تعارف
2012 میں، ریاضی دان شنیچی موچیزوکی نے دعوی کیا کہ اس نے اس مسئلے کو حل کر لیا ہے۔ ABC قیاس، جمع اور ضرب کے درمیان تعلق کے بارے میں نظریہ نمبر میں ایک بڑا کھلا سوال۔ صرف ایک مسئلہ تھا: اس کا ثبوت، جو کہ 500 سے زیادہ صفحات پر مشتمل تھا، مکمل طور پر ناقابل تسخیر تھا۔ اس کا انحصار نئی تعریفوں، اشارے اور نظریات پر تھا جن کا احساس کرنا تقریباً تمام ریاضی دانوں کے لیے ناممکن تھا۔ برسوں بعد، جب دو ریاضی دانوں نے ثبوت کے بڑے حصوں کا زیادہ مانوس الفاظ میں ترجمہ کیا، تو انہوں نے اس بات کی طرف اشارہ کیا جسے ایک "سنگین، ناقابل فکسنگ خلا"اس کی منطق میں - صرف موچیزوکی کے لیے ان کی دلیل کو اس بنیاد پر مسترد کرنا کہ وہ اس کے کام کو سمجھنے میں ناکام رہے ہیں۔
یہ واقعہ ایک بنیادی سوال پیدا کرتا ہے: ریاضی کا ثبوت کیا ہے؟ ہم اسے کسی ابدی سچائی کے انکشاف کے طور پر سوچتے ہیں، لیکن شاید اسے ایک سماجی تعمیر کے طور پر بہتر سمجھا جاتا ہے۔
اینڈریو گرانویلمونٹریال یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان، حال ہی میں اس کے بارے میں کافی سوچ رہے ہیں۔ اس کی کچھ تحریروں کے بارے میں ایک فلسفی سے رابطہ کرنے کے بعد، "مجھے یہ سوچنا پڑا کہ ہم اپنی سچائیوں تک کیسے پہنچتے ہیں،" انہوں نے کہا۔ "اور ایک بار جب آپ اس دروازے پر دھکیلنا شروع کر دیتے ہیں، تو آپ کو معلوم ہوتا ہے کہ یہ ایک وسیع موضوع ہے۔"
گرانویل کو ابتدائی عمر سے ہی ریاضی سے لطف اندوز ہوا، لیکن اس نے کبھی بھی ریاضی کی تحقیق میں کیریئر کا خیال نہیں رکھا کیونکہ وہ نہیں جانتا تھا کہ ایسی کوئی چیز موجود ہے۔ "میرے والد نے 14 سال کی عمر میں، میری والدہ نے 15 یا 16 سال کی عمر میں اسکول چھوڑ دیا،" انہوں نے کہا۔ "وہ لندن کے اس وقت محنت کش طبقے کے علاقے میں پیدا ہوئے تھے، اور یونیورسٹی اس سے کہیں زیادہ تھی جو انہوں نے ممکن دیکھا تھا۔ تو ہمارے پاس کوئی سراغ نہیں تھا۔"
کیمبرج یونیورسٹی سے گریجویشن کرنے کے بعد، جہاں اس نے ریاضی کی تعلیم حاصل کی، اس نے ڈھلنا شروع کیا۔ راہیل پیپرز، مارٹن ایمیس کا ایک ناول، اسکرین پلے میں۔ پراجیکٹ پر کام کرنے اور اس کے لیے فنڈ حاصل کرنے کے دوران، وہ ڈیسک جاب لینے سے گریز کرنا چاہتا تھا - اس نے ہائی اسکول اور کالج کے درمیان ایک سال کے وقفے کے دوران انشورنس کمپنی میں کام کیا تھا اور وہ اس میں واپس نہیں آنا چاہتا تھا - "لہذا میں چلا گیا۔ گریڈ اسکول میں، "انہوں نے کہا۔ فلم کبھی بھی زمین سے نہیں اتری (ناول بعد میں آزادانہ طور پر ایک فلم میں بنایا گیا تھا)، لیکن Granville نے ریاضی میں ماسٹر کی ڈگری حاصل کی اور پھر اپنی ڈاکٹریٹ مکمل کرنے کے لیے کینیڈا چلے گئے۔ اس نے کبھی پیچھے مڑ کر نہیں دیکھا۔
تعارف
"یہ واقعی ایک ایڈونچر تھا،" انہوں نے کہا۔ "میں واقعی میں زیادہ توقع میں نہیں گیا تھا۔ میں واقعی میں نہیں جانتا تھا کہ پی ایچ ڈی کیا ہے۔ تھا"
اس کے بعد کی دہائیوں میں، اس نے 175 سے زیادہ مقالے تصنیف کیے ہیں، جن میں زیادہ تر تعداد تھیوری پر تھے۔ وہ ایک مقبول سامعین کے لیے ریاضی کے بارے میں لکھنے کے لیے بھی مشہور ہو گیا ہے: 2019 میں، اس نے ایک گرافک ناول اپنی بڑی بہن جینیفر کے ساتھ پرائم نمبرز اور متعلقہ تصورات کے بارے میں، ایک اسکرین رائٹر۔ پچھلے مہینے، "ہم اپنی سچائیوں تک کیسے پہنچتے ہیں" پر ان کا ایک مقالہ تھا۔ شائع ریاضی اور فلسفہ کی تاریخ میں۔ اور دوسرے ریاضی دانوں، کمپیوٹر سائنس دانوں اور فلسفیوں کے ساتھ مل کر وہ اگلے سال کے مضامین کا ایک مجموعہ شائع کرنے کا منصوبہ بنا رہے ہیں۔ امریکی ریاضیاتی سوسائٹی کا بلیٹن اس بارے میں کہ مشینیں ریاضی کو کیسے بدل سکتی ہیں۔
Quanta Granville کے ساتھ ریاضی کے ثبوت کی نوعیت کے بارے میں بات کی - ثبوت عملی طور پر کیسے کام کرتے ہیں اس سے لے کر ان کے بارے میں مشہور غلط فہمیوں تک، مصنوعی ذہانت کے دور میں پروف رائٹنگ کیسے تیار ہو سکتی ہے۔ انٹرویو میں ترمیم کی گئی ہے اور وضاحت کے لیے اس کو کم کیا گیا ہے۔
آپ نے حال ہی میں ریاضی کے ثبوت کی نوعیت پر ایک مقالہ شائع کیا ہے۔ آپ نے کیوں فیصلہ کیا کہ اس کے بارے میں لکھنا ضروری تھا؟
ریاضی دان کس طرح تحقیق کرتے ہیں اسے عام طور پر مقبول میڈیا میں اچھی طرح سے پیش نہیں کیا جاتا ہے۔ لوگ ریاضی کو اس خالص تلاش کے طور پر دیکھتے ہیں، جہاں ہم صرف خالص سوچ کے ذریعے عظیم سچائیوں تک پہنچتے ہیں۔ لیکن ریاضی اندازوں کے بارے میں ہے - اکثر غلط اندازے یہ ایک تجرباتی عمل ہے۔ ہم مراحل میں سیکھتے ہیں۔
مثال کے طور پر، جب 1859 میں ریمن کا مفروضہ پہلی بار ایک مقالے میں شائع ہوا، تو یہ جادو کی طرح تھا: یہ ہے یہ حیرت انگیز قیاس، کہیں سے باہر۔ 70 سال تک، لوگ اس بارے میں بات کرتے رہے کہ ایک عظیم مفکر صرف خالص سوچ سے کیا کر سکتا ہے۔ پھر ریاضی دان کارل سیگل کو گوٹنگن آرکائیوز میں ریمن کے سکریچ نوٹ ملے۔ ریمن نے دراصل ریمن زیٹا فنکشن کے صفر کے حساب کتاب کے صفحات کیے تھے۔ سیگل کے مشہور الفاظ تھے، "صرف خالص سوچ کے لیے بہت کچھ۔"
لہذا لوگوں کے ریاضی کے بارے میں لکھنے کے طریقے میں یہ تناؤ ہے - خاص طور پر کچھ فلسفی اور مورخین۔ وہ سوچتے ہیں کہ ہم کچھ خالص جادوئی مخلوق ہیں، سائنس کے کچھ ایک تنگاوالا ہیں۔ لیکن ہم عام طور پر نہیں ہیں۔ یہ شاذ و نادر ہی خالص سوچ ہے۔
تعارف
آپ ریاضی دان جو کچھ کرتے ہیں اس کی خصوصیت کیسے کریں گے؟
ریاضی کی ثقافت ثبوت کے بارے میں ہے۔ ہم ارد گرد بیٹھ کر سوچتے ہیں، اور جو کچھ ہم کرتے ہیں اس کا 95% ثبوت ہے۔ بہت ساری سمجھ ہمیں ثبوتوں کے ساتھ جدوجہد کرنے اور ان مسائل کی تشریح کرنے سے حاصل ہوتی ہے جب ہم ان کے ساتھ جدوجہد کرتے ہیں۔
ہم اکثر ایک ثبوت کو ریاضیاتی دلیل کے طور پر سوچتے ہیں۔ منطقی اقدامات کی ایک سیریز کے ذریعے، یہ ظاہر کرتا ہے کہ دیا گیا بیان درست ہے۔ لیکن آپ لکھتے ہیں کہ اسے خالص، معروضی سچائی کے لیے غلط نہیں سمجھنا چاہیے۔ اس سے اپ کا کیا مطلب ہے؟
ثبوت کا بنیادی نکتہ قارئین کو کسی دعوے کی سچائی پر آمادہ کرنا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ تصدیق کلید ہے۔ ہمارے پاس ریاضی میں بہترین توثیقی نظام یہ ہے کہ بہت سے لوگ ثبوت کو مختلف زاویوں سے دیکھتے ہیں، اور یہ اس تناظر میں اچھی طرح فٹ بیٹھتا ہے جسے وہ جانتے اور مانتے ہیں۔ کچھ معنوں میں، ہم یہ نہیں کہہ رہے ہیں کہ ہم جانتے ہیں کہ یہ سچ ہے۔ ہم کہہ رہے ہیں کہ ہمیں امید ہے کہ یہ درست ہے، کیونکہ بہت سے لوگوں نے اسے مختلف نقطہ نظر سے آزمایا ہے۔ ثبوتوں کو کمیونٹی کے ان معیارات سے قبول کیا جاتا ہے۔
پھر معروضیت کا یہ تصور ہے - اس بات کا یقین ہونا کہ جو دعوی کیا گیا ہے وہ صحیح ہے، یہ محسوس کرنا کہ آپ کے پاس حتمی سچائی ہے۔ لیکن ہم کیسے جان سکتے ہیں کہ ہم مقصد پر ہیں؟ اپنے آپ کو اس سیاق و سباق سے باہر نکالنا مشکل ہے جس میں آپ نے بیان دیا ہے - معاشرے کے ذریعہ پیش کردہ تمثیل سے باہر ایک نقطہ نظر رکھنا۔ یہ سائنسی نظریات کے لیے بھی اتنا ہی سچ ہے جتنا کسی اور چیز کے لیے۔
کوئی یہ بھی پوچھ سکتا ہے کہ ریاضی میں معروضی طور پر دلچسپ یا اہم کیا ہے۔ لیکن یہ بھی واضح طور پر موضوعی ہے۔ ہم شیکسپیئر کو اچھا لکھاری کیوں مانتے ہیں؟ شیکسپیئر اپنے زمانے میں اتنا مقبول نہیں تھا جتنا آج ہے۔ واضح طور پر سماجی کنونشنز موجود ہیں کہ کیا دلچسپ ہے، کیا اہم ہے۔ اور اس کا انحصار موجودہ پیرا ڈائم پر ہے۔
تعارف
ریاضی میں، یہ کیسا لگتا ہے؟
پیراڈائم میں تبدیلی کی سب سے مشہور مثالوں میں سے ایک کیلکولس ہے۔ جب کیلکولس کی ایجاد ہوئی تو اس میں صفر کی طرف جانے والی کسی چیز کو کسی اور چیز سے تقسیم کرنا شامل تھا جو صفر کی طرف جا رہا ہے - جس کے نتیجے میں صفر کو صفر سے تقسیم کیا گیا، جس کا کوئی مطلب نہیں ہے۔ ابتدائی طور پر، نیوٹن اور لیبنز ایسی اشیاء کے ساتھ آئے جنہیں لامحدود کہتے ہیں۔ اس نے ان کی مساوات کو کارآمد بنایا، لیکن آج کے معیارات کے مطابق یہ سمجھدار یا سخت نہیں تھا۔
اب ہمارے پاس ایپیلون ڈیلٹا فارمولیشن ہے، جو 19ویں صدی کے آخر میں متعارف کرایا گیا تھا۔ یہ جدید فارمولیشن اتنی شاندار ہے، ظاہر ہے کہ ان تصورات کو درست کرنے کے لیے اچھی ہے کہ جب آپ پرانی فارمولیشنوں کو دیکھتے ہیں، تو آپ کو لگتا ہے، وہ کیا سوچ رہے تھے؟ لیکن اس وقت، یہ واحد طریقہ سمجھا جاتا تھا جسے آپ کر سکتے تھے۔ لائبنز اور نیوٹن کے لیے منصفانہ ہونے کے لیے، وہ شاید جدید طریقے کو پسند کرتے۔ انہوں نے اپنے عہد کے نمونوں کی وجہ سے ایسا کرنے کا نہیں سوچا۔ اس لیے وہاں پہنچنے میں کافی وقت لگا۔
مسئلہ یہ ہے کہ ہم نہیں جانتے کہ ہم کب ایسا سلوک کر رہے ہیں۔ ہم جس معاشرے میں ہیں اس میں پھنسے ہوئے ہیں۔ ہمارے پاس یہ بتانے کے لیے کوئی بیرونی تناظر نہیں ہے کہ ہم کیا مفروضے بنا رہے ہیں۔ ریاضی کے خطرات میں سے ایک یہ ہے کہ آپ کسی چیز کے بارے میں تصور کر سکتے ہیں کہ وہ اہم نہیں ہے کیونکہ آپ نے جو زبان استعمال کرنے کا انتخاب کیا ہے اس میں آسانی سے اس کا اظہار یا بات نہیں کی جاتی ہے۔ اس کا مطلب یہ نہیں ہے کہ آپ صحیح ہیں۔
مجھے ڈیکارٹس کا یہ اقتباس واقعی پسند ہے، جہاں وہ بنیادی طور پر کہتا ہے: "مجھے لگتا ہے کہ میں مثلث کے بارے میں جاننے کے لیے سب کچھ جانتا ہوں، لیکن کون کہے کہ میں کرتا ہوں؟ میرا مطلب ہے، مستقبل میں کوئی شخص یکسر مختلف نقطہ نظر کے ساتھ آ سکتا ہے، جس کی وجہ سے مثلث کے بارے میں سوچنے کا بہت بہتر طریقہ ہے۔ اور مجھے لگتا ہے کہ وہ صحیح ہے۔ آپ اسے ریاضی میں دیکھتے ہیں۔
جیسا کہ آپ نے اپنے مقالے میں لکھا ہے، آپ ایک سوشل کمپیکٹ کے طور پر ایک ثبوت کے بارے میں سوچ سکتے ہیں - مصنف اور ان کی ریاضیاتی برادری کے درمیان ایک قسم کا باہمی معاہدہ۔ ہم نے اس کے کام نہ کرنے کی ایک انتہائی مثال دیکھی ہے، موچیزوکی کے دعویٰ کے ثبوت کے ساتھ ABC قیاس
یہ انتہائی ہے، کیونکہ موچیزوکی گیم کو اس طرح نہیں کھیلنا چاہتا تھا جس طرح سے یہ کھیلا جاتا ہے۔ اس نے یہ انتخاب مبہم کرنے کے لیے کیا ہے۔ جب لوگ واقعی نئے اور مشکل آئیڈیاز کے ساتھ بڑی کامیابیاں حاصل کرتے ہیں، تو میں محسوس کرتا ہوں کہ یہ ان پر فرض ہے کہ وہ اپنے خیالات کو ممکنہ حد تک قابل رسائی طریقے سے بیان کرکے دوسرے لوگوں کو شامل کرنے کی کوشش کریں۔ اور وہ زیادہ پسند تھا، ٹھیک ہے، اگر آپ اسے اس طرح نہیں پڑھنا چاہتے جیسے میں نے لکھا ہے، تو یہ میرا مسئلہ نہیں ہے۔ وہ جو کھیل کھیلنا چاہتا ہے اسے کھیلنے کا حق ہے۔ لیکن اس کا کمیونٹی سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ اس کا ان طریقوں سے کوئی لینا دینا نہیں ہے جن سے ہم ترقی کرتے ہیں۔
تعارف
اگر سماجی تناظر میں ثبوت موجود ہیں، تو وہ وقت کے ساتھ کیسے بدل گئے ہیں؟
یہ سب ارسطو سے شروع ہوتا ہے۔ انہوں نے کہا کہ کسی قسم کے کٹوتی نظام کی ضرورت ہے - کہ آپ نئی چیزوں کو صرف ان چیزوں کی بنیاد پر ثابت کر سکتے ہیں جن کے بارے میں آپ پہلے سے جانتے ہیں اور جن کے بارے میں آپ یقین رکھتے ہیں، بعض "ابتدائی بیانات" یا محورات پر واپس جا کر۔
تو پھر سوال یہ ہے کہ وہ بنیادی باتیں کیا ہیں جو آپ جانتے ہیں کہ سچ ہے؟ بہت طویل عرصے سے، لوگ صرف یہ کہتے تھے، ٹھیک ہے، ایک لائن ایک لائن ہے، ایک دائرہ ایک دائرہ ہے؛ کچھ چیزیں ایسی ہیں جو سادہ اور واضح ہیں، اور یہ وہ مفروضے ہونے چاہئیں جن سے ہم شروع کرتے ہیں۔
یہ نقطہ نظر ہمیشہ کے لیے قائم ہے۔ یہ آج بھی کافی حد تک موجود ہے۔ لیکن یوکلیڈین محوری نظام جس نے تیار کیا - "ایک لکیر ایک لکیر ہے" - اس کے مسائل تھے۔ یہ تضادات تھے جو برٹرینڈ رسل نے سیٹ کے تصور کی بنیاد پر دریافت کیے تھے۔ مزید برآں، کوئی بھی ریاضیاتی زبان کے ساتھ الفاظ کا کھیل کھیل سکتا ہے، جس سے "یہ بیان غلط ہے" (اگر یہ سچ ہے، تو یہ غلط ہے؛ اگر یہ غلط ہے، تو یہ سچ ہے) جیسے مشکل بیانات پیدا کر سکتا ہے جس سے ظاہر ہوتا ہے کہ محوری نظام کے ساتھ مسائل ہیں۔
چنانچہ رسل اور الفریڈ وائٹ ہیڈ نے ریاضی کرنے کا ایک نیا نظام بنانے کی کوشش کی جو ان تمام مسائل سے بچ سکے۔ لیکن یہ مضحکہ خیز طور پر پیچیدہ تھا، اور یہ یقین کرنا مشکل تھا کہ یہ شروع کرنے کے لئے صحیح قدیم تھے۔ کوئی بھی اس سے راضی نہیں تھا۔ 2 + 2 = 4 ثابت کرنے جیسی چیز نے نقطہ آغاز سے کافی جگہ لی۔ ایسے نظام کا کیا فائدہ؟
پھر ڈیوڈ ہلبرٹ کے ساتھ آیا اور یہ حیرت انگیز خیال آیا: کہ شاید ہمیں کسی کو یہ نہیں بتانا چاہئے کہ بالکل صحیح چیز کیا ہے۔ اس کے بجائے، کوئی بھی چیز جو کام کرتی ہے — ایک نقطہ آغاز جو سادہ، مربوط اور مستقل ہو — تلاش کرنے کے قابل ہے۔ آپ اپنے محوروں سے دو چیزیں اخذ نہیں کر سکتے جو ایک دوسرے سے متصادم ہوں، اور آپ کو زیادہ تر ریاضی کو منتخب محوروں کے لحاظ سے بیان کرنے کے قابل ہونا چاہیے۔ لیکن آپ کو یہ نہیں کہنا چاہئے کہ وہ کیا ہیں۔
ایسا لگتا ہے کہ یہ بھی ریاضی میں معروضی سچائی کی ہماری پہلے کی بحث میں فٹ بیٹھتا ہے۔ تو 20ویں صدی کے آغاز پر، ریاضی دان یہ سمجھ رہے تھے کہ محوری نظاموں کی کثرتیت ہو سکتی ہے - کہ محور کے ایک دیئے گئے سیٹ کو آفاقی یا خود واضح سچائی کے طور پر نہیں لیا جانا چاہیے؟
ٹھیک ہے۔ اور مجھے کہنا چاہئے، ہلبرٹ نے تجریدی وجوہات کی بنا پر ایسا کرنا شروع نہیں کیا۔ وہ جیومیٹری کے مختلف تصورات میں بہت دلچسپی رکھتا تھا: غیر یوکلیڈین جیومیٹری۔ یہ بہت متنازعہ تھا۔ اس وقت کے لوگ ایسے تھے، اگر آپ مجھے ایک لکیر کی یہ تعریف بتاتے ہیں جو ایک خانے کے کونے کونے میں جاتی ہے تو میں زمین پر آپ کی بات کیوں سنوں؟ اور ہلبرٹ نے کہا کہ اگر وہ اسے مربوط اور ہم آہنگ بنا سکتا ہے، تو آپ کو سننا چاہیے، کیونکہ یہ ایک اور جیومیٹری ہو سکتی ہے جسے ہمیں سمجھنے کی ضرورت ہے۔ اور نقطہ نظر میں یہ تبدیلی - کہ آپ کسی بھی محوری نظام کی اجازت دے سکتے ہیں - صرف جیومیٹری پر لاگو نہیں ہوتا ہے۔ اس کا اطلاق تمام ریاضی پر ہوتا ہے۔
لیکن یقیناً کچھ چیزیں دوسروں سے زیادہ مفید ہوتی ہیں۔ لہذا ہم میں سے اکثر ایک ہی 10 محوروں کے ساتھ کام کرتے ہیں، ایک نظام ZFC کہلاتا ہے۔
جس سے یہ سوال پیدا ہوتا ہے کہ اس سے کیا اخذ کیا جا سکتا ہے اور کیا نہیں۔ ایسے بیانات ہیں، جیسے مسلسل مفروضے، جنہیں ZFC کا استعمال کرتے ہوئے ثابت نہیں کیا جا سکتا۔ ایک 11 واں محور ہونا ضروری ہے۔ اور آپ اسے کسی بھی طرح سے حل کر سکتے ہیں، کیونکہ آپ اپنے محوری نظام کا انتخاب کر سکتے ہیں۔ یہ بہت اچھا ہے۔ ہم اس قسم کی کثرتیت کے ساتھ جاری رکھتے ہیں۔ یہ واضح نہیں ہے کہ کیا صحیح ہے، کیا غلط ہے۔ کرٹ گوڈل کے مطابق، ہمیں اب بھی ذائقہ کی بنیاد پر انتخاب کرنے کی ضرورت ہے، اور ہمیں امید ہے کہ ذائقہ اچھا ہوگا۔ ہمیں ایسی چیزیں کرنی چاہئیں جو معنی خیز ہوں۔ اور ہم کرتے ہیں۔
Gödel کی بات کرتے ہوئے، وہ یہاں بھی ایک بہت بڑا کردار ادا کرتا ہے۔
ریاضی پر بحث کرنے کے لیے، آپ کو اس زبان میں عمل کرنے کے لیے ایک زبان، اور قواعد کے ایک سیٹ کی ضرورت ہے۔ 1930 کی دہائی میں، گوڈل نے ثابت کیا کہ اس سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ آپ اپنی زبان کو کس طرح منتخب کرتے ہیں، اس زبان میں ہمیشہ ایسے بیانات ہوتے ہیں جو درست ہوتے ہیں لیکن یہ آپ کے ابتدائی محوروں سے ثابت نہیں ہو سکتے۔ یہ حقیقت میں اس سے زیادہ پیچیدہ ہے، لیکن پھر بھی، آپ کو یہ فلسفیانہ مخمصہ فوری طور پر ہے: اگر آپ اس کا جواز پیش نہیں کر سکتے تو ایک سچا بیان کیا ہے؟ یہ پاگل پن ہے.
تو ایک بڑا گڑبڑ ہے۔ ہم محدود ہیں کہ ہم کیا کر سکتے ہیں۔
پیشہ ور ریاضی دان بڑی حد تک اس کو نظر انداز کرتے ہیں۔ ہم اس پر توجہ مرکوز کرتے ہیں کہ کیا ممکن ہے۔ جیسا کہ پیٹر سارنک یہ کہنا پسند کرتے ہیں، "ہم کام کرنے والے لوگ ہیں۔" ہم آگے بڑھتے ہیں اور یہ ثابت کرنے کی کوشش کرتے ہیں کہ ہم کیا کر سکتے ہیں۔
تعارف
اب، نہ صرف کمپیوٹر بلکہ AI کے استعمال سے، ثبوت کا تصور کیسے بدل رہا ہے؟
ہم ایک مختلف جگہ پر چلے گئے ہیں، جہاں کمپیوٹر کچھ جنگلی کام کر سکتے ہیں۔ اب لوگ کہتے ہیں، اوہ، ہمارے پاس یہ کمپیوٹر ہے، یہ وہ کام کر سکتا ہے جو لوگ نہیں کر سکتے۔ لیکن کر سکتے ہیں؟ کیا یہ واقعی وہ کام کر سکتا ہے جو لوگ نہیں کر سکتے؟ 1950 کی دہائی میں، ایلن ٹورنگ نے کہا کہ کمپیوٹر کو وہ کام کرنے کے لیے ڈیزائن کیا گیا ہے جو انسان کر سکتے ہیں، بس تیز۔ زیادہ نہیں بدلا ہے۔
کئی دہائیوں سے، ریاضی دان کمپیوٹر کا استعمال کر رہے ہیں - ایسے حساب کتاب کرنے کے لیے جو ان کی سمجھ کی رہنمائی میں مدد کر سکیں، مثال کے طور پر۔ AI جو کچھ کر سکتا ہے وہ یہ ہے کہ اس بات کی تصدیق کی جائے کہ ہم کیا سچ مانتے ہیں۔ ثبوت کی تصدیق کے ساتھ کچھ لاجواب پیش رفت ہوئی ہے۔ جیسا کہ [پروف اسسٹنٹ] لین، جس نے ریاضی دانوں کو بہت سے ثبوتوں کی تصدیق کرنے کی اجازت دی ہے، جبکہ مصنفین کو ان کے اپنے کام کو بہتر طور پر سمجھنے میں بھی مدد فراہم کی ہے، کیونکہ انہیں تصدیق کے لیے لین میں فیڈ کرنے کے لیے اپنے کچھ خیالات کو آسان مراحل میں توڑنا پڑتا ہے۔
لیکن کیا یہ فول پروف ہے؟ کیا ثبوت صرف اس لیے ہے کہ دبلی پتلی اس بات سے اتفاق کرتا ہے کہ یہ ایک ہے؟ کچھ طریقوں سے، یہ اتنا ہی اچھا ہے جتنا کہ لوگ جو ثبوت کو دبلی پتلی کے آدانوں میں تبدیل کرتے ہیں۔ جو بہت زیادہ ایسا لگتا ہے کہ ہم روایتی ریاضی کیسے کرتے ہیں۔ تو میں یہ نہیں کہہ رہا ہوں کہ مجھے یقین ہے کہ Lean جیسی کوئی چیز بہت زیادہ غلطیاں کرنے والی ہے۔ مجھے یقین نہیں ہے کہ یہ انسانوں کے ذریعہ کی جانے والی زیادہ تر چیزوں سے زیادہ محفوظ ہے۔
مجھے ڈر ہے کہ مجھے کمپیوٹر کے کردار کے بارے میں بہت زیادہ شکوک و شبہات ہیں۔ وہ چیزوں کو درست کرنے کے لیے ایک بہت قیمتی ٹول ہو سکتے ہیں — خاص طور پر ریاضی کی تصدیق کے لیے جو نئی تعریفوں پر بہت زیادہ انحصار کرتی ہے جن کا پہلی نظر میں تجزیہ کرنا آسان نہیں ہے۔ اس میں کوئی بحث نہیں کہ ہمارے اسلحہ خانے میں نئے تناظر، نئے اوزار اور نئی ٹیکنالوجی کا ہونا مددگار ہے۔ لیکن جس چیز سے میں ہچکچاتا ہوں وہ یہ ہے کہ ہمارے پاس اب کامل منطقی مشینیں ہوں گی جو درست نظریات پیدا کرتی ہیں۔
آپ کو یہ تسلیم کرنا ہوگا کہ ہم اس بات کا یقین نہیں کر سکتے کہ کمپیوٹر کے ساتھ چیزیں درست ہیں۔ ہمارے مستقبل کو کمیونٹی کے احساس پر انحصار کرنا ہوگا جس پر ہم نے سائنس کی پوری تاریخ میں انحصار کیا ہے: کہ ہم چیزوں کو ایک دوسرے سے اچھالتے ہیں۔ کہ ہم ان لوگوں سے بات کرتے ہیں جو ایک ہی چیز کو بالکل مختلف نقطہ نظر سے دیکھتے ہیں۔ اور اسی طرح.
آپ مستقبل میں یہ کہاں جاتے ہوئے دیکھتے ہیں، اگرچہ، یہ ٹیکنالوجیز زیادہ نفیس ہوتی جا رہی ہیں؟
شاید یہ ایک ثبوت بنانے میں مدد کر سکتا ہے. شاید پانچ سالوں میں، میں ChatGPT جیسے AI ماڈل سے کہوں گا، "مجھے پورا یقین ہے کہ میں نے اسے کہیں دیکھا ہے۔ کیا آپ اسے چیک کریں گے؟" اور یہ اسی طرح کے بیان کے ساتھ واپس آئے گا جو درست ہے۔
اور پھر ایک بار جب یہ بہت اچھا ہو جاتا ہے، تو شاید آپ ایک قدم آگے بڑھ کر کہہ سکتے ہیں، "میں نہیں جانتا کہ یہ کیسے کرنا ہے، لیکن کیا کوئی ہے جس نے ایسا کچھ کیا ہو؟" شاید آخر کار ایک AI ماڈل ادب کو تلاش کرنے کے لیے ہنر مند طریقے تلاش کر سکتا ہے تاکہ وہ ایسے اوزار لے سکیں جو کہیں اور استعمال کیے گئے ہوں — اس طریقے سے جس کا شاید ایک ریاضی دان کو اندازہ نہ ہو۔
تاہم، میں یہ نہیں سمجھتا کہ ChatGPT ایک خاص سطح سے آگے جا کر ثبوتوں کو اس طریقے سے کیسے انجام دے سکتا ہے جو ہم سے آگے نکل جائے۔ ChatGPT اور دیگر مشین لرننگ پروگرام سوچ نہیں رہے ہیں۔ وہ بہت سی مثالوں کی بنیاد پر ورڈ ایسوسی ایشن استعمال کر رہے ہیں۔ لہذا ایسا لگتا ہے کہ وہ اپنے تربیتی اعداد و شمار سے تجاوز نہیں کریں گے۔ لیکن اگر ایسا ہوا تو ریاضی دان کیا کریں گے؟ ہم جو کچھ کرتے ہیں اس کا بہت زیادہ ثبوت ہے۔ اگر آپ ہم سے ثبوت چھین لیتے ہیں تو مجھے یقین نہیں ہے کہ ہم کون بن جاتے ہیں۔
قطع نظر، جب ہم اس بارے میں سوچتے ہیں کہ ہم کمپیوٹر کی مدد کہاں لے رہے ہیں، تو ہمیں ان تمام اسباق کو مدنظر رکھنا ہوگا جو ہم نے انسانی کوششوں سے سیکھے ہیں: مختلف زبانوں کے استعمال کی اہمیت، مل کر کام کرنا، مختلف نقطہ نظر رکھنا۔ اس میں ایک مضبوطی ہے، ایک صحت ہے، کہ کس طرح مختلف کمیونٹیز ایک ثبوت پر کام کرنے اور سمجھنے کے لیے اکٹھے ہوتی ہیں۔ اگر ہم ریاضی میں کمپیوٹر کی مدد حاصل کرنے جا رہے ہیں، تو ہمیں اسے اسی طرح افزودہ کرنے کی ضرورت ہے۔
- SEO سے چلنے والا مواد اور PR کی تقسیم۔ آج ہی بڑھا دیں۔
- پلیٹو ڈیٹا ڈاٹ نیٹ ورک ورٹیکل جنریٹو اے آئی۔ اپنے آپ کو بااختیار بنائیں۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹوآئ اسٹریم۔ ویب 3 انٹیلی جنس۔ علم میں اضافہ۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ای ایس جی۔ آٹوموٹو / ای وی، کاربن، کلین ٹیک، توانائی ، ماحولیات، شمسی، ویسٹ مینجمنٹ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- پلیٹو ہیلتھ۔ بائیوٹیک اینڈ کلینیکل ٹرائلز انٹیلی جنس۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- چارٹ پرائم۔ ChartPrime کے ساتھ اپنے ٹریڈنگ گیم کو بلند کریں۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- بلاک آفسیٹس۔ ماحولیاتی آفسیٹ ملکیت کو جدید بنانا۔ یہاں تک رسائی حاصل کریں۔
- ماخذ: https://www.quantamagazine.org/why-mathematical-proof-is-a-social-compact-20230831/
- : ہے
- : ہے
- : نہیں
- :کہاں
- ][p
- $UP
- 10
- 14
- 15٪
- 16
- 2012
- 2019
- 500
- 70
- 95٪
- a
- قابلیت
- ہمارے بارے میں
- خلاصہ
- مقبول
- قابل رسائی
- کے مطابق
- اکاؤنٹ
- تسلیم کرتے ہیں
- اصل میں
- اس کے علاوہ
- مہم جوئی
- ڈر
- کے بعد
- عمر
- معاہدہ
- AI
- ایلن
- ایلن ٹیورنگ
- تمام
- کی اجازت
- کی اجازت
- اکیلے
- ساتھ
- پہلے ہی
- بھی
- ہمیشہ
- حیرت انگیز
- ایمیزون
- امریکی
- رقم
- an
- تجزیے
- اور
- ایک اور
- کوئی بھی
- کسی
- کچھ
- شائع ہوا
- اطلاقی
- کا اطلاق کریں
- ابلیھاگار
- کیا
- رقبہ
- دلیل
- ارد گرد
- مضامین
- مصنوعی
- مصنوعی ذہانت
- AS
- مدد
- اسسٹنس
- اسسٹنٹ
- ایسوسی ایشن
- مفروضے
- At
- سامعین
- مصنف
- تحریر
- مصنفین
- سے اجتناب
- دور
- واپس
- کی بنیاد پر
- بنیادی
- بنیاد
- BE
- صبر
- کیونکہ
- بن
- رہا
- کیا جا رہا ہے
- یقین ہے کہ
- برٹرینڈ
- BEST
- بہتر
- کے درمیان
- سے پرے
- بگ
- پیدا
- جھوم جاؤ
- باکس
- توڑ
- کامیابیاں
- لانے
- لیکن
- by
- حساب
- کہا جاتا ہے
- کیمبرج
- آیا
- کر سکتے ہیں
- کینیڈا
- نہیں کر سکتے ہیں
- کیریئر کے
- ، کارل
- لے جانے والا۔
- صدی
- کچھ
- تبدیل
- تبدیل کر دیا گیا
- تبدیل کرنے
- خصوصیات
- چیٹ جی پی ٹی
- چیک کریں
- انتخاب
- انتخاب
- میں سے انتخاب کریں
- منتخب کیا
- سرکل
- دعوی کیا
- وضاحت
- واضح
- واضح طور پر
- مربوط
- مجموعہ
- کالج
- کس طرح
- آرام دہ اور پرسکون
- کمیونٹی
- کمیونٹی
- کمپیکٹ
- کمپنی کے
- مکمل
- مکمل طور پر
- پیچیدہ
- کمپیوٹر
- کمپیوٹر
- تصور
- تصورات
- قیاس
- غور کریں
- سمجھا
- متواتر
- تعمیر
- سیاق و سباق
- جاری
- لگاتار
- متنازعہ
- تبدیل
- ٹھنڈی
- کونوں
- درست
- سکتا ہے
- کورس
- پاگل ہو
- تخلیق
- تخلیق
- پرانی
- ثقافت
- موجودہ
- خطرات
- اعداد و شمار
- ڈیوڈ
- بحث
- دہائیوں
- فیصلہ کرنا
- تعریف
- تعریفیں
- ڈگری
- ثبوت
- انحصار کرتا ہے
- بیان
- ڈیزائن
- ڈیسک
- ترقی یافتہ
- رفت
- DID
- مختلف
- مشکل
- دریافت
- بات چیت
- بات چیت
- بحث
- تقسیم
- do
- کرتا
- نہیں کرتا
- کر
- کیا
- نہیں
- دروازے
- نیچے
- کے دوران
- ہر ایک
- اس سے قبل
- ابتدائی
- زمین
- آسانی سے
- آسان
- یا تو
- اور
- دوسری جگہوں پر
- آخر
- کوشش کریں
- افزودگی
- مساوات
- دور
- نقائص
- بنیادی طور پر
- بھی
- آخر میں
- سب کچھ
- تیار
- مثال کے طور پر
- مثال کے طور پر
- وجود
- توقع
- تجرباتی
- کی وضاحت
- ایکسپلور
- اظہار
- انتہائی
- ناکام
- منصفانہ
- جھوٹی
- واقف
- مشہور
- تیز تر
- محسوس
- چند
- فلم
- مل
- پہلا
- فٹ
- پانچ
- توجہ مرکوز
- پر عمل کریں
- کے لئے
- پریشان
- ہمیشہ کے لیے
- ملا
- سے
- تقریب
- بنیادی
- فنڈنگ
- مزید
- مستقبل
- حاصل کرنا
- کھیل ہی کھیل میں
- کھیل
- فرق
- عام طور پر
- حاصل
- حاصل کرنے
- دے دو
- دی
- Go
- جاتا ہے
- جا
- اچھا
- عظیم
- گراؤنڈ
- رہنمائی
- تھا
- ہو
- ہوا
- ہارڈ
- ہے
- he
- صحت
- بھاری
- مدد
- مدد گار
- مدد
- یہاں
- ہائی
- ان
- تاریخ
- امید ہے کہ
- امید ہے کہ
- کس طرح
- کیسے
- HTTPS
- انسانی
- انسان
- i
- میں ہوں گے
- خیال
- خیالات
- if
- فوری طور پر
- اہمیت
- اہم
- ناممکن
- in
- واقعہ
- شامل
- مابعد
- آزادانہ طور پر
- اشارہ کیا
- ابتدائی طور پر
- آدانوں
- مثال کے طور پر
- کے بجائے
- انشورنس
- انٹیلی جنس
- دلچسپی
- دلچسپ
- انٹرویو
- میں
- متعارف
- آویشکار
- ملوث
- مسائل
- IT
- میں
- جینیفر
- ایوب
- صرف
- صرف ایک
- کلیدی
- جان
- جانا جاتا ہے
- کٹ
- زبان
- زبانیں
- بڑے
- بڑے پیمانے پر
- آخری
- بعد
- معروف
- لیڈز
- جانیں
- سیکھا ہے
- سیکھنے
- چھوڑ دیا
- اسباق
- سطح
- کی طرح
- پسند
- لمیٹڈ
- لائن
- ادب
- منطق
- منطقی
- لندن
- لانگ
- طویل وقت
- دیکھو
- کی طرح دیکھو
- دیکھا
- بہت
- محبت کرتا تھا
- مشین
- مشین لرننگ
- مشینیں
- بنا
- میگزین
- ماجک
- مین
- اہم
- بنا
- بنانا
- بہت سے
- مارٹن
- ماسٹر کی
- ریاضی
- ریاضیاتی
- ریاضی
- معاملہ
- مئی..
- شاید
- me
- مطلب
- مطلب
- کا مطلب ہے کہ
- میڈیا
- شاید
- غلط تصورات
- ماڈل
- جدید
- مہینہ
- زیادہ
- اس کے علاوہ
- سب سے زیادہ
- زیادہ تر
- ماں
- منتقل ہوگیا
- فلم
- بہت
- ضروری
- باہمی
- my
- فطرت، قدرت
- تقریبا
- ضرورت ہے
- ضروریات
- کبھی نہیں
- نئی
- نیوٹن
- اگلے
- نہیں
- نوٹس
- کچھ بھی نہیں
- تصور
- ناول
- اب
- تعداد
- تعداد
- مقصد
- معروضی طور پر
- اشیاء
- واضح
- of
- بند
- اکثر
- oh
- پرانا
- on
- ایک بار
- ایک
- صرف
- کھول
- or
- دیگر
- دیگر
- ہمارے
- باہر
- باہر
- آؤٹ ٹریپس
- پر
- خود
- صفحات
- کاغذ.
- کاغذات
- پیرا میٹر
- خاص طور پر
- خاص طور پر
- حصے
- لوگ
- کامل
- شاید
- نقطہ نظر
- نقطہ نظر
- پیٹر
- فلسفہ
- پی ایچ پی
- مقام
- منصوبہ بندی
- پلاٹا
- افلاطون ڈیٹا انٹیلی جنس
- پلیٹو ڈیٹا
- کھیلیں
- کھیلا
- ادا کرتا ہے
- پوائنٹ
- مقبول
- ممکن
- پریکٹس
- خوبصورت
- وزیر اعظم
- شاید
- مسئلہ
- مسائل
- عمل
- پیدا
- پروگرام
- پیش رفت
- منصوبے
- ثبوت
- ثبوت
- ثابت کریں
- ثابت ہوا
- شائع
- شائع
- دھکیلنا
- ڈال
- کوانٹا میگزین
- تلاش
- سوال
- اقتباس
- یکسر
- اٹھاتا ہے
- کم از کم
- پڑھیں
- ریڈر
- احساس کرنا
- واقعی
- وجوہات
- حال ہی میں
- متعلقہ
- تعلقات
- انحصار کرو
- تحقیق
- واپسی
- ٹھیک ہے
- سخت
- مضبوطی
- کردار
- قوانین
- کہا
- اسی
- دیکھا
- کا کہنا ہے کہ
- یہ کہہ
- کا کہنا ہے کہ
- سکول
- سائنس
- سائنسی
- سائنسدانوں
- فیرنا
- تلاش کریں
- محفوظ بنانے
- دیکھنا
- کی تلاش
- لگتا ہے
- لگتا ہے
- دیکھا
- منتخب
- احساس
- سیریز
- مقرر
- ہونا چاہئے
- شرم
- نگاہ
- اسی طرح
- سادہ
- سادہ
- صرف
- بعد
- بہن
- بیٹھ
- شکوک و شبہات
- ہنر مند
- So
- سماجی
- سوسائٹی
- کچھ
- کچھ
- کہیں
- بہتر
- خلا
- مراحل
- معیار
- شروع کریں
- شروع
- شروع
- شروع ہوتا ہے
- بیان
- بیانات
- مرحلہ
- مراحل
- ابھی تک
- جدوجہد
- جدوجہد
- تعلیم حاصل کی
- موضوع
- اس طرح
- اس بات کا یقین
- کے نظام
- سسٹمز
- لے لو
- لیا
- لینے
- بات
- ذائقہ
- ٹیکنالوجی
- ٹیکنالوجی
- شرائط
- سے
- کہ
- ۔
- مستقبل
- ان
- ان
- تو
- نظریہ
- وہاں.
- یہ
- وہ
- بات
- چیزیں
- لگتا ہے کہ
- مفکر
- سوچنا
- اس
- ان
- اگرچہ؟
- سوچا
- کے ذریعے
- بھر میں
- وقت
- کرنے کے لئے
- آج
- آج کا
- مل کر
- بھی
- لیا
- کے آلے
- اوزار
- کی طرف
- روایتی
- ٹریننگ
- کوشش کی
- سچ
- حقیقت
- کوشش
- ٹورنگ
- ٹرن
- دو
- عام طور پر
- حتمی
- سمجھ
- افہام و تفہیم
- سمجھا
- ایک تنگاوالا
- یونیورسل
- یونیورسٹی
- کیمبرج یونیورسٹی
- امکان نہیں
- us
- استعمال کی شرائط
- استعمال کیا جاتا ہے
- کا استعمال کرتے ہوئے
- قیمتی
- وسیع
- توثیق
- اس بات کی تصدیق
- تصدیق کرنا
- بہت
- چاہتے ہیں
- چاہتے تھے
- چاہتا ہے
- تھا
- راستہ..
- طریقوں
- we
- ویبپی
- اچھا ہے
- چلا گیا
- تھے
- کیا
- کیا ہے
- جب
- جس
- جبکہ
- ڈبلیو
- کیوں
- وائلڈ
- گے
- ساتھ
- لفظ
- الفاظ
- کام
- کام کیا
- کام کر
- کام کرتا ہے
- قابل
- گا
- لکھنا
- مصنف
- تحریری طور پر
- غلط
- لکھا ہے
- سال
- سال
- تم
- اور
- اپنے آپ کو
- زیفیرنیٹ
- صفر
- Zeta