ریاضی جو آپس میں جڑتی ہے جہاں ہم جا رہے ہیں جہاں ہم تھے | کوانٹا میگزین

کہتے ہیں کہ آپ نو دیگر لوگوں کے ساتھ پارٹی میں ہیں اور ہر کوئی بالکل ایک بار سب کا ہاتھ ہلاتا ہے۔ کتنے مصافحہ ہوتے ہیں؟

یہ "ہاتھ ملانے کا مسئلہ" ہے اور یہ میرے پسندیدہ میں سے ایک ہے۔ ایک ریاضی کے استاد کے طور پر، مجھے یہ پسند ہے کیونکہ بہت سے مختلف طریقے ہیں جن سے آپ حل تک پہنچ سکتے ہیں، اور ان حکمت عملیوں کا تنوع اور باہم مربوط ہونا ریاضی میں تخلیقی سوچ کی طاقت کو خوبصورتی سے بیان کرتا ہے۔

ایک حل اس طرح جاتا ہے: ہر شخص کے ساتھ ہر دوسرے شخص کا ہاتھ ملاتے ہوئے شروع کریں۔ دس افراد، نو مصافحہ کے ساتھ، 9 × 10 = 90 کل مصافحہ پیدا کرتے ہیں۔ لیکن یہ ہر ہینڈ شیک کو دو بار شمار کرتا ہے — ایک بار ہر شیکر کے نقطہ نظر سے — اس لیے مصافحہ کی اصل تعداد $latex frac{90}{2} = 45$ ہے۔ جیت کے لیے گنتی کی ایک سادہ اور خوبصورت دلیل!

مسئلہ کو حل کرنے کا ایک بالکل مختلف طریقہ بھی ہے۔ تصور کریں کہ مہمان ایک وقت میں آتے ہیں، اور جب وہ وہاں پہنچتے ہیں، تو وہ موجود تمام لوگوں سے مصافحہ کرتے ہیں۔ پہلے شخص کے پاس ہلانے کے لیے کوئی ہاتھ نہیں ہے، اس لیے ایک فرد کی پارٹی میں مصافحہ کی تعداد صفر ہے۔ اب دوسرا شخص آتا ہے اور پہلے شخص سے مصافحہ کرتا ہے۔ یہ کل میں ایک مصافحہ کا اضافہ کرتا ہے، لہذا دو افراد کی پارٹی میں، 0 + 1 = 1 کل مصافحہ ہوتے ہیں۔ جب تیسرا شخص آتا ہے اور پہلے دو مہمانوں سے مصافحہ کرتا ہے تو اس سے کل میں دو مصافحہ کا اضافہ ہوتا ہے۔ چوتھے شخص کی آمد کل میں تین مصافحہ کا اضافہ کرتی ہے، وغیرہ۔

یہ حکمت عملی بار بار مصافحہ کی ترتیب کو ماڈل کرتی ہے، اس کا مطلب یہ ہے کہ ترتیب میں ہر اصطلاح کی تعریف اس سے پہلے آنے والوں کے نسبت کی گئی ہے۔ آپ شاید فبونیکی ترتیب سے واقف ہوں گے، جو سب سے زیادہ مشہور تکراری ترتیب ہے۔ یہ 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21 سے شروع ہوتا ہے اور پچھلے دو کے مجموعہ کے برابر ہر بعد کی اصطلاح کے ساتھ جاری رہتا ہے۔

جیسا کہ ہم ذیل میں دیکھیں گے، تکرار ریاضیاتی خیالات کی ایک وسیع رینج کے بارے میں سوچنے کے لیے ایک لچکدار اور طاقتور فریم ورک ہے۔ اور اگرچہ ہیما چندر جیسے قدیم ہندوستانی اسکالرز کو 1150 تک اس قسم کے سلسلے کے بارے میں جاننے کا سہرا دیا جاتا ہے، لیکن وہ آج بھی ریاضی دانوں کے لیے دلچسپ چیلنج پیش کرتے ہیں۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ بار بار سوچنا مصافحہ کے مسئلے میں کس طرح مدد کرتا ہے۔ اگر ہم $latex a_n$ کو ایک پر مصافحہ کی تعداد کے برابر ہونے دیں۔ n-شخصی پارٹی، ہم درج ذیل فارمولے کے ساتھ اس تکراری تعلق کی نمائندگی کر سکتے ہیں:

$لیٹیکس a_n = a_{n-1} + n–1$

یہ ہمیں بتاتا ہے کہ ایک پر مصافحہ کی تعداد n-شخصی پارٹی ($latex a_n$) ایک پر مصافحہ کی تعداد کے برابر ہے (n − 1) فرد پارٹی ($latex a_{n-1}$) پلس n − 1 مزید مصافحہ، اس خیال کو حاصل کرتے ہوئے کہ جب کوئی نیا شخص آتا ہے تو وہ پہلے سے ہو چکے مصافحہ میں ایک خاص تعداد میں نئے مصافحہ کا اضافہ کرتے ہیں۔

مصافحہ کے مسئلے کے ہمارے مخصوص ورژن میں، ہم $latex a_{10}$، 10 افراد کی پارٹی میں مصافحہ کی تعداد جاننا چاہتے ہیں، تاکہ یہ معلوم کیا جا سکے کہ ہم تکراری تعلق کو استعمال کرتے ہیں۔

$لیٹیکس a_{10} = a_9 + 9$

$latex a_{10}$ کی قدر معلوم کرنے کے لیے، ہمیں صرف $latex a_9$ کی قدر جاننی ہوگی اور اس میں 9 کا اضافہ کرنا ہوگا۔ ہم $latex a_9$ کی قدر کیسے تلاش کرتے ہیں؟ تکرار کا استعمال کرتے ہوئے، یقینا!

$لیٹیکس a_9 = a_8 + 8$

اب، $latex a_8$ کی قدر تلاش کرنے کے لیے، ہمیں $latex a_7$ کی قدر تلاش کرنے کی ضرورت ہے، جس کے لیے $latex a_6$ کو جاننے کی ضرورت ہے، وغیرہ۔ اس مقام پر، آپ کو خدشہ ہو سکتا ہے کہ یہ ایک قسم کے لامحدود نزول میں ہمیشہ کے لیے جاری رہے گا، لیکن ایک بار جب ہم $latex a_1$ تک پہنچ جاتے ہیں تو ہمارا کام ہو جاتا ہے، کیونکہ ہم جانتے ہیں کہ ایک شخص کی پارٹی میں مصافحہ کی تعداد صفر ہے۔

$latex a_1 = 0$

یہ ابتدائی یا "بیج" قدر تکراری ترتیب کی ایک اہم خصوصیت ہے۔ یہ اس بات کی ضمانت دیتا ہے کہ تکراری تعلق کا استعمال کرتے ہوئے ترتیب کے ذریعے پیچھے ہٹنے کا یہ عمل ختم ہو جائے گا۔ ایک بار جب آپ بیج کی قیمت کو مارتے ہیں تو بیک ٹریکنگ رک جاتی ہے، اور پھر آپ اپنی مطلوبہ قیمت حاصل کرنے کے لیے فہرست کے ذریعے آگے بڑھ سکتے ہیں۔

$latex a_1 = 0$

$latex a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1 = 1$

$latex a_3 = a_2 + 2 = 1 + 2 = 3$

$latex a_4 = a_3 + 3 = 3 + 3 = 6$

$latex cdots$

$لیٹیکس a_{10} = a_9 + 9 = 36 + 9 = 45$

فہرست پر کام کرنے سے، ہم دیکھتے ہیں کہ 45 افراد کی پارٹی میں کل 10 مصافحہ ہوتے ہیں، جو ہمارے ابتدائی حساب سے متفق ہیں۔ اگر آپ میرے طالب علموں کی طرح کچھ ہیں، تو آپ پوچھ سکتے ہیں کہ ہمیں اس مسئلے کو حل کرنے کے لیے کسی اور طریقے کی ضرورت کیوں ہے جب کہ ہم پہلے سے ہی جواب جانتے ہیں، خاص طور پر چونکہ یہ دوسرا طریقہ زیادہ وقت لگتا ہے۔

یہ ایک اچھا سوال ہے۔ ایک جواب یہ ہے کہ تکراری نقطہ نظر ہمیں اس مسئلے میں کیا ہو رہا ہے کے بارے میں بالکل مختلف نقطہ نظر فراہم کرتا ہے، اور مختلف نقطہ نظر ریاضی میں مفید ہیں، جیسا کہ وہ تمام چیزوں میں ہوتے ہیں۔ وہ ہمیں تصورات کو سمجھنے کے مختلف مواقع فراہم کرتے ہیں اور ہمیں مختلف ٹولز استعمال کرنے کی اجازت دیتے ہیں، جو اس وقت مدد کر سکتے ہیں جب ہم پھنس جاتے ہیں۔

خاص طور پر، تکرار مفید ہے کیونکہ یہ ریاضی میں ہر جگہ ہے۔ یہ پیدا ہوتا ہے، مثال کے طور پر، ان لکیری رشتوں میں جن کے بارے میں ہر کوئی ریاضی کی کلاس میں سیکھتا ہے — جن کی خصوصیت تبدیلی کی مستقل شرح سے ہوتی ہے اور ہوائی جہاز میں لکیروں سے ظاہر ہوتی ہے۔ ایک لکیری فنکشن جیسے $latex f(x) = 3x + 5$ کو ایک تکراری فارمولے کے طور پر سوچا جا سکتا ہے:

$latex a_0 = 5$

$latex a_n = a_{n-1} + 3$

اگرچہ $latex f(2)$ کے بارے میں سوچنے کا زیادہ واضح طریقہ یہ ہوسکتا ہے کہ $latex f(2) = 3 گنا 2 + 5 = 11$، دوسرا طریقہ یہ ہے کہ $latex a_2 = a_1 + 3 = a_0 + 3 + 3 = 11$۔ لکیری افعال کی بنیادی خصوصیت - تبدیلی کی مستقل شرح - کو بار بار ماڈلنگ کرنا ہمیں اس تعلق کے بارے میں سوچنے کا ایک اور طریقہ فراہم کرتا ہے۔ مسلسل ضربی تبدیلی کی خصوصیت والے کفایتی افعال کے ساتھ بھی ایسا ہی کیا جا سکتا ہے۔

تکراری سوچ اعداد کی ترتیب سے بھی آگے کام کرتی ہے۔ اگر آپ نے کبھی مساوات کے نظام کو حل کیا ہے، تو آپ نے شاید ایک بار بار چلنے والا طریقہ استعمال کیا ہے۔ نظام کو حل کرنے کے لیے

$لیٹیکس 2x + y = 10$

$لیٹیکس 3x – y = 5$

آپ پہلے دونوں مساوات کو ختم کرنے کے لیے ایک ساتھ شامل کر سکتے ہیں۔ y متغیر، جس کے نتیجے میں مساوات $latex 5x = 15$ ہوتی ہے۔ $latex x =$ 3 حاصل کرنے کے لیے اسے حل کریں، $latex y = 4$ تلاش کرنے کے لیے متبادل کریں، اور آپ کا کام ہو گیا۔ یہ نقطہ نظر ایک تکراری الگورتھم کا استعمال کرتا ہے، جہاں ایک نظام کا حل چھوٹے، متعلقہ نظاموں کے حل سے بنایا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، 3 × 3 سسٹم کو حل کرنے کے لیے، آپ اسے 2 × 2 سسٹم میں تبدیل کرنے کے لیے ایک متغیر کو ختم کرتے ہیں، اور پھر اسے دوبارہ 1 × 1 سسٹم میں تبدیل کرتے ہیں۔ یہ آسانی سے حل کرنے والی واحد مساوات اس تکراری عمل کی بیج کی قدر کی طرح ہے۔ یہ بیک ٹریکنگ کے اختتام کی طرف اشارہ کرتا ہے، اور وہاں سے آپ مساوات کے سلسلے کو بیک اپ کرنے کے لیے اپنے راستے پر کام کرتے ہیں، بالکل اسی طرح جیسے ایک تکراری ترتیب میں۔

یہاں تک کہ تکراری ثبوت کی تکنیک بھی موجود ہیں۔ مثال کے طور پر، جیومیٹری کا ایک مشہور فارمولا کثیرالاضلاع زاویہ کا مجموعہ ہے، جو کہتا ہے کہ ایک کے اندرونی زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ n-سائیڈڈ پولیگون $لیٹیکس (n-2) گنا 180^{circ}$ ہے۔ اس نتیجہ کو ثابت کرنے کا ایک طریقہ ایک کے ساتھ شروع کرنا ہے۔ n-gon اور تصور کریں کہ اگر آپ ایک مثلث کو ہٹا دیں گے تو کیا ہوگا۔

مثلث کو ہٹانا موڑ دیتا ہے۔ nایک میں جانا (n − 1)-gon، اور یہ اندرونی زاویہ کی پیمائش کے 180 ڈگری کو بھی ہٹاتا ہے۔ یہ ایک تکراری رشتہ ہے: ایک کے لیے اندرونی زاویہ کا مجموعہ n-gon ایک (n − 1)-گون۔ عام نتیجہ قائم کرنے کے لیے، مثلث کو ہٹاتے رہیں جب تک کہ آپ بیج کی قیمت تک نہ پہنچ جائیں، جو اس صورت حال میں اس وقت ہوتا ہے جب آپ نے تین کے علاوہ تمام کو ہٹا دیا ہو۔ n-گون کی چوٹی اس مقام پر ابتدائی کثیر الاضلاع کو ایک مثلث میں کم کر دیا گیا ہے، جس کے اندرونی زاویہ کا مجموعہ 180 ڈگری جانا جاتا ہے۔ اب ہر قدم پر 180 ڈگری کا اضافہ کرتے ہوئے بیک اپ پر کام کریں، اور آپ کو فارمولا مل جائے گا۔

ہماری پارٹی میں واپسی، مصافحہ کا مسئلہ خود ہمیں دکھاتا ہے کہ جب ہم تخلیقی طور پر سوچتے ہیں اور پھر کسی مسئلے کے ان متعدد مختلف نقطہ نظر کو ایک ساتھ جوڑتے ہیں تو کیا ممکن ہے۔ اگر ہم اپنے مصافحہ کے سلسلے کے لیے تکراری ماڈل کے ساتھ کھیلتے ہیں:

$latex a_1 = 0$

$لیٹیکس a_n = a_{n-1} + n – 1$

ایک اچھا نمونہ ابھرتا ہے:

$لیٹیکس a_2 = a_1 + 1 = 0 + 1$

$latex a_3 = a_2 + 2 = 0 + 1 + 2$

$لیٹیکس a_4 = a_3 + 3 = 0 + 1 + 2 + 3$

$latex cdots$

$لیٹیکس a_n = a_{n-1} + (n-1) = 0 + 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1)$

اب ہمارے پاس مسئلہ کے بارے میں سوچنے کا ایک نیا، اور عمومی طریقہ ہے: ایک میں مصافحہ کی تعداد n-شخصی پارٹی پہلے کی رقم کے برابر ہے۔ n - 1 مثبت عدد۔

ہمارے اصل نقطہ نظر پر واپس سوچو. ایک میں nفرد کی پارٹی، ہر شخص دوسرے سے مصافحہ کرے گا۔ n - 1 لوگ۔ پروڈکٹ $latex n (n-1)$ ہر ہینڈ شیک کو دو بار شمار کرتا ہے، اس لیے مصافحہ کی کل تعداد $latex frac{n(n-1)}{2}$ ہے۔ لیکن چونکہ ہمارے مختلف طریقے ایک ہی چیز کو شمار کرتے ہیں، اس لیے انہیں ایک ہی نتیجہ برآمد کرنا پڑتا ہے۔ خاص طور پر، اس کا مطلب ہے:

$latex 1 + 2 + 3 + cdots + (n-1) = frac{n(n-1)}{2}$

مصافحہ کے مسئلے سے مختلف طریقوں کو جوڑ کر، ہمیں پہلے کے مجموعہ کے لیے ایک بند فارمولا ملتا ہے۔ n - 1 مثبت عدد۔ لیکن ہم اس سے بھی زیادہ حاصل کرتے ہیں: اظہار $latex frac{n(n-1)}{2}$ میں ایک حصہ شامل ہوتا ہے، لیکن چونکہ یہ عدد کے عدد کے برابر ہے، اس لیے یہ بھی ایک عدد عدد ہونا چاہیے۔ یہ نمبر تھیوری کی ایک سادہ حقیقت کو ثابت کرتا ہے: ہر عدد کے لیے n, $latex frac{n(n-1)}{2}$ ایک عدد عدد ہے۔

اسی قسم کی دلیل جدید ریاضی کو طاقت دیتی ہے۔ ایک مثال کے طور پر، ابتدائی 2000s میں محققین کچھ حیران کن نتائج ثابت ہوئے۔ تکراری ترتیبوں کے بارے میں جو سوموس سیکوینس کے نام سے جانا جاتا ہے یہ دکھا کر کہ وہ بھی کچھ شمار کرتے ہیں۔ تخلیقی رابطوں کی طاقت کے ذریعے، ریاضی دانوں نے ایک بار پھر دریافت کیا کہ وہ کہاں جا چکے ہیں یہ سمجھ کر وہ کہاں جا سکتے ہیں۔

مشقیں

1. اس ترتیب کے لیے ایک بند فارمولہ تلاش کریں جس کی وضاحت بار بار کی گئی ہے۔
$latex a_1 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} + 2n – 1$

2. کالم کے آخر میں، اظہار $latex frac{n(n-1)}{2}$ کو ایک عدد کے طور پر دکھایا گیا حالانکہ اظہار میں ایک حصہ شامل ہے، کیونکہ $latex frac{n(n-1) )}{2}$ کسی چیز کو گننے کا نتیجہ ہے۔ ایک عدد تھیوری دلیل بھی ہے جو ظاہر کرتی ہے کہ یہ اظہار ایک عدد عدد ہونا چاہیے۔ یہ کیا ہے؟

3. تکراری ترتیب کی پہلی چند اصطلاحات تلاش کریں۔
$latex a_1 = 1$
$latex a_n = frac{1}{1+a_{n-1}}$

4. تکراری ترتیب کی پہلی چند اصطلاحات تلاش کریں۔
$latex a_1 = 1$
$latex a_2 = 1$
$latex a_n = a_{n-1} – a_{n-2}$