1شعبہ ریاضی، ڈیوک یونیورسٹی، ڈرہم، NC 27708، USA
2الیکٹریکل اور کمپیوٹر انجینئرنگ کا شعبہ، کمپیوٹر سائنس کا شعبہ، ڈیوک یونیورسٹی، NC 27708، USA
اس کاغذ کو دلچسپ لگتا ہے یا اس پر بات کرنا چاہتے ہیں؟ SciRate پر تبصرہ کریں یا چھوڑیں۔.
خلاصہ
کوانٹم کمپیوٹنگ کا چیلنج عالمگیر کمپیوٹنگ کے ساتھ غلطی کی لچک کو جوڑنا ہے۔ ترچھی دروازے جیسے ٹرانسورسل $T$ گیٹ کوانٹم آپریشنز کے عالمگیر سیٹ کو نافذ کرنے میں اہم کردار ادا کرتے ہیں۔ اس مقالے میں ایک ایسا فریم ورک متعارف کرایا گیا ہے جو کوڈ سٹیٹ کی تیاری، ایک اخترن فزیکل گیٹ لگانے، کوڈ سنڈروم کی پیمائش کرنے، اور ایک پاؤلی تصحیح کو لاگو کرنے کے عمل کو بیان کرتا ہے جو ناپے ہوئے سنڈروم پر منحصر ہو سکتا ہے (ایک من مانی اخترن گیٹ کی طرف سے حوصلہ افزائی اوسط منطقی چینل) . یہ CSS کوڈز پر فوکس کرتا ہے، اور کوڈ سٹیٹس اور فزیکل گیٹس کے تعامل کو جنریٹر گتانکوں کے لحاظ سے بیان کرتا ہے جو انڈسڈ لاجیکل آپریٹر کے ذریعہ طے ہوتا ہے۔ کوڈ سٹیٹس اور ڈائیگنل گیٹس کا تعامل CSS کوڈ میں $Z$-stabilizers کے نشانات پر بہت مضبوطی سے منحصر ہے، اور مجوزہ جنریٹر کوفیشینٹ فریم ورک میں واضح طور پر آزادی کی یہ ڈگری شامل ہے۔ کاغذ ایک اسٹیبلائزر کوڈ کے کوڈ کی جگہ کو محفوظ رکھنے کے لیے صوابدیدی اخترن گیٹ کے لیے ضروری اور کافی شرائط حاصل کرتا ہے، اور حوصلہ افزائی منطقی آپریٹر کا واضح اظہار فراہم کرتا ہے۔ جب اخترن گیٹ ایک چوکور شکل کا اخترن گیٹ ہے (جس کا تعارف رینگاسوامی وغیرہ نے کیا ہے)، حالات کا اظہار دو کلاسیکی کوڈز میں وزن کی تقسیم کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے جو CSS کوڈ کا تعین کرتے ہیں۔ یہ کوڈز میجک سٹیٹ ڈسٹلیشن اور دیگر جگہوں پر اطلاق پاتے ہیں۔ جب تمام نشانیاں مثبت ہوتی ہیں، تو کاغذ تمام ممکنہ CSS کوڈز کی خصوصیت کرتا ہے، $Z$-$pi/2^l$ کے ذریعے ٹرانسورسل $Z$-روٹیشن کے تحت غیر متزلزل، جو $ پر ضروری اور کافی رکاوٹوں کو حاصل کرکے کلاسیکی ریڈ-مولر کوڈز سے بنائے جاتے ہیں۔ l$ جنریٹر کے قابلیت کا فریم ورک صوابدیدی اسٹیبلائزر کوڈز تک پھیلا ہوا ہے لیکن غیر انحطاط پذیر اسٹیبلائزر کوڈز کے زیادہ عام طبقے پر غور کرنے سے حاصل کرنے کے لیے کچھ نہیں ہے۔
مقبول خلاصہ
ہم نے سی ایس ایس کوڈ کے کوڈ کی جگہ کو محفوظ رکھنے کے لیے اخترن گیٹ کے لیے ضروری اور کافی شرائط حاصل کی ہیں اور اس کے حوصلہ افزائی منطقی آپریٹر کا واضح اظہار فراہم کیا ہے۔ جب اخترن گیٹ ایک زاویہ $تھیٹا$ کے ذریعے ٹرانسورسل $Z$-گھومتا ہے، تو ہم نے ایک سادہ عالمی حالت اخذ کی جس کا اظہار دو کلاسیکی کوڈز میں وزن کی تقسیم کے لحاظ سے کیا جا سکتا ہے جو CSS کوڈ کا تعین کرتے ہیں۔ جب سی ایس ایس کوڈ میں تمام نشانیاں مثبت ہوتی ہیں، تو ہم نے ریڈ-مولر جزو کوڈز کے لیے ضروری اور کافی شرائط ثابت کر دی ہیں تاکہ سی ایس ایس کوڈز کے خاندانوں کو تبدیل کیا جا سکے $Z$-روٹیشن کے ذریعے $pi/2^l$ کچھ عدد $ کے لیے۔ l$
جنریٹر کوفیشینٹ فریم ورک صوابدیدی نشانیوں کے ساتھ اسٹیبلائزر کوڈز کے کسی بھی دی گئی اخترن گیٹ کے نیچے ارتقاء کا تجزیہ کرنے کے لیے ایک ٹول فراہم کرتا ہے، اور مزید ممکنہ سی ایس ایس کوڈز کو جادو حالت میں کشید کرنے میں استعمال کیا جا سکتا ہے۔
► BibTeX ڈیٹا
► حوالہ جات
ہے [1] Jonas T. Anderson اور Tomas Jochym-O'Connor۔ کوبٹ سٹیبلائزر کوڈز میں ٹرانسورسل گیٹس کی درجہ بندی۔ کوانٹم معلومات۔ Comput., 16(9–10):771–802، جولائی 2016. doi:10.26421/qic16.9-10-3۔
https://doi.org/10.26421/qic16.9-10-3
ہے [2] حسین انور، ارل ٹی کیمبل، اور ڈین ای براؤن۔ Qutrit جادو ریاست کشید. New J. Phys., 14(6):063006, 2012. doi:10.1088/1367-2630/14/6/063006۔
https://doi.org/10.1088/1367-2630/14/6/063006
ہے [3] جیمز ایکس۔ محدود فیلڈز پر کثیر الاضلاع کے زیرو۔ ایم۔ J. ریاضی، 86(2):255–261، 1964. doi:10.2307/2373163.
https://doi.org/10.2307/2373163
ہے [4] سلمان بیگی اور پیٹر ڈبلیو شور۔ $mathcal{C}_3$، سیمی کلفورڈ اور عام سیمی کلفورڈ آپریشنز۔ کوانٹم انف۔ Comput., 10(1&2), 2010. doi:10.26421/QIC10.1-2-4.
https://doi.org/10.26421/QIC10.1-2-4
ہے [5] انگیمار بینگٹسن، کیٹ بلانچ فیلڈ، ارل ٹی کیمبل، اور مارک ہاورڈ۔ کلفورڈ کے درجہ بندی میں 3 سمیٹری کو ترتیب دیں۔ J. طبیعیات ایک ریاضی. تھیور، 47(45):455302، 2014. doi:10.1088/1751-8113/47/45/455302۔
https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/45/455302
ہے [6] یوری ایل بوریسوف۔ بائنری ریڈ-مولر کوڈز میں وزن کی تقسیم کے بارے میں میکلیس کے نتیجے پر۔ ساتویں بین الاقوامی ورکشاپ میں، بہترین کوڈز اور متعلقہ موضوعات، صفحات 47–52، 2013۔ URL: http:///www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf۔
http:///www.moi.math.bas.bg/oc2013/a7.pdf
ہے [7] P. Oscar Boykin، Tal Mor، Matthew Pulver، Vwani Roy Chowdhury، and Farrokh Vatan۔ یونیورسل اور فالٹ ٹولرنٹ کوانٹم کمپیوٹنگ پر: شور کی بنیاد کے لیے ایک نئی بنیاد اور آفاقیت کا ایک نیا تعمیری ثبوت۔ 40 ویں سالانہ میں۔ سمپ ملا۔ کمپیوٹنگ سائنس (Cat. No.99CB37039)، صفحہ 486–494۔ IEEE، 1999. doi:10.1109/sffcs.1999.814621.
https:///doi.org/10.1109/sffcs.1999.814621
ہے [8] سرگئی براوی، میتھیاس انگلبریچ، رابرٹ کونگ، اور نولان پرڈ۔ سطحی کوڈز کے ساتھ مربوط غلطیوں کو درست کرنا۔ Npj Quantum Inf., 4(1):1–6, 2018. doi:10.1038/s41534-018-0106-y.
https://doi.org/10.1038/s41534-018-0106-y
ہے [9] سرجی براوی اور جیونگوان ہاہ۔ کم اوور ہیڈ کے ساتھ میجک اسٹیٹ ڈسٹلیشن۔ طبیعیات Rev. A, 86(5):052329, 2012. doi:10.1103/physreva.86.052329.
https:///doi.org/10.1103/physreva.86.052329
ہے [10] سرگئی براوی اور الیکسی کیتائیف۔ مثالی کلفورڈ گیٹس اور شور والے اینکیلا کے ساتھ یونیورسل کوانٹم کمپیوٹیشن۔ طبیعات Rev. A, 71(2):022316, 2005. doi:10.1103/physreva.71.022316.
https:///doi.org/10.1103/physreva.71.022316
ہے [11] رابرٹ اے کالڈربینک، ایرک ایم رینز، پیٹر ڈبلیو شور، اور نیل جے اے سلوین۔ ${GF}$(4) سے زیادہ کوڈز کے ذریعے کوانٹم غلطی کی اصلاح۔ آئی ای ای ای ٹرانس۔ Inf. تھیوری، 44(4):1369–1387، 1998. doi:10.1109/isit.1997.613213.
https://doi.org/10.1109/isit.1997.613213
ہے [12] رابرٹ اے کیلڈر بینک اور پیٹر ڈبلیو شور۔ اچھے کوانٹم غلطی کو درست کرنے والے کوڈز موجود ہیں۔ طبیعات Rev. A, 54:1098–1105, Aug 1996. doi:10.1103/physreva.54.1098.
https:///doi.org/10.1103/physreva.54.1098
ہے [13] ارل ٹی کیمبل، حسین انور، اور ڈین ای براؤن۔ کوانٹم ریڈ-مولر کوڈز کا استعمال کرتے ہوئے تمام بنیادی جہتوں میں میجک اسٹیٹ ڈسٹلیشن۔ طبیعات Rev. X, 2(4):041021, 2012. doi:10.1103/physrevx.2.041021.
https:///doi.org/10.1103/physrevx.2.041021
ہے [14] ارل ٹی کیمبل اور مارک ہاورڈ۔ کم وسائل کی لاگت کے ساتھ میجک سٹیٹ ڈسٹلیشن اور ملٹی کوبٹ گیٹ سنتھیسز کے لیے متحد فریم ورک۔ طبیعیات Rev. A, 95(2):022316, 2017. doi:10.1103/physreva.95.022316.
https:///doi.org/10.1103/physreva.95.022316
ہے [15] شان ایکس کیوئی، ڈینیئل گوٹسمین، اور انیرودھ کرشنا۔ کلفورڈ درجہ بندی میں اخترن دروازے۔ طبیعیات Rev. A, 95(1):012329, 2017. doi:10.1103/physreva.95.012329.
https:///doi.org/10.1103/physreva.95.012329
ہے [16] Dripto M. Debroy، Laird Egan، Crystal Noel، Andrew Risinger، Daiwei Zhu، Debopriyo Biswas، Marko Cetina، Chris Monroe، اور Kenneth R. Brown۔ بہتر منطقی qubit یادوں کے لیے سٹیبلائزر برابری کو بہتر بنانا۔ طبیعات Rev. Lett., 127(24), دسمبر 2021. doi:10.1103/–physrevlett.127.240501.
https:///doi.org/10.1103/physrevlett.127.240501
ہے [17] برائن ایسٹن اور ایمانوئل کنل۔ ٹرانسورسل انکوڈ شدہ کوانٹم گیٹ سیٹ پر پابندیاں۔ طبیعیات Rev. Lett., 102(11):110502, 2009. doi:10.1103/physrevlett.102.110502.
https:///doi.org/10.1103/physrevlett.102.110502
ہے [18] ڈینیل گوٹسمین۔ سٹیبلائزر کوڈز اور کوانٹم غلطی کی اصلاح۔ کیلیفورنیا انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی، 1997. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9705052۔
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9705052
arXiv:quant-ph/9705052
ہے [19] ڈینیل گوٹسمین۔ کوانٹم کمپیوٹرز کی ہائزنبرگ کی نمائندگی۔ arXiv preprint quant-ph/9807006, 1998. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9807006۔
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9807006
arXiv:quant-ph/9807006
ہے [20] ڈینیئل گوٹسمین اور آئزک ایل چوانگ۔ ٹیلی پورٹیشن اور سنگل کیوبٹ آپریشنز کا استعمال کرتے ہوئے عالمگیر کوانٹم کمپیوٹیشن کی قابل عملیت کا مظاہرہ کرنا۔ فطرت، 402(6760):390–393، 1999. doi:10.1038/46503۔
https://doi.org/10.1038/46503
ہے [21] جیونگوان ہاہ۔ عام تقسیم شدہ کوانٹم کوڈز کے ٹاورز۔ طبیعیات Rev. A, 97(4):042327, 2018. doi:10.1103/physreva.97.042327.
https:///doi.org/10.1103/physreva.97.042327
ہے [22] جیونگوان ہاہ اور میتھیو بی ہیسٹنگز۔ $t$، controlled-$s$، اور toffoli gates کو کشید کرنے کے لیے کوڈز اور پروٹوکولز۔ کوانٹم، 2:71، 2018۔ doi:10.22331/q-2018-06-07-71۔
https://doi.org/10.22331/q-2018-06-07-71
ہے [23] جِنگزن ہو، چنگ زونگ لیانگ، نارائنن رینگاسوامی، اور رابرٹ کالڈربینک۔ وزن میں توازن رکھ کر مربوط شور کو کم کرنا-$2$ $Z$-سٹیبلائزرز۔ آئی ای ای ای ٹرانس۔ Inf. تھیوری، 68(3):1795–1808، 2022. doi:10.1109/—tit.2021.3130155.
https://doi.org/10.1109/tit.2021.3130155
ہے [24] ایمانوئل کنل، ریمنڈ لافلمے، اور ووجیچ زیورک۔ کوانٹم کمپیوٹیشن کے لیے درستگی کی حد۔ arXiv quant-ph/9610011, 1996. doi:10.48550/arXiv.quant-ph/9610011۔
https:///doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/9610011
arXiv:quant-ph/9610011
ہے [25] انیرودھ کرشنا اور جین پیئر ٹِلِچ۔ کم اوور ہیڈ میجک اسٹیٹ ڈسٹلیشن کی طرف۔ طبیعیات Rev. Lett., 123(7):070507, 2019. doi:10.1103/–physrevlett.123.070507.
https:///doi.org/10.1103/physrevlett.123.070507
ہے [26] اینڈریو جے لینڈہل اور کرس سیزر۔ کمپلیکس انسٹرکشن سیٹ کمپیوٹنگ فن تعمیر کو کم جادو کے ساتھ درست کوانٹم $z$ گردش کرنے کے لیے۔ arXiv preprint arXiv:1302.3240, 2013. doi:10.48550/arXiv.1302.3240.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1302.3240
آر ایکس سی: 1302.3240
ہے [27] فلورنس جے میک ویلیمز۔ ایک منظم کوڈ میں وزن کی تقسیم پر ایک نظریہ۔ بیل لیبز ٹیک۔ J., 42(1):79–94, جنوری 1963. doi:10.1002/j.1538-7305.1963.tb04003.x
https:///doi.org/10.1002/j.1538-7305.1963.tb04003.x
ہے [28] فلورنس جے میک ویلیمز اور نیل جے اے سلوین۔ غلطی کو درست کرنے والے کوڈز کا نظریہ، جلد 16۔ ایلسیویئر، 1977۔
ہے [29] رابرٹ جے میک ایلیس۔ GF($q$) سے متواتر ترتیب پر۔ J. کنگھی تھیوری سیر۔ A., 10(1):80–91, 1971. doi:10.1016/0097-3165(71)90066-5۔
https://doi.org/10.1016/0097-3165(71)90066-5
ہے [30] رابرٹ جے میک ایلیس۔ p-ary سائکلک کوڈز کے لیے وزن کی مطابقت۔ مجرد ریاضی، 3(1):177–192، 1972. doi:10.1016/0012-365X(72)90032-5۔
https://doi.org/10.1016/0012-365X(72)90032-5
ہے [31] Sepehr Nezami اور Jeongwan Haah۔ چھوٹے triorthogonal کوڈز کی درجہ بندی۔ طبیعیات Rev. A, 106:012437, Jul 2022. doi:10.1103/ PhysRevA.106.012437.
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.106.012437
ہے [32] مائیکل اے نیلسن اور آئزک ایل چوانگ۔ کوانٹم کمپیوٹیشن اور کوانٹم انفارمیشن: 10 ویں سالگرہ ایڈیشن۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2011۔
ہے [33] Tefjol Pllaha، Narayanan Rengaswamy، Olav Tirkkonen، اور Robert A. Calderbank۔ کلفورڈ کے درجہ بندی کو ختم کرنا۔ کوانٹم، 4:370، 2020۔ doi:10.22331/q-2020-12-11-370۔
https://doi.org/10.22331/q-2020-12-11-370
ہے [34] بین ڈبلیو ریچارڈٹ۔ سی ایس ایس کوڈز پر لاگو میجک سٹیٹس ڈسٹلیشن سے کوانٹم آفاقیت۔ کوانٹم انف۔ عمل، 4(3):251–264، 2005. doi:10.1007/s11128-005-7654-8۔
https://doi.org/10.1007/s11128-005-7654-8
ہے [35] نارائنن رینگاسوامی، رابرٹ اے کیلڈربینک، مائیکل نیومین، اور ہنری ڈی فائسٹر۔ ٹرانسورسل $T$ کے لیے CSS کوڈز کی بہترین ہونے پر۔ IEEE J. Sel. Inf میں علاقے تھیوری، 1(2):499–514، 2020. doi:10.1109/jsait.2020.3012914.
https://doi.org/10.1109/jsait.2020.3012914
ہے [36] نارائنن رینگاسوامی، رابرٹ اے کیلڈربینک، اور ہنری ڈی فائسٹر۔ کلفورڈ کے درجہ بندی کو رنگوں پر ہم آہنگی میٹرکس کے ذریعے متحد کرنا۔ طبیعات Rev. A, 100(2):022304, 2019. doi:10.1103/physreva.100.022304.
https:///doi.org/10.1103/physreva.100.022304
ہے [37] اے ایم سٹین۔ سادہ کوانٹم غلطی کو درست کرنے والے کوڈز۔ طبیعیات Rev. A, 54(6):4741–4751, 1996. doi:10.1103/ PhysRevA.54.4741.
https:///doi.org/10.1103/PhysRevA.54.4741
ہے [38] مائیکل واسمر اور الیگزینڈر کوبیکا۔ کوانٹم کوڈز کو مورف کرنا۔ PRX کوانٹم، 3(3)، اگست 2022۔ doi:10.1103/ prxquantum.3.030319۔
https:///doi.org/10.1103/prxquantum.3.030319
ہے [39] Christophe Vuillot اور Nikolas P. Breuckmann. کوانٹم پن کوڈز۔ آئی ای ای ای ٹرانس۔ Inf. تھیوری، 68(9):5955–5974، ستمبر 2022۔ doi:10.1109/tit.2022.3170846۔
https://doi.org/10.1109/tit.2022.3170846
ہے [40] مارک ایم وائلڈ۔ کوانٹم انفارمیشن تھیوری۔ کیمبرج یونیورسٹی پریس، 2013۔
ہے [41] پاولو زنارڈی اور ماریو راسیٹی۔ بے آواز کوانٹم کوڈز۔ طبیعات Rev. Lett., 79(17):3306, 1997. doi:10.1103/ PhysRevLett.79.3306.
https:///doi.org/10.1103/PhysRevLett.79.3306
ہے [42] Bei Zeng، Xie Chen، اور Isaac L. Chuang. سیمی کلفورڈ آپریشنز، $mathcal{C}_k$ درجہ بندی کی ساخت، اور غلطی برداشت کرنے والے کوانٹم کمپیوٹیشن کے لیے گیٹ کی پیچیدگی۔ طبیعیات Rev. A, 77(4):042313, 2008. doi:10.1103/physreva.77.042313.
https:///doi.org/10.1103/physreva.77.042313
ہے [43] بی زینگ، اینڈریو کراس، اور آئزک ایل چوانگ۔ اضافی کوانٹم کوڈز کے لیے ٹرانسورسیلیٹی بمقابلہ آفاقیت۔ آئی ای ای ای ٹرانس۔ Inf. تھیوری، 57(9):6272–6284، 2011. doi:10.1109/-tit.2011.2161917.
https://doi.org/10.1109/tit.2011.2161917
کی طرف سے حوالہ دیا گیا
[1] Jingzhen Hu، Qingzhong Liang، Narayanan Rengaswamy، اور Robert Calderbank، "وزن -2 $Z$-Stabilizers کو متوازن کرکے ہم آہنگ شور کو کم کرنا"، آر ایکس سی: 2011.00197.
[2] Jingzhen Hu, Qingzhong Liang, and Robert Calderbank, "Climbing the Diagonal Clifford Hierarchy"، آر ایکس سی: 2110.11923.
[3] Jingzhen Hu، Qingzhong Liang، اور Robert Calderbank، "کوانٹم کمپیوٹیشن کے لیے قابل تقسیم کوڈز"، آر ایکس سی: 2204.13176.
مذکورہ بالا اقتباسات سے ہیں۔ SAO/NASA ADS (آخری بار کامیابی کے ساتھ 2022-09-08 15:11:47)۔ فہرست نامکمل ہو سکتی ہے کیونکہ تمام ناشرین مناسب اور مکمل حوالہ ڈیٹا فراہم نہیں کرتے ہیں۔
نہیں لا سکا کراس ریف کا حوالہ دیا گیا ڈیٹا آخری کوشش کے دوران 2022-09-08 15:11:45: Crossref سے 10.22331/q-2022-09-08-802 کے لیے حوالہ کردہ ڈیٹا حاصل نہیں کیا جا سکا۔ یہ عام بات ہے اگر DOI حال ہی میں رجسٹر کیا گیا ہو۔
یہ مقالہ کوانٹم میں کے تحت شائع کیا گیا ہے۔ Creative Commons انتساب 4.0 انٹرنیشنل (CC BY 4.0) لائسنس کاپی رائٹ اصل کاپی رائٹ ہولڈرز جیسے مصنفین یا ان کے اداروں کے پاس رہتا ہے۔
