گراف تھیوری میں ایک بہت بڑی چھوٹی چھلانگ

15 مارچ کو، دلچسپ سیمینار کے اعلانات نے combinatorics کے میدان میں، گنتی کے ریاضیاتی مطالعہ کے ذریعے ہلچل مچا دی۔ تین ساتھیوں نے اگلے دن مربوط مذاکرات کرنے کا منصوبہ بنایا۔ جولین سہسرابدھے۔ کیمبرج، انگلینڈ میں ریاضی دانوں سے خطاب کریں گے۔ سائمن گریفتھس ریو ڈی جنیرو میں خبروں کا اشتراک کریں گے اور مارسیلو کیمپوس ساؤ پالو میں تینوں مذاکروں میں ایک جیسے عنوانات اور خفیہ، دو جملوں پر مشتمل خلاصہ "اردس کے ایک پرانے مسئلے پر حالیہ پیش رفت" کا حوالہ دیتے ہیں۔ جبکہ 1996 میں مرنے والے ہنگری کے ایک ریاضی دان پال ایرڈس نے پوز دیا۔ سینکڑوں مسائل اپنے کیریئر کے دوران، کمبینیٹروں نے تیزی سے اس مخصوص مسئلے کو تقسیم کیا جس کے بارے میں تینوں بات کرنے کا ارادہ کر رہے تھے۔ رمسی نمبر کہلانے والی کسی چیز کے بارے میں افواہیں گردش کرتی ہیں، جو کہ تمام ریاضی میں شمار کرنے کے لیے سب سے مشکل مقداروں میں سے ایک ہے۔

رمسی نمبروں نے رامسی تھیوری کے نام سے ایک مکمل نظم و ضبط پیدا کیا ہے، جو نظاموں کی ایک بڑی رینج میں ناگزیر نمونوں کی تلاش کرتا ہے۔

مثال کے طور پر، کہتے ہیں کہ آپ تمام انٹیجرز کو متعدد بالٹیوں میں پھیلانے کی کوشش کرتے ہیں، اور آپ کسی بھی بالٹی میں یکساں فاصلہ والے نمبروں کی ترتیب رکھنے سے گریز کرنا چاہتے ہیں۔ رمسی تھیوری سے پتہ چلتا ہے کہ آپ ناکام ہو جائیں گے (جب تک کہ آپ کے پاس بہت سی بالٹیاں نہ ہوں)۔ نظریہ کا اطلاق زیادہ تر کسی بھی چیز پر کیا جا سکتا ہے جسے آپ شمار کر سکتے ہیں۔ سوئس فیڈرل انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی زیورخ کے ایک ریاضی دان بینی سوڈاکوف نے کہا کہ اس کا مرکزی سبق یہ ہے کہ "آپ مکمل طور پر افراتفری کا نظام نہیں بنا سکتے۔"

Ramsey نمبر اس بات کا اندازہ لگاتا ہے کہ مخصوص نمونوں کے لامحالہ پیدا ہونے سے پہلے ایک تمثیلی مثال کتنی بڑی ہونی چاہیے۔ لیکن اس کی مرکزیت کے باوجود، کوئی بھی سب کے لیے رمسی نمبر کا حساب نہیں لگا سکا ہے۔ آسان ترین مثالیں. سب سے بہتر جو وہ کرنے میں کامیاب رہے ہیں وہ ہے حدود (یا حدود) تلاش کرنا کہ یہ کیا ہو سکتا ہے۔ اس کے بعد بھی، اردس اور ایک ساتھی کی طرف سے لگ بھگ ایک صدی قبل قائم کی گئی بالائی حد بمشکل ہٹی تھی۔

پھر، 15 مارچ کے سیمیناروں میں، اور اس شام کے بعد شائع ہونے والے ایک مقالے میں، محققین نے اعلان کیا کہ انہوں نے رمسی نمبر پر اوپری حد کو ایک کفایتی رقم سے بہتر کیا ہے۔

"میں فرش تھا،" کہا یوول وگڈرسننئے نتائج کے بارے میں سن کر، تل ابیب یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان۔ "میں لفظی طور پر آدھے گھنٹے سے ایک گھنٹے تک کانپ رہا تھا۔"

پارٹی لائنز

رامسی تھیوری عام طور پر یا تو عدد کے بارے میں یا گراف کے بارے میں سوالات پوچھتی ہے۔ ایک گراف، اس تناظر میں، پوائنٹس کے مجموعے کا حوالہ دیتا ہے جسے نوڈز کہتے ہیں، جو لکیروں کے ذریعے جڑے ہوتے ہیں جنہیں کناروں کہتے ہیں، جن میں لمبائی جیسی خصوصیات ہو سکتی ہیں یا — جیسا کہ رامسی نمبرز — رنگ کے معاملے میں۔

ایک مکمل گراف پیچیدہ اور سادہ دونوں ہوتا ہے — ہر نوڈ ہر دوسرے نوڈ سے جڑا ہوتا ہے۔ Ramsey نمبر بتاتا ہے کہ ایک مکمل گراف میں کتنے نوڈس ہونے چاہئیں تاکہ کسی خاص ڈھانچے کو مجبور کیا جائے۔ کہتے ہیں کہ ایک مکمل گراف کے کناروں کو دو رنگوں میں سے ایک تفویض کیا گیا ہے: سرخ یا نیلا۔ اور کہتے ہیں کہ آپ کناروں کو اس طرح رنگنے کی کوشش کریں کہ نوڈس کے گروپ کو ایک ہی رنگ کے کناروں سے جوڑنے سے گریز کریں۔ 1930 میں، فرینک رمسی نے ثابت کیا کہ اگر گراف کافی بڑا ہے، تو اسے تخلیق کرنے سے بچنا ناممکن ہو جاتا ہے جسے ریاضی دان یک رنگی گروہ کہتے ہیں - نوڈس کا ایک گروپ جس کے عام کنارے یا تو تمام سرخ یا تمام نیلے ہوتے ہیں۔

یک رنگی گروہ کے ابھرنے پر مجبور ہونے سے پہلے گراف کتنا بڑا ہونا چاہیے؟ جواب کا انحصار گروہ کے سائز پر ہے۔ رمسی نے ظاہر کیا کہ ایک عدد موجود ہے، جسے اب رمسی نمبر کہا جاتا ہے، نوڈس کی کم از کم تعداد کی نمائندگی کرتا ہے جس کے لیے ایک مخصوص سائز کا ایک رنگی گروہ موجود ہونا چاہیے، چاہے کناروں کا رنگ کیسے ہی کیوں نہ ہو۔

لیکن رامسی نمبر کا سائز نیچے پن کرنا مشکل ہے۔ 1935 میں، Ramsey کے موجود ہونے کے پانچ سال بعد، Erdős اور George Szekeres نے ایک نئی، سخت اوپری حد فراہم کی کہ ایک مخصوص سائز کے گروہ کے لیے Ramsey نمبر کتنا بڑا ہے۔ لیکن اس کے بعد سے، ریاضی دان بمشکل ہی Erdős اور Szekeres کے حساب کتاب کو بہتر کر پائے ہیں۔

اس کا کیا مطلب ہے اس کے بارے میں بہتر ادراک حاصل کرنے کے لیے، ایک کلاسک مثال پر غور کریں، جس میں نوڈس پارٹی میں مہمانوں کی نمائندگی کرتے ہیں۔ کسی بھی دو مہمانوں کے درمیان کے کنارے کو سرخ رنگ کریں اگر وہ پہلے ملے ہوں، اور اگر نہیں ملے تو نیلے رنگ سے۔ آپ اپنی پسند کا کوئی بھی گروپ منتخب کر سکتے ہیں — پارٹی میں کافی لوگوں کو مدعو کریں، اور آپ لوگوں کے ایسے گروپ کو مدعو کرنے سے گریز نہیں کر سکتے جو سب ایک دوسرے کو جانتے ہیں (لفظ کے متعدد معنوں میں ایک گروہ) یا لوگوں کے ایک گروپ کو مدعو کرنے سے جو پہلے کبھی نہیں ملا.

"سب سے آسان چیز جو آپ گراف میں رکھ سکتے ہیں وہ ہے یک رنگی گروہ،" کہا ماریہ چڈنووسکی، پرنسٹن یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "یہ حیرت انگیز ہے کہ ہر بڑے گراف میں آپ کو ان میں سے ایک بڑا مل سکتا ہے۔ یہ مکمل طور پر واضح نہیں ہے۔"

پہلے چند Ramsey نمبروں کا حساب لگانا نسبتاً آسان ہے۔ فرض کریں کہ آپ سب سے چھوٹے گراف کا سائز جاننا چاہتے ہیں جس میں ریاضی دانوں کے لیے ناگزیر طور پر سائز دو، یا R(2) کا ایک گروہ ہونا چاہیے۔ چونکہ دو نوڈس کے ساتھ ایک مکمل گراف ایک کنارے سے جڑے ہوئے صرف دو نوڈس ہے، اور اس کنارے کو سرخ یا نیلا ہونا چاہیے، R(2) 2 ہے۔ عام طور پر، R(k)، یا رامسی کا نمبر k، نوڈس کی کم از کم تعداد ہے جس سے آگے گراف سائز کے ایک گروہ پر مشتمل ہونے سے بچ نہیں سکتا k.

یہ ظاہر کرنا اتنا مشکل نہیں ہے کہ سائز 3، یا R(3) کے گروہ کے لیے رمسی نمبر 6 ہے (گرافک دیکھیں)۔ لیکن یہ 1955 تک نہیں تھا کہ R(4) کو 18 پر پِن کیا گیا تھا۔ R(5) نامعلوم ہے - یہ کم از کم 43 ہے اور 48 سے بڑا نہیں ہے۔ اگرچہ یہ تعداد چھوٹی ہیں، تمام ممکنہ رنگوں کو چھاننا باہر ہے۔ کیلیفورنیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی کے ڈیوڈ کونلن نے کہا۔ 43 نوڈس کے ساتھ مکمل گراف پر رنگوں کی تعداد پر غور کریں۔ "آپ کے پاس 903 کنارے ہیں؛ ان میں سے ہر ایک کو دو طریقوں سے رنگین کیا جا سکتا ہے،" انہوں نے وضاحت کی۔ "تو آپ کو 2 ملتے ہیں۔⁹⁰³جو کہ فلکیاتی طور پر بہت بڑا ہے۔

جیسے جیسے گروہ کا سائز بڑھتا جاتا ہے، رامسی نمبر کو کیل لگانے کا کام مزید مشکل ہوتا جاتا ہے۔ ایرڈس نے طنز کیا کہ ریاضی کے لحاظ سے مطالبہ کرنے والے غیر ملکیوں کے ساتھ ہمہ جہت جنگ کوشش کرنے سے زیادہ آسان ہوگی R(6) کا پتہ لگائیںجو کہ کہیں 102 اور 165 کے درمیان ہے۔ غیر یقینی کی حد تیزی سے بڑھتی ہے: مطابق Stanisław Radziszowski کے مرتب کردہ تخمینے، R(10) 798 جتنا چھوٹا اور 23,556 جتنا بڑا ہو سکتا ہے۔ لیکن ریاضی دانوں کے اہداف 10 کے رمسی نمبر سے کہیں زیادہ ہیں۔ وہ ایک ایسا فارمولہ چاہتے ہیں جو R( کا اچھا تخمینہ دے سکے۔k)، یہاں تک کہ — یا خاص طور پر — جب k بہت بڑا ہے.

وگڈرسن نے کہا کہ "میں امتزاج میں کسی ایسے شخص کے بارے میں نہیں جانتا جس نے اس مسئلے کے بارے میں کم از کم تھوڑا سا بھی نہیں سوچا ہو۔" "یہ مسئلہ، میرے خیال میں، واقعی خاص ہے۔"

عدالت میں حکم

فرینک رمسی ایک انتخابی، شاندار شخصیت تھے جو 26 سال کی عمر میں انتقال کر گئے۔ مرنے سے چند ہفتے پہلے، لندن میتھمیٹیکل سوسائٹی کی کارروائی شائع کاغذ جس میں اس نے رمسی نمبر متعارف کروائے تھے۔ وہ کام گرافس کے بارے میں بھی نہیں تھا، بلکہ ریاضیاتی منطق میں ایک مسئلہ کے بارے میں تھا۔ رمسی نے ثابت کیا کہ ایک بیان جو کچھ شرائط کو پورا کرتا ہے کم از کم کچھ وقت درست ہونا ضروری ہے۔ ان شرائط میں سے ایک یہ تھی کہ بیان کو جانچنے کے لیے منظرناموں کی ایک بڑی "کائنات" موجود ہو۔

پانچ سال بعد، Erdős اور Szekeres نے دکھایا کہ رمسی کا نمبر k 4 سے کم ہے^k. اور اس کے 12 سال بعد، Erdős دکھایا کہ یہ تقریباً $latex sqrt{2}^k$ سے بڑا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، اس نے ان امکانات کا حساب لگایا کہ تصادفی طور پر رنگین کناروں کے ساتھ ایک گراف میں یک رنگی گروہ ہوتا ہے۔ یہ "امکانی" تکنیک گراف تھیوری میں بڑے پیمانے پر اثر انداز ہو گئی۔ اس نے R کو بھی پھنسایاk) تیزی سے بڑھتی ہوئی دو گول پوسٹس کے درمیان: $latex sqrt{2}^k$ اور $latex 4^k$۔

جیسے جیسے دہائیاں گزرتی گئیں، متعدد ریاضی دانوں نے رامسی نمبر کی ممکنہ اقدار کے درمیان فرق کو کم کرنے کی کوشش کی۔ کچھ کامیاب ہوئے: 1975 میں، جوئل اسپینسر نچلی حد کو دوگنا کر دیا۔. اور کی طرف سے کاغذات کی ایک سیریز کونلن, اینڈریو تھامسن اور اشون ساہ اوپری حد کو نیچے دھکیل دیا 4 تک تقریباً $لیٹیکس 2^{log(k)^2020}$ کے فیکٹر سے۔ لیکن ریمسی نمبر پر باؤنڈز کے سائز کے مقابلے، یہ ایڈجسٹمنٹ چھوٹی تھیں۔ اس کے برعکس، Erdős اور Szekeres کے فارمولے R( میں 4 میں کوئی کمیk) < 4^k تیزی سے بڑھتے ہوئے، تیزی سے بڑھنے والی بہتری ہوگی۔ k بڑا ہو جاتا ہے.

"یہ صرف ایک پیارا سا سوال لگتا ہے،" کہا روب مورسIMPA، ریو ڈی جنیرو میں برازیل کے انسٹی ٹیوٹ فار پیور اینڈ اپلائیڈ میتھمیٹکس کے ایک ریاضی دان، جنہوں نے کیمپوس، گریفتھس اور سہسرابدھے کے ساتھ مل کر نئے نتائج کو تحریر کیا۔ "اس کی تعریف کرنا تھوڑا ٹھیک ٹھیک ہے۔ لیکن لوگ واقعی اس کی پرواہ کرتے ہیں۔" یہ ممکنہ طور پر ایک چھوٹی بات ہے۔ "اگر وہ 1936 میں ثابت کر دیتے تو لوگ کہتے، ٹھیک ہے، تو اس میں بڑی بات کیا ہے؟" بیلا بولوباس نے کہا، جو میمفس یونیورسٹی میں مورس اور سہسرابدھے کے ڈاکٹریٹ مشیر تھے۔ "اس کے بعد سے، یہ ثابت ہو گیا ہے کہ یہ ایک بہت بڑا مسئلہ ہے، کیونکہ گزشتہ برسوں کے دوران، رامسی کے مسئلے کی مختلف اقسام پر کئی ہزار کاغذات لکھے جا چکے ہیں۔" جیسا کہ لیانا یپریمیانایموری یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان نے کہا، "رمسی کے اعداد امتزاج اور امکان اور جیومیٹری کے درمیان وہ پل بناتے ہیں۔"

کھیل کا نظریہ

 اگست 2018 میں، سہسرابدھے IMPA میں مورس کے تحت پوسٹ ڈاکٹریٹ فیلو تھے۔ دونوں گریفتھس کے ساتھ ایک نیا پروجیکٹ شروع کرنے کی امید کر رہے تھے، جو قریبی پونٹیفیکل کیتھولک یونیورسٹی میں پڑھاتے ہیں، جب Conlon کی طرف سے ایک کاغذ ان کی توجہ حاصل کی. اس مقالے میں رمسی نمبر پر تیزی سے بہتری لانے کے لیے ممکنہ حکمت عملی کا خاکہ پیش کیا گیا ہے۔ گریفتھس، مورس اور سہسرابدھے نے اس خیال سے کھیلنا شروع کیا۔

"شروع میں یہ واقعی بہت پرجوش تھا،" سہسرابدھے نے یاد کیا۔ انہوں نے کہا کہ انہیں اپنی دلیل کا خاکہ تیار کرنے میں صرف ایک مہینہ لگا۔

ان کا منصوبہ Erdős اور Szekeres کے اصل ثبوت میں استعمال ہونے والے خیالات پر استوار کرنا تھا کہ $latex R(k) < 4^k$۔ یہ ثابت کرنے کے لیے کہ Ramsey نمبر زیادہ سے زیادہ $latex 4^k$ ہے، تصور کریں کہ $latex 4^k$ نوڈس کے ساتھ ایک مکمل گراف پر گیم کھیلیں۔ گیم میں دو کھلاڑی ہیں۔ سب سے پہلے، آپ کا مخالف ہر کنارے کو سرخ یا نیلے رنگ میں رنگ دیتا ہے، امید ہے کہ کناروں کو اس طرح رنگین کریں جس سے یک رنگی گروہ پیدا ہونے سے بچ جائے۔ k نوڈس

ایک بار جب آپ کے مخالف کا رنگ بھر جاتا ہے، تو یہ آپ کا کام ہے کہ ایک رنگین گروہ کو تلاش کریں۔ اگر آپ کو ایک مل جاتا ہے، تو آپ جیت جاتے ہیں۔

اس کھیل کو جیتنے کے لیے، آپ ایک سادہ حکمت عملی پر عمل کر سکتے ہیں۔ یہ آپ کے نوڈس کو دو بالٹیوں میں چھانٹنے کے بارے میں (استعاراتی طور پر) سوچنے میں مدد کرتا ہے۔ ایک بالٹی میں نوڈس ایک نیلے رنگ کا گروہ بنائیں گے، اور دوسرے میں نوڈس ایک سرخ دھڑکن بنائیں گے۔ کچھ نوڈس کو حذف کر دیا جائے گا، دوبارہ کبھی نہیں سنا جائے گا۔ شروع میں، دونوں بالٹیاں خالی ہیں، اور ہر نوڈ کسی ایک میں جانے کا امیدوار ہے۔

کسی بھی نوڈ کے ساتھ شروع کریں جو آپ کی پسند کو متاثر کرتا ہے۔ پھر مربوط کناروں کو دیکھیں۔ اگر آدھے یا زیادہ کنارے سرخ ہیں، تو تمام نیلے کناروں اور نوڈس کو حذف کر دیں جن سے وہ جڑے ہوئے ہیں۔ پھر اپنی اصل پسند کو "سرخ" بالٹی میں ڈالیں۔ اس نوڈ کے تمام سرخ کنارے اب بھی زندہ اور ٹھیک ہیں، بالٹی کے اندر سے باقی گراف پر چمٹے ہوئے ہیں۔ اگر آدھے سے زیادہ کنارے نیلے ہیں، تو آپ یکساں طور پر سرخ کناروں اور نوڈس کو حذف کرتے ہیں، اور اسے نیلی بالٹی میں ڈال دیتے ہیں۔

اس وقت تک دہرائیں جب تک کہ آپ کے پاس کوئی نوڈس باقی نہ رہے۔ (چونکہ گراف مکمل ہو گیا ہے، کسی بھی مقام پر ہر بقیہ نوڈ دونوں بالٹیوں سے جڑا رہتا ہے جب تک کہ اسے ان میں سے کسی ایک میں نہ رکھا جائے۔)

جب آپ کام کر لیں تو بالٹیوں کے اندر دیکھیں۔ چونکہ ایک نوڈ سرخ بالٹی میں اس کے نیلے پڑوسیوں کے خاتمے کے بعد ہی چلا گیا تھا، اس لیے سرخ بالٹی میں موجود تمام نوڈس سرخ کناروں سے جڑے ہوتے ہیں - وہ ایک سرخ رنگ کا گروہ بناتے ہیں۔ اسی طرح، نیلی بالٹی ایک نیلے رنگ کا گروہ بناتی ہے۔ اگر آپ کے اصل گراف میں کم از کم $لیٹیکس 4^k$ نوڈس ہیں، تو یہ ثابت کرنا ممکن ہے کہ ان میں سے کسی ایک بالٹی میں کم از کم k نوڈس، اصل گراف میں یک رنگی گروہ کی ضمانت دیتے ہیں۔

یہ دلیل ہوشیار اور خوبصورت ہے، لیکن اس میں آپ کو دو گروہ بنا رہے ہیں — ایک نیلا اور ایک سرخ — حالانکہ آپ کو صرف ایک کی ضرورت ہے۔ کونلون نے وضاحت کی کہ ہمیشہ سرخ ہونا زیادہ کارآمد ہوگا۔ اس حکمت عملی کے تحت، آپ ہر قدم پر ایک نوڈ چنیں گے، اس کے نیلے کناروں کو مٹا دیں گے، اور اسے سرخ بالٹی میں پھینک دیں گے۔ اس کے بعد سرخ بالٹی تیزی سے بھر جائے گی، اور آپ اس کا ایک سرخ گروہ جمع کریں گے۔ k نصف وقت میں نوڈس.

لیکن آپ کی حکمت عملی کو کسی بھی سرخ نیلے رنگ کے لیے کام کرنا ہوگا، اور یہ جاننا مشکل ہے کہ آیا آپ ہمیشہ سرخ کناروں کے ساتھ کوئی نوڈ تلاش کرسکتے ہیں۔ لہذا کونلن کی تجویز پر عمل کرنے سے ایسے نوڈ میں جانے کا خطرہ ہوتا ہے جس کے ساتھ تقریبا کوئی سرخ کنارہ منسلک نہیں ہوتا ہے۔ یہ آپ کو گراف کے ایک بہت بڑے حصے کو ایک ساتھ حذف کرنے پر مجبور کر دے گا، اور آپ کو نوڈس ختم ہونے سے پہلے اپنا گروہ بنانے کے لیے گھماؤ پھراؤ چھوڑ دے گا۔ کونلون کی تجویز پر عمل کرنے کے لیے، گریفتھس، مورس اور سہسرابدھے کو یہ ثابت کرنے کی ضرورت تھی کہ یہ خطرہ قابل گریز ہے۔

ایک اوپن بک امتحان

اپنے گیم پلے کو اپ ڈیٹ کرنے میں، Griffiths، Morris اور Sahasrabudhe نے قدرے زیادہ گردشی راستے کی پیروی کی۔ اپنی سرخ اور نیلی بالٹیوں میں نوڈس کو براہ راست پھینک کر یک رنگی گروہ بنانے کے بجائے، انہوں نے پہلے ایک ڈھانچہ بنانے پر توجہ مرکوز کی جسے ریڈ بک کہا جاتا ہے۔

ایک کتاب، گراف تھیوری میں، دو حصوں پر مشتمل ہوتی ہے: ایک یک رنگی گروہ ہوتا ہے، جسے "ریڑھ کی ہڈی" کہا جاتا ہے اور نوڈس کا دوسرا، الگ کلسٹر جسے "صفحات" کہتے ہیں۔ ایک سرخ کتاب میں، ریڑھ کی ہڈی کے اندر نوڈس کو جوڑنے والے تمام کنارے سرخ ہوتے ہیں، جیسا کہ وہ کنارے جو ریڑھ کی ہڈی کو صفحات سے جوڑتے ہیں۔ صفحات کے اندر نوڈس کو جوڑنے والے کنارے، تاہم، رنگوں کا کوئی بھی مجموعہ ہو سکتا ہے۔ کونلون نے اپنے 2018 کے مقالے میں نوٹ کیا تھا کہ اگر آپ کو کسی کتاب کے صفحات کے اندر سرخ رنگ کا گروہ مل جاتا ہے، تو آپ اسے ریڑھ کی ہڈی کے ساتھ جوڑ کر ایک بڑا سرخ گروہ حاصل کر سکتے ہیں۔ یہ آپ کو ایک بڑے سرخ گروہ کی تلاش کو دو آسان تلاشوں میں تحلیل کرنے دیتا ہے۔ سب سے پہلے، ایک سرخ کتاب تلاش کریں. پھر کتاب کے صفحات میں ایک گروہ تلاش کریں۔

Griffiths، Morris اور Sahasrabudhe کھیل جیتنے والے الگورتھم کو ایڈجسٹ کرنا چاہتے تھے تاکہ اس نے سرخ رنگ کے گروہ کی بجائے ایک سرخ کتاب بنائی۔ اگرچہ انہوں نے اس منصوبے کو اپنے منصوبے کے صرف ہفتوں میں طے کیا تھا، لیکن اسے کام کرنے میں کئی سال لگیں گے۔ انہیں اب بھی اپنے تمام سرخ کناروں کو کھونے کے خطرے سے بچنے کی ضرورت تھی۔

2021 میں اس پروجیکٹ میں شامل ہونے والے کیمپوس نے کہا، "ہم بہت طویل عرصے سے پھنسے ہوئے تھے۔"

اس جنوری میں، چاروں ریاضی دانوں نے مسئلے کے دوسرے ورژن پر جانے پر اتفاق کیا۔ یہ ورژن زیادہ پیچیدہ لگتا ہے، لیکن یہ آسان نکلا.

اس کے ساتھ ساتھ، ٹیم کی توجہ رمسی نمبر R پر مرکوز تھی۔k)، جسے "اختر" Ramsey نمبر بھی کہا جاتا ہے۔ سائز R کا گرافk) پر مشتمل ہونا ضروری ہے۔ k نوڈس، سبھی ایک ہی رنگ کے کناروں سے جڑے ہوئے ہیں، لیکن اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا کہ وہ رنگ سرخ ہے یا نیلا۔ دوسری طرف، "آف ڈاگونل" رمسی نمبر R(k, l) پیمائش کرتا ہے کہ گراف کا کتنا بڑا ہونا ضروری ہے اس سے پہلے کہ اس میں یا تو سرخ دھبہ ہو۔ k نوڈس، یا ایک نیلے رنگ کے ساتھ l نوڈس اخترن کے مسئلے کو ہیک کرنے کے بجائے، گروپ نے آف ڈائیگنل ورژن کو آزمانے کا فیصلہ کیا۔ یہ انکشافی ثابت ہوا۔

گریفتھس نے کہا، "ایک طویل عرصے تک، ایسا محسوس ہوتا تھا کہ آپ نے ہر دروازے کو یا تو بند کر دیا تھا، یا کم از کم اس سے گزرنا بہت مشکل تھا۔" "اور اس تبدیلی کے بعد، آپ کو ایسا لگا جیسے ہر دروازہ کھلا تھا۔ کسی نہ کسی طرح، سب کچھ کام کر رہا تھا. آف ڈائیگنل ورژن میں، انہوں نے ایک خاص پروٹوکول کے بعد نیلے کناروں کے ایک گروپ کو ایک ساتھ حذف کرنے کا ایک طریقہ تلاش کیا، جس سے سرخ کناروں کی کثافت بڑھ گئی، اور آف اخترن رمسی نمبر پر ایک بہتر حد کا باعث بنی۔ یہ طریقہ، جسے "کثافت میں اضافہ" دلیل کہا جاتا ہے، پہلے حل کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا تھا۔ combinatorics میں دیگر اہم مسائل، لیکن یہ رامسی نمبر کے مسئلے پر استعمال نہیں ہوا تھا۔

اس کے بعد چاروں ریاضی دانوں نے اخترن نتیجہ کے لیے راستہ صاف کرنے کے لیے آف ڈاگونل رمسی نمبر پر نئی باؤنڈ کا استعمال کیا۔ فروری کے آغاز تک، انہوں نے بالآخر رمسی نمبر کی حد کو ایک کفایتی عنصر سے کم کر دیا تھا، ایک کامیابی جو ریاضی دانوں نے تقریباً ایک صدی سے تلاش کی تھی۔ اور اُنہوں نے اُسی دلیل کو جدید بنا کر کیا جو 1935 میں Erdős اور Szekeres نے پیش کیا تھا۔

Epsilon، Epsilon

16 مارچ کو ہونے والے مذاکرات کے بعد حاضرین نے افواہوں کی تصدیق کرنا شروع کر دی۔ سہسرابدھے کی گفتگو کی تصاویر فون کالز اور پرائیویٹ میسجز کے ذریعے گردش کرتی ہیں — یہاں تک کہ ایک میں مبہم لیکن دلکش پوسٹ ریاضی دان گل کلائی کے بلاگ پر۔ Campos, Griffiths, Sahasrabudhe اور Morris نے دعویٰ کیا ہے کہ $latex R(k) <3.993^k$۔ اس رات، چار مصنفین ان کا کاغذ آن لائن پوسٹ کیا، ریاضی دانوں کو اپنے لئے نیا ثبوت دیکھنے کی اجازت دیتا ہے۔

"میرے خیال میں ہم میں سے بہت سے لوگوں کو اپنی زندگی میں اس طرح کی بہتری کی توقع نہیں تھی، بنیادی طور پر،" کہا ماتیجا بوکیچ، پرنسٹن یونیورسٹی اور انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی میں ایک ریاضی دان۔ "مجھے لگتا ہے کہ یہ بالکل حیرت انگیز نتیجہ ہے۔"

بہت سے ماہرین پرامید ہیں کہ، ایکسپونینشل رکاوٹ ختم ہونے کے بعد، مزید پیش رفت تیزی سے ہوگی۔ نئے مقالے کے مصنفین نے جان بوجھ کر اپنے طریقہ کار کو اس کی حدود تک نہیں پہنچایا، تاکہ غیر ضروری تفصیلات کے ساتھ اپنی دلیل کو بادل میں ڈالنے سے بچ سکیں۔ کیمپوس نے کہا، "میں اس بات میں بہت دلچسپی رکھتا ہوں کہ یہ طریقہ حقیقت میں کس حد تک جا سکتا ہے، کیونکہ مجھے کوئی اندازہ نہیں ہے۔"

"یہ ایک بالکل ذہین، بالکل شاندار ثبوت، اور ایک حقیقی پیش رفت ہے۔ اس لیے اب میں توقع کرتا ہوں کہ فلڈ گیٹس کھل جائیں گے،‘‘ بولوباس نے کہا۔ "مجھے یقین ہے کہ تین سال کے عرصے میں، بحث ممکنہ بہتری کے بارے میں ہوگی۔ کیا ہم 3.993 سے 3.9 تک بہتر کر سکتے ہیں؟ شاید 3.4 تک؟ اور 3 کے بارے میں کیا؟"

نیا ثبوت 56 صفحات پر آتا ہے، اور ہر تفصیل کی مکمل تصدیق کرنے میں ہفتے لگیں گے۔ لیکن ساتھی پر امید ہیں۔ مصنفین کا یہ گروپ، وہ بہت سنجیدہ لوگ ہیں۔ اور وہ لوگ ہیں جو واقعی، بہت تکنیکی چیزوں میں بہت اچھے ہیں، "وگڈرسن نے کہا۔

جب اس کے ساتھیوں کی بات آتی ہے تو، گریفتھ اس سے اتفاق کرتے ہیں۔ "شاندار لوگوں کے ساتھ کام کرنا اعزاز کی بات ہے، ہے نا؟ اور مجھے لگتا ہے کہ میں اس کے لیے بہت مشکور ہوں،‘‘ انہوں نے کہا۔ "اگر وہ اسے مجھ پر چھوڑ دیتے تو مجھے تفصیلات درست کرنے میں مزید پانچ سال لگ سکتے تھے۔"