AI ٹیک فلائٹ کے ساتھ بیضوی وکر 'گڑگڑاہٹ' پایا گیا | کوانٹا میگزین

بیضوی منحنی خطوط جدید ریاضی میں زیادہ دلکش اشیاء میں سے ہیں۔ وہ پیچیدہ نہیں لگتے ہیں، لیکن وہ ریاضی کے درمیان ایک ایکسپریس وے بناتے ہیں جسے بہت سے لوگ ہائی اسکول میں سیکھتے ہیں اور ریاضی کو اس کے انتہائی غیر واضح طور پر تحقیق کرتے ہیں۔ وہ اینڈریو وائلز کے 1990 کی دہائی میں فرمیٹ کے آخری تھیوریم کے مشہور ثبوت میں مرکزی حیثیت رکھتے تھے۔ وہ جدید خفیہ نگاری میں کلیدی اوزار ہیں۔ اور 2000 میں، Clay Mathematics Institute نے a اعداد و شمار کے بارے میں قیاس بیضوی منحنی خطوط سات "ملینیم پرائز کے مسائل" میں سے ایک، جن میں سے ہر ایک کو اس کے حل کے لیے $1 ملین کا انعام ہے۔ وہ قیاس، سب سے پہلے کی طرف سے مہم جوئی برائن برچ اور پیٹر سوئنرٹن ڈائر 1960 کی دہائی میں، ابھی تک ثابت نہیں ہوا ہے۔

بیضوی منحنی خطوط کو سمجھنا ایک اعلی درجے کی کوشش ہے جو ریاضی میں مرکزی حیثیت رکھتی ہے۔ چنانچہ 2022 میں، جب ایک ٹرانس اٹلانٹک تعاون نے بیضوی منحنی خطوط میں مکمل طور پر غیر متوقع نمونوں کو دریافت کرنے کے لیے شماریاتی تکنیک اور مصنوعی ذہانت کا استعمال کیا، تو یہ ایک خوش آئند بات تھی، اگر غیر متوقع طور پر، شراکت تھی۔ "یہ صرف وقت کی بات تھی جب مشین لرننگ ہماری دہلیز پر کسی دلچسپ چیز کے ساتھ اتری،" نے کہا پیٹر سارنک، انسٹی ٹیوٹ فار ایڈوانسڈ اسٹڈی اور پرنسٹن یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ ابتدائی طور پر، کوئی بھی اس بات کی وضاحت نہیں کر سکا کہ نئے دریافت شدہ نمونے کیوں موجود ہیں۔ اس کے بعد سے، حالیہ مقالوں کی ایک سیریز میں، ریاضی دانوں نے نمونوں کے پیچھے کی وجوہات کو کھولنا شروع کر دیا ہے، جنھیں "گڑگڑاہٹ" کا نام دیا گیا ہے کیونکہ ان کے جھنڈ کے ستاروں کی سیال شکلوں سے مشابہت ہے، اور یہ ثابت کرنا شروع کر دیا ہے کہ انہیں صرف خاص طور پر نہیں ہونا چاہیے۔ 2022 میں جانچ کی گئی مثالیں، لیکن عام طور پر بیضوی منحنی خطوط میں۔

بیضوی ہونے کی اہمیت

یہ سمجھنے کے لیے کہ وہ نمونے کیا ہیں، ہمیں اس بارے میں تھوڑی سی بنیاد رکھنی ہوگی کہ بیضوی منحنی خطوط کیا ہیں اور ریاضی دان ان کی درجہ بندی کیسے کرتے ہیں۔

ایک بیضوی وکر ایک متغیر کے مربع سے متعلق ہے، جسے عام طور پر لکھا جاتا ہے۔ y، دوسرے کی تیسری طاقت کو، عام طور پر لکھا جاتا ہے۔ x: y² = x³ + Ax + Bنمبروں کے کچھ جوڑے کے لیے A اور B، جب تک کے طور پر A اور B کچھ سیدھی شرائط کو پورا کریں۔ یہ مساوات ایک وکر کی وضاحت کرتی ہے جسے ہوائی جہاز پر گراف کیا جا سکتا ہے، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ (ناموں میں مماثلت کے باوجود، بیضوی وکر بیضوی نہیں ہوتا ہے۔)

اگرچہ سادہ نظر آتے ہیں، بیضوی منحنی اعداد کے نظریہ سازوں کے لیے ناقابل یقین حد تک طاقتور ٹولز ثابت ہوتے ہیں - ریاضی دان جو عدد میں پیٹرن تلاش کرتے ہیں۔ متغیرات دینے کے بجائے x اور y تمام نمبروں پر رینج، ریاضی دان ان کو مختلف نمبر سسٹمز تک محدود رکھنا پسند کرتے ہیں، جسے وہ ایک مخصوص نمبر کے نظام کو "اوور" کی تعریف کہتے ہیں۔ بیضوی منحنی خطوط عقلی اعداد تک محدود ہیں - وہ اعداد جنہیں کسر کے طور پر لکھا جا سکتا ہے - خاص طور پر مفید ہیں۔ "حقیقی یا پیچیدہ نمبروں پر بیضوی منحنی خطوط کافی بورنگ ہیں،" سارنک نے کہا۔ "یہ صرف عقلی اعداد ہیں جو گہرے ہیں۔"

یہاں ایک طریقہ ہے جو سچ ہے۔ اگر آپ بیضوی وکر پر دو عقلی نقطوں کے درمیان سیدھی لکیر کھینچتے ہیں، تو وہ جگہ جہاں وہ لکیر دوبارہ منحنی خطوط کو کاٹتی ہے وہ بھی عقلی ہوگی۔ آپ اس حقیقت کو بیضوی وکر میں "اضافہ" کی وضاحت کرنے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔

کے درمیان ایک لکیر کھینچیں۔ P اور Q. وہ لکیر وکر کو تیسرے نقطہ پر کاٹ دے گی، R. (ریاضی دانوں کے پاس اس معاملے سے نمٹنے کے لئے ایک خاص چال ہے جہاں لائن "انفینٹی پر نقطہ" شامل کرکے منحنی خطوط کو نہیں کاٹتی ہے۔) R کے پار xمحور آپ کا مجموعہ ہے۔ P + Q. اس اضافی آپریشن کے ساتھ، وکر کے تمام حل ایک ریاضیاتی چیز بناتے ہیں جسے گروپ کہتے ہیں۔

ریاضی دان اسے وکر کے "درجے" کی وضاحت کے لیے استعمال کرتے ہیں۔ دی ایک وکر کا درجہ اس کے پاس موجود عقلی حلوں کی تعداد سے متعلق ہے۔ رینک 0 منحنی خطوط کے حل کی ایک محدود تعداد ہے۔ اعلی درجے کے ساتھ منحنی خطوط میں لامحدود تعداد میں حل ہوتے ہیں جن کا ایک دوسرے سے رشتہ اضافی عمل کا استعمال کرتے ہوئے درجہ کے ذریعہ بیان کیا جاتا ہے۔

رینک اچھی طرح سے سمجھ میں نہیں آتے ہیں۔ ریاضی دانوں کے پاس ہمیشہ ان کی گنتی کا کوئی طریقہ نہیں ہوتا ہے اور وہ نہیں جانتے کہ وہ کتنا بڑا حاصل کر سکتے ہیں۔ (ایک مخصوص منحنی خطوط کے لیے جانا جانے والا سب سے بڑا درست درجہ 20 ہے۔) ایک جیسے نظر آنے والے منحنی خطوط بالکل مختلف ہو سکتے ہیں۔

بیضوی منحنی خطوط کا بھی بنیادی نمبروں کے ساتھ بہت زیادہ تعلق ہے، جو صرف 1 اور خود سے تقسیم ہوتے ہیں۔ خاص طور پر، ریاضی دان محدود فیلڈز کے منحنی خطوط پر نظر ڈالتے ہیں - چکراتی ریاضی کے نظام جو ہر بنیادی نمبر کے لیے بیان کیے گئے ہیں۔ ایک محدود فیلڈ ایک گھڑی کی طرح ہے جس میں گھنٹوں کی تعداد پرائم کے برابر ہے: اگر آپ اوپر کی طرف گنتے رہتے ہیں تو نمبر دوبارہ شروع ہو جاتے ہیں۔ 7 کے لیے محدود فیلڈ میں، مثال کے طور پر، 5 جمع 2 برابر صفر، اور 5 جمع 3 برابر 1۔

بیضوی وکر میں اعداد کی ایک منسلک ترتیب ہوتی ہے، جسے کہتے ہیں۔ a_p، جو پرائم کے ذریعہ بیان کردہ محدود فیلڈ میں وکر کے حل کی تعداد سے متعلق ہے۔ p. ایک چھوٹا a_p مطلب مزید حل؛ ایک بڑا a_p مطلب کم حل۔ اگرچہ درجہ کا حساب لگانا مشکل ہے، ترتیب a_p بہت آسان ہے.

پہلے کمپیوٹرز میں سے ایک پر کیے گئے متعدد حسابات کی بنیاد پر، برچ اور سوئنرٹن ڈائر نے بیضوی وکر کے درجے اور ترتیب کے درمیان تعلق کا اندازہ لگایا۔ a_p. کوئی بھی جو ثابت کر سکتا ہے کہ وہ صحیح تھے دس لاکھ ڈالر اور ریاضیاتی امر جیتنے کے لیے کھڑا ہے۔

ایک حیرت انگیز نمونہ ابھرتا ہے۔

وبائی مرض کے آغاز کے بعد، یانگ ہوئی ہیلندن انسٹی ٹیوٹ فار میتھمیٹیکل سائنسز کے ایک محقق نے کچھ نئے چیلنجز کا مقابلہ کرنے کا فیصلہ کیا۔ وہ کالج میں فزکس کا میجر رہ چکا تھا، اور اس نے میساچوسٹس انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی سے ریاضی کی طبیعیات میں ڈاکٹریٹ کی ڈگری حاصل کی تھی۔ لیکن وہ نمبر تھیوری میں تیزی سے دلچسپی لے رہا تھا، اور مصنوعی ذہانت کی بڑھتی ہوئی صلاحیتوں کو دیکھتے ہوئے، اس نے سوچا کہ وہ AI کو نمبروں میں غیر متوقع نمونوں کو تلاش کرنے کے لیے ایک ٹول کے طور پر استعمال کرنے کی کوشش کرے گا۔ (وہ پہلے ہی تھا۔ مشین لرننگ کا استعمال کرتے ہوئے درجہ بندی کرنے کے لئے Calabi-Yau کئی گنا, ریاضیاتی ڈھانچے جو سٹرنگ تھیوری میں بڑے پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں۔)

اگست 2020 میں، جیسے ہی وبائی مرض گہرا ہوتا گیا، یونیورسٹی آف ناٹنگھم نے ان کی میزبانی کی۔ آن لائن بات چیت. وہ اپنی ترقی کے بارے میں مایوسی کا شکار تھا، اور نئی ریاضی کو کھولنے کے لیے مشین لرننگ کے استعمال کے امکان کے بارے میں۔ "اس کا بیانیہ تھا کہ نمبر تھیوری مشکل تھی کیونکہ آپ نمبر تھیوری میں چیزیں مشین سے نہیں سیکھ سکتے تھے،" کہا۔ تھامس اولیور، ویسٹ منسٹر یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان جو سامعین میں تھے۔ جیسا کہ وہ یاد کرتا ہے، "مجھے کچھ نہیں مل سکا کیونکہ میں ماہر نہیں تھا۔ میں اسے دیکھنے کے لیے صحیح چیزوں کا استعمال بھی نہیں کر رہا تھا۔

اولیور اور کیو ہوان لیکنیکٹی کٹ یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان نے اس کے ساتھ کام کرنا شروع کیا۔ اولیور نے کہا، "ہم نے یہ فیصلہ صرف یہ جاننے کے لیے کیا کہ مشین لرننگ کیا ہے، بجائے اس کے کہ سنجیدگی سے ریاضی کا مطالعہ کیا جائے۔" "لیکن ہمیں جلد ہی پتہ چلا کہ آپ مشین سے بہت سی چیزیں سیکھ سکتے ہیں۔"

اولیور اور لی نے مشورہ دیا کہ وہ اپنی تکنیکوں کو جانچنے کے لیے استعمال کرے۔ L- فنکشنز، لامحدود سیریز جو ترتیب کے ذریعے بیضوی منحنی خطوط سے قریبی تعلق رکھتی ہیں۔ a_p. وہ بیضوی منحنی خطوط اور ان سے متعلقہ آن لائن ڈیٹا بیس استعمال کرسکتے ہیں۔ L- فنکشنز کو کہا جاتا ہے۔ ایل ایم ایف ڈی بی اپنے مشین لرننگ کلاسیفائر کو تربیت دینے کے لیے۔ اس وقت ڈیٹا بیس میں عقلیت پر 3 ملین بیضوی منحنی خطوط تھے۔ اکتوبر 2020 تک، ان کے پاس تھا۔ ایک کاغذ جس سے حاصل کردہ معلومات کا استعمال کیا گیا۔ L- بیضوی منحنی خطوط کی ایک خاص خاصیت کی پیشن گوئی کرنے کے کام کرتا ہے۔ نومبر میں انہوں نے اشتراک کیا۔ ایک اور کاغذ جس نے نمبر تھیوری میں دیگر اشیاء کی درجہ بندی کرنے کے لیے مشین لرننگ کا استعمال کیا۔ دسمبر تک، وہ کرنے کے قابل تھے بیضوی منحنی خطوط کی پیش گوئی کریں۔ اعلی درستگی کے ساتھ.

لیکن وہ اس بات کا یقین نہیں کر رہے تھے کہ ان کے مشین لرننگ الگورتھم اتنے اچھے کام کیوں کر رہے ہیں۔ لی نے اپنے انڈرگریجویٹ طالب علم الیکسی پوزڈنیاکوف سے کہا کہ وہ یہ جان سکے کہ کیا ہو رہا ہے۔ جیسا کہ ایسا ہوتا ہے، LMFDB بیضوی منحنی خطوط کو ایک مقدار کے مطابق ترتیب دیتا ہے جسے کنڈکٹر کہا جاتا ہے، جو پرائمز کے بارے میں معلومات کا خلاصہ کرتا ہے جن کے لیے ایک وکر اچھی طرح سے برتاؤ کرنے میں ناکام رہتا ہے۔ اس لیے پوزڈنیاکوف نے ایک ہی وقت میں ملتے جلتے کنڈکٹرز کے ساتھ بڑی تعداد میں منحنی خطوط کو دیکھنے کی کوشش کی — کہہ لیں، 7,500 اور 10,000 کے درمیان کنڈکٹرز والے تمام منحنی خطوط۔

یہ مجموعی طور پر تقریباً 10,000 منحنی خطوط کے برابر تھا۔ ان میں سے تقریباً نصف کا درجہ 0 تھا، اور نصف کا درجہ 1۔ (اعلی درجے انتہائی نایاب ہیں۔) پھر اس نے اوسط a_p تمام درجہ 0 منحنی خطوط کے لیے، الگ سے اوسط a_p تمام رینک 1 کے منحنی خطوط کے لیے، اور نتائج کی منصوبہ بندی کی۔ نقطوں کے دو سیٹوں نے دو الگ الگ، آسانی سے قابل فہم لہریں بنائیں۔ یہی وجہ ہے کہ مشین لرننگ کلاسیفائر مخصوص منحنی خطوط کی صفوں کا صحیح طور پر پتہ لگانے میں کامیاب رہے تھے۔

پوزڈنیاکوف نے کہا، "پہلے تو مجھے خوشی محسوس ہوئی کہ میں نے اسائنمنٹ کو مکمل کر لیا ہے۔" "لیکن کیو ہوان نے فوراً پہچان لیا کہ یہ نمونہ حیران کن تھا، اور اسی وقت یہ واقعی پرجوش ہو گیا۔"

لی اور اولیور مسحور ہو گئے۔ اولیور نے کہا، "الیکسی نے ہمیں تصویر دکھائی، اور میں نے کہا کہ ایسا لگتا ہے کہ پرندے کرتے ہیں۔" "اور پھر Kyu-Hwan نے اسے دیکھا اور کہا کہ اسے بڑبڑانا کہا جاتا ہے، اور پھر یانگ نے کہا کہ ہمیں کاغذ کو کال کرنا چاہئے 'بیضوی منحنی خطوط کی گنگناہٹ. ''

انہوں نے اپنا مقالہ اپریل 2022 میں اپ لوڈ کیا اور اسے مٹھی بھر دوسرے ریاضی دانوں کے پاس بھیج دیا، گھبرا کر یہ توقع رکھتے ہوئے کہ ان کی نام نہاد "دریافت" اچھی طرح سے معلوم ہے۔ اولیور نے کہا کہ یہ رشتہ اس قدر نظر آرہا ہے کہ اسے بہت پہلے نوٹ کر لینا چاہیے تھا۔

تقریباً فوراً، پری پرنٹ نے دلچسپی حاصل کی، خاص طور پر سے اینڈریو سدھرلینڈ، MIT میں ایک تحقیقی سائنسدان جو LMFDB کے مینیجنگ ایڈیٹرز میں سے ایک ہے۔ سدرلینڈ نے محسوس کیا کہ 3 ملین بیضوی منحنی خطوط اس کے مقاصد کے لیے کافی نہیں تھے۔ وہ بہت بڑی کنڈکٹر رینجز کو دیکھنا چاہتا تھا تاکہ یہ معلوم ہو سکے کہ گنگناہٹ کتنی مضبوط تھی۔ اس نے تقریباً 150 ملین بیضوی منحنی خطوط کے ایک اور بے پناہ ذخیرے سے ڈیٹا کھینچا۔ پھر بھی غیر مطمئن، اس نے پھر 300 ملین منحنی خطوط کے ساتھ ایک مختلف ذخیرہ سے ڈیٹا حاصل کیا۔

"لیکن وہ بھی کافی نہیں تھے، لہذا میں نے حقیقت میں ایک بلین بیضوی منحنی خطوط کے ایک نئے ڈیٹا سیٹ کی گنتی کی، اور یہی وہ چیز ہے جو میں واقعی اعلیٰ ریزولیوشن تصویروں کی گنتی کے لیے استعمال کرتا تھا،" سدرلینڈ نے کہا۔ بڑبڑاہٹ ظاہر ہوئی کہ آیا وہ ایک وقت میں اوسطاً 15,000 بیضوی منحنی خطوط پر ہے یا ایک وقت میں ایک ملین۔ شکل ویسی ہی رہی یہاں تک کہ جب اس نے بڑے اور بڑے پرائم نمبرز کے منحنی خطوط کو دیکھا، ایک ایسا رجحان جسے اسکیل انویرینس کہتے ہیں۔ سدرلینڈ نے یہ بھی محسوس کیا کہ گنگناہٹ بیضوی منحنی خطوط سے منفرد نہیں ہے، بلکہ زیادہ عام طور پر ظاہر ہوتی ہے۔ L-افعال. اس نے لکھا ایک خط جو اس کے نتائج کا خلاصہ کرتا ہے۔ اور اسے سارنک کو بھیج دیا اور مائیکل روبنسٹین واٹر لو یونیورسٹی میں

سدرلینڈ نے لکھا، "اگر اس کے لیے کوئی معروف وضاحت موجود ہے تو مجھے امید ہے کہ آپ اسے جان لیں گے۔"

انہوں نے نہیں کیا۔

پیٹرن کی وضاحت

لی، وہ اور اولیور نے اگست 2023 میں براؤن یونیورسٹی کے انسٹی ٹیوٹ فار کمپیوٹیشنل اینڈ ایکسپیریمنٹل ریسرچ ان میتھمیٹکس (ICERM) میں گنگناہٹ پر ایک ورکشاپ کا اہتمام کیا۔ سارناک اور روبنسٹین آئے، جیسا کہ سارنک کا طالب علم آیا نینا زبریلینا.

زبریلینا نے بڑبڑانے کے نمونوں پر اپنی تحقیق پیش کی۔ ماڈیولر شکلیں, خاص پیچیدہ افعال جو بیضوی منحنی خطوط کی طرح منسلک ہوتے ہیں۔ L-افعال. بڑے کنڈکٹرز کے ساتھ ماڈیولر شکلوں میں، بڑبڑاہٹ ایک قابل فہم لیکن منتشر پیٹرن بنانے کے بجائے، ایک تیزی سے متعین کردہ وکر میں بدل جاتی ہے۔ میں ایک کاغذ 11 اکتوبر 2023 کو پوسٹ کی گئی، زبریلینا نے ثابت کیا کہ اس قسم کی بڑبڑاہٹ ایک واضح فارمولے کی پیروی کرتی ہے جو اس نے دریافت کیا تھا۔

نینا کی بڑی کامیابی یہ ہے کہ اس نے اس کے لیے ایک فارمولا دیا ہے۔ میں اسے زبریلینا مرمریشن ڈینسٹی فارمولا کہتا ہوں،" سارنک نے کہا۔ "بہت نفیس ریاضی کا استعمال کرتے ہوئے، اس نے ایک قطعی فارمولہ ثابت کیا ہے جو ڈیٹا پر بالکل فٹ بیٹھتا ہے۔"

اس کا فارمولہ پیچیدہ ہے، لیکن سارنک اسے ایک اہم نئی قسم کے فنکشن کے طور پر سراہتا ہے، جس کا موازنہ ہوا کے افعال سے کیا جاتا ہے جو فزکس میں مختلف سیاق و سباق میں استعمال ہونے والی تفریق مساوات کے حل کی وضاحت کرتے ہیں، آپٹکس سے لے کر کوانٹم میکینکس تک۔

اگرچہ زبریلینا کا فارمولا پہلا تھا، دوسروں نے اس کی پیروی کی ہے۔ سارنک نے کہا، "اب ہر ہفتے، ایک نیا کاغذ نکلتا ہے،" بنیادی طور پر زبریلینا کے ٹولز کا استعمال کرتے ہوئے، بڑبڑانے کے دوسرے پہلوؤں کی وضاحت کرتا ہے۔

جوناتھن بوبر, اینڈریو بکر اور من لی برسٹل یونیورسٹی کے ساتھ ساتھ ڈیوڈ لوری-ڈوڈا ICERM کے، نے ماڈیولر شکلوں میں ایک مختلف قسم کی گنگناہٹ کا وجود ثابت کیا۔ اکتوبر کا ایک اور کاغذ. اور Kyu-Hwan Lee، Oliver اور Pozdnyakov وجود ثابت کیا ڈیریچلیٹ حروف کہلانے والی اشیاء میں بڑبڑاہٹ کا جن سے گہرا تعلق ہے۔ L-افعال.

سدرلینڈ قسمت کی اس اہم خوراک سے متاثر ہوا جس کی وجہ سے گنگناہٹ کی دریافت ہوئی۔ اگر بیضوی وکر کے اعداد و شمار کو کنڈکٹر کے ذریعہ آرڈر نہ کیا گیا ہوتا تو گنگناہٹ غائب ہوجاتی۔ "وہ خوش قسمت تھے کہ وہ LMFDB سے ڈیٹا لے رہے تھے، جو کنڈکٹر کے مطابق پہلے سے ترتیب دیا گیا تھا،" انہوں نے کہا۔ "یہ وہی ہے جو بیضوی وکر کو متعلقہ ماڈیولر شکل سے جوڑتا ہے، لیکن یہ بالکل واضح نہیں ہے۔ دو منحنی خطوط جن کی مساواتیں بہت ملتی جلتی نظر آتی ہیں ان میں بہت مختلف موصل ہو سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، سدرلینڈ نے نوٹ کیا۔ y² = x³ - 11x + 6 میں کنڈکٹر 17 ہے، لیکن مائنس کے نشان کو پلس کے نشان پر پلٹنا، y² = x³ + 11x +6 میں کنڈکٹر 100,736 ہے۔

تب بھی، گنگناہٹ صرف پوزڈنیاکوف کی ناتجربہ کاری کی وجہ سے پائی گئی۔ اولیور نے کہا، "مجھے نہیں لگتا کہ ہمیں یہ اس کے بغیر مل جاتا،" کیونکہ ماہرین روایتی طور پر معمول پر آتے ہیں۔ a_p مطلق قدر 1 کے لیے۔ لیکن اس نے انہیں معمول پر نہیں لایا… اس لیے دوغلے بہت بڑے اور دکھائی دے رہے تھے۔"

اولیور نے نوٹ کیا کہ اعداد و شمار کے نمونے جو AI الگورتھم بیضوی منحنی خطوط کو ترتیب دینے کے لیے استعمال کرتے ہیں وہ پیرامیٹر کی جگہ میں سینکڑوں جہتوں کے ساتھ موجود ہیں - بہت زیادہ ہیں جو لوگوں کے ذہنوں میں چھانٹنے کے لیے ہیں، اولیور نے نوٹ کیا۔ لیکن اگرچہ مشین لرننگ نے چھپے ہوئے دوغلے پائے، "بعد میں ہی ہم نے انہیں بڑبڑاہٹ سمجھا۔"

ایڈیٹر کا نوٹ: اینڈریو سدرلینڈ، کیو-ہوان لی اور ایل فنکشنز اور ماڈیولر فارم ڈیٹا بیس (LMFDB) نے سبھی کو سائمنز فاؤنڈیشن سے فنڈنگ ​​حاصل کی ہے، جو اس ادارتی طور پر آزاد اشاعت کو بھی فنڈ فراہم کرتی ہے۔ سائمنز فاؤنڈیشن کے فنڈنگ ​​کے فیصلوں کا ہماری کوریج پر کوئی اثر نہیں ہوتا ہے۔ مزید معلومات دستیاب ہے۔ یہاں.