آئزک نیوٹن نے بائنومیئل پاور سیریز کو کیسے دریافت کیا۔

آئزک نیوٹن اپنی سخاوت کے لیے نہیں جانا جاتا تھا، اور اپنے حریفوں کے لیے اس کی نفرت افسانوی تھی۔ لیکن اپنے مدمقابل گوٹ فرائیڈ لیبنز کو ایک خط میں، جو اب کے نام سے جانا جاتا ہے۔ ایپسٹولا پوسٹرئیر، نیوٹن پرانی یادوں اور تقریباً دوستانہ طور پر آتا ہے۔ اس میں، وہ اپنے طالب علمی کے زمانے کی ایک کہانی بیان کرتا ہے، جب اس نے ابھی ریاضی سیکھنا شروع کیا تھا۔ وہ بتاتا ہے کہ اس نے اندازہ لگانے اور جانچنے کے عمل کے ذریعے لامحدود رقوم کے ساتھ منحنی خطوط کے برابر کرنے والی ایک بڑی دریافت کیسے کی۔ خط میں اس کا استدلال بہت دلکش اور قابل رسائی ہے، یہ مجھے پیٹرن کا اندازہ لگانے والے کھیلوں کی یاد دلاتا ہے جو چھوٹے بچے کھیلنا پسند کرتے ہیں۔

یہ سب اس وقت شروع ہوا جب نوجوان نیوٹن نے جان والیس کو پڑھا۔ ارتھمیٹیکا انفینیٹورم، 17 ویں صدی کی ریاضی کا ایک بنیادی کام۔ والس نے پائی کی قدر کا تعین کرنے کا ایک نیا اور دلکش طریقہ شامل کیا، اور نیوٹن کچھ ایسا ہی وضع کرنا چاہتا تھا۔ اس نے سایڈست چوڑائی کے "سرکلر سیگمنٹ" کا رقبہ تلاش کرنے کے مسئلے سے شروع کیا۔ $لیٹیکس x$. یہ یونٹ کے دائرے کے نیچے کا خطہ ہے، جس کی وضاحت $latex y=sqrt{1-x^2}$ سے ہوتی ہے، جو افقی محور کے 0 سے اوپر کے حصے کے اوپر واقع ہے۔ $لیٹیکس x$. یہاں $لیٹیکس x$ 0 سے 1 تک کوئی بھی عدد ہو سکتا ہے، اور 1 دائرے کا رداس ہے۔ اکائی کے دائرے کا رقبہ pi ہے، جیسا کہ نیوٹن اچھی طرح جانتا تھا، تو کب $لیٹیکس x=1$، وکر کے نیچے کا رقبہ یونٹ کے دائرے کا ایک چوتھائی ہے، $latexfrac{π}{4}$۔ لیکن دیگر اقدار کے لیے $لیٹیکس x$، کچھ معلوم نہیں تھا۔

اگر نیوٹن ہر ممکنہ قدر کے لیے وکر کے نیچے کے علاقے کا تعین کرنے کا طریقہ تلاش کر سکتا ہے۔ $لیٹیکس x$, یہ اسے تقریباً pi کا ایک بے مثال ذریعہ دے سکتا ہے۔ یہ اصل میں اس کا عظیم منصوبہ تھا۔ لیکن راستے میں اس نے کچھ اور بھی بہتر پایا: پیچیدہ منحنی خطوط کو تبدیل کرنے کا ایک طریقہ جس کی طاقتوں سے بنے سادہ بلڈنگ بلاکس کی لامحدود رقم کے ساتھ۔ $لیٹیکس x$.

نیوٹن کا پہلا قدم مشابہت سے استدلال کرنا تھا۔ سرکلر سیگمنٹ کے رقبے کو براہ راست نشانہ بنانے کے بجائے، اس نے مندرجہ ذیل منحنی خطوط سے جڑے مشابہ طبقات کے علاقوں کی چھان بین کی۔

$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.

نیوٹن جانتا تھا کہ فہرست میں منحنی خطوط کے نیچے والے پورے نمبر کی طاقتوں (جیسے $latex frac{0}{2}=0$ اور $latex frac{2}{2} = 1$) کا حساب لگانا آسان ہوگا، کیونکہ وہ الجبری طور پر آسان بناتے ہیں۔ مثال کے طور پر،

$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.

اسی طرح،

لیکن دائرے کی مساوات کے لیے ایسی کوئی آسانیاں دستیاب نہیں ہیں — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— یا نصف طاقتوں کے ساتھ دیگر منحنی خطوط۔ اس وقت، کوئی نہیں جانتا تھا کہ ان میں سے کسی کے تحت علاقے کو کیسے تلاش کرنا ہے.

خوش قسمتی سے، پوری تعداد کے اختیارات کے ساتھ منحنی خطوط کے نیچے والے علاقے سیدھے تھے۔ وکر $latex y_4=1-2x^2+x^4$ لیں۔ اس طرح کے افعال کے لیے اس وقت کے ایک معروف اصول نے نیوٹن (اور کسی اور کو) علاقے کو تیزی سے تلاش کرنے کی اجازت دی: کسی بھی پورے نمبر کی طاقت $latex nge 0$ کے لیے، وکر کے نیچے کا رقبہ $latex y=x^n$ سے زیادہ سے وقفہ $لیٹیکس 0$ کرنے کے لئے $لیٹیکس x$ $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ کے ذریعہ دیا گیا ہے۔ (والس نے اس اصول کا اندازہ اپنے انڈکٹو طریقہ سے لگایا تھا، اور پیئر ڈی فرمیٹ نے اسے حتمی طور پر ثابت کیا۔) اس اصول سے لیس، نیوٹن کو معلوم تھا کہ وکر $latex y_4$ کے نیچے کا رقبہ $latex x- frac{2x^3}{3 تھا۔ } + frac{x^5}{5}$۔

اسی قاعدے نے اسے اوپر کی فہرست میں پورے نمبر کے اختیارات کے ساتھ دوسرے منحنی خطوط کے نیچے کا علاقہ تلاش کرنے کی اجازت دی۔ آئیے لکھتے ہیں $latex A_n$ وکر کے نیچے والے علاقے کے لیے $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$، جہاں $latex n= 0, 1, 2, …$۔ قاعدے کو لاگو کرنے سے حاصل ہوتی ہے۔

$لیٹیکس A_0=x$

$latex A_1 = hspace{.295em}?$

$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$

$latex A_3 = hspace{.295em}?$

$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$

$latex A_5 =hspace{.295em}؟ $

$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$

اور اسی طرح. نیوٹن کا چالاک خیال خلا کو پُر کرنا تھا، اس امید پر کہ وہ دوسری سیریز میں کیا دیکھ سکتا ہے اس کی بنیاد پر $latexA_1$ (سرکلر سیگمنٹ کے نامعلوم علاقے کے لیے سیریز) کا اندازہ لگا سکتا ہے۔ ایک چیز فوری طور پر واضح تھی: ہر $latexA_n$ کا آغاز محض $latex x$ سے ہوتا ہے۔ اس نے اس طرح کے فارمولوں میں ترمیم کرنے کا مشورہ دیا:

$لیٹیکس A_0=x$

$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$

$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$

$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$

$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$

$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$

$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$۔

پھر، سوالیہ نشانات کے اگلے بیچ کو تبدیل کرنے کے لیے، نیوٹن نے $latex x^3$ کی شرائط کو دیکھا۔ تھوڑا سا لائسنس کے ساتھ، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ $latexA_0$ میں بھی ان کیوبک اصطلاحات میں سے ایک تھی، کیونکہ ہم اسے $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$ کے طور پر دوبارہ لکھ سکتے ہیں۔ جیسا کہ نیوٹن نے لیبنز کو سمجھایا، اس نے مشاہدہ کیا کہ "دوسری اصطلاحات $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ وغیرہ، ریاضی کی ترقی میں تھے" (وہ عدد میں 0، 1، 2، 3 کا حوالہ دے رہا تھا)۔ یہ شک کرتے ہوئے کہ یہ ریاضی کی پیشرفت خلا تک بھی پھیل سکتی ہے، نیوٹن نے اندازہ لگایا کہ اعداد کی پوری ترتیب، معلوم اور نامعلوم، کو $latex frac{1}{2} (0، frac{1}{2} سے الگ کردہ اعداد ہونے چاہئیں۔ }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ “اور اس وجہ سے سیریز کی پہلی دو اصطلاحات” میں اس کی دلچسپی تھی — ابھی تک نامعلوم $latex A_1$ , $latex A_3$ اور $latex A_5$ — “$latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac) ہونا چاہیے {3}{2}x^3)، x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$، وغیرہ۔

اس طرح، اس مرحلے پر پیٹرن نے نیوٹن کو تجویز کیا کہ $latex A_1$ کے طور پر شروع ہونا چاہیے۔

$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$۔

یہ ایک اچھی شروعات تھی، لیکن اسے مزید ضرورت تھی۔ جیسا کہ اس نے دوسرے نمونوں کا شکار کیا، نیوٹن نے دیکھا کہ مساوات میں ڈینومینیٹر ہمیشہ بڑھتی ہوئی ترتیب میں طاق اعداد پر مشتمل ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، $latex A_6$ کو دیکھیں، جس کے حروف میں 1، 3، 5 اور 7 ہیں۔ اسی پیٹرن نے $latex A_4$ اور $latex A_2$ کے لیے کام کیا۔ کافی سادہ۔ یہ پیٹرن بظاہر تمام مساوات کے تمام فرقوں میں برقرار ہے۔

باقی رہ گیا عدد میں ایک نمونہ تلاش کرنا۔ نیوٹن نے دوبارہ $latex A_2$، $latex A_4$ اور $latex A_6$ کا دوبارہ جائزہ لیا اور کچھ دیکھا۔ $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ میں اس نے $latex x$ کو 1 ضرب کرتے ہوئے دیکھا اور $latexfrac {1}{1}x^3$ کی اصطلاح میں ایک اور 3 کو اس نے نظر انداز کیا وقتی طور پر منفی علامت)۔ $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ میں، اس نے 1، 2، 1 کے عدد دیکھے۔ اور $latex A_6=x-frac{ میں 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$، اس نے ہندسوں کو 1، 3، 3، 1 دیکھا۔ یہ نمبر کسی کو بھی واقف ہونا چاہئے جس نے کبھی پاسکل کے مثلث کا مطالعہ کیا ہے، اعداد کی ایک مثلث ترتیب جو کہ سب سے آسان ہے، اس کے اوپر موجود نمبروں کو جوڑ کر، اوپر 1 سے شروع ہو کر بنائی جاتی ہے۔

پاسکل کو مدعو کرنے کے بجائے، نیوٹن نے ان عددوں کو "نمبر 11 کی طاقتیں" کہا۔ مثال کے طور پر، 11² = 121، جو مثلث میں دوسری قطار ہے، اور 11³ = 1331، جو تیسرا ہے۔ آج کل ان اعداد کو binomial coefficients بھی کہا جاتا ہے۔ وہ اس وقت پیدا ہوتے ہیں جب آپ بائنومیل جیسے ($latex a +b$) کی طاقتوں کو بڑھاتے ہیں، جیسا کہ $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$ میں ہے۔ اس پیٹرن کو ہاتھ میں رکھتے ہوئے، نیوٹن کے پاس اب $latex A_2، A_4، A_6$، اور دیگر تمام یکساں نمبر والے لکھنے کا آسان طریقہ تھا۔ Aکی.

اس کے بعد، اپنے نتائج کو نصف طاقتوں اور طاق نمبر والے سبسکرپٹس (اور آخر کار اس سیریز تک پہنچنے کے لیے جو وہ چاہتا تھا، $latex A_1$)، نیوٹن کو پاسکل کے مثلث کو ایک شاندار نئی حکومت تک بڑھانے کی ضرورت تھی: قطاروں کے درمیان آدھے راستے پر۔ ایکسٹراپولیشن کو انجام دینے کے لیے، اس نے پاسکل کے مثلث کی کسی بھی قطار میں بائنومیئل گتانکوں کے لیے ایک عمومی فارمولہ اخذ کیا — قطار $latex m$ — اور پھر بہادری سے $latex m= frac{1}{2}$ میں پلگ ان کیا۔ اور حیرت انگیز طور پر، اس نے کام کیا۔ اس نے اسے اس سلسلے میں عدد دیے جو وہ یونٹ کے دائرے کے لیے تلاش کر رہا تھا، $latexA_1$۔

یہاں، نیوٹن کے اپنے الفاظ میں، اس کا لائبنز کے لیے ان نمونوں کا خلاصہ ہے جو اس نے دلیل میں اس مرحلے تک مبہم طور پر دیکھا:

میں نے اس بات کی عکاسی کرنا شروع کی کہ 1، 3، 5، 7، وغیرہ کے حروف ریاضی کی ترقی میں تھے، اس لیے صرف ہندسوں کے عددی گتانک کو ابھی بھی تفتیش کی ضرورت تھی۔ لیکن متبادل طور پر دیئے گئے علاقوں میں، یہ نمبر 11 کے اختیارات کے اعداد و شمار تھے … یعنی پہلے '1'؛ پھر '1، 1'؛ سوم، '1، 2، 1'؛ چوتھا '1، 3، 3، 1'؛ پانچویں '1، 4، 6، 4، 1' وغیرہ اور اس لیے میں نے دریافت کرنا شروع کیا کہ سیریز کے باقی اعداد و شمار پہلے دو دیئے گئے اعداد و شمار سے کیسے اخذ کیے جا سکتے ہیں، اور میں نے پایا کہ دوسرے کے لیے $latex m$ ڈالنے پر اعداد و شمار، باقی اس سلسلے کی شرائط کے مسلسل ضرب سے تیار کیے جائیں گے،

$latex frac{m-0}{1} بار frac{m-1}{2} گنا frac {m-2}{3} گنا frac{m-3}{4} گنا frac {m-4}{5 }$، وغیرہ۔

… اس کے مطابق میں نے اس اصول کو سیریز کے درمیان سیریز کو انٹرپوز کرنے کے لیے لاگو کیا، اور چونکہ دائرے کے لیے، دوسری اصطلاح تھی $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$، میں نے $latex ڈالا m=frac{1}{2}$، اور پیدا ہونے والی شرائط تھیں۔

$latex frac {1}{2} بار frac{frac{1}{2}-1}{2}$ یا $latex -frac{1}{8}$،
$latex -frac{1}{8} بار frac{frac{1}{2}-2}{3}$ یا $latex + frac{1}{16}$،
$latex frac{1}{16} بار frac{frac{1}{2}-3}{4}$ یا $latex – frac {5}{128}$،

تو لامحدودیت تک. جہاں سے میں سمجھ گیا کہ سرکلر سیگمنٹ کا رقبہ جو میں چاہتا تھا۔

$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.

آخر میں، $latex x=1$ میں پلگ لگا کر، نیوٹن $latexfrac{π}{4}$ کے لیے ایک لامحدود رقم حاصل کر سکتا ہے۔ یہ ایک اہم تلاش تھی، لیکن اس سے پتہ چلتا ہے کہ لامحدود رقم کے ذریعے pi کا تخمینہ لگانے کے بہتر طریقے ہیں، جیسا کہ خود نیوٹن نے جلد ہی اس ابتدائی دھاگے کے بعد ان قسم کی لامحدود رقموں کو دریافت کر لیا، جسے اب پاور سیریز کہا جاتا ہے۔ آخر کار اس نے pi کے پہلے 15 ہندسوں کا حساب لگایا۔

سرکلر سیگمنٹ کے مسئلے کی طرف لوٹتے ہوئے، نیوٹن نے محسوس کیا کہ دائرے کے لیے مساوات (صرف اس کے نیچے کا علاقہ نہیں) کو بھی پاور سیریز سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اسے صرف یہ کرنے کی ضرورت تھی کہ اوپر دکھائے گئے پاور سیریز میں ڈینومینیٹر کو چھوڑ دیں اور $latex x$ کی طاقتوں کو 1 تک کم کریں۔ اس طرح اسے اندازہ لگایا گیا۔

یہ جانچنے کے لیے کہ آیا یہ نتیجہ معنی خیز ہے، نیوٹن نے اسے خود سے ضرب دیا: "یہ $لیٹیکس 1-x^2$ بن گیا، باقی شرائط لامحدود تک سیریز کے جاری رہنے سے ختم ہو گئیں۔"

تفصیلات سے تھوڑا پیچھے ہٹتے ہوئے، ہم یہاں مسئلہ حل کرنے کے بارے میں کئی اسباق دیکھتے ہیں۔ اگر کوئی مسئلہ بہت مشکل ہے تو اسے تبدیل کریں۔ اگر یہ بہت مخصوص لگتا ہے تو اسے عام کریں۔ نیوٹن نے دونوں ہی کیے اور نتائج اس سے زیادہ اہم اور زیادہ طاقتور حاصل کیے جو اس نے اصل میں تلاش کیے تھے۔

نیوٹن نے ایک چوتھائی دائرے پر ضد نہیں کی۔ اس نے ایک بہت زیادہ عمومی شکل کو دیکھا، چوڑائی $latex x$ کے کسی بھی سرکلر حصے کو۔ $latex x=1$ پر قائم رہنے کے بجائے، اس نے $latex x$ کو 0 سے 1 تک آزادانہ طور پر چلنے دیا۔ اس سے اس کی سیریز میں عدد کے دو نامی کردار کا انکشاف ہوا — پاسکل کے مثلث میں اعداد کی غیر متوقع ظاہری شکل اور ان کی عمومیت — جو نیوٹن کو وہ نمونے دیکھنے دیں جو والیس اور دوسروں نے کھوئے تھے۔ ان نمونوں کو دیکھ کر نیوٹن کو وہ بصیرت ملی جو اسے پاور سیریز کے نظریہ کو زیادہ وسیع اور عام طور پر تیار کرنے کے لیے درکار تھی۔

اپنے بعد کے کام میں، نیوٹن کی پاور سیریز نے اسے حساب کتاب کے لیے سوئس آرمی کا چاقو دیا۔ ان کے ساتھ، وہ انٹیگرلز کر سکتا تھا، الجبری مساوات کی جڑیں تلاش کر سکتا تھا، اور سائنز، کوزائنز اور لوگارتھمز کی قدروں کا حساب لگا سکتا تھا۔ جیسا کہ اس نے کہا، "ان کی مدد سے، تجزیہ تک پہنچ جاتا ہے، میں تقریباً کہہ سکتا ہوں، تمام مسائل پر۔"

اخلاق: کسی مسئلے کو تبدیل کرنا دھوکہ نہیں ہے۔ یہ تخلیقی ہے۔ اور یہ کسی بڑی چیز کی کلید ہو سکتی ہے۔