درمیانی فاصلے پر قابو پانے کے لیے ریاضی کی ترکیبیں | کوانٹا میگزین

اس سال اب تک، Quanta نے رمسی تھیوری میں تین اہم پیشرفتوں کو دائمی طور پر بیان کیا ہے، یہ مطالعہ کہ ریاضی کے نمونوں کو بنانے سے کیسے بچنا ہے۔ دی پہلا نتیجہ تین یکساں فاصلہ والے نمبروں، جیسے {2, 4, 6} یا {21, 31, 41} کے بغیر انٹیجرز کا سیٹ کتنا بڑا ہوسکتا ہے اس پر ایک نئی ٹوپی لگائیں۔ دی دوسری اور تیسرے اسی طرح نیٹ ورکس کے سائز پر پوائنٹس کے کلسٹر کے بغیر نئی حدیں لگائیں جو یا تو سبھی جڑے ہوئے ہیں، یا سب ایک دوسرے سے الگ تھلگ ہیں۔

ثبوت اس بات کی نشاندہی کرتے ہیں کہ کیا ہوتا ہے کیونکہ اس میں شامل تعداد لامحدود حد تک بڑھ جاتی ہے۔ متضاد طور پر، یہ کبھی کبھی پریشان کن حقیقی دنیا کی مقداروں سے نمٹنے کے مقابلے میں آسان ہوسکتا ہے۔

مثال کے طور پر، واقعی بڑے ڈینومینیٹر والے کسر کے بارے میں دو سوالات پر غور کریں۔ آپ پوچھ سکتے ہیں کہ 1/42503312127361 کا اعشاریہ توسیع کیا ہے۔ یا آپ پوچھ سکتے ہیں کہ کیا یہ نمبر صفر کے قریب ہو جائے گا جیسے جیسے ڈینومینیٹر بڑھتا ہے۔ پہلا سوال حقیقی دنیا کی مقدار کے بارے میں ایک مخصوص سوال ہے، اور اس کا حساب لگانا دوسرے سے زیادہ مشکل ہے، جو پوچھتا ہے کہ مقدار 1/ کیسے ہےn بطور "غیر علامتی طور پر" تبدیل ہو جائے گا۔ n بڑھتا ہے (یہ 0 کے قریب اور قریب تر ہوتا جاتا ہے۔)

"یہ ایک مسئلہ ہے جو رامسی کے تمام نظریہ سے دوچار ہے۔" ولیم گیسارک، یونیورسٹی آف میری لینڈ میں کمپیوٹر سائنس دان۔ "رمسی تھیوری غیر علامتی طور پر بہت اچھے نتائج کے لئے جانا جاتا ہے۔" لیکن انفینٹی سے چھوٹے اعداد کا تجزیہ کرنے کے لیے ایک بالکل مختلف ریاضیاتی ٹول باکس کی ضرورت ہوتی ہے۔

گیسارچ نے رمسی تھیوری میں ایسے سوالات کا مطالعہ کیا ہے جن میں محدود اعداد شامل ہیں جو اس مسئلے کے لیے بہت بڑے ہیں جن کو طاقت کے ذریعے حل نہیں کیا جا سکتا۔ ایک پروجیکٹ میں، اس نے اس سال کی پہلی کامیابیوں کے محدود ورژن پر کام لیا — فروری کا ایک مقالہ زینڈر کیلی, الینوائے یونیورسٹی میں ایک گریجویٹ طالب علم، Urbana-Champaign، اور راگھو میکا۔ یونیورسٹی آف کیلیفورنیا، لاس اینجلس۔ کیلی اور میکا نے 1 اور کے درمیان کتنے عدد کے عدد پر ایک نیا اوپری باؤنڈ پایا N آپ تین مدتی پیشرفت، یا یکساں فاصلہ والے نمبروں کے نمونوں سے گریز کرتے ہوئے ایک سیٹ میں ڈال سکتے ہیں۔

اگرچہ کیلی اور میکا کا نتیجہ لاگو ہوتا ہے یہاں تک کہ اگر N نسبتا چھوٹا ہے، یہ اس معاملے میں خاص طور پر مفید پابند نہیں دیتا ہے۔ کی بہت چھوٹی اقدار کے لیے N، آپ بہت آسان طریقوں پر قائم رہنے سے بہتر ہیں۔ اگر N ہے، کہتے ہیں، 5، صرف 1 اور کے درمیان اعداد کے تمام ممکنہ سیٹوں کو دیکھیں N، اور سب سے بڑی ترقی سے پاک کو منتخب کریں: {1, 2, 4, 5}۔

لیکن مختلف ممکنہ جوابات کی تعداد بہت تیزی سے بڑھتی ہے اور اتنی سادہ حکمت عملی کو استعمال کرنا بہت مشکل بنا دیتا ہے۔ 1 سے 1 کے درمیان نمبروں پر مشتمل 20 لاکھ سے زیادہ سیٹ ہیں۔⁶⁰ 1 اور 200 کے درمیان نمبروں کا استعمال۔ ان معاملات کے لیے بہترین ترقی سے پاک سیٹ تلاش کرنے کے لیے کمپیوٹنگ طاقت کی بھاری مقدار درکار ہوتی ہے، یہاں تک کہ کارکردگی کو بہتر بنانے والی حکمت عملیوں کے ساتھ۔ "آپ کو چیزوں میں سے بہت ساری کارکردگی کو نچوڑنے کے قابل ہونے کی ضرورت ہے،" کہا جیمز گلین، ییل یونیورسٹی میں کمپیوٹر سائنس دان۔ 2008 میں، گیسارک، گلین اور کلائیڈ کرسکل میری لینڈ یونیورسٹی کے ایک پروگرام لکھا ایک تک سب سے بڑی ترقی سے پاک سیٹس تلاش کرنے کے لیے N (پچھلے کام نے 187 تک کے جوابات حاصل کیے تھے، اور ساتھ ہی 150 کے لیے۔) چالوں کی فہرست کے باوجود، ان کے پروگرام کو ختم ہونے میں مہینوں لگے، گلین نے کہا۔

ان کے کمپیوٹیشنل بوجھ کو کم کرنے کے لیے، ٹیم نے سادہ ٹیسٹوں کا استعمال کیا جس نے ان کے پروگرام کو ڈیڈ اینڈ تلاش کرنے سے روکا اور اپنے سیٹوں کو چھوٹے حصوں میں تقسیم کیا جن کا انھوں نے الگ الگ تجزیہ کیا۔

Gasarch، Glenn اور Kruskal نے کئی دیگر حکمت عملیوں کو بھی آزمایا۔ ایک امید افزا خیال بے ترتیب پن پر جھک گیا۔ ترقی سے پاک سیٹ کے ساتھ آنے کا ایک آسان طریقہ یہ ہے کہ اپنے سیٹ میں 1 ڈالیں، پھر ہمیشہ اگلا نمبر شامل کریں جو ریاضی کی ترقی نہیں کرتا ہے۔ اس طریقہ کار پر عمل کریں جب تک کہ آپ نمبر 10 کو نہ ماریں، اور آپ کو سیٹ {1, 2, 4, 5, 10} ملے گا۔ لیکن یہ پتہ چلتا ہے کہ یہ عام طور پر بہترین حکمت عملی نہیں ہے۔ "اگر ہم 1 بجے شروع نہیں کرتے ہیں تو کیا ہوگا؟" گیسارک نے کہا۔ "اگر آپ بے ترتیب جگہ سے شروع کرتے ہیں، تو آپ حقیقت میں بہتر کرتے ہیں۔" انہوں نے مزید کہا کہ محققین کو اندازہ نہیں ہے کہ بے ترتیب پن اتنا مفید کیوں ہے۔

رامسی تھیوری کے دو دیگر نئے نتائج کے محدود ورژن کا حساب لگانا ترقی سے پاک سیٹ کے سائز کا تعین کرنے سے بھی زیادہ پریشان کن ہے۔ ان نتائج کا تعلق ریاضیاتی نیٹ ورکس (جسے گراف کہتے ہیں) سے بنی ہوئی نوڈس لائنوں سے جڑے ہوتے ہیں جنہیں کنارے کہتے ہیں۔ رامسی نمبر r(s, t) نوڈس کی سب سے چھوٹی تعداد ہے جس میں سے کسی ایک کو شامل کرنے سے بچنا ناممکن ہونے سے پہلے گراف کا ہونا ضروری ہے۔ s منسلک نوڈس یا t منقطع رمسی نمبر شمار کرنے کے لئے ایک سر درد ہے کہ بھی r(5، 5) نامعلوم ہے - یہ کہیں 43 اور 48 کے درمیان ہے۔

1981 میں برینڈن میکےجو کہ اب آسٹریلین نیشنل یونیورسٹی میں کمپیوٹر سائنسدان ہیں، نے nauty نامی ایک سافٹ ویئر پروگرام لکھا، جس کا مقصد رمسی نمبروں کا حساب لگانا آسان بنانا تھا۔ Nauty اس بات کو یقینی بناتا ہے کہ محققین دو گرافس کو چیک کرنے میں وقت ضائع نہ کریں جو صرف ایک دوسرے کے پلٹائے گئے یا گھمائے گئے ورژن ہیں۔ "اگر کوئی اس علاقے میں ہے اور شرارتی استعمال نہیں کر رہا ہے، تو کھیل ختم ہو گیا ہے۔ آپ کو اسے استعمال کرنا چاہئے،" کہا Stanisław Radziszowskiروچیسٹر انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی میں ایک ریاضی دان۔ پھر بھی، اس میں شامل حساب کتاب کی مقدار تقریباً سمجھ سے باہر ہے۔ 2013 میں، Radziszowski اور جان گوئجبیر یہ ثابت کر دیا r(3، 10) زیادہ سے زیادہ 42 ہے۔. بیلجیم کی KU لیوین یونیورسٹی کے کمپیوٹر سائنس دان گوئج بیور نے کہا، "میرے خیال میں، اس میں تقریباً 50 CPU سال لگے۔"

اگر آپ ریمسی نمبر کی درست گنتی نہیں کر سکتے ہیں، تو آپ مثالوں کے ساتھ اس کی قدر کو کم کرنے کی کوشش کر سکتے ہیں۔ اگر آپ کو پانچ نوڈس کے بغیر 45 نوڈ کا گراف ملتا ہے جو تمام منسلک تھے اور پانچ نوڈس کے بغیر جو سب منقطع تھے، تو یہ ثابت کرے گا کہ r(5، 5) 45 سے بڑا ہے۔ رمسی نمبروں کا مطالعہ کرنے والے ریاضی دان سوچتے تھے کہ ان مثالوں کو تلاش کرنا، جنہیں ریمسی گراف کہتے ہیں، آسان ہو جائے گا، ریڈززوسکی نے کہا۔ لیکن ایسا نہیں تھا۔ انہوں نے کہا، "یہ توقع تھی کہ اچھی، ٹھنڈی ریاضیاتی تعمیرات بہترین ممکنہ تعمیرات فراہم کریں گی، اور ہمیں اس پر کام کرنے کے لیے مزید لوگوں کی ضرورت ہے۔" "میرا احساس زیادہ سے زیادہ ہے کہ یہ افراتفری کا شکار ہے۔"

بے ترتیب ہونا سمجھنے کی راہ میں رکاوٹ اور ایک مفید آلہ ہے۔ جیفری ایکسوانڈیانا اسٹیٹ یونیورسٹی کے کمپیوٹر سائنس دان نے ریمسی گرافس بنانے کے لیے بے ترتیب طریقوں کو بہتر بنانے میں برسوں گزارے ہیں۔ میں ایک 2015 کاغذ درجنوں نئے، ریکارڈ کو شکست دینے والے Ramsey گرافس کا اعلان کرتے ہوئے، Exoo اور Milos Tatarevic نے بے ترتیب گراف بنائے اور پھر دھیرے دھیرے ان کناروں کو حذف یا جوڑ کر ان میں تبدیلی کی جس سے ناپسندیدہ کلسٹرز کی تعداد کم ہو گئی جب تک کہ انہیں رامسی گراف نہ مل جائے۔ Radziszowski نے کہا کہ Exoo کی تکنیک کسی بھی چیز کی طرح ایک فن ہے۔ وہ بعض اوقات اس سے متعدد طریقوں کو یکجا کرنے، یا اس بارے میں فیصلہ استعمال کرنے کا مطالبہ کرتے ہیں کہ کس قسم کے گراف کے ساتھ شروع کیا جائے۔ "بہت سے، بہت سے لوگ اسے آزماتے ہیں، اور وہ ایسا نہیں کر سکتے،" Radziszowski نے کہا۔

رمسی گراف بنانے کے لیے جو تکنیکیں تیار کی گئی ہیں وہ کسی دن زیادہ وسیع پیمانے پر کارآمد ثابت ہو سکتی ہیں، گوئجبیر نے کہا، جس نے کام کیا دوسرے قسم کے گراف تیار کرنا، جیسے گراف جو کیمیائی مرکبات کی نمائندگی کرتے ہیں۔ "یہ امکان نہیں ہے کہ ان تکنیکوں کو بھی منتقل اور ایڈجسٹ کیا جا سکتا ہے تاکہ گراف کی دوسری کلاسوں کو زیادہ موثر طریقے سے (اور اس کے برعکس) پیدا کرنے میں مدد ملے،" انہوں نے ایک ای میل میں لکھا۔

تاہم، Radziszowski کے نزدیک، رمسی کے چھوٹے نمبروں کا مطالعہ کرنے کی وجہ بہت آسان ہے۔ "کیونکہ یہ کھلا ہے، کیونکہ کوئی نہیں جانتا کہ جواب کیا ہے،" انہوں نے کہا۔ "معمولی معاملات جو ہم ہاتھ سے کرتے ہیں۔ تھوڑا بڑا، آپ کو کمپیوٹر کی ضرورت ہے، اور تھوڑا بڑا، یہاں تک کہ کمپیوٹر کافی اچھا نہیں ہے۔ اور اس طرح چیلنج ابھرتا ہے۔"