قیاس آرائیوں کا ایک مینار جو سوئی پر ٹکا ہوا ہے | کوانٹا میگزین

ریاضی میں، ایک سادہ مسئلہ اکثر ایسا نہیں ہوتا جو لگتا ہے۔ اس موسم گرما کے شروع میں، Quanta ایسے ہی ایک مسئلے کی اطلاع دی ہے۔: لامحدود پتلی سوئی کو تمام ممکنہ سمتوں میں گھماتے ہوئے آپ سب سے چھوٹا حصہ کون سا ہے جسے آپ جھاڑ سکتے ہیں؟ اسے اس کے مرکز کے گرد ڈائل کی طرح گھمائیں، اور آپ کو ایک دائرہ ملے گا۔ لیکن اسے زیادہ چالاکی سے گھمائیں، اور آپ جگہ کے من مانے چھوٹے حصے کو کور کر سکتے ہیں۔ اگر آپ کو سوئی کو ایک مسلسل حرکت میں منتقل کرنے کی ضرورت نہیں ہے، اور اس کے بجائے صرف ہر سمت میں ایک سوئی بچھا دیں، تو آپ سوئیوں کا ایک ایسا انتظام بنا سکتے ہیں جس میں کسی بھی جگہ کا احاطہ نہ ہو۔

ریاضی دان ان انتظامات کو کاکیا سیٹ کہتے ہیں۔ جب کہ وہ جانتے ہیں کہ ایسے سیٹ رقبے کے لحاظ سے چھوٹے ہو سکتے ہیں (یا حجم، اگر آپ اپنی سوئیوں کو تین یا اس سے زیادہ جہتوں میں ترتیب دے رہے ہیں)، تو ان کا خیال ہے کہ سیٹ ہمیشہ بڑے ہونے چاہئیں اگر ان کا سائز ہاؤزڈورف نامی میٹرک سے ناپا جائے۔ طول و عرض.

ریاضی دانوں نے ابھی تک اس بیان کو ثابت کرنا ہے، جسے کاکیا قیاس کے نام سے جانا جاتا ہے۔ لیکن جب کہ یہ بظاہر سایوں کے بارے میں ایک سادہ سا سوال ہے، "ان کاکیہ سیٹوں کی جیومیٹری جزوی تفریق مساوات، ہارمونک تجزیہ اور دیگر شعبوں میں سوالات کی ایک پوری دولت کو کم کرتی ہے،" کہا۔ جوناتھن ہیک مین ایڈنبرا یونیورسٹی کے.

کاکیا قیاس ہارمونک تجزیہ میں تین مرکزی مسائل کے ایک درجہ بندی کی بنیاد پر ہے - ریاضی کی ایک شاخ جو اس بات کا مطالعہ کرتی ہے کہ کس طرح فنکشنز کو متواتر افعال کے مجموعے کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے جیسے کہ سائن کی لہروں کو باقاعدگی سے دوہرانا۔

اس درجہ بندی میں اگلا قدم "پابندی" کا قیاس ہے۔ اگر یہ سچ ہے تو کاکیا کا قیاس بھی ایسا ہی ہے۔ (اس کا مطلب یہ بھی ہے کہ اگر کاکیا کا قیاس غلط نکلا تو پابندی کا قیاس درست نہیں ہو سکتا۔) پابندی کا قیاس، بدلے میں، نام نہاد بوچنر-ریز کے قیاس سے ظاہر ہوتا ہے۔ اور سب سے اوپر مقامی ہموار قیاس بیٹھتا ہے۔

پہلے دو قیاس آرائیاں فوئیر ٹرانسفارم کے رویے سے متعلق ہیں، جو ہارمونک تجزیہ کی ایک تکنیک ہے، جس کے لیے، حقیقت میں، تقریباً کسی بھی فنکشن کو سائن لہروں کے مجموعے کے طور پر کیسے ظاہر کیا جائے۔ یہ طبیعیات دانوں اور انجینئروں کے لیے دستیاب سب سے طاقتور ریاضیاتی ٹولز میں سے ایک ہے۔ فوئیر ٹرانسفارم نے تفریق مساوات کو حل کرنے، ہائیزن برگ کے غیر یقینی اصول جیسے کوانٹم مکینیکل آئیڈیاز کا اظہار کرنے، اور سگنلز کا تجزیہ اور پروسیسنگ کرنے میں بنیادی کردار ادا کیا ہے - جدید موبائل فون جیسی چیزوں کو ممکن بنانے میں۔

چونکہ درجہ بندی میں ہر ایک بیان اس کے نیچے والے کو ظاہر کرتا ہے، اگر کاکیا کا قیاس غلط ہے، تو دیگر قیاس میں سے کوئی بھی صحیح نہیں ہے۔ پورا ٹاور گر کر تباہ ہو جائے گا۔ ہِک مین نے کہا کہ "آپ ایک سپر مونسٹر کاؤنٹر مثال بنا سکتے ہیں جو بہت سے قیاس آرائیوں کو توڑ دے گا۔"

دوسری طرف، کاکیا کے قیاس کو درست ثابت کرنے سے خود بخود ان دیگر قیاس آرائیوں کی سچائی پر دلالت نہیں کرے گا - لیکن یہ ریاضی دانوں کو آگے بڑھنے کے طریقہ کے بارے میں اہم بصیرت فراہم کرے گا۔

اور اس طرح، "ہارمونک تجزیہ کی تقریباً نصف کمیونٹی جس کے بارے میں میں جانتا ہوں وہ اس اور متعلقہ مسائل پر کام کر رہی ہے، یا کسی وقت ان پر کام کر چکی ہے،" کہا۔ شاومنگ گو یونیورسٹی آف وسکونسن، میڈیسن کا۔

ابھی حال ہی میں، ریاضی دانوں نے حیرانی کے ساتھ یہ دریافت کیا ہے کہ ان مسائل سے نمٹنے کے لیے انھوں نے جو تکنیکیں تیار کی ہیں ان کا استعمال بھی بظاہر غیر متعلق نظریہ نمبر تھیوری میں بڑے نتائج کو ثابت کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے۔ گو نے کہا کہ "یہ لوگوں کے خیال سے کہیں زیادہ عام رجحان ہے۔"

پرت کیک

کہانی کا آغاز فوئیر ٹرانسفارم سے ہوتا ہے۔ "آپ [فنکشنز] کو چھوٹے ٹکڑوں میں گلنا چاہتے ہیں، ان کے تعاملات کا تجزیہ کرنا چاہتے ہیں، اور انہیں دوبارہ ایک ساتھ شامل کرنا چاہتے ہیں،" نے کہا۔ یومینگ او پنسلوانیا یونیورسٹی کے. ایک جہتی افعال کے لیے — منحنی خطوط جو آپ کاغذ کے ٹکڑے پر پلاٹ کر سکتے ہیں — ریاضی دانوں کو اس بات کی اچھی سمجھ ہوتی ہے کہ یہ کیسے کیا جائے، یہاں تک کہ جب انہیں صرف کچھ ٹکڑوں کا استعمال کرتے ہوئے فوئیر ٹرانسفارم کو ریورس کرنے کی ضرورت ہو۔

لیکن دو یا زیادہ جہتوں میں چیزیں گڑبڑ ہو سکتی ہیں۔

1971 میں چارلی فیفرمینپرنسٹن یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان نے یہ معلوم کیا کہ کاکیا سیٹس کو یہ ظاہر کرنے کے لیے کیسے استعمال کیا جائے کہ فوئیر ٹرانسفارم کو ریورس کرنے سے متعدد جہتوں میں عجیب اور حیران کن نتائج برآمد ہو سکتے ہیں۔

ریاضی دانوں نے Bochner-Riesz قیاس کی شکل میں ایک درستی تلاش کی، جس میں بنیادی طور پر کہا گیا ہے کہ اصل فنکشن کو بحال کرنے کے مزید نفیس طریقے ہیں جو فیفرمین کی مثال کی طرح ٹوٹتے نہیں ہیں۔ لیکن اس کا انحصار کاکیہ کے قیاس کی سچائی پر تھا۔

اگر یہ سچ ہے تو، "تعدد کو تراشنا صرف چھوٹی غلطیوں کا باعث بنے گا،" کہا بیٹسی اسٹووال یونیورسٹی آف وسکونسن، میڈیسن کا۔ "اس کا مطلب ہے کہ چھوٹی چھوٹی غلطیاں اڑا نہیں جاتی ہیں۔"

تو درجہ بندی کا آغاز ہوا۔ بعد میں، ریاضی دانوں نے ایک اور اہم تعلق دریافت کیا: اگر سچ ہے تو، Bochner-Riesz قیاس نے ایک بیان کو بھی اشارہ کیا جسے پابندی قیاس کہا جاتا ہے۔ اس قیاس میں کہا گیا ہے کہ اگر آپ فوئیر ٹرانسفارم کے محدود ورژن کے ساتھ شروع کرتے ہیں — ان اقدار کو "محدود" کرتے ہیں جو آپ صرف خاص سطحوں پر رہتے ہیں - اس سے آپ کو اصل فنکشن کے بارے میں اہم معلومات مل سکتی ہیں۔ اور یہ ثابت ہوا کہ اگر پابندی کا قیاس درست تھا تو کاکیا کا قیاس بھی درست تھا۔ (اس نے ٹاور میں کاکیہ اور بوچنر-ریز کے درمیان پابندی کا اندازہ لگایا۔)

درجہ بندی میں اہم مسئلہ، جسے مقامی ہموار کنجیکچر کہا جاتا ہے، براہ راست فوئیر ٹرانسفارم سے نہیں نمٹتا، بلکہ لہروں کے رویے کو بیان کرنے والی مساوات کے حل کے سائز پر پابندی لگاتا ہے۔

آپ کاکیہ سیٹ میں لکیروں کی جیومیٹری کے لحاظ سے بھی اس کے بارے میں سوچ سکتے ہیں۔ آپ لہر کی مساوات کے عمومی حل کو ٹکڑوں کے ایک گروپ میں توڑ سکتے ہیں جو مختلف سمتوں میں حرکت کرتے ہیں اور وقت کے ساتھ ساتھ مختلف طریقوں سے ایک دوسرے کے ساتھ تعامل کرتے ہیں۔ ان میں سے ہر ایک ٹکڑا ریاضی کے لحاظ سے کاکیہ سیٹ میں سوئی سے مشابہ ہے۔ کاکیا قیاس اس بات پر زور دیتا ہے کہ اس طرح کی ترتیب میں زیادہ اوورلیپ نہیں ہو سکتا۔ اس جسمانی تناظر میں، اوورلیپس حل میں فاسد اور غیر متوقع طرز عمل کی استقامت کے مطابق ہوں گے۔ مثال کے طور پر، ایک آواز کی لہر بہت سے خطوں میں مختلف اوقات میں بڑھ سکتی ہے۔

مقامی ہموار قیاس یہ بتاتا ہے کہ اس طرح کی بے ضابطگیوں کا اوسط ہونا چاہئے۔ "یہ مالیاتی مارکیٹ کی اوسط لینے کے مترادف ہے،" کہا سیپرین ڈیمیٹر انڈیانا یونیورسٹی بلومنگٹن کے۔ "یہاں اور وہاں کریش ہو سکتے ہیں، لیکن اگر آپ اپنا پیسہ لگاتے ہیں اور 40 سالوں میں ریٹائر ہو جاتے ہیں، تو ایک اچھا موقع ہے کہ آپ کو کچھ اچھی سرمایہ کاری ملے گی۔"

لیکن درجہ بندی میں تمام قیاس آرائیوں کی طرح، یہ کاکیہ قیاس کی سچائی پر منحصر ہے۔ اسٹووال نے کہا کہ "خیال یہ ہے کہ اگر آپ کاکیا سیٹس میں بہت زیادہ چوراہوں کو مسترد کرتے ہیں، تو اس کا مطلب ہے کہ آپ ان حالات کو مسترد کر سکتے ہیں جہاں آپ کے حل کے کچھ حصے مل کر کسی قسم کا دھچکا پیدا کرنے کی سازش کرتے ہیں۔"

یہ قیاس گروپ میں سب سے مشکل ہے: جب کہ کاکیہ، پابندی اور بوچنر-ریز کے مسائل کے دو جہتی معاملات کو دہائیوں پہلے حل کیا گیا تھا، دو جہتی مقامی ہموار قیاس صرف چند سال پہلے ہی ثابت ہوا تھا۔ (اعلیٰ جہتوں میں، یہ تمام مسائل کھلے رہتے ہیں۔)

لیکن مقامی ہموار قیاس کو ثابت کرنے میں سست پیش رفت کے باوجود، اس پر کام نے کہیں اور زبردست پیش رفت کی ہے۔ 1999 میں، قیاس سے نمٹنے کی کوشش کرتے ہوئے، ریاضی دان تھامس وولف نے ایک طریقہ متعارف کرایا جسے ڈیکپلنگ کہا جاتا ہے۔ تب سے، اس تکنیک نے اپنی زندگی اختیار کر لی ہے: اس کا استعمال نہ صرف ہارمونک تجزیہ میں بلکہ نمبر تھیوری، جیومیٹری اور دیگر شعبوں میں بڑی کامیابیاں حاصل کرنے کے لیے کیا گیا ہے۔ "ڈیکپلنگ کے نتائج کا استعمال کرتے ہوئے، اب آپ کے پاس بہت مشہور، اہم مسائل کے عالمی ریکارڈ ہیں،" کہا کرسٹوفر سوگ جانز ہاپکنز یونیورسٹی کا، جس نے پہلی بار 1990 کی دہائی میں مقامی ہموار قیاس تیار کیا۔ مثال کے طور پر، decoupling کو شمار کرنے میں مدد کے لیے استعمال کیا گیا ہے کہ ایک عدد کو مربع، کیوبز یا کسی دوسری طاقت کے مجموعے کے طور پر کتنے طریقوں سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

جیسا کہ ڈیمیٹر نے کہا، یہ نتائج ممکن ہیں کیونکہ "ہم تعداد کو لہروں کی طرح دیکھ سکتے ہیں۔" انہوں نے مزید کہا کہ یہ تمام مسائل کاکیا سوئی کے سیٹ سے جڑے ہوئے ہیں "دلکش ہے،" انہوں نے مزید کہا۔ "آپ کو نہیں لگتا کہ کسی چیز میں اتنی خوبصورتی، مشکل اور اہمیت چھپی ہو سکتی ہے جسے لائن سیگمنٹس کا استعمال کرتے ہوئے وضع کیا جا سکتا ہے۔"