوٹر پر ان کوڈز کو سنبھالنا مشکل ہے۔"
ابھی کے لیے، یہ تشویشناک نہیں ہے: حقیقی دنیا کی ایپلی کیشنز میں، Reed-Solomon کوڈز اور غلطی کی اصلاح کی متعلقہ شکلیں کافی ہیں۔ لیکن ہو سکتا ہے کہ ہمیشہ ایسا نہ ہو۔ مثال کے طور پر، اگر مستقبل میں طاقتور کوانٹم کمپیوٹرز دستیاب ہو جائیں، تو وہ اس قابل ہو جائیں گے۔ آج کے کرپٹوگرافی پروٹوکول کو توڑ دیں۔. نتیجے کے طور پر، محققین اسکیموں کو تلاش کر رہے ہیں جو کوانٹم حملوں کے خلاف مزاحمت کرسکتے ہیں. اس طرح کی اسکیموں کے لیے ایک سرفہرست دعویدار کو Reed-Solomon کوڈز سے زیادہ مضبوط چیز کی ضرورت ہوگی۔ الجبری جیومیٹری کوڈز کے کچھ ورژن کام کر سکتے ہیں۔ دوسرے محققین کلاؤڈ کمپیوٹنگ میں الجبری جیومیٹری کوڈز کے کردار کے بارے میں پر امید ہیں۔
لیکن اس طرح کے ممکنہ استعمال کی غیر موجودگی میں بھی، "ریاضی کی تاریخ میں، بعض اوقات آپ کو ایسی نئی چیزیں دریافت ہوتی ہیں جن کی آج کل واقعی کوئی درخواست نہیں ہے،" کہا۔ ایلینا بیرارڈینی۔، نیدرلینڈز کی آئندھوون یونیورسٹی آف ٹیکنالوجی کے ایک محقق جو الجبری جیومیٹری کوڈز پر کام کرتے ہیں۔ "لیکن پھر 50 سال کے بعد، آپ کو معلوم ہوا کہ یہ مکمل طور پر غیر متوقع چیز کے لیے کارآمد ثابت ہو سکتا ہے" - بالکل اسی طرح جیسے پرانی مداخلت کا مسئلہ۔
