ریاضی دان ڈائس رول کریں اور راک پیپر کینچی حاصل کریں۔

جیسا کہ بل گیٹس کہانی سناتے ہیں، وارن بفیٹ نے ایک بار اسے ڈائس کے کھیل میں چیلنج کیا۔ ہر ایک بفیٹ سے تعلق رکھنے والے چار نرد میں سے ایک کا انتخاب کرے گا، اور پھر وہ زیادہ نمبر جیتنے کے ساتھ رول کریں گے۔ یہ معیاری ڈائس نہیں تھے - ان میں نمبروں کی تعداد معمول کے 1 سے 6 تک مختلف تھی۔ بفیٹ نے پیشکش کی کہ گیٹس کو پہلے انتخاب کرنے دیں، تاکہ وہ مضبوط ترین ڈائس چن سکیں۔ لیکن گیٹس کے ڈائس کا جائزہ لینے کے بعد، اس نے جوابی تجویز واپس کی: بفیٹ کو پہلے انتخاب کرنا چاہیے۔

گیٹس نے پہچان لیا تھا کہ بفیٹ کے ڈائس میں ایک دلچسپ خاصیت تھی: ان میں سے کوئی بھی مضبوط نہیں تھا۔ اگر گیٹس پہلے انتخاب کرتے، پھر جو بھی ڈائی اس نے منتخب کیا، بفیٹ ایک اور ڈائی تلاش کرنے میں کامیاب ہو سکتے جو اسے ہرا سکے (یعنی جیتنے کے 50 فیصد سے زیادہ امکانات کے ساتھ)۔

بفیٹ کے چار نرد (انہیں کال کریں۔ A, B, C اور D) نے ایک پیٹرن تشکیل دیا جو راک پیپر کینچی کی یاد دلانے والا تھا، جس میں A دھڑک رہا ہے B, B دھڑک رہا ہے C, C دھڑک رہا ہے D اور D دھڑک رہا ہے A. ریاضی دانوں کا کہنا ہے کہ نرد کا اس طرح کا مجموعہ "غیر متزلزل" ہے۔

"یہ بالکل بھی بدیہی نہیں ہے کہ [intransitive dice] کا وجود بھی ہونا چاہیے،" کہا برائن کونری، سان ہوزے میں امریکن انسٹی ٹیوٹ آف میتھمیٹکس (AIM) کے ڈائریکٹر، جنہوں نے 2013 میں اس موضوع پر ایک بااثر مقالہ لکھا۔

ریاضی دانوں کے ساتھ آئے پہلی مثالیں 50 سال سے زیادہ پہلے اور آخر کار ثابت ہوا کہ جیسا کہ آپ زیادہ سے زیادہ اطراف کے ساتھ نرد پر غور کرتے ہیں، یہ ممکن ہے کہ کسی بھی طوالت کے غیر مترادف چکر بنائے۔ جو کچھ ریاضی دان ابھی تک نہیں جانتے تھے وہ یہ تھا کہ غیر متضاد نرد کتنے عام ہیں۔ کیا آپ کو اس طرح کی مثالوں کو احتیاط سے تیار کرنا ہے، یا کیا آپ تصادفی طور پر ڈائس چن سکتے ہیں اور ایک غیر متزلزل سیٹ تلاش کرنے میں اچھی کارکردگی کا مظاہرہ کر سکتے ہیں؟

تین نرد کو دیکھ رہے ہیں، اگر آپ جانتے ہیں کہ A دھڑک رہا ہے B اور B دھڑک رہا ہے C، یہ اس بات کا ثبوت لگتا ہے۔ A سب سے مضبوط ہے؛ حالات جہاں C دھڑک رہا ہے A نایاب ہونا چاہئے. اور درحقیقت، اگر ڈائس پر موجود نمبروں کو مختلف ٹوٹل میں شامل کرنے کی اجازت ہے، تو ریاضی دانوں کا خیال ہے کہ یہ وجدان درست ہے۔

لیکن ایک کاغذ آن لائن پوسٹ کیا پچھلے سال کے آخر سے پتہ چلتا ہے کہ ایک اور قدرتی ماحول میں، یہ وجدان شاندار طور پر ناکام ہو جاتا ہے۔ فرض کریں کہ آپ کا تقاضا ہے کہ آپ کے ڈائس میں صرف وہی نمبر استعمال کیے جائیں جو ریگولر ڈائی پر ظاہر ہوتے ہیں اور ان کا کل ایک ریگولر ڈائی کے برابر ہوتا ہے۔ پھر، کاغذ دکھایا، اگر A دھڑک رہا ہے B اور B دھڑک رہا ہے C, A اور C ایک دوسرے کے خلاف غالب آنے کے بنیادی طور پر مساوی امکانات ہیں۔

"یہ جان کر کہ A دھڑک رہا ہے B اور B دھڑک رہا ہے C صرف آپ کو اس بارے میں کوئی معلومات نہیں دیتا ہے کہ آیا A دھڑک رہا ہے C"نے کہا ٹموتھی گوورز یونیورسٹی آف کیمبرج کے، فیلڈز میڈلسٹ اور نئے نتائج میں تعاون کرنے والوں میں سے ایک، جو ایک کھلے آن لائن تعاون کے ذریعے ثابت ہوا جسے پولی میتھ پروجیکٹ کہا جاتا ہے۔

ادھر ، ایک اور حالیہ کاغذ چار یا اس سے زیادہ ڈائس کے سیٹ کا تجزیہ کرتا ہے۔ یہ تلاش بحث سے بھی زیادہ متضاد ہے: اگر، مثال کے طور پر، آپ بے ترتیب چار نرد چنتے ہیں اور آپ کو معلوم ہوتا ہے کہ A دھڑک رہا ہے B, B دھڑک رہا ہے C اور C دھڑک رہا ہے D، پھر یہ تھوڑا سا ہے۔ زیادہ کے لئے امکان ہے D مارنا A ریورس کے مقابلے میں.

نہ مضبوط نہ کمزور

نتائج کی حالیہ دھڑکن تقریباً ایک دہائی قبل شروع ہوئی، جب کونری نے ریاضی کے اساتذہ کے لیے ایک سیشن میں شرکت کی جس میں غیر متزلزل نرد کا احاطہ کیا گیا تھا۔ "مجھے اندازہ نہیں تھا کہ ایسی چیزیں ہو سکتی ہیں،" انہوں نے کہا۔ "میں ان سے ایک طرح سے متوجہ ہوا۔"

اس نے فیصلہ کیا (بعد میں اس کے ساتھی بھی شامل ہوئے۔ کینٹ موریسن AIM میں) تین ہائی اسکول کے طلباء کے ساتھ اس موضوع کو دریافت کرنے کے لیے جس کی وہ رہنمائی کر رہے تھے — جیمز گیبارڈ، کیٹی گرانٹ اور اینڈریو لیو۔ کتنی بار، گروپ نے سوچا، کیا تصادفی طور پر منتخب کیا گیا ڈائس ایک غیر متزلزل سائیکل بنائے گا؟

اگر ڈائس کے چہروں کی تعداد مختلف ٹوٹل میں شامل ہو جائے تو نرد کے غیر معمولی سیٹوں کو نایاب سمجھا جاتا ہے، کیونکہ سب سے زیادہ ٹوٹل کے ساتھ مرنے کا امکان ہوتا ہے کہ وہ دوسروں کو شکست دے سکے۔ لہذا ٹیم نے ڈائس پر توجہ مرکوز کرنے کا فیصلہ کیا جس میں دو خصوصیات ہیں: پہلا، ڈائس وہی نمبر استعمال کرتا ہے جو معیاری ڈائی پر ہوتا ہے — 1 سے n، ایک کی صورت میں n- طرفہ مرنا. اور دوسرا، چہرے کے نمبر ایک معیاری ڈائی کی طرح مجموعی طور پر شامل ہوتے ہیں۔ لیکن معیاری ڈائس کے برعکس، ہر ڈائی کچھ نمبروں کو دہرا سکتا ہے اور دوسروں کو چھوڑ سکتا ہے۔

چھ رخی نرد کے معاملے میں، صرف 32 مختلف نرد ہیں جن میں یہ دو خصوصیات ہیں۔ اس لیے ایک کمپیوٹر کی مدد سے ٹیم ان تمام ٹرپلز کی شناخت کر سکتی تھی جن میں A دھڑک رہا ہے B اور B دھڑک رہا ہے C. محققین نے پایا، ان کی حیرت کے لئے، کہ A دھڑک رہا ہے C 1,756 ٹرپلز میں اور C دھڑک رہا ہے A 1,731 ٹرپلز میں - تقریبا ایک جیسی تعداد۔ اس گنتی اور چھ سے زیادہ اطراف والے نرد کے نقوش کی بنیاد پر، ٹیم نے اندازہ لگایا کہ جیسے جیسے ڈائس پر اطراف کی تعداد لامحدودیت کے قریب آتی ہے، اس کا امکان A دھڑک رہا ہے C 50 فیصد تک پہنچتا ہے۔

اس قیاس نے، اس کی رسائی اور اہمیت کے امتزاج کے ساتھ، Conrey کو پولی میتھ پروجیکٹ کے لیے ایک اچھا چارہ قرار دیا، جس میں بہت سے ریاضی دان خیالات کا اشتراک کرنے کے لیے آن لائن اکٹھے ہوتے ہیں۔ 2017 کے وسط میں، اس نے پولی میتھ اپروچ کے موجد، گاؤرز کو یہ خیال پیش کیا۔ "مجھے یہ سوال بہت پسند آیا، اس کی حیرت انگیز قدر کی وجہ سے،" گاورز نے کہا۔ اس نے لکھا a بلاگ پوسٹ اس قیاس کے بارے میں جس نے تبصروں کی ایک لہر کو اپنی طرف متوجہ کیا، اور چھ اضافی پوسٹس کے دوران، تبصرہ کرنے والے اسے ثابت کرنے میں کامیاب ہو گئے۔

ان کے کاغذ میں ، آن لائن پوسٹ کیا نومبر 2022 کے آخر میں، ثبوت کے ایک اہم حصے میں یہ ظاہر کرنا شامل ہے کہ، زیادہ تر حصے کے لیے، اس بات کا کوئی مطلب نہیں ہے کہ آیا ایک مرنے والا مضبوط ہے یا کمزور۔ بفیٹ کا نرد، جن میں سے کوئی بھی پیک کا سب سے مضبوط نہیں ہے، اتنا غیر معمولی نہیں ہے: اگر آپ بے ترتیب ڈائی چنتے ہیں، پولی میتھ پروجیکٹ نے ظاہر کیا، اس کے دوسرے ڈائس کے تقریباً نصف کو شکست دینے اور دوسرے نصف سے ہارنے کا امکان ہے۔ "تقریبا ہر مرنے کا اوسط اوسط ہے،" گاورز نے کہا۔

پروجیکٹ ایک لحاظ سے اے آئی ایم ٹیم کے اصل ماڈل سے ہٹ گیا: کچھ تکنیکی چیزوں کو آسان بنانے کے لیے، پروجیکٹ نے اعلان کیا کہ ڈائی پر نمبرز کی ترتیب اہمیت رکھتی ہے - لہذا، مثال کے طور پر، 122556 اور 152562 کو دو مختلف ڈائس سمجھا جائے گا۔ گوورز نے کہا، لیکن پولی میتھ کا نتیجہ، اے آئی ایم ٹیم کے تجرباتی شواہد کے ساتھ مل کر، ایک مضبوط قیاس پیدا کرتا ہے کہ یہ قیاس اصل ماڈل میں بھی درست ہے۔

"میں بالکل خوش تھا کہ وہ اس ثبوت کے ساتھ آئے،" کونری نے کہا۔

جب چار یا اس سے زیادہ نرد جمع کرنے کی بات آئی، تو AIM ٹیم نے تین نرد سے ملتے جلتے رویے کی پیش گوئی کی تھی: مثال کے طور پر، اگر A دھڑک رہا ہے B, B دھڑک رہا ہے C اور C دھڑک رہا ہے D پھر تقریباً 50-50 کا امکان ہونا چاہیے۔ D دھڑک رہا ہے A، بالکل 50-50 کے قریب پہنچنا جب ڈائس پر اطراف کی تعداد لامحدودیت کے قریب آتی ہے۔

قیاس کو جانچنے کے لیے، محققین نے 50، 100، 150 اور 200 اطراف کے ساتھ چار نرد کے سیٹوں کے لیے سر سے سر مقابلوں کی نقل کی۔ تخروپن نے ان کی پیشین گوئیوں کی اتنی قریب سے اطاعت نہیں کی جتنی کہ تین نرد کے معاملے میں لیکن پھر بھی ان کے قیاس پر یقین کو تقویت دینے کے لئے کافی قریب تھے۔ لیکن اگرچہ محققین کو اس کا ادراک نہیں تھا، لیکن ان چھوٹی چھوٹی تضادات نے ایک مختلف پیغام دیا: چار یا اس سے زیادہ نرد کے سیٹ کے لیے، ان کا قیاس غلط ہے۔

کونری نے کہا ، "ہم واقعی میں [قیاس] سچ ہونا چاہتے تھے ، کیونکہ یہ اچھا ہوگا۔"

چار نرد کی صورت میں، ایلیسبیٹا کارناچیا سوئس فیڈرل انسٹی ٹیوٹ آف ٹیکنالوجی لوزان اور جان ہزلہ کیگالی، روانڈا میں واقع افریقی انسٹی ٹیوٹ برائے ریاضی کے علوم نے ایک میں دکھایا کاغذ 2020 کے آخر میں آن لائن پوسٹ کیا گیا کہ اگر A دھڑک رہا ہے B, B دھڑک رہا ہے C اور C دھڑک رہا ہے D، تو D پیٹنے کا 50% سے تھوڑا بہتر امکان ہے۔ A - شاید کہیں کہیں تقریباً 52%، ہزلہ نے کہا۔ (جیسا کہ پولی میتھ پیپر کے ساتھ، Cornacchia اور Hązła نے AIM پیپر کے مقابلے میں تھوڑا مختلف ماڈل استعمال کیا۔)

Cornacchia اور Hązła کی تلاش اس حقیقت سے ابھرتی ہے کہ اگرچہ، ایک اصول کے طور پر، سنگل ڈائی نہ تو مضبوط ہو گی اور نہ ہی کمزور، لیکن نرد کے جوڑے میں بعض اوقات طاقت کے مشترکہ حصے ہو سکتے ہیں۔ اگر آپ بے ترتیب طور پر دو نرد چنتے ہیں، Cornacchia اور Hązła نے دکھایا، تو اس بات کا معقول امکان ہے کہ نرد آپس میں جڑے ہوں گے: وہ ایک ہی نرد سے شکست یا ہارنے کا رجحان رکھتے ہیں۔ "اگر میں آپ سے دو ڈائس بنانے کو کہوں جو ایک دوسرے کے قریب ہوں، تو پتہ چلتا ہے کہ یہ ممکن ہے،" ہازہ نے کہا۔ correlation nudge ٹورنامنٹ کے نتائج کی یہ چھوٹی جیبیں تصویر میں کم از کم چار ڈائس ہوتے ہی ہم آہنگی سے دور ہو جاتی ہیں۔

حالیہ کاغذات کہانی کا اختتام نہیں ہیں۔ Cornacchia اور Hązła کا کاغذ صرف اس بات کو واضح کرنا شروع کرتا ہے کہ ڈائس کے درمیان باہمی تعلق ٹورنامنٹس کی ہم آہنگی کو کس طرح غیر متوازن کرتا ہے۔ اس دوران، اگرچہ، ہم اب جان چکے ہیں کہ وہاں غیر متعدی نرد کے بہت سارے سیٹ موجود ہیں - ہو سکتا ہے کہ ایک ایسا بھی ہو جو بل گیٹس کو پہلے منتخب کرنے کے لیے دھوکہ دے سکے۔