تیسری صدی قبل مسیح میں آرکیمیڈیز درپیش مویشیوں کو چرانے کے بارے میں ایک پہیلی جسے، اس نے دعوی کیا، صرف ایک حقیقی عقلمند شخص ہی حل کر سکتا ہے۔ اس کا مسئلہ بالآخر ایک مساوات پر ابل پڑا جس میں دو مربع اصطلاحات کے درمیان فرق شامل ہے، جسے لکھا جا سکتا ہے۔ x2 - dy2 = 1. یہاں، d ایک عدد عدد ہے — ایک مثبت یا منفی گنتی کا نمبر — اور آرکیمیڈیز حل تلاش کر رہا تھا جہاں دونوں x اور y انٹیجرز بھی ہیں۔
مساوات کے اس طبقے نے، جسے Pell equations کہا جاتا ہے، نے صدیوں سے ریاضی دانوں کو متوجہ کیا ہے۔
آرکیمیڈیز کے کچھ صدیوں بعد، ہندوستانی ریاضی دان برہما گپتا، اور بعد میں ریاضی دان بھاسکار دوم نے ان مساواتوں کے عددی حل تلاش کرنے کے لیے الگورتھم فراہم کیا۔ 1600 کی دہائی کے وسط میں، فرانسیسی ریاضی دان پیئر ڈی فرمیٹ (جو اس کام سے لاعلم تھے) نے دوبارہ دریافت کیا کہ بعض صورتوں میں، یہاں تک کہ جب d کو نسبتاً چھوٹی قدر تفویض کی گئی تھی، جس کے لیے سب سے چھوٹے ممکنہ عددی حل x اور y بڑے پیمانے پر ہو سکتا ہے. جب اس نے حریف ریاضی دانوں کو چیلنج کے مسائل کا ایک سلسلہ بھیجا تو ان میں مساوات شامل تھی۔ x2 - 61y2 = 1، جس کے سب سے چھوٹے حل میں نو یا 10 ہندسے ہوتے ہیں۔ (جہاں تک آرکیمیڈیز کا تعلق ہے، اس کی پہیلی نے بنیادی طور پر مساوات کے عددی حل طلب کیے تھے۔ x2 - 4,729,494y2 = 1. "سب سے چھوٹے حل کو پرنٹ کرنے کے لیے، اس میں 50 صفحات لگتے ہیں،" کہا پیٹر کوئمینس، مشی گن یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "کچھ معنوں میں، یہ آرکیمیڈیز کا ایک بہت بڑا ٹرول ہے۔")
لیکن پیل مساوات کے حل بہت کچھ کرسکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، کہتے ہیں کہ آپ انٹیجرز کے تناسب کے طور پر $latex sqrt{2}$، ایک غیر معقول نمبر کا تخمینہ لگانا چاہتے ہیں۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ پیل مساوات کو حل کرنا x2 - 2y2 = 1 ایسا کرنے میں آپ کی مدد کر سکتا ہے: $latex sqrt{2}$ (یا، عام طور پر، $latex sqrt{d}$) فارم کے ایک حصے کے طور پر حل کو دوبارہ لکھ کر اچھی طرح سے اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ x/y.
شاید اس سے بھی زیادہ دلچسپ، وہ حل آپ کو مخصوص نمبر سسٹمز کے بارے میں بھی کچھ بتاتے ہیں، جسے ریاضی دان حلقے کہتے ہیں۔ ایسے نمبر سسٹم میں، ریاضی دان $latex sqrt{2}$ کو عدد کے ساتھ جوڑ سکتے ہیں۔ انگوٹھیوں کی کچھ خصوصیات ہیں، اور ریاضی دان ان خصوصیات کو سمجھنا چاہتے ہیں۔ پیل مساوات، یہ پتہ چلتا ہے، ایسا کرنے میں ان کی مدد کر سکتا ہے.
اور اس لیے "بہت سارے بہت مشہور ریاضی دانوں نے - تقریباً ہر ایک ریاضی دان نے کچھ عرصے میں - حقیقت میں اس مساوات کا مطالعہ کیا کیونکہ یہ کتنا آسان ہے"۔ مارک شسٹرمین، ہارورڈ یونیورسٹی میں ریاضی دان۔ ان ریاضی دانوں میں فرمیٹ، یولر، لگرینج اور ڈیریچلیٹ شامل تھے۔ (جان پیل، اتنا زیادہ نہیں؛ مساوات کو غلطی سے ان کے نام پر رکھا گیا تھا۔)
اب کویمن اور کارلو پگانو, مونٹریال میں Concordia یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان, ہے دہائیوں پرانا قیاس ثابت ہوا۔ Pell مساوات سے متعلق، ایک جو اس بات کا تعین کرتا ہے کہ مساوات کی ایک مخصوص شکل میں عددی حل کتنی بار ہوتے ہیں۔ ایسا کرنے کے لیے، انہوں نے ایک دوسرے شعبے سے آئیڈیاز درآمد کیے — گروپ تھیوری — جبکہ ساتھ ہی ساتھ اس شعبے میں مطالعے کے ایک اہم لیکن پراسرار شے کی بہتر تفہیم حاصل کی۔ "انہوں نے واقعی گہرے اور خوبصورت خیالات کا استعمال کیا،" کہا اینڈریو گرانویل، مونٹریال یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔ "انہوں نے واقعی اسے کیل لگایا۔"
ٹوٹا ہوا ریاضی
1990s کے اوائل میں ، پیٹر سٹیون ہیگننیدرلینڈز کی لیڈن یونیورسٹی کے ایک ریاضی دان نے Pell کی مساوات اور گروپ تھیوری کے درمیان کچھ رابطوں سے متاثر ہو کر یہ اندازہ لگایا کہ ان مساوات میں کتنی بار عددی حل ہوتے ہیں۔ لیکن "مجھے امید نہیں تھی کہ یہ کسی بھی وقت جلد ثابت ہو جائے گا،" انہوں نے کہا - یا اپنی زندگی میں بھی۔ دستیاب تکنیکیں اس مسئلے پر حملہ کرنے کے لیے کافی مضبوط نہیں لگیں۔
اس کا اندازہ انگوٹھیوں کی ایک خاص خصوصیت پر منحصر ہے۔ اعداد کی انگوٹھی میں جہاں، مثال کے طور پر، $latex sqrt{-5}$ کو عدد میں شامل کیا گیا ہے (ریاضی دان اکثر "خیالی" اعداد کے ساتھ کام کرتے ہیں جیسے $latex sqrt{-5}$)، وہاں دو الگ الگ طریقے ہیں ایک عدد کو اس کے بنیادی عوامل میں تقسیم کریں۔ مثال کے طور پر نمبر 6 کو صرف 2 × 3 نہیں بلکہ (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$) کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے۔ نتیجے کے طور پر، اس حلقے میں، منفرد بنیادی فیکٹرائزیشن — ریاضی کا ایک مرکزی اصول، جسے عملی طور پر عام عدد میں سمجھا جاتا ہے — ٹوٹ جاتا ہے۔ یہ جس حد تک ہوتا ہے وہ اس انگوٹھی سے وابستہ کسی شے میں انکوڈ ہوتا ہے، جسے کلاس گروپ کہتے ہیں۔
ایک طریقہ جس سے ریاضی دان ایک ایسے نمبر سسٹم کے بارے میں گہری بصیرت حاصل کرنے کی کوشش کرتے ہیں جس میں وہ دلچسپی رکھتے ہیں — کہیے، $latex sqrt{2}$ عدد سے منسلک — اس کے کلاس گروپ کی گنتی اور مطالعہ کرنا ہے۔ اس کے باوجود ان تمام مختلف نمبر سسٹمز میں طبقاتی گروپس کے برتاؤ کے بارے میں عمومی اصولوں کا تعین کرنا تقریباً ممنوعہ طور پر مشکل ہے۔
1980 کی دہائی میں ریاضی دان ہنری کوہن اور ہینڈرک لینسٹرا۔ ان اصولوں کی طرح نظر آنے کے بارے میں قیاس آرائیوں کا ایک وسیع مجموعہ پیش کریں۔ یہ "Cohen-Lenstra heuristics" آپ کو کلاس گروپس کے بارے میں بہت کچھ بتا سکتے ہیں، جس کے نتیجے میں ان کے بنیادی نمبر سسٹمز کی خصوصیات کو ظاہر کرنا چاہیے۔
بس ایک مسئلہ تھا۔ اگرچہ بہت سارے حسابات کوہن-لینسٹرا ہیورسٹکس کی حمایت کرتے نظر آتے ہیں، وہ اب بھی قیاس ہیں، ثبوت نہیں۔ "جہاں تک نظریات کی بات ہے، حال ہی میں ہم تقریباً کچھ نہیں جانتے تھے،" کہا الیکس بارٹیل، گلاسگو یونیورسٹی میں ایک ریاضی دان۔
دلچسپ بات یہ ہے کہ کلاس گروپ کا مخصوص رویہ پیل مساوات کے رویے سے جڑا ہوا ہے۔ پگانو نے کہا کہ ایک مسئلے کو سمجھنے سے دوسرے کو سمجھنے میں مدد ملتی ہے - اس قدر کہ سٹیون ہیگن کا قیاس "کوہن-لینسٹرا ہیورسٹکس پر جو بھی پیشرفت ہوئی ہے اس کے لیے بھی ایک آزمائشی مسئلہ رہا ہے،" پگانو نے کہا۔
نئے کام میں منفی پیل مساوات شامل ہے، جہاں x2 - dy2 1 کے بجائے برابر −1 پر سیٹ کیا گیا ہے۔ اصل Pell مساوات کے برعکس، جس میں ہمیشہ کسی کے لیے عددی حل کی لامحدود تعداد ہوتی ہے۔ d، کی تمام اقدار نہیں۔ d منفی پیل مساوات میں ایک مساوات پیدا ہوتی ہے جسے حل کیا جاسکتا ہے۔ لے لو x2 - 3y2 = −1: اس بات سے کوئی فرق نہیں پڑتا ہے کہ آپ کتنی بھی نمبر لائن کے ساتھ نظر آتے ہیں، آپ کو کبھی بھی کوئی حل نہیں ملے گا، اگرچہ x2 - 3y2 = 1 میں بے شمار حل ہیں۔
اصل میں، کی اقدار کی ایک بہت ہیں d جس کے لیے منفی Pell مساوات کو حل نہیں کیا جا سکتا: معلوم قوانین کی بنیاد پر کہ کچھ اعداد ایک دوسرے سے کیسے متعلق ہیں، d 3، 7، 11، 15 وغیرہ کا ضرب نہیں ہو سکتا۔
لیکن یہاں تک کہ جب آپ ان اقدار سے گریز کریں۔ d اور صرف باقی منفی Pell مساوات پر غور کریں، حل تلاش کرنا اب بھی ہمیشہ ممکن نہیں ہے۔ کی ممکنہ اقدار کے اس چھوٹے سیٹ میں d، کیا تناسب اصل میں کام کرتا ہے؟
1993 میں، سٹیون ہیگن نے ایک فارمولہ تجویز کیا جس نے اس سوال کا قطعی جواب دیا۔ کے لیے اقدار میں سے d یہ کام کر سکتا ہے (یعنی اقدار جو 3، 7 وغیرہ کے ضرب نہیں ہیں)، اس نے پیشین گوئی کی کہ تقریباً 58% انٹیجر سلوشنز کے ساتھ منفی Pell مساوات کو جنم دیں گے۔
اسٹیون ہیگن کا اندازہ خاص طور پر منفی پیل مساوات اور کلاس گروپس پر کوہن-لینسٹرا ہیورسٹکس کے درمیان تعلق سے محرک تھا - ایک ایسی کڑی جس کا کوئیمینز اور پگانو نے فائدہ اٹھایا جب، 30 سال بعد، انہوں نے بالآخر اسے درست ثابت کیا۔
ایک بہتر توپ
2010 میں، کوئیمینز اور پگانو ابھی بھی انڈرگریجویٹ طالب علم تھے - جو ابھی تک سٹیون ہیگن کے قیاس سے واقف نہیں تھے - جب ایک مقالہ سامنے آیا جس نے سالوں میں اس مسئلے پر پہلی پیش رفت کی۔
اس کام میں، جو تھا میں شائع ریاضی کی تاریخیں، ریاضی دانوں ایٹین فووری اور Jürgen Klüners کی اقدار کے تناسب سے ظاہر ہوتا ہے d جو منفی Pell مساوات کے لیے کام کرے گا جو ایک خاص حد کے اندر آ گیا ہے۔ ایسا کرنے کے لیے، انہیں متعلقہ طبقاتی گروہوں کے کچھ عناصر کے رویے پر ایک ہینڈل ملا۔ لیکن انہیں اسٹیون ہیگن کے 58% کے بہت زیادہ درست تخمینہ پر گھر میں داخل ہونے کے لئے بہت سے عناصر کی سمجھ کی ضرورت ہوگی۔ بدقسمتی سے، وہ عناصر ناقابل شناخت رہے: ان کی ساخت کو سمجھنے کے لیے اب بھی نئے طریقوں کی ضرورت تھی۔ مزید پیش رفت ناممکن لگ رہی تھی۔
پھر، 2017 میں، جب کوئیمینز اور پگانو دونوں لیڈن یونیورسٹی میں ایک ساتھ گریجویٹ اسکول میں تھے، ایک کاغذ سامنے آیا اس نے سب کچھ بدل دیا. "جب میں نے یہ دیکھا، تو میں نے فوراً پہچان لیا کہ یہ ایک بہت، بہت متاثر کن نتیجہ تھا،" کویمنز نے کہا۔ "یہ ایسا ہی تھا، ٹھیک ہے، اب میرے پاس ایک توپ ہے کہ میں اس مسئلے پر گولی چلا سکتا ہوں اور امید کرتا ہوں کہ میں ترقی کر سکتا ہوں۔" (اس وقت، اسٹیون ہیگن اور لینسٹرا بھی لیڈن میں پروفیسر تھے، جس نے اس مسئلے میں کوئیمینز اور پگانو کی دلچسپی کو جنم دینے میں مدد کی۔)
پیپر ہارورڈ کے ایک گریجویٹ طالب علم کا تھا، الیگزینڈر سمتھ (جو اب سٹینفورڈ میں کلے فیلو ہے)۔ Koymans اور Pagano کام کو ایک پیش رفت قرار دینے میں اکیلے نہیں تھے۔ "خیالات حیرت انگیز تھے،" Granville نے کہا. "انقلابی"
سمتھ بیضوی منحنی خطوط کہلانے والی مساوات کے حل کی خصوصیات کو سمجھنے کی کوشش کر رہا تھا۔ ایسا کرتے ہوئے، اس نے Cohen-Lenstra heuristics کے ایک مخصوص حصے پر کام کیا۔ نہ صرف یہ کہ ان وسیع تر قیاس آرائیوں کو ریاضیاتی حقیقت کے طور پر سیمنٹ کرنے کا پہلا بڑا قدم تھا، بلکہ اس میں بالکل اس کلاس گروپ کا حصہ شامل تھا جسے کوئمینز اور پگانو کو سٹیون ہیگن کے قیاس پر اپنے کام میں سمجھنے کی ضرورت تھی۔ (اس ٹکڑے میں وہ عناصر شامل تھے جن کا مطالعہ Fouvry اور Klüners نے اپنے جزوی نتیجہ میں کیا تھا، لیکن یہ ان سے بہت آگے نکل گیا تھا۔)
تاہم، Koymans اور Pagano ابھی سمتھ کے طریقے استعمال نہیں کر سکتے تھے۔ (اگر ایسا ممکن ہوتا تو اسمتھ خود بھی شاید ایسا کرتا۔) اسمتھ کا ثبوت صحیح نمبر کے حلقوں سے وابستہ طبقاتی گروہوں کے بارے میں تھا (جن میں $latex sqrt{d}$ انٹیجرز کے ساتھ مل جاتا ہے) — لیکن اس نے سب پر غور کیا۔ کی عددی اقدار d. دوسری طرف کوئیمینز اور پگانو صرف ان اقدار کے ایک چھوٹے سے ذیلی سیٹ کے بارے میں سوچ رہے تھے۔ d. نتیجے کے طور پر، انہیں طبقاتی گروہوں کے بہت چھوٹے حصے کے درمیان اوسط رویے کا اندازہ لگانے کی ضرورت تھی۔
وہ کلاس گروپس بنیادی طور پر سمتھ کے کلاس گروپس کا 0% تشکیل دیتے تھے - یعنی اسمتھ جب اپنا ثبوت لکھ رہا تھا تو انہیں پھینک سکتا تھا۔ انہوں نے اس اوسط سلوک میں حصہ نہیں لیا جس کا وہ مطالعہ کر رہا تھا۔
اور جب کوئیمینز اور پگانو نے اپنی تکنیکوں کو صرف ان طبقاتی گروہوں پر لاگو کرنے کی کوشش کی جن کا وہ خیال رکھتے تھے، تو طریقے فوراً ٹوٹ گئے۔ اس جوڑے کو کام کرنے کے لیے اہم تبدیلیاں کرنے کی ضرورت ہوگی۔ مزید یہ کہ، وہ صرف ایک طبقے کے گروہ کی خصوصیت نہیں کر رہے تھے، بلکہ وہ تضاد جو دو مختلف طبقاتی گروہوں کے درمیان ہو سکتا ہے (ایسا کرنا ان کے سٹیون ہیگن کے قیاس کے ثبوت کا ایک بڑا حصہ ہو گا) — جس کے لیے کچھ مختلف ٹولز کی بھی ضرورت ہوگی۔
اس لیے کوئیمینز اور پگانو نے اسمتھ کے کاغذ کے ذریعے زیادہ احتیاط سے کنگھی کرنا شروع کر دی تاکہ اس بات کی نشاندہی کی جا سکے کہ جہاں چیزیں پٹریوں سے دور ہونے لگیں۔ یہ مشکل، محنتی کام تھا، نہ صرف اس لیے کہ مواد اتنا پیچیدہ تھا، بلکہ اس لیے کہ اسمتھ اس وقت بھی اپنے پرنٹ کو بہتر کر رہا تھا، ضروری تصحیحات اور وضاحتیں کر رہا تھا۔ (اس نے پوسٹ کیا۔ اس کے کاغذ کا نیا ورژن پچھلے مہینے آن لائن۔)
پورے ایک سال تک، کوئیمینز اور پگانو نے ایک ساتھ، لائن بہ حرف ثبوت سیکھا۔ وہ ہر روز ملتے تھے، بلیک بورڈ پر چند گھنٹے گزارنے سے پہلے دوپہر کے کھانے کے دوران دیئے گئے حصے پر تبادلہ خیال کرتے تھے، متعلقہ خیالات کے ذریعے ایک دوسرے کی مدد کرتے تھے۔ اگر ان میں سے ایک نے خود ترقی کی تو اس نے دوسرے کو ٹیکسٹ بھیج کر اسے اپ ڈیٹ کیا۔ شسٹرمین کبھی کبھی انہیں رات تک کام کرتے ہوئے یاد کرتے ہیں۔ کوائمنز نے کہا کہ (یا شاید اس کی وجہ سے) چیلنجوں کے باوجود، "ایک ساتھ کرنا بہت مزہ تھا۔"
انہوں نے بالآخر اس بات کی نشاندہی کی کہ انہیں کہاں ایک نیا طریقہ آزمانے کی ضرورت ہے۔ سب سے پہلے، وہ صرف معمولی بہتری کرنے کے قابل تھے. ریاضی دانوں کے ساتھ مل کر اسٹیفنی چن اور Djordjo Milovic، انہوں نے سوچا کہ کلاس گروپ میں کچھ اضافی عناصر پر ہینڈل کیسے حاصل کیا جائے، جس نے انہیں Fouvry اور Klüners کے مقابلے میں بہتر حد حاصل کرنے کی اجازت دی۔ لیکن کلاس گروپ کے ڈھانچے کے اہم ٹکڑوں نے پھر بھی ان کو نظر انداز کر دیا۔
ایک بڑا مسئلہ جس سے انہیں نمٹنا تھا — جس کے لیے اسمتھ کا طریقہ کار اس نئے تناظر میں کام نہیں کرتا تھا — اس بات کو یقینی بنانا تھا کہ وہ طبقاتی گروپوں کے لیے "اوسط" رویے کا صحیح معنوں میں تجزیہ کر رہے ہیں۔ d بڑا اور بڑا ہو گیا. بے ترتیب ہونے کی مناسب ڈگری قائم کرنے کے لیے، کوئیمینز اور پگانو نے قوانین کا ایک پیچیدہ مجموعہ ثابت کیا، جسے باہمی قوانین کہتے ہیں۔ آخر میں، اس نے انہیں وہ کنٹرول حاصل کرنے کی اجازت دی جس کی انہیں دو طبقاتی گروہوں کے درمیان فرق پر ضرورت تھی۔
اس پیش قدمی نے، دوسروں کے ساتھ مل کر، انہیں آخر کار اس سال کے شروع میں سٹیون ہیگن کے قیاس کے ثبوت کو مکمل کرنے کی اجازت دی۔ "یہ حیرت انگیز ہے کہ وہ اسے مکمل طور پر حل کرنے میں کامیاب رہے،" چان نے کہا۔ "پہلے، ہمارے پاس یہ تمام مسائل تھے۔"
اسمتھ نے کہا کہ انہوں نے جو کچھ کیا "مجھے حیران کر دیا"۔ "Koymans اور Pagano نے ایک طرح سے میری پرانی زبان کو برقرار رکھا ہے اور اسے صرف اس سمت میں آگے بڑھانے کے لیے استعمال کیا ہے جسے میں اب بمشکل سمجھ سکتا ہوں۔"
تیز ترین ٹول
جب سے اس نے اسے پانچ سال پہلے متعارف کرایا تھا، اسمتھ کے کوہن-لینسٹرا ہیورسٹکس کے ایک حصے کے ثبوت کو دیگر مسائل کے دروازے کھولنے کے راستے کے طور پر دیکھا جاتا تھا، بشمول بیضوی منحنی خطوط اور دلچسپی کے دیگر ڈھانچے کے بارے میں سوالات۔ (اپنے مقالے میں، کوئیمینز اور پگانو تقریباً ایک درجن قیاس آرائیوں کی فہرست دیتے ہیں جن پر وہ اپنے طریقے استعمال کرنے کی امید رکھتے ہیں۔ بہت سے لوگوں کا منفی پیل مساوات یا یہاں تک کہ طبقاتی گروہوں سے کوئی تعلق نہیں ہے۔)
گرانویل نے کہا کہ "بہت سی اشیاء کے ڈھانچے ہوتے ہیں جو اس قسم کے الجبری گروپس سے مختلف نہیں ہوتے۔" لیکن ان میں سے بہت سی ایسی ہی رکاوٹیں ہیں جن کا کوئیمینز اور پگانو کو سامنا کرنا پڑا ان دیگر سیاق و سباق میں بھی موجود ہیں۔ منفی پیل مساوات پر نئے کام نے ان رکاوٹوں کو ختم کرنے میں مدد کی ہے۔ بارٹیل نے کہا، "الیگزینڈر اسمتھ نے ہمیں بتایا ہے کہ ان آریوں اور ہتھوڑوں کو کیسے بنایا جائے، لیکن اب ہمیں انہیں ہر ممکن حد تک تیز اور ہر ممکن حد تک سخت اور مختلف حالات کے لیے ہر ممکن حد تک موافق بنانا ہوگا۔" "یہ کاغذ جو کام کرتا ہے ان میں سے ایک اس سمت میں بہت زیادہ جانا ہے۔"
دریں اثنا، اس سارے کام نے ریاضی دانوں کی طبقاتی گروہوں کے صرف ایک پہلو کے بارے میں فہم کو بہتر بنایا ہے۔ کوہن-لینسٹرا کے بقیہ قیاس آرائیاں کم از کم اس لمحے تک پہنچ سے باہر ہیں۔ لیکن کوئیمینز اور پگانو کا کاغذ "اس بات کا اشارہ ہے کہ کوہن-لینسٹرا میں مسائل پر حملہ کرنے کے لیے ہمارے پاس جو تکنیکیں ہیں وہ ایک طرح سے بڑھ رہی ہیں،" سمتھ نے کہا۔
لینسٹرا خود بھی اسی طرح پر امید تھا۔ یہ "بالکل شاندار ہے،" اس نے ایک ای میل میں لکھا۔ "یہ واقعی نمبر تھیوری کی ایک شاخ میں ایک نیا باب کھولتا ہے جو خود نمبر تھیوری کی طرح پرانا ہے۔"
